中考數(shù)學(xué)平行四邊形大題培優(yōu)及答案

一、平行四邊形真題與模擬題分類匯編(難題易錯題)1.已知，在矩形ABCD中，AB=a,BC=b，動點M從點A出發(fā)沿邊AD向點D運動.(1)如圖1,當(dāng)b=2a,點M運動到邊AD的中點時，請證明NBMC=90°；(2)如圖2,當(dāng)b>2a時，點M在運動的過程中，是否存在NBMC=90°,若存在，請給與證明；若不存在，請說明理由;(3)如圖3,當(dāng)b<2a時，(2)中的結(jié)論是否仍然成立？請說明理由.【答案】(1)見解析;(2)存在，理由見解析;(3)不成立.理由如下見解析.【解析】試題分析：(1)由b=2a,點M是AD的中點，可得AB=AM=MD=DC=a，又由四邊形ABCD是矩形，即可求得NAMB=NDMC=45°,則可求得NBMC=90°；(2)由NBMC=90°,易證得△ABM-△DMC,設(shè)AM=x,根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可得方程：x2-bx+a2=0,由b>2a,a>0,b>0,即可判定4>0,即可確定方程有兩個不相等的實數(shù)根，且兩根均大于零，符合題意;(3)由(2),當(dāng)b<2a,a>0,b>0,判定方程x2-bx+a2=0的根的情況，即可求得答案.試題解析：(1);b=2a,點M是AD的中點，AB=AM=MD=DC=a,又:在矩形ABCD中，NA=ND=90°,「.NAMB=NDMC=45°,「.NBMC=90°.(2)存在，理由：若NBMC=90°,則此AMB+NDMC=90°,又「NAMB+NABM=90°,「.NABM=NDMC,又「NA=ND=90°,「.△ABM-△DMC,AMABCD-DMxa設(shè)AM=x，則一= ab-x整理得：x2-bx+a2=0,丁b>2a,a>0,b>0,二△=b2-4a2>0,」?方程有兩個不相等的實數(shù)根，且兩根均大于零，符合題意，?.當(dāng)b>2a時，存在NBMC=90°,(3)不成立.理由：若NBMC=90°,由(2)可知x2-bx+a2=0,丁b<2a,a>0,b>0,二△=b2-4a2<0,「?方程沒有實數(shù)根，??當(dāng)b<2a時，不存在NBMC=90°,即(2)中的結(jié)論不成立.考點：1、相似三角形的判定與性質(zhì)；2、根的判別式；3、矩形的性質(zhì)2.如圖，在正方形ABCD中，E是邊BC上的一動點(不與點B、C重合)，連接DE、點C關(guān)于直線DE的對稱點為。，連接AC并延長交直線DE于點P,F是A。的中點，連接DF.(1)求NFDP的度數(shù)；(2)連接BP,請用等式表示AP、BP、DP三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；(3)連接AC,若正方形的邊長為工'：2，請直接寫出△ACC的面積最大值.【答案】(1)45°；(2)BP+DP=J2AP,證明詳見解析；(3)<2-1.【解析】【分析】1(1)證明NCDE=NC'DE和NADF=NC1DF,可得NFDP'=—AADC=45；乙(2)作輔助線，構(gòu)建全等三角形，證明△BA的△DAP(SAS)，得BP=DP,從而得△PAP是等腰直角三角形，可得結(jié)論；(3)先作高線C1G，確定△AC。的面積中底邊AC為定值2,根據(jù)高的大小確定面積的大小，當(dāng)C在BD上時，C1G最大，其△AC。的面積最大，并求此時的面積.【詳解】(1)由對稱得：CD=CD,NCDE=NCDE,在正方形ABCD中，AD=CD,NADC=90°,「.AD=CD,丁F是AC的中點，「.DF±AC,NADF=ZCDF,「.NFDP=NFDC+NEDC'=1NADC=45°；2(2)結(jié)論：BP+DP=<2AP,理由是：如圖，作AP'±AP交PD的延長線于P,「.NPAP1=90°,在正方形ABCD中，DA=BA,NBAD=90°,「.NDAP=NBAP,由(1)可知：NFDP=45°丁NDFP=90°「.NAPD=45°,「.NP=45°,「.AP=AP',在^BAP和^DAP中，<BA=DA?.?</BAP=/DAP,^AP=APp△BAP^△DAP(SAS),「.BP=DP,「?DP+BP=PP1=gAP；(3)如圖，過C作CG±AC于G，則SAACC=-AC?CG,RtAABC中，AB=BC=、2,?;AC=v;?2)2+(<2)2=2，即AC為定值，當(dāng)C1G最大值，△ACC的面積最大，連接BD，交AC于。，當(dāng)C在BD上時，C'G最大，此時G與。重合，1-CD=CD=<2，OD=~/XC=1乙???S△ACC=2AC?CG=2*2（<2T）=欄-1-【點睛】本題考查四邊形綜合題、正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題.3.如圖，ABCD是正方形，點G是BC上的任意一點，DELAG于E,BFIIDE,交AG于F.求證：AF=BF+EF.Ar G【答案】詳見解析.【解析】【分析】由四邊形ABCD為正方形，可得出NBAD為90°,AB=AD,進(jìn)而得到NBAG與NEAD互余，又DE垂直于AG,得到NEAD與NADE互余，根據(jù)同角的余角相等可得出NADE=NBAF,利用AAS可得出△ABFM△DAE；利用全等三角的對應(yīng)邊相等可得出BF=AE,由AF-AE=EF,等量代換可得證.【詳解】「ABCD是正方形，「.AD=AB,NBAD=90°-DE±AG,「.NDEG=NAED=90°「.NADE+NDAE=90°又「NBAF+NDAE=NBAD=90°,「.NADE=NBAF.「BFIIDE,

「.NAFB=NDEG=NAED.在4ABF與4DAE中，'/AFB=/AED</ADE=/BAF,、AD=AB△AB碎△DAE(AAS).「.BF=AE.;AF=AE+EF,「.AF=BF+EF.點睛：此題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，熟練掌握判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.4.如圖，在4.如圖，在△ABC中，NACB=90°,NCAB=30°,以線段AB為邊向外作等邊^(qū)ABD,點E是線段AB的中點，連接CE并延長交線段AD于點F.(1)求證：四邊形BCFD為平行四邊形；(2)若AB=6,求平行四邊形ADBC的面積.【答案】(1)見解析；(2)S平行四邊戒言3.【解析】【分析】1BE=$AB,得到1BE=$AB,得到NBCE=NEBC=60°.由(1)在RSABC中，E為AB的中點，則CE=-AB,△AE碎△BEC,得NAFE=NBCE=60°.又ND=60°,得NAFE=ND=60度.所以FCIIBD,又因為NBAD=NABC=60°,所以ADIIBC,即FD〃BC,則四邊形BCFD是平行四邊形.(2)在RSABC中，求出BC,AC即可解決問題；【詳解】解：(1)證明：在^ABC中，NACB=90°,NCAB=30°,「.NABC=60°,在等邊△ABD中，NBAD=60°,「.NBAD=NABC=60°,丁E為AB的中點，「.AE=BE,又＜NAEF=NBEC,1 1??.△AEF^△3￡^在4ABC中，NACB=90°,E為AB的中點，「.CE=AB,BE=—AB,2 2「.CE=AE,「.NEAC=NECA=30°,「.NBCE=NEBC=60°,又?「△AE碎△BEC,「.NAFE=NBCE=60°,又.「ND=60°,「.NAFE=ND=60°,「.FCIIBD,X

■:乙BAD=NABC=60°,「.ADIIBC,即FDIIBC,「.四邊形BCFD是平行四邊形；(2)解：在RtAABC中，:NBAC=30°,AB=6,「.BC=AF=3,AC=3<3,「.S平行四邊形=3x3c3=9x;3,Sacf=t7x3x3v3=9*3,s =27'.BCFD △ACF2 2 平行四邊形ADBC ?【點睛】本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)、直角三角形斜邊中線定理、等邊三角形的性質(zhì)、解直角三角形、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型.5.如圖，在正方形ABCD中，對角線AC與BD交于點O,在RSPFE中，NEPF=90°,點E、F分別在邊AD、AB上.(1)如圖1,若點P與點O重合：①求證：AF=DE；②若正方形的邊長為2、四，當(dāng)NDOE=15°時，求線段EF的長；(2)如圖2,若RSPFE的頂點P在線段OB上移動(不與點O、B重合)，當(dāng)BD=3BP時，證明：PE=2PF.人 4【答案】(1)①證明見解析，②2<2；(2)證明見解析.【解析】【分析】(1)①根據(jù)正方形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可證得：△AO碎△DOE根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明；②作OG±AB于G,根據(jù)余弦的概念求出OF的長，根據(jù)勾股定理求值即可；(2)首先過點P作HP±BD交AB于點H,根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)求出PE與PF的數(shù)量關(guān)系.【詳解】(1)①證明：:四邊形ABCD是正方形，「.OA=OD,NOAF=NODE=45°,NAOD=90°,「.NAOE+NDOE=90°,丁NEPF=90°,「.NAOF+NAOE=90°,「.NDOE=NAOF,在^AOF和^DOE中，

叱OAF=/ODEoOA=OD/AOF=ZDOE△AOF^△DOE,「.AF=DE；②解：過點O作OG^AB于G,S1;正方形的邊長為2v-3,一1 —?.OG=2BC=<3,..NDOE=15°,△AO碎△DOE,..NAOF=15°,..NFOG=45°-15°=30°,，OF==2,cos/DOG?;ef=off2+oe2=2<2；(2)證明：如圖2,過點P作HP±BD交AB于點H,圖2則4HPB為等腰直角三角形，NHPD=90°,「.HP=BP,;BD=3BP,「.PD=2BP,「.PD=2HP,又「NHPF+NHPE=90°,NDPE+NHPE=90°,「.NHPF=NDPE,又:NBHP=NEDP=45°,「.△PHFs△PDE,.PFPH_1PE-Pd―2，「.PE=2PF.【點睛】此題屬于四邊形的綜合題.考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理.注意準(zhǔn)確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵.6.定義：我們把三角形被一邊中線分成的兩個三角形叫做'友好三角形〃.性質(zhì)：如果兩個三角形是“友好三角形〃，那么這兩個三角形的面積相等.理解：如圖①，在△ABC中，CD是AB邊上的中線，那么△ACD和^BCD是“友好三角形”，并且'△acd="BCD.應(yīng)用：如圖②，在矩形ABCD中，AB=4,BC=6,點E在AD上，點F在BC上，AE=BF,AF與BE交于點O.（1）求證:△AOB和^AOE是"友好三角形〃；（2）連接0口，若4AOE和^DOE是“友好三角形〃，求四邊形CDOF的面積.探究：在4ABC中，NA=30°,AB=4,點D在線段AB上，連接CD,△ACD和^BCD是“友好三角形〃，將△ACD沿CD所在直線翻折，得到△八（口，若4A'CD與^ABC重合部分的面1【答案】（1）見解析；（2）12；探究：2或2」〔【解析】試題分析：（1）利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，得到四邊形ABFE是平行四邊形，然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證得OE=OB,即可證得^AOE和^AOB是友好三角形；△AOE和^DOE是“友好三角形〃，即可得到E是AD的中點，則可以求得△ABE、△ABF的面積，根據(jù)S四邊形d矩形ABCD-2S.ABF即可求解.探究：畫出符合條件的兩種情況：①求出四邊形A'DCB是平行四邊形，求出BC和A'D推出NACB=90°,根據(jù)三角形面積公式求出即可；②求出高CQ,求出△A'DC的面積.即可求出^ABC的面積.試題解析：（1）:四邊形ABCD是矩形，「.ADIIBC,;AE=BF,

???四邊形ABFE是平行四邊形，「.OE=OB,??.△AOE和4AOB是友好三角形.:△AOE和4DOE是友好三角形，1'SAAOE=SADOE，AE=ED=：：AD=3，??△AOB與4AOE是友好三角形，,S△AOB="AOE，「△AOE^△FOB,,SAAOE-SAFOB,SAAOD-SAABF3圖1△ACD解：分為兩種情況：①如圖1，3圖1△ACD解：分為兩種情況：①如圖1，一，△BCD，1??S四邊形CDOF-S矩形ABCD-2SaABF：探究：「SAD=BD=-AB,二.沿CD折疊A和A'重合，,AD=A'D=：'AB=：'x4=2,1「△A,CD與^ABC重合部分的面積等于△ABC面積的I1111,△DOC='△ABC='△BDC='△ADC='△A'DC，,DO=OB,A'O=CO,???四邊形A’DCB是平行四邊形，,BC=A'D=2,過B作BM±AC于M,;AB=4,NBAC=30°,,BM=：'AB=2=BC,即C和M重合，「.NACB=90°,由勾股定理得：ac=「 ■ ',△ABC的面積是:'xBCxAC=：：x2x2\J=2.-；S.②如圖S.②如圖2,△acd=Sabcd1ad=bd=：'ab,???沿cd折疊a和A'重合，11aD=A'D=：'AB='x4=2,?△A'CD與八ABC重合部分的面積等于△ABC面積的I,SAdoc=Sabc=3bdc=3adc="Saa'dc'...DO=OA'，bo=co，???四邊形a'bdc是平行四邊形，A'C=BD=2,過C作CQ±AzD于Q,:A'C=2,NDA'C=NBAC=30°,1CQ=：'a'C=1,」.SAabc=2Saadc=2Saa'dc=2x：-xA'DxCQ=2x：-x2x1=2；即^ABC的面積是2或2、「〔考點：四邊形綜合題.

1.如圖，拋物線「一：'--：.二交x軸的正半軸于點4點B(二，a)在拋物線上，點C是拋物線對稱軸上的一點，連接AB、BC,以AB、BC為鄰邊作MBCD,記點C縱坐標(biāo)為n,(1)求a的值及點A的坐標(biāo)；(2)當(dāng)點D恰好落在拋物線上時，求n的值；(3)記CD與拋物線的交點為E,連接AE,BE，當(dāng)△AEB的面積為7時，【答案】(1)‘IA(【答案】(1)‘IA(3,0)；(2)(3)運用(3)運用△AEB的面積為7,列式計算即可得解.試題解析：(1)當(dāng)‘二時，【解析】試題解析：(1)把點B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可求出a的值，令片0即可求出點A的坐標(biāo).(2)求出點D的坐標(biāo)即可求解;由「以二得」“(舍去)，'二；(1分)「.A(3,0)(2)過D作DGL」軸于G,BH，’軸于H.「CDIIAB,CD=AB.(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖①，在等邊三角形ABC中，點M為BC邊上異于B、C的一點，以AM為邊作等邊三角形AMN,連接CN,NC與AB的位置關(guān)系為；(2)深入探究：如圖②，在等腰三角形ABC中，BA=BC,點M為BC邊上異于B、C的一點，以AM為邊作等腰三角形AMN,使NABC=NAMN,AM=MN,連接CN,試探究/ABC與NACN的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)拓展延伸：如圖③，在正方形ADBC中，AD=AC,點M為BC邊上異于B、C的一點，以AM為邊作正方形AMEF,^N為正方形AMEF的中點，連接CN,若BC=10,CN八‘2,試求EF的長.A圖1 圉2 圖3 E【答案】(1)NCIIAB；理由見解析；(2)NABC=NACN；理由見解析；(3)2%不；【解析】分析：(1)根據(jù)△ABC,△AMN為等邊三角形，得到AB=AC,AM=AN且NBAC=NMAN=60°從而得到NBAC-NCAM=NMAN-NCAM,即NBAM=NCAN,證明△BAM^△CAN,即可得到BM=CN.(2)根據(jù)△ABC,△AMN為等腰三角形，得到AB：BC=1：1且NABC=NAMN,根據(jù)相似ABAC三角形的性質(zhì)得到 =)7,利用等腰三角形的性質(zhì)得到NBAC=NMAN,根據(jù)相似三AMAN角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；(3)如圖3,連接AB,AN,根據(jù)正方形的性質(zhì)得到NABC=NBAC=45°,NMAN=45°,根據(jù)BMAB相似三角形的性質(zhì)得出= ，得至UBM=2,CM=8,再根據(jù)勾股定理即可得到答案.CNAC詳解：(1)NCIIAB,理由如下:

:△ABC與公MN是等邊三角形，「.AB=AC,AM=AN,NBAC=NMAN-=60°,「.NBAM=NCAN,在^ABM與^ACN中，產(chǎn)二AC</BAM=/CAN,AM=AN「.△ABM^△ACN(SAS),「.NB=NACN=60°,「NANC+NACN+NCAN=NANC+60°+NCAN=180°,「.NANC+NMAN+NBAM=NANC+60°+NCAN=NBAN+NANC=180°,「.CNIIAB；NABC=NACN,理由如下:ABAM;——= =1且NABC=NAMN,BCMN「.△ABC-AAMNABAC「. = AMAN;AB=BC,「?NBAC=—(180°-NABC),2;AM=MN1「?NMAN=—(180°-NAMN),2丁NABC=NAMN,「.NBAC=NMAN,「.NBAM=NCAN,「.△ABM?△ACN,「.NABC=NACN；(3)如圖3,連接AB,AN,丁四邊形ADBC,AMEF為正方形，「.NABC=NBAC=45°,NMAN=45°,「.NBAC-NMAC=NMAN-NMAC即NBAM=NCAN,ABAMBCANABAMBCANAB=ACAMA「.△ABM-AACN

BM=ABCACCNBMCNBMAC=cos45°;豆AB 2.<2v,2… =BM2「.BM=2,「.CM=BC-BM=8,在RtAAMC,AM=、；AC2+MC2=;102+82:2<41，EF=AM=2、/4T.n 且圖3E點睛：本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)定理和判定定理、相似三角形的性質(zhì)定理和判定定理等知識；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，證明三角形全等和三角形相似是解決問題的關(guān)鍵.9.已知邊長為1的正方形ABCD中，P是對角線AC上的一個動點（與點A、C不重合），過點P作PE±PB,PE交射線DC于點E,過點E作EF±AC,垂足為點F.（1）當(dāng)點E落在線段CD上時（如圖），①求證：PB=PE；②在點P的運動過程中，PF的長度是否發(fā)生變化？若不變，試求出這個不變的值，若變化，試說明理由；（2）當(dāng)點E落在線段DC的延長線上時，在備用圖上畫出符合要求的大致圖形，并判斷上述（1）中的結(jié)論是否仍然成立（只需寫出結(jié)論，不需要證明）；（3）在點P的運動過程中，△PEC能否為等腰三角形？如果能，試求出AP的長，如果不能，試說明理由.A D

能，試說明理由.A D【答案】（1）①證明見解析；②點PP在運動過程中，PF的長度不變，值為牙；（2）畫圖見解析，成立；（3）能，1.【解析】分析：（1）①過點P作PG±BC于G，過點P作PH±DC于H，如圖1.要證PB=PE,只需證到△PGBM△PHE即可；②連接BD,如圖2.易證△BOPM△PFE,則有BO=PF,只需求出BO的長即可.（2）根據(jù)條件即可畫出符合要求的圖形，同理可得（1）中的結(jié)論仍然成立.（3）可分點E在線段DC上和點E在線段DC的延長線上兩種情況討論，通過計算就可求出符合要求的AP的長.詳解：（1）①證明：過點P作PG±BC于G,過點P作PH±DC于H,如圖1.月 D圖1丁四邊形ABCD是正方形，PG±BC,PH±DC,「.NGPC=NACB=NACD=NHPC=45°.「.PG=PH,NGPH=NPGB=NPHE=90°.;PE±PB即/BPE=90°,「.NBPG=90°-NGPE=NEPH.在^PGB和^PHE中，'/PGB=ZPHEPG=PH ,/BPG=/EPH△PGB^△PHE(ASA),「.PB=PE.②連接BD,如圖2.圖2丁四邊形ABCD是正方形，「.NBOP=90°.;PE±PB即/BPE=90°,

」.乙PBO=90°-乙BPO=NEPF.;EF±PC即NPFE=90°,「.NBOP=NPFE.在^BOP和^PFE中，'/PBO=/EPF/BOP=/PFEPB=PE△BOP^△PFE(AAS),「.BO=PF.丁四邊形ABCD是正方形，「.OB=OC,NBOC=90°,「?BC=%；2OB.;BC=1,「.OB=與??.PF==2???點PP在運動過程中，PF的長度不變，值為三2.2(2)當(dāng)點E落在線段DC的延長線上時，符合要求的圖形如圖3所示.同理可得：PB=PE,PF=——.(3)①若點E在線段DC上，如圖1.丁NBPE=NBCE=90°,,NPBC+NPEC=180°.

丁NPBC<90°,「.NPEC>90°.若^PEC為等腰三角形，則EP=EC.「.NEPC=NECP=45°,「.NPEC=90°,與NPEC>90°矛盾，「?當(dāng)點E在線段DC上時，△PEC不可能是等腰三角形.若^PEC是等腰三角形，丁NPCE=135°,「.CP=CE,「.NCPE=NCEP=22.5°.「.NAPB=180°-90°-22.5°=67.5°.丁NPRC=90°+NPBR=90°+NCER,「.NPBR=NCER=22.5°,「.NABP=67.5°,「.NABP=NAPB.「.AP=AB=1.「?AP的長為1.點睛：本題主要考查了正方形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、勾股定理、四邊形的內(nèi)角和定理、三角形的內(nèi)角和定理及外角性質(zhì)等知識，有一定的綜合性，而通過添加輔助線證明三角形全等是解決本題的關(guān)鍵.10.（本題14分）小明在學(xué)習(xí)平行線相關(guān)知識時總結(jié)了如下結(jié)論：端點分別在兩條平行線上的所有線段中，垂直于平行線的線段最短.小明應(yīng)用這個結(jié)論進(jìn)行了下列探索活動和問題解決.問題1：如圖1,在RSABC中，NC=90°,AC=4,BC=3,P為AC邊上的一動點，以PB,PA為邊構(gòu)造AP□APBQ,求對角線PQ的最小值及PQ最小時的值.(1)在解決這個問題時，小明構(gòu)造出了如圖2的輔助線，則PQ的最小值為—，當(dāng)PQ最小時AP^(2)小明對問題1做了簡單的變式思考.如圖3,P為AB邊上的一動點，延長PA到點E,使AE=nPA(n為大于0的常數(shù)).以PE,PC為邊作“CQE,試求對角線PQ長的最小值，并求PQ最小AP時二三的值；問題2：在四邊形ABCD中，ADIIBC,AB±BC,AD=1,AB=2,BC=3.(1)如圖4,若'為i上任意一點，以P",P’為邊作□；；!『〔試求對角線長的最小值A(chǔ)P和PQ最小時-三的值.