連續(xù)分段函數(shù)不定積分的求法

Vol.11,No.Nov.,

STUDIESINCOLLEGEMATHEMA 3余英 (南昌航空大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué) 江西南 摘要 對(duì)連續(xù)分段函數(shù)的不定積分進(jìn)行比較深入的研究,通過(guò)構(gòu)造例子,闡述連續(xù)分段函數(shù)不定積分的四種求法,即狹義上限函數(shù)法廣義上限函數(shù)法方程(組)法和差分方程法.連續(xù)函數(shù);分段函數(shù);不定積分 現(xiàn)忽視區(qū)間產(chǎn)生分段點(diǎn)處所求原函數(shù)不連續(xù)的情況.文[1]了下列不定積分的錯(cuò)誤解法:∫1-sin2xdx=|sinx-cosx|dx=(sinx-cosx)dx=±(sinx+cosx)+1sinx+cosx+C 1∫1-sin2xdx

5π(k∈Z)-sinx-cosx+C2,2kπ+4<x≤2kπ+4由可導(dǎo)必連續(xù),記C1=C,解得C2= +C,所sinx+cosx+ 2kπ-3π<x≤2kπ+π ∫1-sin2xdx

π<

(k∈Z)-sinx-cosx+C+22 4 4x=2kπ-

) 有無(wú)窮多段,而每段上積分常數(shù)都可能有所不同,因此要用與段數(shù)個(gè)數(shù)相當(dāng)?shù)姆e分常數(shù)來(lái)表示不定積分(2)確定積分常數(shù)的方法不正確.要用所有的分段點(diǎn)來(lái)確定積分常數(shù)僅用部分分段點(diǎn)確定的間的關(guān)系求出不定積分的方法1該方法也適用于一般函數(shù)的不定積分1仿閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的上限函數(shù)為其原函數(shù)的證明2-3]它是上限函數(shù)法的理論基礎(chǔ).定 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù),x0∈I或?yàn)镮的端點(diǎn),xf(x)dx=x0f(x)dx+ 3收稿日期:2006-05-02修改稿:2008-09- 200811特別地,fxI上的連續(xù)分段函數(shù)時(shí),

,Fx)

x

ftdt據(jù)上述定理就可以得出連續(xù)分段函數(shù)的不定積分F(x)在求下一段原函數(shù)時(shí)利用上一段原函數(shù)F(x)在該段起點(diǎn)的值可簡(jiǎn)化求解過(guò)程1 fx)Ix0則按(1)fx)Ix-2k 2k≤x<2k+1 求不定積分fxdxfx)例

2-x+2k 2k+1≤x<2k+2

(k∈Z) f(x)是以2為周期在(-∞,+∞)上連續(xù)的周期函數(shù).取x0=0,由 |1+(2x

1)|1

=100f(x)dx=0(x-0)dx+1(2-x)dx= 02kx<2k+1fx) (x-2k)F(x)=

f(x)dx=

f(x)dx

2

(t-2k)dt=k+(

-2kt)|

+kk2k+1x<2k+2k (x-2k-2)F(x)

f(x)dx=kf(x)dx

(t-2k)dt

(2-t+2k)dt=

+k+ (02k)

2

2k+所以fxdx=

+k+ 2k≤x<2k+1-(x-2k-2) +k+1+ 2k+1≤x<2(k+1)x x≤0

(k∈Z)例 求不定積分f(x)dx,其中f(x) ln(1+x) 0<x≤e-1cos(x-e+1) x>e- x f(x)在(-∞,+∞)上連續(xù),取x0=0.則當(dāng)x≤0時(shí),F(x)=0tdt=2xx0<x≤e-1,Fx)0ln(1+tdt=x+1ln(1+x)-xxx>e-1,Fx)=F(e-1)+e-1cost-e+1dt=sinx-e+1)+12+ x≤0所 f(x)dx

(1+x)ln(1+x)-x+ 0<x≤e-1sin(x-e+1)+1+ x>e-1設(shè)f(x)為區(qū)間I上的連續(xù)分段函數(shù),x0為I的端點(diǎn)且x0 I.若f(x)在I上可積,則按(1)式就可以求出f(x)在I上的不定積分.這種方法稱為廣義上限函數(shù)法,僅適用于無(wú)窮區(qū)間或開區(qū)數(shù)(即原函數(shù))就是這種情形的特例.例 求不定積分f(x)dx,其中f(x)

1<x≤213- 2<x<3-116 f(x)僅在開區(qū)間(1,3)上連續(xù).取x0=1(或?yàn)?亦可), F(x)=x

=t-1d

x=|1x|1

x-1 =4- 3

<x≤2)F(x)=F(2)

3-td

=2- | x (2<x<3)x-f(x)dx=F(x)+C + 1<x≤x-4- 3-x+ 2<x<34[4 求不定積分f(x)dx,其中f(x) 1-|x| -1≤x≤1 0 其他 當(dāng)x<-1時(shí),F(x)

-

f(t)dtx

0·dt=0- -1x<0,Fx)=F-1)

-

(1+t)dt=0+(t+t)| -1=

+x+120x≤1,Fx)=F(0)

x(1-t)dt=2

+(t-t2)|

=-

+x+12xx>1,Fx)=F(1)+00·dt=21

x<-1f(x)dx=F(x)+C

+x+2+ -1≤x<0 2+x+2+ 0≤x<1+1 xΕ分段求積法就是先求出分段連續(xù)函數(shù)各段上的不定積分,再根據(jù)原函數(shù)在各段間的連續(xù)性確定. 方程(組)fxIn,n+1意常數(shù)之間的n個(gè)方程,通過(guò)解方程組)就可以確定任意常數(shù)之間的關(guān)系,求出不定積分.這種求連續(xù)分段函數(shù)不定積分的方法稱為方程(組)法.例5[5 求不定積分M3(x)dx,其中M3(x)是三次樣條函數(shù),0 xΕ2M3(x)

-x3 + -2x2

4 x2 3-x2

0≤x<1M3(-x)當(dāng)≤ (

(

x<0x2x3

4 ≤ -2 ,M3x=0; -2<x -1 ,M3x=6+x() M3 =-2-x+3

+2x+3 -1< 2008113C1 x≤-23x4+

+x2+4

+C2 -2<x≤-1M3(x)dx

26-3+3+C3 -1<x≤0 28x -3+3+C4 0<x≤1x

+3-x+

+43

+C5 1<x≤2 x>C2-C1=2 C3-C2=-1 C4-C3=0 C5-C4=-1 C6-C5=2 記C1=C,解得C2=2+ C3=C4=13+ C5=3+ C6=25+ 3 x≤-2 3x4

3+x+4x+ 2x

+ -2<

≤-1 所 M3(x)dx

-6

3+3+24+ -1<x≤02 8-3+3+24+ 0<x≤1x3x -24

-x

+4x+

+ 1<

≤225+ x>2. fxIn那么按分段求積法可以得到任意常數(shù)之間的n個(gè)差分方程,通過(guò)解差分方程就可以確定任意常數(shù)之間的關(guān)系,求出不定積分.這π例6[1 求不定積分∫1-sin2xdπ 1-sin2xdx |sinx-cosx|dx=2|cos(x+)|dx (x+π)dx=2sin(x+π)+C1k 2kπ-3π≤x<2kπ+ os(x+π)dx= 2sin(x+π)+C2k 2kπ+π≤x<2kπ+π4π利用原函數(shù)x2kπ-

2kπ+

4 4處的連續(xù)性C2k-C1k=22 C1k=C2k-1+222故C2k-C2k-1=42,此為一階差分方程.記C20=C,解得C2k=4 +C,于222222C1k=4(k- +C+ =(4k- +1162[(4k-2)+sin(x+π)]+ 2kπ-3π<x≤2kπ+∫1-sin2xdx (k∈Z)2[4k-sin(x+π)]+ 2kπ+π<x≤2kπ+ sinx 2kπ≤x<2kπ+2cosx+1 2kπ+π≤x<(2k+2例 求不定積分f(x)dx,其中f(x)

sinx (2k+1)π≤x<2kπ

f(x)dx

cosx-1 2kπ+3π≤2<2(k+2-cosx+C1k 2kπ≤x<2kπ+2x+sinx+C2k 2kπ+π≤x<(2k+2-cosx+C3k (2k+1)π≤x<2kπ+2-x+sinx+C4k 2kπ+3π≤x<2(k+利用原函數(shù)在x=2kπ,2kπ+π,(2k+1)π和2kπ+

C1

-C2

=2kπ+π+1 2處的連續(xù)性 C1k-C4k-1=1-2kπ,C3k-C2k=(2k+1)π-1,C4k-C3k=2kπ+3π1C4k-C4k1=2此為一階差分方程C40=CC4k=2kπ+C于C3k=C-3π-1 C2k=C-2kπ- C1k=C+1- -cosx+1-2π+ 2kπ≤x<2kπ+2x+sinx-2kπ-5π+ 2kπ+π≤x<(2k+ 所 f(x)dx -cosx-2-1+ (2k+1)π≤x<2kπ+2-x+sinx+2kπ+ 2kπ+3π≤x<2