晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)

晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)第1頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五3.1一維單原子鏈3.1.1運動方程3.1.2格波頻率與波矢關(guān)系3.1.3晶格振動的色散關(guān)系3.1.4周期邊界條件第2頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五3.1.1運動方程(1)模型：一維無限長的單原子鏈，原子間距(晶格常量)為a，原子質(zhì)量為m。第n個原子第n-2個原子第n-1個原子第n+1個原子第n+2個原子a

Xn-2Xn-1

XnXn+1

Xn+23.1一維單原子鏈第3頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五用xn和xk分別表示序號為n和k的原子在t時刻偏離平衡位置的位移，用xnk=xn-xk表示在t時刻第n個和第k個原子的相對位移。第n個原子第n-2個原子第n-1個原子第n+1個原子第n+2個原子a

Xn-2Xn-1

XnXn+1

Xn+2(2)振動方程和解平衡時第k個原子與第n個原子間距為兩個原子間的互作用勢能，平衡時為，第4頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五t時刻為nkx第n個與第k個原子間的相互作用力:第5頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五振動很微弱時，勢能展開式中忽略掉（r）二次方以上的高次項，只保留到(r)2項---簡諧近似。(忽略掉作用力中非線性項的近似---簡諧近似。)得:彈性恢復(fù)力系數(shù)原子的振動方程:第6頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五只考慮最近鄰原子間的相互作用，且恢復(fù)力系數(shù)相等：給出試探解：原子都以同一頻率，同一振幅A振動,相鄰原子間的位相差為aq。晶格中各個原子間的振動相互間都存在著固定的位相關(guān)系,即原子的振動形成了波，這種波稱為格波。色散關(guān)系(晶格振動譜)將試探解代入振動方程得振動頻率:推導(dǎo)略3.1.2格波頻率與波矢關(guān)系第7頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五給出試探解:第8頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五由色散關(guān)系式可畫圖如下:3.1.3晶格振動的色散關(guān)系是波矢q的周期性函數(shù),且(-q)=(q)。0m第9頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五且第10頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五故取簡約布里淵區(qū)且3.1.4.玻恩---卡門周期性邊界條件及波矢q的取值

(1)玻恩---卡門周期性邊界條件設(shè)在實際晶體外，仍然有無限多個完全相同的晶體相連接，各晶體中相對應(yīng)的原子的運動情況都一樣。第11頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五晶體中任一個原子，當(dāng)其原胞標(biāo)數(shù)增加N（N為晶體中原胞的個數(shù)）后，其振動情況復(fù)原。由N個原胞組成的單原子鏈，由玻恩---卡門周期性邊界條件:對于一維布拉維晶格(原胞標(biāo)數(shù)與原子標(biāo)數(shù)相同):整數(shù)(2)波矢q的取值第12頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五波矢也只能取N個不同的值。(共N個值)晶格振動波矢只能取分立的值波矢的數(shù)目(個數(shù))=晶體原胞的數(shù)目(3)長波極限:第13頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五由連續(xù)介質(zhì)波的傳播速度：在長波近似的情況下，晶體可視為連續(xù)介質(zhì)，格波可視為彈性波。第14頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五例1.求由5個原子組成的一維單原子晶格的振動頻率。設(shè)原子質(zhì)量為m，恢復(fù)力常數(shù)為(只考慮近鄰原子間的相互作用)。由玻恩---卡門周期性邊界條件:解:設(shè)最近鄰原子間的恢復(fù)力系數(shù)為，則:將試探解代入振動方程得色散關(guān)系:S為整數(shù)第15頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五第16頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五模型運動方程試探解色散關(guān)系波矢q范圍一維無限長原子鏈，m，a，晶格振動波矢的數(shù)目=晶體的原胞數(shù)B--K條件波矢q取值n-2nn+1n+2n-1amm第17頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五3.2一維雙原子鏈3.2.1運動方程3.2.2兩支格波的特征3.2.3聲學(xué)波和光學(xué)波3晶格振動和晶體的熱學(xué)性質(zhì)第18頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五3.2一維雙原子鏈(復(fù)式格)的振動1.運動方程和解(1)模型:一維無限長原子鏈，原子質(zhì)量為m和M，且m<M。相鄰原子間距均為a，恢復(fù)力系數(shù)為。(晶格常量為2a)2n2n-12n+12n+22n-2mM質(zhì)量為M的原子編號為2n-2、2n、2n+2、···質(zhì)量為m的原子編號為2n-1、2n+1、2n+3、···第19頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五x2nx2n-1x2n+1x2n+2x2n-2若只考慮最近鄰原子的相互作用，則有：(2)方程和解第20頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五其他原子位移可按下列原則得出:(1)同種原子周圍情況都相同，其振幅相同；原子不同，其振幅不同。(2)相隔一個晶格常數(shù)2a的同種原子，相位差為2aq。第21頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五2.色散關(guān)系上式看成是以A、B為未知數(shù)的線性齊次方程；………①………②①②第22頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五若A，B不全為零，必須其系數(shù)行列式為零，即:推導(dǎo)略0(+)-----光學(xué)支格波，A(-)-----聲學(xué)支格波

第23頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五第24頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五(1)色散曲線折合質(zhì)量第25頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五由玻恩----卡門邊界條件，設(shè)晶體有N個原胞，則：(2)波矢q的取值(共有N個值)一維雙原子鏈，每個原胞有兩個原子，晶體的自由度數(shù)是2N。由N個原胞組成的一維雙原子鏈，波矢的數(shù)目為N，頻率的數(shù)目為2N，格波(振動模式)數(shù)目為2N。第26頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五晶格振動波矢的數(shù)目=晶體的原胞個數(shù)晶格振動頻率(振動模式)的數(shù)目=晶體中原子的自由度數(shù)3.聲學(xué)波和光學(xué)波在長波近似的情況下，聲學(xué)支格波與彈性波的情況類似。(1)當(dāng)波矢q0時,推導(dǎo)略第27頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五第28頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五(2)相鄰原子的振幅之比對于聲學(xué)支格波:聲學(xué)支格波，相鄰原子都是沿著同一方向振動的。第29頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五長聲學(xué)波，相鄰原子的位移相同，原胞內(nèi)的不同原子以相同的振幅和位相作整體運動。因此，可以說，長聲學(xué)波代表了原胞質(zhì)心的運動。對于光學(xué)波:光學(xué)支格波，相鄰原子振動方向是相反的。第30頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五長光學(xué)波，原胞的質(zhì)心保持不動。所以定性地說，長光學(xué)波代表原胞中兩個原子的相對振動。光學(xué)支格波，相鄰原子振動方向是相反的。聲學(xué)支格波，相鄰原子振動方向是相同的。第31頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五可以證明，q=/2a時，在聲學(xué)支格波上，質(zhì)量為m的輕原子保持不動；在光學(xué)支格波上，質(zhì)量為M的重原子保持不動。第32頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五例2:一維無限長原子鏈，原子質(zhì)量為m和M，且m<M

?？康幂^近的兩個原子構(gòu)成一個分子。設(shè)一個分子內(nèi)兩原子平衡位置的距離為b，恢復(fù)力系數(shù)為1，分子間兩原子間的恢復(fù)力系數(shù)為2，晶格常量為a(如圖所示)。在只考慮最近鄰原子間的相互作用的情況下，求色散關(guān)系。a2n-22n2n+12n+22n-1Mmb12解:只考慮最近鄰原子間的相互作用，第33頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五將試探解代入方程得:第34頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五第35頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五據(jù)玻恩-卡門周期性邊界條件，可以確定波矢q的取值。0(+)-----光學(xué)支格波，A(-)-----聲學(xué)支格波第36頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五q可取N個值。第37頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五模型運動方程試探解色散關(guān)系波矢q范圍B--K條件波矢q取值一維問題的處理步驟:2n-22n2n+12n+22n-1Mma第38頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五晶格振動的波矢數(shù)目=晶體的原胞數(shù)N，格波振動頻率數(shù)目=晶體的自由度數(shù)，格波的支數(shù)=原胞內(nèi)原子的自由度數(shù)。一維單原子鏈，設(shè)晶體有N個原胞。原胞內(nèi)原子的自由度數(shù)=11支格波晶體的自由度數(shù)=N頻率數(shù)為N一維雙原子鏈，設(shè)晶體有N個原胞。原胞內(nèi)原子的自由度數(shù)=22支格波晶體的自由度數(shù)=2N頻率數(shù)為2N第39頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五第三節(jié)晶格振動的量子化、聲子3.3.1格波的量子理論3.3.2聲子3晶格振動和晶體的熱學(xué)性質(zhì)第40頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五晶格振動格波簡諧近似獨立的振動模式由B--K邊界條件q分立值聲子晶格振動能量量子化第41頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五3.3.1格波的量子理論xn一維單原子鏈的情況由玻恩-卡門周期性邊界條件：q可以取N個值。3.3晶格振動的量子化、聲子第42頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五根據(jù)經(jīng)典力學(xué)，系統(tǒng)的總能量為勢能U和動能T之和。則：令拉格朗日函數(shù)：推導(dǎo)略第43頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五Xn(t)是實數(shù)，(1)證明：第44頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五(2)證明：若均為整數(shù)。第45頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五第46頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五第47頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五第48頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五廣義動量：哈密頓函數(shù)：又：諧振子的振動方程第49頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五據(jù)量子力學(xué)，頻率為i的諧振子的振動能：由N個原子組成的一維單原子鏈的振動等價于N個諧振子的振動，諧振子的振動頻率就是晶格振動頻率。晶格振動能量：三維晶格振動的總能量為：其中N為晶體中的原胞個數(shù),n為每個原胞中的原子個數(shù)。第50頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五格波(晶格振動)的能量量子------聲子。晶格振動的能量是量子化的，能量單位為。3.3.2聲子聲子不是真實的粒子，稱為“準粒子”，它反映的是晶格原子集體運動狀態(tài)的激發(fā)單元。聲子只存在于晶體中，脫離晶體后就沒有意義了。1.聲子是晶格振動的能量量子，其能量為，“準動量為2.一個格波(一種振動模式)，稱為一種聲子(一個，q就是一種聲子)，當(dāng)這種振動模式處于本征態(tài)時，稱為有ni個聲子，ni為這種聲子的聲子數(shù)。第51頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五3.由于晶體中可以激發(fā)任意個相同的聲子，所以聲子是玻色型的準粒子，遵循玻色統(tǒng)計。4.當(dāng)電子(或光子)與晶格振動相互作用時，交換能量以為單位，若電子從晶格獲得能量，稱為吸收一個聲子，若電子給晶格能量，稱為發(fā)射一個聲子。在簡諧近似下，聲子是理想的玻色氣體，聲子間無相互作用。而非簡諧作用可以引入聲子間的相互碰撞，正是這種非簡諧作用保證了聲子氣體能夠達到熱平衡狀態(tài)。第52頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五第四節(jié)確定晶格振動譜的實驗方法本節(jié)主要內(nèi)容:3.4.1中子的非彈性散射3.4.2光的散射和X射線散射第53頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五3.4晶格振動譜的實驗方法實驗方法主要有中子的非彈性散射、X射線和光的散射。3.4.1中子的非彈性散射1.原理散射過程滿足能量守恒和準動量守恒。中子與晶體中聲子的相互作用中子與晶體的相互作用中子吸收或發(fā)射聲子非彈性散射晶格振動的頻率與波矢之間的關(guān)系稱為格波的色散關(guān)系，也稱為晶格振動譜。第54頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五入射中子流：從晶體中出射的中子流：為中子質(zhì)量由能量守恒和準動量守恒得：動量為能量為動量為能量為“+”表示吸收一個聲子“-”表示發(fā)射一個聲子第55頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五測出不同散射方向上的動量，固定入射中子流的動量，；中子源單色器準直器準直器樣品分析器探測器2中子譜儀結(jié)構(gòu)示意圖反應(yīng)堆中產(chǎn)生的慢中子流布拉格反射產(chǎn)生單色的動量為P的中子布拉格反射產(chǎn)生單色的動量為P的中子2.儀器第56頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五3.4.2光的散射和X-射線散射1.光的散射散射過程滿足能量守恒和準動量守恒。光子與晶體中聲子的相互作用光子與晶體的相互作用光子吸收或發(fā)射聲子非彈性散射“+”表示吸收一個聲子“-”表示發(fā)射一個聲子第57頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五和代表入射光的波矢和能量，和

代表出射光的波矢和能量。可見光范圍，波矢為105cm-1的量級，故相互作用的聲子的波矢也在105cm-1的量級，只是布里淵區(qū)中心附近很小一部分區(qū)域內(nèi)的聲子，即長波聲子。[布里淵區(qū)邊界附近波矢為108cm-1的量級](1)布里淵散射：光子與長聲學(xué)波聲子的相互作用；(2)拉曼散射：光子與光學(xué)波聲子的相互作用；第58頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五2.X-射線散射X光光子能量---104eV聲子能量---10-2eV能量變化很少，不易測量。(3)斯托克斯散射：散射頻率低于入射頻率的散射；(4)反斯托克斯散射：散射頻率高于入射頻率的散射。第59頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五第五節(jié)晶體的比熱3.5.1比熱的量子理論3.5.2愛因斯坦模型3.5.3德拜模型3晶格振動和晶體的熱學(xué)性質(zhì)第60頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五3.5晶體的比熱晶體比熱的實驗規(guī)律(1)在高溫時，晶體的比熱為3NkB(N為晶體中原子的個數(shù),kB=1.3810-23JK-1為玻爾茲曼常量)；(2)在低溫時，晶體的比熱按T3趨于零。溫度T比熱Cp3NkBT3T第61頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五下面分別用經(jīng)典理論和量子理論來解釋晶體比熱的規(guī)律。晶體的定容比熱定義為：3.6.1晶體比熱的量子理論---晶體的平均內(nèi)能晶格振動比熱晶體電子比熱通常情況下，本節(jié)只討論晶格振動比熱。第62頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五1.杜隆--珀替定律(經(jīng)典理論)根據(jù)能量均分定理，每一個自由度的平均能量是kBT,若晶體有N個原子，則總自由度為：3N。低溫時經(jīng)典理論不再適用!!!它是一個與溫度無關(guān)的常數(shù)，這一結(jié)論稱為杜隆--珀替定律。第63頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五2.晶格振動的量子理論晶體可以看成是一個熱力學(xué)系統(tǒng)，在簡諧近似下，晶格中原子的熱振動可以看成是相互獨立的簡諧振動。每個諧振子的能量都是量子化的。第i個諧振子的能量為：ni是頻率為i的諧振子的平均聲子數(shù)：第i個諧振子的能量為：第64頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五晶體由N個原子組成，晶體中包含3N個簡諧振動，總振動能為對于宏觀晶體,原胞數(shù)目N很大，波矢q在簡約布里淵區(qū)中有N個取值，所以波矢q近似為準連續(xù)的，頻率也是準連續(xù)的。第65頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五上式可以用積分來表示：間的振動模式數(shù)。表示在第66頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五3.頻率分布函數(shù)(模式密度)設(shè)晶體有N個原子,則(1)定義:其中m是最高頻率，又稱截止頻率。(2)計算因為頻率是波矢的函數(shù)，所以我們可以在波矢空間內(nèi)求出模式密度的表達式。包含在內(nèi)的振動模式數(shù)為：單位頻率間隔內(nèi)的振動模式數(shù)。第67頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五波矢密度兩個等頻率面間的體積每一支格波的振動模式數(shù)每一支格波的模式密度晶格總的模式密度兩個等頻率面間的波矢數(shù)qyqx體積元：dq：兩等頻面間的垂直距離,ds：面積元。第68頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五體積元包含的波矢數(shù)目：由梯度定義知:代入上式得第69頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五證明：(法一)例1：證明由N個質(zhì)量為m、相距為a的原子組成的一維單原子鏈的模式密度一維單原子鏈第70頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五共有N個值dq間隔內(nèi)的振動模式數(shù)為:間隔內(nèi)的振動模式數(shù)為：(因子2是因為一個對應(yīng)于正負兩個波矢q，即一個對應(yīng)兩個振動模式。)第71頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五第72頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五(式中m為截止頻率)(法二)一維單原子鏈只有一支格波，且對于一維單原子鏈波矢空間的波矢密度為3D:1D:2D:第73頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五解:例2：三維晶體，求其中c為常量，qxqy在波矢空間，等頻率面為球面，球半徑為q。第74頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五3.6.2晶體比熱的愛因斯坦模型(1)晶體中原子的振動是相互獨立的；(2)所有原子都具有同一頻率。1.模型設(shè)晶體由N個原子組成，因為每個原子可以沿三個方向振動，共有3N個頻率為的振動。2.計算(1)比熱表達式第75頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五第76頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五通常用愛因斯坦溫度E代替頻率，定義為kB

E=，愛因斯坦比熱函數(shù)。愛因斯坦溫度E如何確定呢？選取合適的E值，使得在比熱顯著改變的溫度范圍內(nèi)，理論曲線與試驗數(shù)據(jù)相當(dāng)好的符合。對于大多數(shù)固體材料，E在100300K的范圍內(nèi)。第77頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五高溫時，當(dāng)T>>E時，(1)3.高低溫極限討論第78頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五(2)低溫時，當(dāng)T<<E時，可見，愛因斯坦模型想CV以e指數(shù)形式趨近于0，比實際的T3趨于零的速度更快。

是什么原因使愛因斯坦模型在低溫時不能與實驗相吻合呢??第79頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五按愛因斯坦溫度的定義，愛因斯坦頻率E大約為1013Hz，處于遠紅外光頻區(qū)，相當(dāng)于長光學(xué)波極限。具體計算表明，在甚低溫度下，格波的頻率很低，屬于長聲學(xué)波，也就是說，在甚低溫度下，晶體的比熱主要由長聲學(xué)波決定。因此愛因斯坦模型在低溫時不能與實驗相吻合。3.6.3晶體比熱的德拜模型（1）晶體視為連續(xù)介質(zhì)，格波視為彈性波；1.模型:（2）有一支縱波兩支橫波；（3）晶格振動頻率在之間(D為德拜頻率)。第80頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五2.計算(1)模式密度表達式由彈性波的色散關(guān)系：=vq在波矢空間，等頻率面是半徑為q的球面，第81頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五模式密度為:彈性波有1支縱波、2支橫波,共3支格波。所以總的模式密度為：第82頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五(2)比熱表達式第83頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五D為德拜溫度取---德拜比熱函數(shù)第84頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五(1)當(dāng)T>>D時，x<<1，3.高低溫極限情況討論第85頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五高溫時與實驗規(guī)律相吻合。(2)低溫時，當(dāng)T<<D時，由上式看出，在極低溫度下，比熱與T3成正比，這個規(guī)律稱為德拜定律。溫度越低，理論與實驗吻合的越好。第86頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五第六節(jié)非諧效應(yīng)與熱傳導(dǎo)3.6.1熱傳導(dǎo)的物理本質(zhì)3.6.2正常過程和反常過程3.6.4晶體的狀態(tài)方程3晶格振動和晶體的熱學(xué)性質(zhì)3.6.5統(tǒng)計物理方法3.6.3熱膨脹第87頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五3.6.1熱傳導(dǎo)當(dāng)晶體中溫度不均勻時，將會有熱能從高溫處流向低溫處，直至各處溫度相等達到新的熱平衡,這種現(xiàn)象稱為熱傳導(dǎo)。(為正值)為熱傳導(dǎo)系數(shù)或熱導(dǎo)率。負號表明熱能傳輸總是從高溫區(qū)流向低溫區(qū)。晶體熱傳導(dǎo)電子熱導(dǎo)晶格熱導(dǎo)電子運動導(dǎo)熱(金屬)格波的傳播導(dǎo)熱(絕緣體、半導(dǎo)體)第88頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五(1)氣體熱傳導(dǎo)CV單位體積熱容---平均自由程熱運動平均速度放能吸能高溫區(qū)低溫區(qū)氣體分子碰撞碰撞1.微觀解釋第89頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五(2)晶格熱傳導(dǎo)晶格熱振動看成是“聲子氣體”，聲子數(shù)密度大聲子數(shù)密度小擴散低溫區(qū)高溫區(qū)CV單位體積熱容---聲子自由程聲子平均速度(常取固體中聲速)第90頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五2.討論與T的關(guān)系1)高溫時，T>>DCV單位體積熱容，---聲子自由程，聲子平均速度(常取固體中聲速)?；九c溫度無關(guān)，Cv和與溫度密切相關(guān)第91頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五(2)低溫時，T<<D因為在實際晶體中存在雜質(zhì)和缺陷，聲子的平均自由程不會非常大。對于完整的晶體，(D為晶體線度)。實際上熱導(dǎo)系數(shù)并不會趨向無窮大。低溫時：第92頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五聲子間的相互作用遵循能量守恒和準動量守恒碰撞前后系統(tǒng)準動量不變，對熱流無影響。---正常過程(N過程)；(1)---反常過程(U過程)。(2)§3.6.2正常過程和反常過程第93頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五3.6.3

熱膨脹熱膨脹：在不施加壓力的情況下，晶體體積隨溫度變化的現(xiàn)象稱為熱膨脹。假設(shè)有兩個原子，一個在原點固定不動，另一個在平衡位置R0附近作振動，離開平衡位置的位移用表示，勢能在平衡位置附近展開：01.物理圖象R0R0第94頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五（1）簡諧近似RU(r)R0兩原子間距不變，無熱膨脹現(xiàn)象第95頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五兩原子間距增大，有熱膨脹現(xiàn)象。由玻爾茲曼統(tǒng)計，原子離開平衡位置的平均位移2.理論計算（2）非簡諧效應(yīng)第96頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五(c、g均為正常數(shù)。)(1)簡諧近似：是的奇函數(shù)在簡諧近似下無熱膨脹現(xiàn)象。第97頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五(2)非簡諧效應(yīng):在非簡諧效應(yīng)下，有熱膨脹現(xiàn)象。推導(dǎo)略第98頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五第99頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五第100頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五線膨脹系數(shù)當(dāng)勢能只保留到3次方項時，線膨脹系數(shù)與溫度無關(guān)。若保留更高次項，則線膨脹系數(shù)與溫度有關(guān)。顯然，在簡諧近似下，g=0，=0。第101頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五3.6.4

晶體的狀態(tài)方程和熱膨脹由熱力學(xué)知，壓強P、熵S、定容比熱CV和自由能F之間的關(guān)系為：自由能F(T，V)是最基本的物理量,求出F(T，V)，其他熱力學(xué)量或性質(zhì)就可以由熱力學(xué)關(guān)系導(dǎo)出。1.晶體的狀態(tài)方程第102頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五晶格自由能F1=U(V)F2由統(tǒng)計物理知道：Z是晶格振動的配分函數(shù)。頻率為i的格波，配分函數(shù)為：由晶格振動決定T=0時晶格的結(jié)合能若能求出晶格振動的配分函數(shù)，即可求得熱振動自由能。第103頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五忽略晶格之間的相互作用能，總配分函數(shù)為：由于非線性振動，格波頻率i也是宏觀量V的函數(shù)，所以第104頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五第105頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五式中表示頻率為i的格波在溫度T時的平均能量，而

是與晶格的非線性振動有關(guān)與i無關(guān)的常數(shù)，稱為格林艾森數(shù)。第106頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五為晶格振動總能量。對于大多數(shù)固體，體積的變化不大，因此可將在晶體的平衡體積V0附近展開:若只取一次方項，則晶體的狀態(tài)方程(格林艾森方程)2.由狀態(tài)方程討論晶體的熱膨脹第107頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五其中K是體積彈性模量。熱膨脹是在不施加壓力的情況下，體積隨溫度的變化。上式兩邊對溫度T求導(dǎo)得：上式等號右邊第二項是非常小的量可略去，所以第108頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五格林艾森定律。（1）熱膨脹系數(shù)與格林艾森數(shù)成正比。對于簡諧近似，=0，無熱膨脹現(xiàn)象。熱膨脹是非簡諧效應(yīng)，可作為檢驗非簡諧效應(yīng)大小的尺度，同樣也可用作檢驗非簡諧效應(yīng)的尺度。實驗測定，對大多數(shù)晶體，值一般在1～3范圍內(nèi)。（2）熱膨脹與熱振動成正比，所以熱膨脹系數(shù)與晶體熱容量成正比。第109頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五3.6.5

統(tǒng)計物理方法采用簡諧近似，當(dāng)溫度較高，簡諧近似理論不能解釋熱膨脹第110頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五考慮非諧效應(yīng)，第111頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五第三章晶格振動總結(jié)晶體的非簡諧效應(yīng)晶體比熱確定晶