高等幾何(第六章)

高等幾何在這一章我們將用射影幾何里的一些概念來研究二次曲線的仿射性質(zhì)和度量性質(zhì)。仿射變換與射影變換的最大區(qū)別在于前者保持無窮遠直線不動，而后者則無此性質(zhì)，故無窮遠直線在我們研究仿射性質(zhì)中起著至關(guān)重要的作用。第六章二次曲線的仿射性質(zhì)和度量性質(zhì)理論二階曲線與無窮遠直線的交點：§1二階曲線與無窮遠直線的位置關(guān)系A(chǔ)33＜0，有兩個不同的實交點,雙曲型曲線;A33=0，有兩個重合的實交點,拋物型曲線;A33＞0，有兩個不同的虛交點,橢圓型曲線.2.1二次曲線的中心定義2.1無窮遠直線關(guān)于二次曲線的極點稱為二次曲線的中心?！?二階曲線的仿射性質(zhì)二次曲線的中心是仿射不變的。二次曲線的中心坐標：解析幾何中關(guān)于中心的定義：如果點C是二次曲線的通過它的所有弦的中點，那么點C稱為該二次曲線的中心。ABC點C平分二次曲線的所有弦，于是C的共軛點均為無窮遠點，其共軛點的軌跡即為無窮遠直線，從而點C的極線是無窮遠直線，換句話說，點C是無窮遠直線的極點。設(shè)點C是無窮遠直線的極點，AB是任一條經(jīng)過點C的一條弦。于是(AB,CP)=-1,從而C平分AB，AB是任意的，故點C平分二次曲線的所有弦。P定理2.1雙曲線、橢圓各有唯一的中心，且為普通點，拋物線的中心為無窮遠點。二次曲線的中心坐標：例1.判定二次曲線：x12-2x1x2+x22-2x1x3+x2x3-x32=0的類型，并求出它的中心。定義2.2無窮遠點關(guān)于一個二次曲線的有窮極線稱為此二次曲線的直徑。由定義，直徑的極點是無窮遠點。2.2直徑與共軛直徑直徑就是過中心的有窮直線。無窮遠點在無窮遠直線上，由配極原則，無窮遠點的極線通過無窮遠直線的極點，即直徑過中心.拋物線的中心是無窮遠點，故拋物線的直徑相互平行。解析幾何中關(guān)于直徑的定義：二次曲線一組平行弦的中點的軌跡叫做這個二次曲線的直徑。定義2.2與解析幾何中關(guān)于直徑的定義是一致的。無窮遠點的有窮極線即為無窮遠點的調(diào)和共軛點的軌跡，它自然平分該無窮遠點方向上的平行弦。二次曲線平行弦的中點的軌跡即為該方向上的無窮遠點的調(diào)和共軛點的軌跡，它就是該無窮遠點的極線。定義2.3二次曲線的直徑與無窮遠直線交點的有窮極線稱為該直徑的共軛直徑。換言之，二次曲線的直徑上的無窮遠點的有窮極線稱為該直徑的共軛直徑。由共軛直徑的定義以及配極原則知共軛直徑經(jīng)過中心以及直徑的極點。二次曲線的直徑的共軛直徑就是該直徑的極點(一個無窮遠點)與中心的連線。作業(yè)：P1361(1)(2)、4定義2.1無窮遠直線關(guān)于二次曲線的極點稱為二次曲線的中心。定義2.2無窮遠點關(guān)于一個二次曲線的有窮極線稱為此二次曲線的直徑。定義2.3二次曲線的直徑上的無窮遠點的有窮極線稱為該直徑的共軛直徑。由共軛直徑的定義以及配極原則知共軛直徑經(jīng)過中心以及直徑的極點。二次曲線的直徑的共軛直徑就是該直徑的極點(一個無窮遠點)與中心的連線。拋物線的直徑上的無窮遠點為中心，其極線是無窮遠直線，故拋物線的直徑?jīng)]有共軛直徑。直徑與共軛直徑的關(guān)系是相互的。一直徑的方向與該直徑的共軛直徑的方向(該直徑的極點的方向)稱為一對共軛方向。注意拋物線的情形。例：過一直徑兩端點的切線平行于該直徑的共軛直徑。ABP過一直徑兩端點的切線的交點為該直徑的極點即為一個無窮遠點。由于該無窮遠點是那條直徑的極點，故它的方向就是那條直徑的共軛直徑的方向。定理2.2與有心二次曲線一直徑平行的一組弦，被且僅被它的共軛直徑所平分。有心二次曲線的平行弦，被且僅被平行弦中點的軌跡平分；平行弦中點的軌跡即是平行弦方向的無窮遠點的共軛點的軌跡（平行弦方向的無窮遠點的極線）；與有心二次曲線一直徑平行的平行弦，被且僅被該直徑的共軛直徑所平分。我們討論兩直徑成為共軛直徑的條件。設(shè)一直徑p是無窮遠點(1,k,0)的極線，另一直徑q是無窮遠點(1,k/,0)的極線,問k,k/滿足什么條件時，p,q成為共軛直徑?直徑p的方程：當(dāng)且僅當(dāng)直徑q的極點(1,k’,0)就是直徑p上的無窮遠點時，p,q為共軛直徑。k/=-(a11+a12k)/(a12+a22k)。直徑p上的無窮遠點：直徑p的方程：直徑q的方程：變動k,k/得到兩個線束。直徑q是直徑p的共軛直徑：k/=-(a11+a12k)/(a12+a22k)，即a11+a12(k+k/)+a22kk/=0，于是對于中心二次曲線而言，直徑p與其共軛直徑q之間的對應(yīng)是一個對合對應(yīng)。例1.判斷二次曲線x12+2x1x2+2x22+4x1x3+2x2x3+x32=0的類型，求其中心，以及過點(1,1,1)的直徑及其共軛直徑。例2.求二次曲線x2-y2+3x+y-2=0的平分與直線2x+y=0平行的弦的直徑的方程。定理2.2與有心二次曲線一直徑平行的一組弦，被且僅被它的共軛直徑所平分。即求方向為(1,-2,0)的直徑的共軛直徑，從而所求共軛直徑的極點為(1,-2,0)。例3.如果一個平行四邊形內(nèi)接于一條有心二次曲線，求證它的兩條對角線是二次曲線的直徑，而且它的兩邊平行于一對共軛直徑。DACBO

三點形是一個自極三點形，作業(yè)：P1361(3)、3

定義2.1無窮遠直線關(guān)于二次曲線的極點稱為二次曲線的中心。定義2.2無窮遠點關(guān)于一個二次曲線的有窮極線稱為此二次曲線的直徑。定義2.3二次曲線的直徑上的無窮遠點的有窮極線稱為該直徑的共軛直徑。二次曲線的直徑的共軛直徑就是該直徑的極點(一個無窮遠點)與中心的連線。一直徑的極點的方向稱為該直徑的共軛方向。定義2.4二次曲線上的無窮遠點的有窮切線稱為此二次曲線的漸近線。2.3漸近線無窮遠點的有窮極線即為直徑，故漸近線是特殊的直徑，特殊性在于該無窮遠點在二階曲線上。拋物線無漸近線；雙曲線有兩條實漸近線；橢圓有兩條虛漸近線。漸近線上無窮遠點的有窮極線是它自身，故漸近線是自共軛直徑。定理2.3二次曲線的漸近線相交于中心，而且調(diào)和分離任何共軛直徑。qACBp設(shè)直徑p,q是一對共軛直徑，于是q是的極線。如何求漸近線？例1.求二次曲線x2+2xy-3y2+2x-4y=0的漸近線的方程。漸近線是自共軛直徑:a11+a12(k+k/)+a22kk/=0，k=k/a11+2a12k+a22k2=0.例2.雙曲線的任一條切線交漸近線于兩點，求證切點是此兩點所連線段的中點。tQCMP直徑C上的無窮遠點的極線為無窮遠直線的極點C與直線t的極點M的連線CM。二次曲線的漸近線調(diào)和分離任何共軛直徑。例2.求證過一定點（不在漸近線上）所作二次曲線諸弦中點的軌跡是另一條二次曲線。BAMCxpP點P是一個定點，過P任作一條弦x,弦x上無窮遠點的調(diào)和共軛點為M,當(dāng)x變動時，點在上變動，注意p是直徑，故當(dāng)變動時，p繞著中心C變動：點M是的極線p與x的交點,§3二次曲線的仿射分類本節(jié)討論在仿射變換下二次曲線的分類問題。A的秩為3：有心二次曲線、無心二次曲線。（二階曲線與無窮遠直線的關(guān)系）A的秩為2：奇異點為普通點、奇異點為無窮遠點（無窮遠直線上有無二次曲線上其他的點）A的秩為1：奇異點在一條直線上：該直線為普通直線、該直線為無窮遠直線。由上述討論，可得二階曲線的仿射分類：一對重合的普通直線：x12

0二階曲線秩為3秩為2秩為1有心二階曲線：無心二階曲線：x12

x22

+

x32

0x12

x22

-

x32

0x12

-

x22

+

x32

0x22+2x1x3=0一對重合的無窮遠直線：x32

0（實、虛、平行、相交、普通直線、無窮遠直線等5種情況）我們在引入了復(fù)元素的仿射平面上討論二次曲線的度量性質(zhì)?！?二次曲線的度量性質(zhì)在討論二次曲線的仿射性質(zhì)時，仿射不變圖形無窮遠直線起了至關(guān)重要的作用，那么正交變換下保持不變的元素除了無窮遠直線外還有什么？4.1圓點和迷向直線定義4.1共軛復(fù)點I(1,i,0)和J(1,-i,0)稱為圓環(huán)點，簡稱圓點。定理4.1一條非退化的二次曲線表示圓的充要條件是此二次曲線過兩圓點。定理4.2正交變換保持圓點不變。為什么要討論圓點呢？前者I(1,i,0)，J(1,-i,0)保持不變，后者I(1,i,0)，J(1,-i,0)分別變?yōu)镴，I.定義4.2通過圓點的普通直線叫迷向直線。通過平面上任一普通點P，有且僅有兩條迷向直線：PI與PJ。迷向直線經(jīng)過正交變換后仍為迷向直線。圓的兩條漸近線是迷向直線。虛直線是迷向直線的充要條件是該直線上任意兩有窮點間的距離為0。迷向直線何謂迷向？一條迷向直線與另一條直線的交角不存在.另一條直線與原迷向直線有相同的斜率。另一條直線與原迷向直線的斜率不同。4.2拉蓋爾定理夾角問題是度量性質(zhì)里面的一個重要問題，下面我們將用射影的觀點來考察夾角問題。拉蓋爾定理：設(shè)兩條非迷向直線的交角為，又設(shè)這兩條直線與過它們交點的兩條迷向直線所成交比為，則必有.Pl2l1IJm2m1設(shè)l1,l2的斜率分別為k1,k2,表示從l1到l2的角，兩迷向直線m1,m2的斜率分別為-i,i.推論：兩條非迷向直線垂直的充要條件是這兩條直線與過它們的交點的迷向直線調(diào)和共軛。Pl2l1IJm2m1作業(yè)：P1361(4)P1591、3定義2.4二次曲線上的無窮遠點的有窮切線稱為此二次曲線的漸近線。定義2.1無窮遠直線關(guān)于二次曲線的極點稱為二次曲線的中心。定義2.2無窮遠點關(guān)于一個二次曲線的有窮極線稱為此二次曲線的直徑。定義2.3二次曲線的直徑上的無窮遠點的有窮極線稱為該直徑的共軛直徑。定義4.1共軛復(fù)點I(1,i,0)和J(1,-i,0)稱為圓環(huán)點，簡稱圓點。定義4.2通過圓點的普通直線叫迷向直線。拉蓋爾定理：設(shè)兩條非迷向直線的交角為，又設(shè)這兩條直線與過它們交點的兩條迷向直線所成交比為，則必有.推論：兩條非迷向直線垂直的充要條件是這兩條直線與過它們的交點的迷向直線調(diào)和共軛。例1.求證一個圓弧上的圓周角相等。例2.求證圓的任何一對共軛直徑都相互垂直。例3.求證平面上垂直于同一直線的兩直線平行。4.3二次曲線的主軸、焦點、準線定義4.3二次曲線的一條直徑若平分和它垂直的平行弦，則此直徑叫主軸，主軸與曲線的有窮交點叫頂點。一直徑僅平分其共軛方向的平行弦，故主軸是與其共軛方向垂直的直徑。如果與一直徑相聯(lián)系的兩個方向相互垂直，則該直徑是主軸。拋物線有唯一的主軸，唯一的頂點，主軸是拋物線上的無窮遠點關(guān)于兩個圓點的調(diào)和共軛點的極線。JpIC若直徑p是主軸,則有：主軸是與其共軛方向垂直的直徑。一直徑的共軛方向就是該直徑的極點的方向，設(shè)拋物線的直徑p的極點為，于是的方向就是直徑p的共軛方向。唯一，故主軸唯一。圓的直徑都是主軸，除圓以外的有心二次曲線只有一對主軸，它是兩條漸近線所成角的平分線，頂點個數(shù)為4。C有心二次曲線的主軸是相互垂直的共軛直徑。對于圓，兩漸近線是迷向直線，而兩漸近線與任何一對共軛直徑調(diào)和共軛，于是任意一對共軛直徑均相互垂直，從而是主軸。aCbt1t2若不是圓，兩漸近線不是迷向直線，它們與兩主軸調(diào)和共軛，于是主軸平分兩漸近線所成的角。定義4.4