經(jīng)濟數(shù)學期末考試試卷(A卷)

經(jīng)濟數(shù)學期末考試試卷(A卷)

一、填空題(滿分15分，每小題3分)

1.設/(x)=—1—+J1—*2的定義域為

1+lnx

2.當x-0時，若Inq-ar?)與xsinx是等價無窮小量，則常數(shù)a=.

3.設/'(x0)=A,則lim/(.)-2〃)=______

〃TOh

4.設/(x)在(-oo,+oo)上的一個原函數(shù)為sin2x,則/'(幻=.

5.設/(x)為連續(xù)函數(shù)，且/(尤)=尤+2，)/(。力，則F(x)=

二、選擇題：(滿分15分，每小題3分)

sinx八

-r-n工

6.設/(x)=,兇，則在x=O處，f(x)()

1x=O

(A).連續(xù)(B).左、右極限存在但不相等

(C).極限存在但不連續(xù)(D).左、右極限不存在

Y—X

7.設/(*)=之一則函數(shù)人幻(

sinar

(A)有無窮多個第一類間斷點；(B)只有1個可去間斷點;

(0)有2個跳躍間斷點：(D)有3個可去間斷點.

8.若點(1,4)是曲線y=ax2+歷尸的拐點，則()

(A)a=6,b=—2；(B)a=—2,b=6；(C)a=b=\；(D)a=b=-2.

9.下列各式中正確的是()

(A).(Jj(x)友)'=/0)(B).df(x)=ff(x)cbc

(C).d(J7(x)公)=/(x)(D).(J"(W)

10.某種產(chǎn)品的市場需求規(guī)律為Q=800-5p,則價格p=120時的需求彈性為=()

(A).4(B).3(C).4%(D).3%

三、計算題(每小題5分，共20分)：

Yj

11.求極限：lim(---+----)

—l—x\nx

12.設lim(f二尸=8,求常數(shù)。的值.

x-*8x-a

13.設y=/nx,求力|『

x=2cosr，求今

14.設V

y=3sin，dx~

四、計算題(10分)

sinx,x<0

15.設/(幻=4

ax-\-b,x>0

(1)確定常數(shù)的值，使/(x)在x=O處可導;

(2)求了'(");

(3)問/'(X)在x=0處是否連續(xù).

五、計算題(滿分10分)

16.求不定積分：［——!——dx

J1+1

,,、r+^lnx,

17.求廣義積分：|——dx

JiX2

六、應用題(滿分20分)

18.過原點作曲線y=lnx的切線，求該切線與曲線y=lnx及x軸所圍成的平面圖形的面

積，并求該圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所成立體的體積。

19.設生產(chǎn)某產(chǎn)品的固定成本為10萬元，產(chǎn)量為x噸時的邊際收入函數(shù)為R'(x)=10x+32,

邊際成本為。'。)=-40-20無+3/。求

(1)總利泗函數(shù)；(2)產(chǎn)量為多少時，總利潤最大？

七、(滿分10分，每小題5分)證明題：

.11

°八,人上、上上j------a<x<bj

20.設/(無)在［。,句上連續(xù)且單調(diào)遞增，證明/(幻=甘_/”'」在區(qū)間

/(?),x=a

［a/］上也單調(diào)遞增.

TTTT7T

21.設/(幻在［0,,］上可導，/(-)=0,證明存在Jw(0,5),使得

/C)+tan"e)=O

答案及評分標準

一\1.(0,e-1)u(e-1,4-oo)；2.—1；3.2A：4.-4sin2x;5.x—\.

二、6.(B)；7.(D);8.(A);9.(B);10.(B).

X1、「xlnx+1-x

三、II解】Iim（T+---)=lim---------（2分）

一xInx(1-x)Inx

1

「In1—12_

lim------：---limX（5分）

—Iil-x,v->l

-Inxd----2

xXX2

cx-alaxr4ax

Y*—/7/.n--"lim------_

12.【解】因為lim(土上尸=lim(l+—2"…=e->=e2a........(3分)

x—ax-?8x-a

、3

故=8,因此Q=—ln2.....................................(5分)

2

13.【解】因3=d(/n)x)=esinxlnz(sin%ln%).........................(2分)

=esinvlnA(cosxlnx+—)d5c.................(4分)

X

所以力|x=n="叱L90s〃In"+時")dx=-ln7idx....................(5分)

TC

i.dyyr(t)3cosr3..

14.【解】—==——-=一一cotr...............................(2分x)

dxx'(t)-2s;int2

,3、,

(--cotr)

3-esc21-3

(5分)

V⑺2-2sinr4

224c

【另解】函數(shù)的隱函數(shù)方程為—■—F=1,兩邊對X求導，得--二..................（2分）

49dx4y

丫dyy———)

d2y_d,dy、9y~X^_9)(4」_81

---—(—I———?——~'?----------—'

dx2dxdx4y2------4y24y3

四、15.【解】（1）由/（x）在x=0處可導，知/（幻在x=0處連續(xù)且/'（0）存在，因此

/(0)=Um/(x),咒(。)=一(0)

x->0

因limf(x)-limf(x)-lim(ax+b)=b,/(0)=sin0=0,故。=0

x->0Xf()+x->0+

1/，。、[.ax/,/八、..f(x)-/(0)[.sinx1

又力(0)=hm八八=lim—=a,￡(0)=hm―=lim---=1

x―>0+Xx->0+Xx—>0X.r->0X

故a=l,尸(0)=力(0)=￡(0)=1,且

sinx,x<0

f(x)=<（4分）

x,x>0

(2)當x<0時，f'(x)=(sinx)(=cosx：當x<0時，/'(x)=(x)'=l

cosx,x<0

因此，f\x）=<（7分）

1,xNO

（3）因為

limf'(x)-limcosx=1,limf'(x)-lim1=1,尸(0)=1

XT。-A->0+

所以，limr（x）=7'（0）,即尸（x）在x=0處是否連續(xù).（10分）

x-?0

1X|

五、16.【解】f-----dx=\^—dx=f-----d(l+e")=ln(l+/)+C............(5分)

J1+&7J1+e*J\+ex

r+81nx,「+8,/1、Inlyr+8/1、1,八、、

17.——dx=lnxJ(——)=-----11-(——\—dx...........(3分)

JI*/yV*。J1YY*1YY

=lim--lim（—工）—（lim--1）=1..........（5分）

X—>4<OXXX—>+CC|X—>-KOX

六、18.【解】設切點為（玉）』!!/）,則由y'=,得切線的斜率為左二」-,切線方程為

x/

y-lnx0=—(x-x0)(1)

因切線過原點，將x=0,y=0代入（1）式，解得x0=e,故切點為（仇1）,切線方程為

y-lne=—（x-e）即y=-x...........（4分）

ee

該切線與曲線y=lnx及x軸所圍成的平面圖形的面積為

A=^xexl-￡lnxtZx=^-x（lnx-l）『=］一1..........（7分）

所求旋轉(zhuǎn)體的體積為

IrPerTCCce

V--7rxl2xe-j^萬lrrx<ix=7—乃x（ln~x—21nx+2）|；=2萬（I-］）.....（10分）

19.【解】由題設。有

C(x)=C(0)+J；C'⑺力=10+J；(TO-20.+3*)力=10-40x-1Of+%

R(x)=H(0)+/R(M=0+J；(10f+32)dt=5x2+32x

(1)總利泗函數(shù)為

L(x)=R(x)~C(x)=(5/+32X)-(10-40x-10x2+?)

=-10+72X+15%2-X3

(2)Z/(x)=R'(x)-C(x)=(1Ox+32)-(-40-20x+3f)=-3x2+30x+72

Z/'(x)=—6x+30

令L'(x)=0,得x=12(x=-2不合題意，舍去)，r(12)=-6xl2+30=-42<0,故

當產(chǎn)量為12噸時，總利潤最大。

七、20.【證明】因為f(x)在［a,切上連續(xù)，所以尸(幻=」-------在(a,切上連續(xù)，又

x-a