明明的探究之旅張建敏

明明的探究之旅——“開放探究”山河南張建敏山峰概況“開放探究”之山，峰巒疊嶂，關(guān)卡重重，攀峰過關(guān)風(fēng)光無限，既包括條件開放探究型，結(jié)論開放探究型，還包括解（證）法開放探究型.每種探究型問題均由2022年中考真題構(gòu)成.題型上有選擇題、填空題,也有解答題和證明題.每個(gè)題涉及的知識點(diǎn)一般都在兩個(gè)以上,具有較強(qiáng)的綜合性,有的就是中考壓軸題.這就要求攀峰過關(guān)者數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識扎實(shí),探究思維靈活,既具有一定的深度,又具有一定的廣度.登此峰過此關(guān)是智者的首選,是打算在中考數(shù)學(xué)考試中奪冠者的必由之路.經(jīng)過前幾次攀登知識山峰歷煉的明明,一邊揣摩山峰自然概況,一邊為登峰過關(guān)做著充分的準(zhǔn)備.智勇闖關(guān)明明對照探索寶典,針對道道關(guān)卡探究題型的特點(diǎn),制定了詳實(shí)周密的登峰過關(guān)計(jì)劃，信心十足的開始了他的又一次冒險(xiǎn)之旅！類型1.條件開放探究型(1)險(xiǎn)峰介紹:這類問題主要考查攀峰過關(guān)者依據(jù)問題結(jié)論,探究可以推得結(jié)論的盡可能多的條件的能力.通常只給出問題的結(jié)論，讓其分析探索結(jié)論成立應(yīng)具備的條件，而滿足結(jié)論的條件均不唯一.(2)通關(guān)攻略:解答條件開放探究型問題，需要善于從問題的結(jié)論出發(fā),逆向追索,多途尋因，補(bǔ)充或推導(dǎo)條件.(3)冒險(xiǎn)實(shí)錄例1.(天津)如圖1，已知AC=FE,BC=DE,點(diǎn)A、D、B、F在一條直線上，要使△ABC≌△FDE，還需添加一個(gè)條件，這個(gè)條件可以是____.思路點(diǎn)撥:因?yàn)锳C=FE,BC=DE,如果根據(jù)“邊邊邊”，判定△ABC≌△FDE，則需要添加的條件是：AB=FD,或者AD=FB;如果根據(jù)“邊角邊”，判定△ABC≌△FDE，則需要添加的條件是：∠C=∠E.因此，需添加的條件是：AB=FD,或者AD=FB，或者∠C=∠E.例2.(連云港)若關(guān)于x的方程x2-mx+3=0有實(shí)數(shù)根，則m的值可以為____(任意給出一個(gè)條件即可).思路點(diǎn)撥:由根與系數(shù)的關(guān)系值(-m)2-4×1×3≥0，即m2≥12時(shí)已知方程有實(shí)數(shù)根，也就是說當(dāng)m≤-2或者m≥2時(shí)，已知方程有實(shí)數(shù)根.因此,m的值可以為小于或等于-2或者大于或等于2的任意數(shù),例如,-2,或者2,或者-4，或者5等等.例3.(甘肅)如圖2，∠BAC=∠ABD.(1)要使OC=OD,可以添加的條件為:____或____(寫出兩個(gè)符合題意的條件即可).(2)請選擇(1)中你所添加的一個(gè)條件,證明OC=OD.思路點(diǎn)撥:(1)答案不唯一.如∠C=∠D,或者∠ABC=∠BAD,或者∠OAD=∠OBC,或者AC=BD.(2)答案不惟一.如選AC=BD證明OC=OD.證明:∵∠BAC=∠ABD,∴OA=OB.又AC=BD,∴AC-OA=BD-OB,或者AO+OC=BO+OD.∴OC=OD.類型2.結(jié)論開放探究型(1)險(xiǎn)峰介紹:這類問題主要考查攀峰過關(guān)者依據(jù)已知條件,探索結(jié)論的能力.這種問題一般只給出問題的條件,求解者從已知條件出發(fā),可以推出多個(gè)結(jié)論,根據(jù)題目的要求寫出確定的解.(2)通關(guān)攻略:解答結(jié)論開放探究型問題，需要善于從已知的條件出發(fā),順向思考,執(zhí)因索果,根據(jù)具體要求寫出結(jié)論.(3)冒險(xiǎn)實(shí)錄例4.(陜西)如圖3，點(diǎn)A、B、P在⊙O上，且∠APB=50°.若點(diǎn)m是⊙O上的動(dòng)點(diǎn)，要使△ABM為等腰三角形，則所有符合條件要求的點(diǎn)m有（）圖3個(gè)個(gè)個(gè)個(gè)圖3思路點(diǎn)撥：符合條件的點(diǎn)M有4個(gè)：（1）以弦AB為底邊，點(diǎn)M在優(yōu)弧eq\o(APB,\S\UP5(︵))上，是腰MA與MB的交點(diǎn)，頂角∠AMB=∠APB=50°；（2）以弦AB為底邊，點(diǎn)M在劣弧EQ\O(AB,\S\UP5(︵))上，是腰MA與MB的交點(diǎn)，頂角∠AMB=130°；(3)以弦AB為一腰，點(diǎn)m是腰AM與底BM的交點(diǎn)，底角∠AMB=∠ABM=50°；（4）以弦BA為一腰，點(diǎn)m是另一腰BM與底AM的交點(diǎn)，底角∠BAM=∠BMA=50°.因此，答案為：D.例5.(日照)一次函數(shù)y=x+4的圖像分別交x軸、y軸與A、B兩點(diǎn)，在x軸上取一點(diǎn)C，使三角形ABC是等腰三角形，則這樣的點(diǎn)C最多有____個(gè).思路點(diǎn)撥:為便于說明,不妨畫圖4說明如下:因?yàn)?，A點(diǎn)為（-3,0），B點(diǎn)為（0,4），由勾股定理易知AB=5.于是可知，符合要求的點(diǎn)有4個(gè)：（1）如圖，若以AB、AC為腰則在x軸上可取的點(diǎn)有兩個(gè)：C1（-8,0），C2（2,0）；（2）如圖，若以BA、BC為腰則在x軸上可取的點(diǎn)為C3（3,0）；（3）如圖，若以AC、BC為腰，C點(diǎn)為AB的垂直平分線與x軸的交點(diǎn)，由勾股定理易得其橫坐標(biāo)為，則其坐標(biāo)應(yīng)為C4（,0）.例6.(重慶潼南)三角形的每條邊的長都是方程x2-6x+8=0的根，則三角形的周長是____.思路點(diǎn)撥：解已知方程易得x1=4,x2=2.因?yàn)槊織l邊的長都是已知方程的根，所以，三角形的周長為2+2+2=6，或者4+4+4=12，或者4+4+2=10.因此，答案為：6或者10或者12.例7.(玉溪)如圖5，是二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)在平面坐標(biāo)系中的圖像，根據(jù)圖形判斷：①c>0;②a+b+c<0;③2a-b<0;④b2+8a>4ac中正確的是（填寫序號）____.思路點(diǎn)撥：由圖中的拋物線和y軸負(fù)半軸相交知c<0,故①錯(cuò)誤.當(dāng)x=1時(shí)，y<0，即a+b+c<0,故②正確.由圖中拋物線的開口向上知a>0,所以，2a>o;由圖中拋物線的位置知,->0,所以b<0,所以2a-b>0,故③錯(cuò)誤.因?yàn)閳D中拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，所以方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)不相等的根，于是知b2-4ac>0,所以，b2>4ac,因?yàn)?a>0,因此，b2+8a>4ac，故④正確.因此，可填的序號為：②和④.例8.已知四條直線y=kx-3,y=-1,y=3和x=1所圍成的四邊形的面積是12，則k的值為（）或-2或-1(K>0(K>0)(K<0)由題意知k<0時(shí),圍成的四邊形為ABCD；k>0時(shí)圍成的四邊形為A1B1CD.易知kx-3=3①,kx-3=-1②.由①式可知A點(diǎn)坐標(biāo)為A（，3），A1（-，3）；由②式可知B點(diǎn)的坐標(biāo)為B（，-1），B1（-，-1）.因此,當(dāng)k<0時(shí)，S四邊形ABCD=(BC+AD)×DC=12.即[1+(-)+1+(-)]×[3-(-1)]=12，解得k=-2.當(dāng)k>0時(shí)，S四邊形A1B1CD=(BC+AD)×DC=12.即[（-1）+（-1)]×[3-(-1)]=12，解得k=1.故k=1或者k=-2.因此，答案為A.例9.（福州）鄭老師想為希望小學(xué)四年級（3）班的同學(xué)購買學(xué)習(xí)用品，了解到某商店每個(gè)書包價(jià)格比每本詞典多8元.用124元恰好可以買到3個(gè)書包和2本詞典.(1)每個(gè)書包和每本詞典的價(jià)格各是多少元?(2)鄭老師計(jì)劃用1000元為全班40位學(xué)生每人購買一件學(xué)習(xí)用品(一個(gè)書包或一本詞典)后.余下不少于100元且不超過120元的錢購買體育用品.共有哪幾種購買書包和詞典的方案?思路點(diǎn)撥:(1)設(shè)每個(gè)書包的價(jià)格為x元，則每本詞典的價(jià)格為（x-8）元.由題意可得方程3x+2（x-8）=124，解得x=28.所以，x-8=20.因此,每個(gè)書包的價(jià)格為28元,每本詞典的價(jià)格為20元.(2)設(shè)購買書包y個(gè)，則購買詞典（40-y）本．由題意可得不等式組解得10≤y≤.因?yàn)椋瑈取整數(shù)，所以y的值為10或11或12.所以，由以下三種購買方案：①書包10個(gè)，詞典30本；②書包11個(gè)，詞典29本；③書包12個(gè)，詞典28本.類型3.解（證）法開放探究型(1)險(xiǎn)峰介紹:這類問題主要考查攀峰過關(guān)者依據(jù)已知條件,探索解（證）題方法不惟一或解（證）題路徑不明確的問題.(2)通關(guān)攻略:解(證)這類問題，需要善于從已知條件出發(fā),執(zhí)因索果,發(fā)散思維,優(yōu)化解(證)題方案和過程.(3)冒險(xiǎn)實(shí)錄①②例10.（麗水）解方程組 ①②思路點(diǎn)撥：分別用加減消元法和代入消元法求解.解法一：①+②，得5x=10，∴x=2.把x=2代入①，得4-y=3.∴y=1.∴原方程的解是解法二：由①，得y=2x-3.③把③代入②，得3x+2y-3=7.∴x=2.把x=2代入③，得y=1.∴原方程的解是例11．（寧德）據(jù)寧德網(wǎng)報(bào)道：第三屆海峽兩岸茶業(yè)博覽會(huì)在寧德市的成功舉辦，提升了閩東茶葉的國內(nèi)外知名度和市場競爭力，今年第一季度茶青（剛采摘下的茶葉）每千克的價(jià)格是去年同期價(jià)格的10倍.茶農(nóng)葉亮亮今年種植的茶樹受霜凍影響,第一季度茶青產(chǎn)量為千克,比去年同期減少了千克,但銷售收入?yún)s比去年同期增長8500元.求茶農(nóng)葉亮亮今年第一季度茶青的銷售收入為多少元?思路點(diǎn)撥:用兩種不同的設(shè)法求解.解法一:設(shè)去年第一季度茶青每千克的價(jià)格為x元，則今年第一季度茶青每千克的價(jià)格為10元,茶農(nóng)葉亮亮今年第一季度茶青的銷售收入為×10x元.由題意得+x+8500=×10x.解得x=5.因此，×10x=×10×5=9930.答:茶農(nóng)葉亮亮今年第一季度茶青的銷售收入為9930元.解法二:設(shè)今年第一季度茶青的總收入為x元。依題意得，解得x=9930.答:茶農(nóng)葉亮亮今年第一季度青茶的總收入為9930元.例12.(南通)將一批490噸的貨物分配給甲、乙兩船運(yùn)輸.現(xiàn)甲、乙兩船已分別運(yùn)走其任務(wù)數(shù)的、，在已運(yùn)走的貨物中，甲船比乙船多運(yùn)30噸.求分配給甲、乙兩船的任務(wù)數(shù)各多少噸？思路點(diǎn)撥：分別用一元一次方程和二元一次方程組求解。解法一：設(shè)分配給甲船的任務(wù)為x噸，則分配給乙船的任務(wù)為（490-x）噸.由題意得x+(490-x)=30，解得x=210。所以，490-x=280.答:分配給甲船的任務(wù)為210噸，則分配給乙船的任務(wù)為280噸.解法二:設(shè)分配給甲船的任務(wù)為x噸，則分配給乙船的任務(wù)為y噸.由題意得解這個(gè)方程組得答：分配給甲船的任務(wù)為210噸，則分配給乙船的任務(wù)為280噸.例13.（南通）自編一道應(yīng)用題，要求如下：(1)路程應(yīng)用題.三個(gè)數(shù)據(jù)100、、必須全部用到，不添加其他數(shù)據(jù)。(2)只需編題，不必解答.思路點(diǎn)撥:分別編出所求量不同的應(yīng)用題.①已知A、B兩地相距100km，甲從A地到B地，走了全程的；乙從B地到A地，走了全程的.求甲、乙兩人還相距多少千米?②甲從A地到B地，乙從B地到A地，甲走了全程的，乙走了全程的，甲比乙多走100km，求A、B兩地之間的距離.例14.(蘇州)如圖7，在△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=是AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(異于A、B兩點(diǎn))，過點(diǎn)P分別作AC、BC邊的垂線，垂足為M、N.設(shè)AP=x.（1）在△ABC中,AB=____；（2）當(dāng)x=____時(shí)，矩形PMCN的周長是14.（3）是否存在x的值，使得△PAM的面積、△PBN的面積與矩形PMCN的面積同時(shí)相等？請說出你的判斷，并加以說明.思路點(diǎn)撥：（1）由勾股定理易得AB===10.（2）由題意知2（MC+CN）=AC+BC,∴MC+CN=(AC+BC)=AC+BC=4+3,即點(diǎn)M、N分別是AC、BC的中點(diǎn),AM=4,PM=3.由勾股定理可得x==5.（3）有兩種判斷方法：用證全等與面積計(jì)算的方法判斷或單用計(jì)算的方法判斷.方法一：∵PM⊥AC，PN⊥BC，∴∠AMP=∠PNB=90°.∵AC△AMP∽△PNB,∴當(dāng)P為AB中點(diǎn),即AP=PB時(shí),△AMP≌△PNB.∴此時(shí)S△AMP=S△PNB=×AM×MP=×4×3=6,而S矩形PMCN=PM×MC=4×3=12.∴不存在能使得△PAM的面積、△PBN的面積與矩形PMCN的面積同時(shí)相等的x的值.方法二：∵PM⊥AC，PN⊥BC，∠AMP=∠PNB=90°.∵在