有理數(shù)的有關(guān)概念及運算

有理數(shù)的有關(guān)概念及運算【本講教育信息】一.教學內(nèi)容：期末復(fù)習1.有理數(shù)的有關(guān)概念及運算；2.整式的加減；3.一元一次方程及其應(yīng)用；4.圖形認識初步.二.知識要點：1.有理數(shù)的基本概念有理數(shù)的概念①形如eq\f(m,n)（m、n都是整數(shù)）的數(shù)叫做有理數(shù).②數(shù)軸有三大要素：原點、單位長度和正方向.③相反數(shù)，從數(shù)軸上看，互為相反數(shù)的兩個數(shù)所對應(yīng)的點分別在原點的兩旁（或在原點），并且到原點的距離相等.④倒數(shù)（0沒有倒數(shù)）.⑤一個數(shù)的絕對值，從數(shù)軸上看，就是這個數(shù)所對應(yīng)的點到原點的距離.即如果數(shù)a在數(shù)軸上的對應(yīng)點是A，那么，點A到原點O的距離就是a的絕對值，記作︱a︱.⑥科學記數(shù)法是有理數(shù)的一種記數(shù)形式，這種形式就是a×10n，它由兩部分組成：a和10n，兩者相乘，其中a大于或等于1，且小于10（即1≤a<10），它是由原來的小數(shù)點向左移動后的結(jié)果，也就是說，a與原數(shù)只是小數(shù)點位置不同.指數(shù)n是正整數(shù)，等于原數(shù)化為a時小數(shù)點移動的位數(shù)，用科學記數(shù)法表示一個數(shù)時，10的指數(shù)比原數(shù)的整數(shù)位數(shù)小1.⑦四舍五入后的近似數(shù)，從左邊第一個不是0的數(shù)字起，到精確到的位數(shù)止，所有的數(shù)字，都叫做這個數(shù)字的有效數(shù)字.如：近似數(shù)有1、2、6三個有效數(shù)字，精確到十分位；有3、0、2、0四個有效數(shù)字，精確到十萬分位；萬有兩個有效數(shù)字，精確到千位.2.有理數(shù)的基本運算（1）運算的法則因為一個有理數(shù)由符號和絕對值兩部分組成，所以運算法則還應(yīng)從符號和絕對值的確定兩個方面來說明.有理數(shù)加法法則：同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加；異號兩數(shù)相加，絕對值相等時和為0，絕對值不相等時，取絕對值較大的數(shù)的符號，并且用較大的絕對值減去較小的絕對值；一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù).減法法則可用加法法則來規(guī)定：a－b＝a＋（－b）.有理數(shù)乘法法則：兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，絕對值相乘；任何數(shù)與0相乘，積為0.除法可轉(zhuǎn)化為乘法來計算：a÷b＝a×eq\f(1,b)（其中除數(shù)不能為0）.乘方的意義：an＝（n為正整數(shù)）.其中當a＝0時，an＝0；當a＞0時，an＞0；當a＜0時，若n為奇數(shù)，an＜0，若n為偶數(shù)，an＞0.（2）運算的順序進行有理數(shù)的運算時，要遵循先乘方，再乘除，最后加減；對于同級運算，一般按從左到右的順序進行；如果有括號的，先做括號內(nèi)的運算，按小括號、中括號、大括號依次進行.3.整式的有關(guān)概念：（1）單項式數(shù)與字母的積構(gòu)成的式子叫做單項式，如－eq\f(1,5)ab2c6是單項式，而eq\f(a2c,3b)，ab2＋bc不是單項式.單獨的一個數(shù)或一個字母也是單項式，如a，－x，5，0都是單項式.單項式中的數(shù)字因數(shù)叫做這個單項式的系數(shù)，如－eq\f(1,5)ab2c6的系數(shù)是－eq\f(1,5).一個單項式中，所有字母的指數(shù)的和叫做這個單項式的次數(shù)，如－eq\f(1,5)ab2c6的次數(shù)是9.（2）多項式和整式①幾個單項式的和叫做多項式，在多項式中，每個單項式叫做多項式的項.其中，不含字母的項叫做常數(shù)項.多項式里，次數(shù)最高項的次數(shù)，就是這個多項式的次數(shù).如：多項式9x4－2x3＋xy＋1，它的項有：9x4、－2x3、xy、1，其中1不含字母是常數(shù)項，9x4的次數(shù)最高，這個多項式是四次四項式.②單項式和多項式統(tǒng)稱為整式.（3）同類項①所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的項叫做同類項，另外，所有的常數(shù)項都是同類項.②把多項式中的同類項合并成一項，叫做合并同類項.4.整式的有關(guān)運算（1）合并同類項的法則：同類項的系數(shù)相加，所得的結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變.（2）去括號的方法：如果括號外的因數(shù)是正數(shù)，去括號后原括號內(nèi)各項的符號與原來的符號相同；如果括號外的因數(shù)是負數(shù)，去括號后原括號內(nèi)各項的符號與原來的符號相反.5.方程的有關(guān)概念（1）含有字母的等式叫做方程.只含有一個未知數(shù)（元）x，未知數(shù)x的指數(shù)都是1（次），這樣的方程叫做一元一次方程.如：7－5x＝3，3（x＋2）＝4－x等都是一元一次方程.（2）使方程中等號左右兩邊相等的未知數(shù)的值，叫做方程的解.注：①方程的解和解方程是不同的概念，方程的解是求得的結(jié)果，它是一個數(shù)值（或幾個數(shù)值），而解方程是指求出方程的解的過程.②方程的解的檢驗方法：把未知數(shù)的值分別代入方程的左、右兩邊計算它們的值，比較兩邊的值是否相等.6.解方程的一般步驟（1）去分母（方程兩邊同乘各分母的最小公倍數(shù)）（2）去括號（按去括號法則和分配律進行）（3）移項（把含有未知數(shù)的項移到方程一邊，其他項都移到方程的另一邊，移項要變號）（4）合并（把方程化成ax＝b（a≠0）形式）（5）系數(shù)化為1（在方程兩邊都除以未知數(shù)的系數(shù)a，得到方程的解x＝eq\f(b,a)）7.從不同方向看幾何體8.初步認識圖形的性質(zhì)（1）直線公理：經(jīng)過兩點有一條直線，并且只有一條直線.可簡說成：兩點確定一條直線.（2）線段公理：兩點之間，線段最短.（3）如果點M是線段AB的中點，那么AM＝BM.（4）如果射線OM是∠AOB的平分線，那么∠AOM＝∠BOM.（5）同角或等角的余角相等，同角或等角的補角相等.三.重點難點：1.重點：①有理數(shù)、整式的有關(guān)概念和運算方法；②一元一次方程的解法及應(yīng)用；③和直線、射線、線段、角相關(guān)的性質(zhì).2.難點：和有理數(shù)整式相關(guān)的規(guī)律探索問題以及一元一次方程的應(yīng)用.【考點分析】 這部分內(nèi)容在中考中通常以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，有時也有探究型的解答題，內(nèi)容以有理數(shù)和一元一次方程最為常見.所占比重約8%.【典型例題】例1.完成下列各題： （1）（2022年武漢）小明家的冰箱冷藏室溫度是5℃，冷凍室的溫度是－2℃，則她家冰箱冷藏室溫度比冷凍室溫度高（） A.3℃ B.－3℃ C.7℃ D.－7℃ （2）（2022年河南）為支援四川地震災(zāi)區(qū)，中央電視臺于5月18日晚舉辦了《愛的奉獻》賑災(zāi)晚會，晚會現(xiàn)場捐款達1514000000元.1514000000用科學記數(shù)法表示正確的是（） A.1514×106 B.×108 C.×109 D.×1010 （3）（2022年湖北荊門）下列各式中，不成立的是（） A.︱－3︱＝3 B.－︱3︱＝－3 C.︱－3︱＝︱3︱ D.－︱－3︱＝3 （4）如圖所示，∠1＝15°，∠AOC＝90°，點B、O、D在同一直線上，則∠2的度數(shù)為 （） A.75° B.15° C.105° D.165° （5）（2022年太原）計算：（－3）2的結(jié)果等于__________. （6）多項式3x＋2y與多項式4x－2y的差是__________. 解：（1）C（2）C（3）D（4）C（5）9（6）－x＋4y 評析：本題主要考查相反數(shù)、絕對值、科學記數(shù)法這些基本概念和有理數(shù)、角、整式的運算.例2.已知線段AB＝8cm，在直線AB上畫線段BC，使它等于3cm，并求線段AC的長. 分析：“在直線AB上畫線段BC”.這就意味著要以B為所畫線段的端點，而另一個端點既可能在線段AB上，也有可能在線段AB的延長線上. 解：有兩種情況，如圖所示.AC的長度為：AC＝AB＋BC＝8＋3＝11（cm）或AC＝AB－BC＝8－3＝5（cm）. 評析：本題易出現(xiàn)漏解，因此解題時，必須把滿足條件的各種情況都考慮出來.例3.整理一批圖書，由一個人做要40小時完成.現(xiàn)在計劃由一部分人先做4小時，再增加2人和他們一起做8小時，完成這項工作，假設(shè)這些人的工作效率相同，具體應(yīng)先安排多少人工作？ 分析：這里可以把總工作量看作1.人均效率（一個人做1小時完成的工作量）為eq\f(1,40).由x人先做4小時，完成的工作量為eq\f(4x,40).再增加2人和前一部分人一起做8小時，完成的工作量為eq\f(8（x＋2）,40).這項工作分兩段完成，兩段完成的工作量之和為1. 解：設(shè)先安排x人工作4小時.根據(jù)兩段工作量之和應(yīng)是總工作量，得eq\f(4x,40)＋eq\f(8（x＋2）,40)＝1去分母，得4x＋8（x＋2）＝40去括號，得4x＋8x＋16＝40移項及合并，得12x＝24即x＝2答：應(yīng)先安排2名工人工作4小時. 評析：解答本題要熟記以下關(guān)系式：基本量、基本數(shù)量關(guān)系：把總工作量看作單位“1”，工作量＝工作效率×工作時間.相等關(guān)系：各部分工作量之和等于1.例4.（2022年北京）已知O為圓錐的頂點，M為圓錐底面上一點，點P在OM上.一只蝸牛從P點出發(fā)，繞圓錐側(cè)面爬行，回到P點時所爬過的最短路線的痕跡如右圖所示.若沿OM將圓錐側(cè)面剪開并展平，所得側(cè)面展開圖是 （） 分析：蝸牛從點P繞圓錐爬行一周，從展開圖上看就是從一點到另一點的問題，既然是最短路線，那路線肯定是線段.從選項C、D來看，如果還原成圓錐，這條線段與扇形兩半徑的交點還原后應(yīng)重合，故選D. 解：D 評析：本題把“兩點之間，線段最短”和立體圖形的展開圖結(jié)合起來考查有一定的難度，但抓住關(guān)鍵（最短路線是線段，圍成圓錐線段兩端點重合）問題便迎刃而解.【方法總結(jié)】1.數(shù)學從具體發(fā)展到抽象，從文字發(fā)展到符號，由靜態(tài)發(fā)展到動態(tài)……，認知結(jié)構(gòu)要發(fā)生根本變化.2.學會：（1）如何將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言；（2）如何將推理思考過程用文字書寫表達；（3）正確地由條件畫出圖形.【模擬試題】（答題時間：70分鐘）一.選擇題1.（2022年哈爾濱）哈市4月份某天的最高氣溫是5℃，最低氣溫是－3℃，那么這天的溫差（最高氣溫減最低氣溫）是 （） A.－2℃ B.8℃ C.－8℃ D.2℃2.（2022年河南）計算(－1)3的結(jié)果是 （） A.－1 B.1 C.－3 D.33.（2022年安徽）2022年我省為135萬名農(nóng)村中小學生免費提供教科書，減輕了農(nóng)民的負擔，135萬用科學記數(shù)法可表示為 （） A.×106 B.×106 C.×107 D.×107*4.已知線段AB，在AB的延長線上取一點C，使AC＝2BC，在AB的反向延長線上取一點D，使DA＝2AB，那么線段AC是線段DB的（）倍.A.eq\f(2,3) B.eq\f(3,2) C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,3)**5.兩個角的大小之比是7∶3，它們的差是72°，則這兩個角的關(guān)系是 （）A.相等 B.互余 C.互補 D.無法確定6.利用一副三角板上已知度數(shù)的角，不能畫出的角是 （）A.15° B.135° C.165° D.100°7.下列各式中，正確的是 （）A.3a＋b＝3ab B.23x＋4＝27xC.－2（x－4）＝－2x＋4 D.2－3x＝－（3x－2）8.下列各式中，不是方程的是 （） A.x＝1 B.3x＝2x＋5 C.x＋y＝0 D.2x－3y＋19.（2022年武漢）如圖，桌上放著一摞書和一個茶杯，從正面看的圖形是 （）*10.（2022年云南）在下面的圖形中，不是正方體表面展開圖的是 （）二.填空題1.甲數(shù)x的eq\f(1,3)與乙數(shù)y的eq\f(1,2)的差可以表示為__________.2.開學整理教室時，老師總是先把每一列最前和最后的課桌擺好，然后再依次擺中間的課桌，一會兒，一列課桌就擺在一條線上了，整整齊齊，這是因為__________.3.計算：－5×(－2)3＋(－39)＝__________.4.近似數(shù)×105精確到__________位，有效數(shù)字是__________.5.今年母親30歲，兒子2歲，__________年后，母親年齡是兒子年齡的5倍.6.計算72°35′÷2＋18°33′×4＝__________.*7.已知點B在線段AC上，AB＝8cm，AC＝18cm，P、Q分別是AB、AC中點，則PQ＝__________.*8.如圖，A、O、B是同一直線上的三點，OC、OD、OE是從O點引出的三條射線，且∠1∶∠2∶∠3∶∠4＝1∶2∶3∶4，則∠5＝__________.三.解答題1.計算：(－2)4÷(－2eq\f(2,3))2＋5eq\f(1,2)×(－eq\f(1,6))－2.（x3－2y3－3x2y）－（3x3－3y3－7x2y）3.解方程：eq\f(2－x,2)－3＝eq\f(x,3)－eq\f(2x＋3,6)4.在數(shù)軸上表示數(shù)：－2，22，－eq\f(1,2)，0，1eq\f(1,2)，－.按從小到大的順序用“＜”連接起來.四.探究題1.找朋友，手拉手.用數(shù)學的眼光去觀察問題，你會發(fā)現(xiàn)很多圖形都能看成是動靜結(jié)合，舒展自如的.下面所給的三排圖形都存在著某種聯(lián)系，用線將它們連起來.**2.下面是小馬虎解的一道題題目：在同一平面上，若∠BOA＝70°，∠BOC＝15°求∠AOC的度數(shù).解：根據(jù)題意可畫出圖形，因為∠AOC＝∠BOA－∠BOC＝70°－15°＝55°∴∠AOC＝55