歷屆高考數(shù)學(xué)真題匯編專題6不等式

親愛的同學(xué):

經(jīng)過一番刻苦學(xué)習(xí)，大家一定躍躍欲試地展

示了一下自己的身手吧！那今天就來小試牛刀吧!

注意哦：在答卷的過程中一要認(rèn)真仔細(xì)哦！不交

頭接耳，不東張西望！不緊張！養(yǎng)成良好的答題

習(xí)慣也要取得好成績的關(guān)鍵！

祝取得好成績！一次比一次有進(jìn)步!

腫：出一＜一1尋：--------=---------叫J人（N一人廣漢匹

x2x22x

2.（江蘇卷）設(shè)a、b、c是互不相等的正數(shù)，則下列等式中不恒成立的是

111

(A)\a-b\<\a-c\+\b-c\(B)a2+—>^+-

aa

(C)\G-b\-\-------N2(D)Ja+3-J/+1wj.+2—

a-h

解：運(yùn)用排除法，C選項(xiàng)|a—例+」一N2,當(dāng)a-b〈o時(shí)不成立。

a-b

3.(江西卷)若a>0,b>0,則不等式一b<L<a等價(jià)于(

)

X

A.——<x<00<x<—B.——<x<—C.x<--Wcx>—D.x<——或x>—

baababba

x(bx+l)>0A?；騒

“=XY-一或X

x。一覺)F0

a一或NYO

a

帔D

2ex~',x<2,

4.(山東卷)設(shè)/Xx)=\'則不等式f(x)>2的解集為

,log3(x-l),x>2,

(A)(1,2)u(3,+8)(B)(V10,+°°)

(C)(1,2)u(V1O,+8)(D)(1,2)

解：令2e*T>2(x<2),解得l<x<2。令log?":-1)>2(x>2)解得xe(-J10,+°°)選

C

5.(陜西卷)已知不等式(x+y)個(gè)+?29對任意正實(shí)數(shù)x,y恒成立,則正實(shí)數(shù)a的最小值

為()

A.2B.4C.6D.8

解析：不等式(xq)(心9對任意正實(shí)數(shù)x,J?恒成立，則

xy

l+a+上+竺之a(chǎn)+2—+129,二石豈2或石W—4(舍去其所以正實(shí)數(shù)，的最小值為4,

xy

選民

6.(陜西卷)已知函數(shù)f(x)=ax"+2ax+4(0<a<3),若x!<x2,xi+x2=l—a,則()

A.f(xi)<f(x2)B.f(xi)=f(x2)C.f(xi)>f(x2)D.f(X])與f(x2)的大小不能確定

解析：函數(shù)f(^x)-ax+2C?A+4(0<<3<3),二次函數(shù)的圖象開口向上，對稱軸為x=-l,0<水3,

/.小+及二1一(-2,1),汨與X2的中點(diǎn)在(一1，—)之間，矛1<如，X2到對稱軸的距離大

2

于為到對稱軸的距離，...,選4

7.(陜西卷)已知函數(shù)f(x)=ax、2ax+4(a>0),若x〈X2,xi+x2=O,則()

A.f(xJCf(x2)B.f(x))=f(x2)C.f(X1)>f(x2)D.f(xj與f(X2)的大小不能確定

解析：函數(shù),心尸加-24-4(心0),二次函數(shù)的圖冢開口向上，對稱軸為x=-l,a>0,

x「.b=Q,Xi與工的中點(diǎn)為0,xi<x>x：到對稱軸的距離大于x：到對稱軸的距離，

危1)勺㈤，選/.

14

8.(陜西卷)設(shè)x,y為正數(shù)，則(x+y)q+,)的最小值為()

A.6B.9C.12D.15

解析：X,y為正數(shù)，(x+y)(—1+—4)21+4+v上+4—x29,送B.

xyxy

9.(上海卷)若關(guān)于X的不等式(1+左2)不?24+4的解集是M,則對任意實(shí)常數(shù)Z,總有

()

(A)2CM,OeM；(B)2gM,0gM；(C)2GM,0gM；(D)2史M,OSM.

解：選(A)

方法1：代入判斷法，將x=2,x=0分別代入不等式中，判斷關(guān)于&的不等式解集是否為

R；

方法2：求出不等式的解集：

(l+k2)xW-+

4=出4超=(小+1)+W--2nxW[(A2+l)+T_一玉n=2巧-2；

k2+lk2+lk2+lmm

10.(上海卷)如果a<0,b>0,那么，下列不等式中正確的是()

(A)-<-(B)yPa<s[b(C)a2<b2(D)\a\>\b\

ab

解：如果a<0,b>0,那么!<0,，>0,，選A.

abab

11.(浙江卷)"a>b>c”是"abV，+'”的

2

(A)充分而不必要條件(B)必要而不充分條件

(C)充分必要條件(D)既不允分也不必要條件

解析：由a>b>0能推出他<上士竺；但反之不然，因此平方不等式的條件是

a,beR.

12.(浙江卷)aa>0,b>On是“ab>0”的

(A)充分而不必要條件(B)必要而不充分條件

(C)充分必要條件(D)既不允分也不必要條件

解：由“a>0,b>ff'可推出“ab>0”，反之不一定成立，選A

13.(重慶卷)若a,b,c>0且a(a+〃c)+Z;c=4-2JJ,則2a+9c的最小值為

(A)V3-1(B)73+1(C)2M+2⑻26-2

解析：若a：dc>0且a(a+6+c)+bc=所以才+ab+ac+bc=4-26，

A-2*=az+ab+ac+bc=：(4a'+Aab+4ac+2bc+2bc)C^(4a:+4ab+4ac+2bc+b'+c:)

(2^3-2):<(la+b+cf,則(2a+6+c)52癢2,選D.

14.(重慶卷)若a,b,c>0且/+2ah+2ac+4bc=12,則a+b+c的最小值是

(A)2G(B)3(C)2(D)G

解：(a+6+c)2=a+lf+c+2ab+2ac+2bc=12+(6—c)々12,當(dāng)且僅當(dāng)6=c時(shí)取

等號，故選A

15.(上海春)若a、b、ceR,a>b,則下列不等式成立的是()

(A)(B)a2>h2.(C)—^―>—^―.(D)a\c\>b\c\.

ahc+1c'+l

解：應(yīng)用間接排除法.取a=l,b=O,?A.取a=O：b=l,排除B:取c=0,WD.故

應(yīng)該選c.顯然,對不等式3>b的兩邊同時(shí)乘以Ki,立得ATT0T7

成立.

二、填空題(共6題)

16.(江蘇卷)不等式log?('+■!■+6)43的解集為

X

x+-<2

_1X

【解析】log?*<3=log2?0《x+—+6W8,「.<

''x

x+—+6>0

解得Xw(-3-2在-3+28).{1}

17.（上海卷）三個(gè)同學(xué)對問題''關(guān)于龍的不等式/+25+I/-5/I》以在［1,12］上恒成

立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍”提出各自的解題思路.

甲說:“只須不等式左邊的最小值不小于右邊的最大值”.

乙說:“把不等式變形為左邊含變量x的函數(shù)，右邊僅含常數(shù)，求函數(shù)的最值”.

丙說:“把不等式兩邊看成關(guān)于x的函數(shù)，作出函數(shù)圖像”.

參考上述解題思路,你認(rèn)為他們所討論的問題的正確結(jié)論，即a的取值范圍是

解：由/+25+1%3—5x2Iax,l<x<12^>a<x+^+|x2-5x|,而

x+爭2卜噂=10,等號當(dāng)且僅當(dāng)x=5e［l,12］時(shí)成立；且|一一5%a0,等號當(dāng)且僅當(dāng)

x=5￡［l,12］時(shí)成立；所以，。＜［%+三+|，-5刈］疝］=10,等號當(dāng)且僅當(dāng)”=5￡口,12］時(shí)成

立；故G￡（—8,10］;

18.（天津卷）某公司一年購買某種貨物400噸，每次都購買X噸，運(yùn)費(fèi)為4萬元/次，一

年的總存儲費(fèi)用為4x萬元，要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲費(fèi)用之和最小，則工二

噸.

解：某公司一年購買某種貨物400噸，每次都購買X噸，則需要購買宏^次，運(yùn)費(fèi)為4

X

萬元/次，一年的總存儲費(fèi)用為4x萬元，一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲費(fèi)用之和為處?4+4x萬元,

X

^-4+4x^160,當(dāng)吧叫=4x即x=20噸時(shí)，一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲費(fèi)用之和最小。

xX

r4-1

19.（浙江卷）不等式上1＞0的解集是.

X—2

r-4-1

解:------->0Q(X+1)(x—2)>0<=>x<—1或x>2.

x-2

i-2x

20.（上海春）不等式/＞。的解集是

解：應(yīng)用結(jié)論：f>0?-*>0不等式號等價(jià)于（1一2x）（x-l）>0,也就是

Ix|fx4-1）<0__1<x<—____|x—1<x<—,xe^>

I2八，所以】<K<2,從而應(yīng)填1I2J.

21.（上海春）已知直線/過點(diǎn)P（2,1）,且與x軸、y軸的正半軸分別交于A、B兩點(diǎn),O為

坐標(biāo)原點(diǎn)，則三角形。AB面積的最小值為.

解：設(shè)直線1為E+A5&A。），則有關(guān)系曰+/■，對：+/='*應(yīng)

用2元均值不等式，得】一%注曙斗笠,即ab>8.于是，aoAB面積為

s=F&".從而應(yīng)填4.

三、解答題（共1題）

22.（湖南卷）對1個(gè)單位質(zhì)量的含污物體進(jìn)行清洗,清洗前其清潔度（含污物體的清潔度

污物質(zhì)量

定義為：1—）為0.8,要求洗完后的清潔度是0.99.有兩種方案可供選擇,

物體質(zhì)量（含污物）

方案甲：一次清洗；方案乙：兩次清洗.該物體初次清洗后受殘留水等因素影響，其質(zhì)量變?yōu)?/p>

a（lWa（3）.設(shè)用x單位質(zhì)量的水初次清洗后的清潔度是土土（x>?！?）,用y質(zhì)量的水

x+1

第二次清洗后的清潔度是讓竺，其中c（0.8<c<0.99）是該物體初次清洗后的清潔度.

y+a

（I）分別求出方案甲以及c=0.95時(shí)方案乙的用水量，并比較哪一種方案用水量較少；

（H）若采用方案乙，當(dāng)。為某定值時(shí)，如何安排初次與第二次清洗的用水量,使總用水量最

少?并討論。取不同數(shù)值時(shí)對最少總用水量多少的影響.

解：（I）設(shè)方案甲與方案乙的用水量分別為X與z,由題設(shè)有二12=0.99,解得x=19.

X+1

由C=0.95得方案乙初次用水量為3,第二次用水量y滿足方程：

y+O.95a=099,解得丫=然，故z=4。+3.即兩種方案的用水量分別為19與

y+a

4。+3.

因?yàn)楫?dāng)時(shí),x—z=4（4-a）>0,即x>z,故方案乙的用水量較少.

<m儂*為q”粒(i)?

v-flC?S?-10Qc)(*)

乳l-Q

TJEx-y-三~~-■-a(99-100c)-------1-1

K1-G)+G)

當(dāng)Q為garm”

當(dāng)且fl嗎」一=1000(1-0時(shí)事瓶立*時(shí)

5(1-c)

11

2-曬而合M舍卻*T-曬噸S-°9篁

將c=f皿加”-1>0-\\-2^a-a.

故時(shí)總用水■■少此時(shí)第一次與第二次用水量分更為

二病一1與二病一*.+4病-1.

這陶I曲二的值的叫蝴用水/最少總用水黛最少■總用水量

[2005高考試題】

選擇題:

冗一

1.(福建卷)不等式2上—1>0的解集是(A)

3x+l

A.{x|x<——>—}B.{x|——<x<

C.{x|x>—}D.{x|x>——}

2?(福建卷)下列結(jié)論正確的是(B)

A.當(dāng)x>0且xw1時(shí),lgx+-^—N2B.當(dāng)x>0時(shí)，6+―22

Igxyjx

C.當(dāng)xN2時(shí),x+L的最小值為2D.當(dāng)0<xW2時(shí),x—J無最大值

XX

3.(湖北卷)對任意實(shí)數(shù)a,b,c,給出下列命題：

①“4=/?”是"ac=bc”充要條件；②“。+5是無理數(shù)”是“a是無理數(shù)”的

充要條件③aa>bn是"g的充分條件；④"水5"是“a〈3”的必要條件.

其中真命題的個(gè)數(shù)是(B)

A.1B.2C.3D.4

4.(遼寧卷)6.若logglSglvO,則a的取值范圍是(C)

1+a

A.(3+8)B.(ls+x)C.(Ij)D.(0$

5.(遼寧卷)在R上定義運(yùn)算8。%=式1一。若不等式(x-a)?(x+a)<1對

任意實(shí)數(shù)x成立，則(C)

]331

A.-1<a<1B.0<a<2C.<a<—D.--<a<—

?■>)■>

6.(全國卷I)設(shè)0<a<l,函數(shù)/(xXlog*/'—2/-2),則使/(x)<0的光的取值

范圍是(B)

(A)(—oo,0)(B)(0,+g)(C)(—8,log”3)(D)(logn3,4-oo)

7.(山東卷)Ovavl,下列不等式一定成立的是(A)

(A)|log(1+a)(l-a)\+|log(1_11)(l+a)\>2(B)|log(1+a)(l-a)|<|log(1.fl)(l+a)|

?|log(1+a)(l-a)+log(I_fl)(l+a)|<|log(1+fl)(l-?)|+|log(1.a)(l+a)|

(D)|log0+a)(l-a)-log(1_fl)(l+a)\<|log(1+fl)(l-a)|-|log(1_a)(l+a)|

8.(天津卷)9.設(shè)/t*)是函數(shù)/(幻=；(優(yōu)一。-*)(。>1)的反函數(shù)，則使

成立的x的取值范圍為(A)

222

A.a-1B.(-ooa,-1-)C.(a^—-1,a)D.[a,+8)

2a2a2a

9.(天津卷)已知log】Z?<log]avlog]c,則

222

A.2b>2u>2cB.2i,>2b>2cC.2，>2b>2"D.2€>2a>2b

f|x-2|<2

10.(重慶卷)不等式組f'的解集為(C)

log,(x2-l)>l

(A)(0,V3);(B)(V3.2)；(0(54)；(D)(2,4)。

11.（江西卷）已知實(shí)數(shù)分匕滿足等式（!『=（!）"下列五個(gè)關(guān)系式：

①Ovif<a②"次0③0<a<b④⑤戶方

其中不可能成立的關(guān)系式有（B）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

埴空題：

7.（全國卷I）（13）若正整數(shù)m滿足10-<2'1屋10",則m=155.

（lg2V0.3010）

解答題：

1（湖北卷）22.（本小題滿分14分）

已知不等式!+1+…+'>'[log?磯其中〃為大于2的整數(shù)，[log?〃]表示不超

23n2

過log?"的最大整數(shù).設(shè)數(shù)列｛%｝的各項(xiàng)為正，且滿足

na

4=貼>0）,%4^^-,“=2,3,4,…

?+??-1

（I）證明<-------——,〃=3,4,5,…

"2+Z?[log2n]

（II）猜測數(shù)列｛a,J是否有極限？如果有，寫出極限的值（不必證明）；

（III）試確定一個(gè)正整數(shù)N,使得當(dāng)〃〉N時(shí)，對任意核0,都有

解：（I）證法1：:當(dāng)〃22時(shí),0<a,W'"'i,，'N*"'I=L,

〃+a,ia?叫-a,,.,n

即J-------

ana,in

工目占11、111、111、1

%q2%。23an%_[n

所有不等式兩邊相加可得-------2—I--1---1—.

anq23n

由已知不等式知，當(dāng)n23時(shí)有，-——->-[log/i].

氏42~2

/="」/+為叫〃]=2+如幅川-2b

2

anb22b"2+/>[log2n]

證法：設(shè)/(磔=

21+9++-.首先利用數(shù)學(xué)歸納法證不等式

23n

-b.

/<------------.n=3o.4.5.???

“1+/W.

+/3久3?3b

⑴當(dāng)"3時(shí),由心W-=-<——r----------=-------------

3+%」+]3-2+11+〃3乃

%2al

知不等式成立.

(ii)假設(shè)當(dāng)n=k(k>3)時(shí)，不等式成立，即4<------------

1+f(板

則人<("+皿=—<

%b

_(一+1)6_________b_b

==!

=(k+T)+(k+l)fdk)b+b1；(/(/c)|1l+/(/c+l)i

A-+1

即當(dāng)n=k-l時(shí)，不等式也成立.

由(i)、(ii)知，a?<-----------,〃=3,4,5,….

1+/(〃汝

b2b

又由已知不等式得a?<-------------------=----------------,“=3,4,5,….

l+Jlog2〃W2+叩唱川

(II)有極限，且lima“=0.

"->8

(IH)?/____弛____<___?___,令___2__<1,

2+/?[log2n][log2n]'[log2n]5'

則有l(wèi)og2n>[log2n]>10,nn>2'°=1024,

故取N=1024,可使當(dāng)n>N時(shí)，都有a“<L

5

[2004高考試題】

1.(2004年遼寧卷)對于0<。<1,給出下列四個(gè)不等式

①log“(l+a)<10g?(l+-)②log”(1+a)>logu(l+-)

aa

,l,1

③a'+"<aI+"?a'+a>aI+"

其中成立的是(D)

A.①與③B.①與④C.②與③D.②與④

2.(2004年浙江卷)設(shè)z=x-y，式中變量x和y滿足條件、［。貝Uz的最小值為

(A)

(A)l(B)-l(C)3(D)-3

3.(2004年重慶卷)不等式x+3>2的解集是(A)

x+1

A.(-L0)U(L+x)B.(-xs-l)U(0:l)

c.（-L0）U（0:l）D.（-x:-l）U（l,+x）

4.（2004年天津卷）不等式上」22的解集為（A）

x

A.[-1,0）B.[-1,+8）

C.（-OO,—1]D.（—8,—l]U（0,+<X>）

5.（2004年重慶卷）一元二次方程依2+2》+1=0,僅。0）有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根的充

分不必要條件是：（C）

A.a<0B.a>0C.a<-\D.a>1

6.（2004年重慶卷）若｛a“｝是等差數(shù)列，首項(xiàng)4>。,。2003+。2004>°，。2003.。2004<0，

則使前n項(xiàng)和S“>0成立的最大自然數(shù)n是：（B）

A.4005B.4006C.4007D.4008

7.（2004年北京卷）已知a、b、c滿足，且，那么下列選項(xiàng)中不一定成

立的是（C）

A.B.C.D.ac（a-c）<0

8.（2004年湖北卷）函數(shù)/（幻=。2+log〃a+l）在[0』上的最大值和最小值之和為a,

則a的值為(B)

A.-B.-C.2D.4

42

9.（2004年湖北卷）若,<,<0,則下列不等式①a+6；②|a|>出③a<h；

ab

④2+@>2中，正確的不等式有（B）

ab

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

10.（2004年湖南卷）設(shè)集合U={（xl）|xe&ywR],A={（xv）12x-y~m>0},

B={（xy）|x-y-?2<0}.那么點(diǎn)P（2,3）w的充要條件是（A）

A.nj>-l,n<5B.w<-Ln<5

C.w>-ls?>5D.m<-Ln>5

11.（2004年湖南卷）設(shè)a>0力>0,則以下不等式中不惇儂立的是（B）

A.（a+5）（-+-）>4B.a3+b3>2abz

ab

C.a'+^-+2N2d+2bD.Ja-b之YIQ-

12.（2004年福建卷）命題p：若a、beR,則|a|+|b|>l是1Kbi>1的充分而不必要條件：

命題q：函數(shù)y二足一11一2的定義域是（-8,—1]u[3,+8）.則（D）

A."p或q”為假B.“p且q”為真

C.pMqD.pqX

13.（2004年全國卷1）a2+b2=I,/?2+c2=2,c2+a2=2,則ab+Oc+az的最小值為

（B）

A.V3—?—B.—V3C.———V3D.?—+V3

2222

14.（2004年全國卷III）不等式運(yùn)土&<0的解集為（A）

x-3

A.{冗I%<-2,或0<x<3}B.{xI—2Vx<2,或無>3}

C.{%[%<-2,或%>0}D.{x|x<0,或九<3}

（x+I）?,x<1

15.（2004年全國卷IV）設(shè)函數(shù)f（x）={1,則使得/（x）21的自變量尤

4-Vx-l,x>l

的取值范圍為（A）

A.(-oo,-2]U[0,10]B.(-oo,-2]U[0,l]

C.(-oo,-2]U[l,10]D.[-2,0]U[1,10]

16.(2004年全國卷1\，)不等式1<卜+1|<3的解集為(D)

A.(0,2)B.(-2,0)U(2,4)C.(-4,0)D.(-4,-2)U(0,2)

17.(2004年全國卷I)不等式A-2>.V的解集是_卜xN-1｝.

18.(2004年浙江卷汜知/(幻=±；烈則不等式x+(x+2)/x+2)W5的解集是

T—

19.(2004年北京卷)在函數(shù)/(x)=ar++c中，若a,b,c成等比數(shù)列且/(0)=-4,

則f(x)有最—大值(博大喊“小”)，且該值為-3.

20.(2004年全國卷IV)某村計(jì)劃建造一個(gè)室內(nèi)面積為800m2的矩形蔬菜溫室。在溫室內(nèi)，沿

左.右兩側(cè)與后側(cè)內(nèi)墻各保留1"?寬的通道，沿前側(cè)內(nèi)墻保留3加寬的空地。當(dāng)矩形溫室的邊

長各為多少時(shí)？蔬菜的種植面積最大。最大種植面積是多少？

本小題主要考查把實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，應(yīng)用不等式等基礎(chǔ)知識和方法解決問題的

能力.

解：設(shè)矩形溫室的左側(cè)邊長為am,后側(cè)邊長為bm,則ab=800.

蔬菜的種植面積S=(a-4)3—2)=一4〃-2。+8=808—2(a+2b).

所以SW808—4y/2ab=648(〃/).

當(dāng)a=2"即a=40(/??),Z?=20(m)時(shí),S最大值=648(/?2).

答：當(dāng)矩形溫室的左側(cè)邊長為40m,后側(cè)邊長為20m時(shí)，蔬菜的種植面積最大，最大種植

面積為648m2.

21.(2004年全國卷IV)已知數(shù)列｛a“｝的前〃項(xiàng)和S”滿足S“=2a”+(-

(1)寫出數(shù)列[“｝的前三項(xiàng)a”的，%；

(2)求數(shù)列[“｝的通項(xiàng)公式；

1117

(3)證明：對任意的整數(shù)〃?>4,有一+—+???+——<-.

a4?58

本小題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和以及不等式的證明.考查靈活運(yùn)用

數(shù)學(xué)知識分析問題和解決問題的能力.

(I)解：由/=豆=2勺-1彳導(dǎo)為=1.

由.+%=.=2%+(T),得生=0-

由可+生+生=$3=2a3+(—1)、得生—2.

(II)解：當(dāng)〃22時(shí)，有

4=S「S.=2—+2?-1廣4=2磯+2x(-1產(chǎn)，

=2a+2x(―1廣’...%=2q—2.

12

所以an=2-】q+2A】x(-1)+2=2x(—1)2+???+2義(-1)

=2*-1+(-1卉(-2產(chǎn)+(-2產(chǎn)-2)］

-尸(］產(chǎn)”(-2嚴(yán)］

3

42=+(-1)、

3

經(jīng)驗(yàn)證G也滿足上式，所以/=n2"+(-1嚴(yán)］,〃2：1一

3

(III)證明：由通項(xiàng)公式得知=2.

L2-=3二一+二一

當(dāng)“23且n為奇數(shù)時(shí),

冊??+1227+12"T—1

321,-1+2"~2

=-x

222.3+2"T_2?2

1

當(dāng)相>4且〃2為偶數(shù)時(shí),

%,

—+(—+-1-)+???+(11.13,111.

+一)＜一+一(—r+r+…+——T)

a2223242"i

%a5a6a,,im

+“口二長卬一11111117

當(dāng)〃2>4目.77?為奇數(shù)時(shí)，---1----F,,?H----<----1----F???H-----1------<一.

4a5%，?4?5a?,M，+l8

1117

所以對任意整數(shù)m>4,有---1----(■…H----<一.

?4%8

22.(2004年江蘇卷)已知函數(shù)/(x)(xeR)滿足下列條件：對任意的實(shí)數(shù)x”x,都有

2

X(x,-x2)S(x,-x2)[/(xl)-/(x2)]

和|/(陽)-/區(qū))|可玉一七|,其中入是大于0的常數(shù).

設(shè)實(shí)數(shù)為，a,b滿足/(。0)=0和b="-y(a)

(I)證明入41,并且不存在瓦/劭，使得/電)=0；

22

(II)證明(b—知[<(1—A.)(a—a0)；

(HI)證明"(切2<(1_九2)[/3)]2

本小題主要考查函數(shù)、不等式等基本知識，以及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力滿

分14分.

：

證明1⑴任取U&X]=々*則由Z(Xi-X2)<(Xj-X2)[/(X1)-/(xj)]

和"X。兇Xi-毛I(xiàn)②

可知Z(X1-x,):<(再-x,"Cq)-/(x0]WXi-x：|-I/(xj-f(x。區(qū)內(nèi)-x：|:?

從而z<1,假設(shè)有瓦h(yuǎn)a。,使得/'(4)=0：則由①式知

:

o<Z(ao-do)<(ao-M/(?o)~—=0矛盾

.?.不存在％H4,使得/(%)=0.

(II)由6=。一"(。)③

可知(/?—a。)~=[a—〃()—(6?)]2=(a—4>—24(a—a0)/(〃)+》"(a)]?

2

由/(4)=()和①式，得(a-a0)/(a)=(a-a0)[/(?)-/(a0)]>A(a-a0)

⑤

由/(。。)=0和②式知，"(。)]2="=)-/(4)]2?(0_4)2⑥

2222

由⑤、⑥代入④式,得(&-a0)<(a-a0)-2^(a-a0)+^(a-a0)

=(1-尤)(。一。0)2

(in)由③式可知Lf(b)『=[/。)一/9)+〃*2

=[/⑷-〃⑼：+2/(a)[/(i)-/(a)]+[f(d)]2

<(b-a)z-2—[/(t)-/(a)]+[/(a)]2(用②式)

X

=萬[/⑷『一三("a)"S)-/(a)]+"(a)f

X

<x2[/(a):-^-z-(i-a)2+[/(tz)]:(用①式)

z

=zV(a)f-2ZV(a)f+73)?

=(1-L?(a)f

23.(2004年湖南卷)如圖，直線2]:y=依+1—H0,ZH士;)與4：>=+；相交于

點(diǎn)P.直線Z與x軸交于點(diǎn)R,過點(diǎn)R作x軸的垂線交直線右于點(diǎn)。，過點(diǎn)。作y軸的垂線交

直線乙于點(diǎn)巴，過點(diǎn)Pz作x軸的垂線交直線4于點(diǎn)/，…，這樣一直作下去，可得到一系列

點(diǎn)巳、Qi、PZ、Q2,…，點(diǎn)L(n=l,2,???)的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列｛x“｝.

(I)證明龍向—1=］區(qū)一l),〃eN*；

2K

(II)求數(shù)列｛x,J的通項(xiàng)公式；

22

(III)比較2|PPH|與4/|PR|+5的大小.

(I)證明：設(shè)點(diǎn)P。的坐標(biāo)是(x“,y”)，由已知條件得

點(diǎn)Q“、Pm的坐標(biāo)分別是:

/11、/11、

(%，，，/元“+/)，(％"+1，5芭，+]).

由P”.i在直線Ji上，得一xH——kx+1—A:.

22

所以如一1)=3「1),即…小一…*.

(H)解：由題設(shè)知再=1一,,七一1=一,。0,又由(I)知乙+尸］

kk〃+2k〃

所以數(shù)列｛居-1｝是首項(xiàng)為玉-1,公比為1-的等比數(shù)列.

2k

從而％=/尸，即覆=l-2x』)",〃€2*.

k2K2k

y=kx+1-k：

(III)解：由11得點(diǎn)P的坐標(biāo)為(b1).

V=—x+—.

*97?

所以21理『=2(4-講+2(飆+1-k—1)2=8X(士產(chǎn)+2(3)2一，

2k2k

4kzPR|:+5=U:[(1---1):+(0-l):]+5=4A::+9.

k

22

⑴當(dāng)|k|>±即k<一：或時(shí)，4kPPX|+5>l-9=10.

而此時(shí)o<—<L^T^l2,|:<8xl+2=10.fe2PP?\z<4kz\PP,:+5.

2k

:

(ii)當(dāng)OVk|<，即左e(-、.O)u(O」)時(shí),4/PPX|+5<1-9=10.

而此時(shí)二->L所以L尸￡『>8x1+2=10.故2產(chǎn)2『>4上]產(chǎn)月]+5.

2k

24.(2004年福建卷)某企業(yè)2003年的純利潤為500萬元，因設(shè)備老化等原因，企業(yè)的生產(chǎn)

能力將逐年下降.若不能進(jìn)行技術(shù)改造，預(yù)測從今年起每年比上一年純利潤減少20萬元，今

年初該企業(yè)一次性投入資金600萬元進(jìn)行技術(shù)改造，預(yù)測在未扣除技術(shù)改造資金的情況下，

第n年(今年為第一年)的利潤為500(1+1-)萬元(n為正整數(shù)).

2"

(I)設(shè)從今年起的前n年，若該企業(yè)不進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤為A“萬元，進(jìn)行技

術(shù)改造后的累計(jì)純利潤為B“萬元(須扣除技術(shù)改造資金)，求A“、B”的表達(dá)式；

(H)依上述預(yù)測，從今年起該企業(yè)至少經(jīng)過多少年，進(jìn)行技術(shù)改造后的累計(jì)純利潤超

過不進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤？

本小題主要考查建立函數(shù)關(guān)系式、數(shù)列求和、不等式的等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識