六年級奧數(shù)行程問題專題：發(fā)車問題的要點及解題技巧

六年級奧數(shù)行程問題專題六年級奧數(shù)行程問題專題:發(fā)車問題的要點及解題技巧六年級奧數(shù)行程問題專題六年級奧數(shù)行程問題專題:發(fā)車問題的要點及解題技巧一、發(fā)車問題的基本解題思路空間理解稍顯困難，證明過程對快速解題沒有幫助。一旦掌握了3個基本公式，一般問題都可以迎刃而解。在班車里。即柳卡問題。不用基本公式解決，快速的解法是直接畫時間-距離圖，再畫上密密麻麻的交叉線，按要求數(shù)交點個數(shù)即可完成。如果不畫圖，單憑想象似乎對于像我這樣的一般人兒來說不容易。二、對“發(fā)車問題”的化歸與優(yōu)化“發(fā)車”是一個有趣的數(shù)學問題。解決“發(fā)車問題”需要一定的策略和技巧。本文重點解決這樣兩個問題:一是在探索過程中，如何揭示“發(fā)車問題”的實質？二是在建模的過程中，如何選擇最簡明、最嚴謹和最易于學生理解并接受的方法或情景？為便于敘述，現(xiàn)將“發(fā)車問題”進行一般化處理:某人以勻速行走在一條公交車線路上，線路的起點站和終點站均每隔相等的時間發(fā)一次車。他發(fā)現(xiàn)從背后每隔a分鐘駛過一輛公交車，而從迎面每隔b分鐘就有一輛公交車駛來。問:公交車站每隔多少時間發(fā)一輛車？（假如公交車的速度不變，而且中間站停車的時間也忽略不計。）1、把“發(fā)車問題”化歸為“和差問題”因為車站每隔相等的時間發(fā)一次車，所以同向的、前后的兩輛公交車間的距離相等。這個相等的距離也是公交車在發(fā)車間隔時間內行駛的路程。我們把這個相等的距離假設為“1”。根據(jù)“同向追及”，我們知道:公交車與行人a分鐘所走的路程差是1,即公交車比行人每分鐘多走1/a,1/a就是公交車與行人的速度差。根據(jù)“相向相遇”，我們知道:公交車與行人b分鐘所走的路程和是1,即公交車與行人每分鐘一共走1/b，1/b就是公交車和行人的速度和。這樣,我們把“發(fā)車問題”化歸成了“和差問題”。根據(jù)“和差問題”的解法:大數(shù)=（和+差）+2,小數(shù)二（和-差）+2,可以很容易地求出公交車的速度是（1/a+1/b）+2。又因為公交車在這個“間隔相等的時間”內行駛的路程是1,所以再用“路程+速度二時間”，我們可以求出問題的答案,即公交車站發(fā)車的間隔時間是1+【（1/a+1/b）+2】=2+（1/a+1/b）。2、把“發(fā)車問題”優(yōu)化為“往返問題”如果這個行人在起點站停留m分鐘，恰好發(fā)現(xiàn)車站發(fā)n輛車，那么我們就可以求出車站發(fā)車的間隔時間是m+n分鐘。但是，如果行人在這段時間內做個“往返運動”也未嘗不可,那么他的“往返”決不會影響答案的準確性。因為從起點站走到終點站，行人用的時間不一定被a和b都整除,所以他見到的公交車輛數(shù)也不一定是整數(shù)。故此,我們不讓他從起點站走到終點站再返回。那么讓他走到哪再立即返回呢？或者說讓他走多長時間再立即返回呢？取a和b的公倍數(shù)（如果是具體的數(shù)據(jù)，最好取最小公倍數(shù)），我們這里取ab。假如剛剛有一輛公交車在起點站發(fā)出，我們讓行人從起點站開始行走，先走ab分鐘，然后馬上返回；這時恰好是從行人背后駛過第b輛車。當行人再用ab分鐘回到起點站時，恰好又是從迎面駛來第a輛車。也就是說行人返回起點站時第（a+b）輛公交車正好從車站開出，即起點站2ab分鐘開出了6+5）輛公交車。這樣，就相當于在2ab分鐘的時間內，行人在起點站原地不動看見車站發(fā)出Y（a+b）輛車。于是我們求出車站發(fā)車的間隔時間也是2ab+（a+b）=2+（1/a+1/b）。這樣的往返假設也許更符合“發(fā)車問題”的情景，更簡明、更嚴謹，也更易于學生理解和接受。如果用具體的時間代入，則會更加形象，更便于說明問題。小學數(shù)學行程小學數(shù)學行程:發(fā)車問題的例題及答案（一）小學數(shù)學行程小學數(shù)學行程:發(fā)車問題的例題及答案（一）例1:如果A、B兩地相距10千米，一個班有學生45人，由A地去B地，現(xiàn)在有一輛馬車，車速是人步行的3倍，馬車每次可以乘坐9人，在A地先將第一批學生送到B地，其余的學生同時向B地前進；車到B地后立即返回，在途中與步行的學生相遇后，再接9名學生前往B地，余下的學生繼續(xù)向B地前進。。。多次往返后，當全體學生到達B地時，馬車共行了多少千米？【解答】10*（1+2/3*3/4*2+1/3*3/4*2+1/6*3/4*2+1/8*3/4*2）=10*47/16=235/8千米例2:某工廠每天早晨都派小汽車接專家上班。有一天，專家為了早些到廠，比平時提前一小時出發(fā)，步行去工廠，走了一段時間后遇到來接他的汽車，他上車后汽車立即調頭繼續(xù)前進，進入工廠大門時，他發(fā)現(xiàn)只比平時早到10分鐘，問專家在路上步行了多長時間才遇到汽車？（設人和汽車都作勻速運動，他上車及調頭時間不記）【解答】設專家從家中出發(fā)后走到M處（如圖1）與小汽車相遇。由于正常接送必須從B-A-B，而現(xiàn)在接送是從B-M-B恰好提前10分鐘；則小汽車從M-A-M剛好需10分鐘；于是小汽車從M-A只需5分鐘。這說明專家到M處遇到小汽車時再過5分鐘，就是以前正常接送時在家的出發(fā)時間，故專家的行走時間再加上5分鐘恰為比平時提前的1小時，從而專家行走了:60—5=55（分鐘）。小學數(shù)學行程小學數(shù)學行程:發(fā)車問題的例題及答案（二）例3。甲乙兩輛汽車分別從A。B兩成出發(fā)，相向而行，甲車和乙車的速度比是5:4，到兩車相遇時距離中點48千米，兩城之間的路程是多少千米？甲乙兩輛汽車分別從A。B兩成出發(fā)，相向而行，甲車和乙車的速度比是5:4，到兩車相遇時距離中點48千米，兩城之間的路程是多少千米？【解答】相遇時甲乙的行程比也是:5:4，即甲行了全程的:5/(4+5)=5/9，乙行了:4/9又相遇時甲比乙多行了:48*2=96千米所以路程是:96/(5/9-4/9)=864千米。例1。有兩個班的小學生要到少年宮參加活動，但只有一輛車接送。第一班的學生做車從學校出發(fā)的同時，第二班學生開始步行；車到途中某處，讓第一班學生下車步行，車立刻返回接第二班學生上車并直接開往少年宮。學生步行速度為每小時4公里，載學生時車速每小時40公里，空車是50公里/小時，學生步行速度是4公里/小時，要使兩個班的學生同時到達少年宮，第一班的學生步行了全程的幾分之幾？（學生上下車時間不計）A。1/7；B。1/6； C。3/4； D。2/5；【解答】選A,兩班同學同時出發(fā)，同時到達，又兩班學生的步行速度相同=＞說明兩班學生步行的距離和坐車的距離分別相同的=＞所以第一班學生走的路程=第二班學生走的路程；第一班學生坐車的路程=第二班學生坐車的路程=＞令第一班學生步行的距離為x，二班坐車距離為丫，則二班的步行距離為x,一班的車行距離為y。二＞x/4（一班的步行時間）=丫/40（二班的坐車時間）+（y-x）/50（空車跑回接二班所用時間）=＞x/y=1/6=＞x占全程的1/7=＞選A例2。某工廠每天早晨都派小汽車接專家上班。有一天,專家為了早些到廠,比平時提前一小時出發(fā),步行去工廠,走了一段時間后遇到來接他的汽車,他上車后汽車立即調頭繼續(xù)前進,進入工廠大門時,他發(fā)現(xiàn)只比平時早到10分鐘,問專家在路上步行了多長時間才遇到汽車？（設人和汽車都作勻速運動,他上車及調頭時間不記）【解答】設專家從家中出發(fā)后走到M處(如圖1)與小汽車相遇。由于正常接送必須從B-A-B,而現(xiàn)在接送是從B-M-B恰好提前10分鐘；則小汽車從M-A-M剛好需10分鐘；于是小汽車從M-A只需5分鐘。這說明專家到M處遇到小汽車時再過5分鐘，就是以前正常接送時在家的出發(fā)時間，故專家的行走時間再加上5分鐘恰為比平時提前的1小時，從而專家行走了:60—5=55(分鐘)。例3。甲乙兩輛汽車分別從A。B兩成出發(fā)，相向而行，甲車和乙車的速度比是5:4，到兩車相遇時距離中點48千米，兩城