專題二、分式不等式的解法

S.S.（一）分式不等式：①（x）為整式且中（x）W0①（x）為整式且中（x）W0）的不等式稱為分式不等式。型如祈＞°或祈＜0（其中以x）、（2）歸納分式不等式與整式不等式的等價轉(zhuǎn)化：（1）f(x)

叭x)>00f(x).叭x)>0f(x)⑶ <0=f(x)7(x)<0(3叭x)（（2）fx之0o[f(x )之0①(x) I ①(x)牛0f(x)<0cIf(x)2(x)V0(4)底x)—I 3(x)牛0（3）小結(jié)分式不等式的解法步驟：（13移項(xiàng)通分，不等式右側(cè)化為“0”，左側(cè)為一分式（23轉(zhuǎn)化為等價的整式不等式（33因式分解，解整式不等式（注意因式分解后，一次項(xiàng)前系數(shù)為正3（13分式不等式的解法：解關(guān)于x解關(guān)于x的不等式>0方法一：等價轉(zhuǎn)化為：方法二：等價轉(zhuǎn)化為：方法一：等價轉(zhuǎn)化為：方法二：等價轉(zhuǎn)化為：(x+1)(3x-2)>0x+(x+1)(3x-2)>03x-2>0或|3x-2<0x+1變式一：37-2-0J(x+1)(3x-2)>0等價轉(zhuǎn)化為：;3x-2豐0比較不等式3x-比較不等式3x-2V0的解集。（不等式的變形，強(qiáng)調(diào)等價轉(zhuǎn)化，分母不為零3練一練：解關(guān)于x的不等式1x 2⑴——>0 (2) <3x—5 3—5x例1、解關(guān)于x的不等式:解：x例1、解關(guān)于x的不等式:解：x—2—2(x+3)

x+3>0即，>0<0（保證因式分解后，保證一次項(xiàng)前的系數(shù)都為正）等價變形為：(x+8)(x+3)<等價變形為：(x+8)(x+3)<0x+3中0?二原不等式的解集為L8,-3）例2、解關(guān)于x不等式方法一：x2+2x+3恒大于0,利用不等式的基本性質(zhì)方法二：移項(xiàng)、通分，利用兩式同號、異號的充要條件，劃歸為一元一次或一元二次不等式。例3、解關(guān)于x的不等式:a解：移項(xiàng)——1>0

xa—xx—a通分>0即，<0xx等價轉(zhuǎn)化為，x等價轉(zhuǎn)化為，x(x—a)<0x牛0當(dāng)a>0時，原不等式的解集為（0，a]當(dāng)a<0時，原不等式的解集為[a，0）當(dāng)a=0時，原不等式的解集為0

1.一元二次不等式與特殊的高次不等式解法例1解不等式(％+4)(x-1)<0.分析一：利用前節(jié)的方法求解;分析二：由乘法運(yùn)算的符號法則可知，若原不等式成立，則左邊兩個因式必、「x-1>0 1x-1<0須異號，..?原不等式的解集是下面兩個不等式組：《 /八與《 /八的解集[x+4<0 [x+4>0…|x-1>0、 ，，|x-1<0、一「一一、一，…一的并集,即便]x+4<0W{x1]x+4>0iUWWWW/x1}.書寫時可按下列格式:解二：,/(x-1)(x+4)<0解二：,/(x-1)(x+4)<0oox€?；?4<x<1o-4<x<1,.?.原不等式的解集是儀卜4Vx<1}.小結(jié)：一元二次不等式ax2+bx+c>0(或ax2+bx+c<0)(a豐0)的代教解法：設(shè)一元二次不等式ax2+bx+c>0(a中0)相應(yīng)的方程ax2+bx+c-0(a豐0)的兩根為x、x且x<x,則ax2+bx+c>0oa(x-x)(x-x)>0；TOC\o"1-5"\h\z1 11 1 2 1 2， 1 2rr/日1x-x<0,A|x-x>0, 1x<x,—1x>x,①若a>0，則得| 1:或1 1二W 1，或I 1，Ix-x<0,Ix-x>0.Ix<x,Ix>x.12 12 12【2當(dāng)x<x時，得x<x或x>x；當(dāng)x=x時，得xGR,且x豐x.11 2」'1, 1人2；,1 24,4 1.rr/日1x-x<0,A|x-x<0, 1x<x,A|x<x,②若a<0,則得I 1=或I 1:n〈Y或IYIx-x2>0, Ix-x2>0. Ix>x2,Ix>x2.當(dāng)x1<x2時，得x1<x<x2；當(dāng)x1=x2時，得xG0.分析三：由于不等式的解與相應(yīng)方程的根有關(guān)系，因此可求其根并由相應(yīng)的函數(shù)值的符號表示出來即可求出不等式的解集.解：①求根：令僅-1)低+4)=0,解得乂(從小到大排列)分別為-4,1,這兩根將乂軸分為三部分：(-8,-4)(-4,1)(1,+8)；②分析這三部分中原不等式左邊各因式的符號(-8,-4)(-4,1)(1,+8)x+4-++x-1--+(x-1)(x+4)+-+③由上表可知，原不等式的解集是{x|-4<x<1}.例2：解不等式：(x-1)(x+2)(x-3)>0；解：①檢查各因式中乂的符號均正；②求得相應(yīng)方程的根為：-2,1,3；③列表如下：-2 1 3x+2-+++x-1--++x-3---+各因式積-+-+④由上表可知叫原不等式的解集為：{x|-2<x<1或乂>3}.小結(jié)：此法叫列表法,解題步驟是：

①將不等式化為僅詼）僅，）…低，）>0（<0）形式（各項(xiàng)x的符號化“+”，12 n令僅，1）低，2）…（x-xn）=0,求出各根，不妨稱之為分界點(diǎn)，一個分界點(diǎn)把（實(shí)數(shù)）數(shù)軸分成兩部分，n個分界點(diǎn)把數(shù)軸分成n+1部分 ；②按各根把實(shí)數(shù)分成的n+1部分，由小到大橫向排列，相應(yīng)各因式縱向排列（由對應(yīng)較小根的因式開始依次自上而下排列）；③計算各區(qū)間各因式的符號，下面是乘積的符號；④看下面積的符號寫出不等式的解集.{x|-1<x<0或2<x<3}.思考：由函數(shù)、方程、不等式的關(guān)系，能否作出函數(shù)圖像求解例2圖{x|-1<x<0或2<x<3}.思考：由函數(shù)、方程、不等式的關(guān)系，能否作出函數(shù)圖像求解例2圖練習(xí)圖直接寫出解集：{x|-2<x<1或x>3}.{x|-1<x<0或2<x<3}在沒有技術(shù)的情況下：可大致畫出函數(shù)圖星求解，稱之為串根法①將不等式化為僅，1）僅，2）…僅，。）>0（<0）形式，并將各因式x的系數(shù)化“+”；（為了統(tǒng)一方便）②求根，并在數(shù)軸上表示出來；③由右上方穿線，經(jīng)過數(shù)軸上表示各根的點(diǎn)（為什么？）

④若不等式仆的系數(shù)化“+”后）是“>0”,則找“線”在x軸上方的區(qū)間;若不等式是“<0”,則找“線”在乂軸下方的區(qū)間.ZA/7\ /注意：奇穿偶不穿例3解不等式：（x-2）2（x-3）3（x+1）<0.解：①檢查各因式中乂的符號均正；②求得相應(yīng)方程的根為：-1,2,3（注意：2是二重根，3是三重根力③在數(shù)軸上表示各根并穿線，每個根穿一次（自右上方開始），如下圖:④「.原不等式的解集為：{x|-1<x<2或2<乂<3}.說明：；3是三重根，「.在C處穿三次，2是二重根，「.在B處穿兩次，結(jié)果相當(dāng)于沒穿.由此看出，當(dāng)左側(cè)電）有相同因式低，小時，門為奇數(shù)時，曲線在乂1點(diǎn)處穿過數(shù)軸；n為偶數(shù)時，曲線在乂1點(diǎn)處不穿過數(shù)軸，不妨歸納為“奇穿偶不穿”.練習(xí)：解不等式：（x-3）（x+1）（x2+4x+4）<0.解：①將原不等式化為：儀-3）僅+1）僅+2）2<0；②求得相應(yīng)方程的根為：-2（二重），-1,3；③在數(shù)軸上表示各根并穿線，如圖：f/、————乙-2-1 --- --^3 ,④.?.原不等式的解集是儀|-1<x<3或乂=-2}.

說明：注意不等式若帶“=”號，點(diǎn)畫為實(shí)心，解集邊界處應(yīng)有等號；另外，線雖不穿-2點(diǎn)，但乂=-2滿足“=”的條件，不能漏掉.2．分式不等式的解法x3例4解不等式：x不7<0.錯解：去分母得x-3<0「.原不等式的解集是{xlx<3}.解法1：化為兩個不等式組來解：x—3 Ix—3>03Ix—3<0 <004 或< o乂€?；蛞?<x<30—7<x<3,x+7Ix+7<0Ix+7>0.?.原不等式的解集是{xl—7<x<3}.解法2：化為二次不等式來解：<00<00(x—3)(x+7)<0x+7豐00—7<x<3，.?.原不等式的解集是％1—7<x<3}說明：若本題帶“=”，即僅-3)僅+7)<0,則不等式解集中應(yīng)注意乂豐-7的條件，解集應(yīng)是僅|-7<x<3}.小結(jié)：由不等式的性質(zhì)易知：不等式兩邊同乘以正數(shù)，不等號方向不變；不等式兩邊同乘以負(fù)數(shù)，不等號方向要變；分母中有未知數(shù)乂，不等式兩邊同乘以一個含乂的式子，它的正負(fù)不知，不等號方向無法確定，無從解起，若討論分母的正負(fù)，再解也可以，但太復(fù)雜.因此，解分式不等式，切忌去分母.f(x)解法是：移項(xiàng)，通分，右邊化為0,左邊化為十二的形式.g(x)x2—3x+2例5解不等式： <0.x2—2x—3

x23x23—3x+2解法2：< <0oX2-2X-3(X2—3X+2)(X2—2X—3)<0ox2—2x—3中0](x-1)(X—2)(x—3)(X+1)<0"x-3)(X+1)豐0 ，.??原不等式的解集為{x|-1<x<1或2<x<3}.X-3練習(xí)：1.課本PT練習(xí)：3⑴⑵；2.解不等式一->2.21 x+5答案：1.⑴{x|-5<x<8}；⑵儀卜<-4,或乂>-1/2}；2.{x|-13<x<-5}.2-4X練習(xí)：解不等式： >x+1.(答：{x]x<0或1<乂<2})3.2x2+3X—7不等式工TTN1的解集是X3.2x2+3X—7不等式工TTN1的解集是X—1 X+14.不等式右＜X-i的解集是5.29—x—x2不等式下k＜1的解集是x2—3X+2八6.不等式KZ12>°的解集梟7.X2+X r不等4小口＜1的解"2x—18.不等式工＞1的解集是9.29.2x—3不等式目＜2的解集是X2—110.不等式(X2+1)(X-1)<xx2+3x+1_ 3x+1 .1.不等式^——-一->0的解集是 2.不等式[一>—1的解集是 X2+X X2+Xr11.不等式F=6<°的解集是——12.不等式4<1的解集是——3x+x 113.不等式E1>2的解集是——14.不等式E>1的解集是——15.(2