投資學(xué)專題金融衍生產(chǎn)品定價

投資學(xué)專題金融衍生產(chǎn)品定價第1頁/共38頁投資學(xué)專題7：

金融衍生產(chǎn)品定價

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outline資產(chǎn)價格運(yùn)動的隨機(jī)過程二叉樹模型及其在衍生產(chǎn)品定價中的應(yīng)用Black-Scholes期權(quán)定價模型在衍生產(chǎn)品定價中的應(yīng)用MonteCarlo模擬在衍生產(chǎn)品定價中的應(yīng)用第3頁/共38頁第一節(jié)資產(chǎn)價格運(yùn)動的隨機(jī)過程金融資產(chǎn)價格的運(yùn)動隨時間變化，形成一個隨機(jī)過程。隨機(jī)過程是用來描述隨機(jī)變量隨著時間變化的統(tǒng)計(jì)術(shù)語。觀測到的價格是隨機(jī)過程的一個實(shí)現(xiàn)，隨機(jī)過程的理論是對觀測到的價格進(jìn)行分析和作出統(tǒng)計(jì)推斷的基礎(chǔ)。資產(chǎn)價格波動的隨機(jī)過程第4頁/共38頁一、Wiener過程或Brownian運(yùn)動1、維納過程（WienerProcesses）股價行為模型通常用維納過程來表達(dá)。理解遵循維納過程的變量z的行為，可以考慮在小時間間隔上變量z值的變化。設(shè)一個小的時間間隔長度為△t,定義為在△t時間內(nèi)z的變化。要使z遵循維納過程，△z必須滿足兩個基本性質(zhì)：性質(zhì)1：△z與△t的關(guān)系滿足方程式其中為從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N（0，1）中抽取的一個隨機(jī)值。性質(zhì)2：對于任何兩個不同時間間隔△t,△z的值相互獨(dú)立。

2、廣義維納過程（GeneralizedWienerProcess）變量x的廣義維納過程用dz定義如下：dx=adt+bdz其中a和b為常數(shù)。理解方程較好的方法是分別考慮方程右邊的兩個組成部分。adt項(xiàng)說明了x變量單位時間的漂移率期望值為a。如果缺省bdz項(xiàng)，方程變?yōu)閐x=adtdx/dt=a即x=x0+at第5頁/共38頁維納過程內(nèi)幕交易概率預(yù)測模型示意圖《管理世界》2008.4第6頁/共38頁二、Ito（伊藤）引理一般維納過程的漂移參數(shù)和波動率參數(shù)都是不隨時間變化的。如果進(jìn)一步擴(kuò)展模型，允許和是隨機(jī)過程的函數(shù)，那么我們就可以引出一個伊藤過程。伊藤過程，是指如下隨機(jī)過程：其中，是一個標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動，、是變量x和t的函數(shù)。第7頁/共38頁為表述伊藤引理，將資產(chǎn)的隨機(jī)過程表述為如下方程：

也就是說，用漂移率和波動率的伊藤過程表示資產(chǎn)價格的動態(tài)。在時間間隔為后，資產(chǎn)價格的變化比率為：

可見，也具有正態(tài)分布特征，其均值為，標(biāo)準(zhǔn)差為，方差為。第8頁/共38頁資產(chǎn)價格運(yùn)動的隨機(jī)過程三、漂移參數(shù)和波動率參數(shù)的估計(jì)上述方程的幾何布朗運(yùn)動中有兩個未知參數(shù)和可以用經(jīng)驗(yàn)方法進(jìn)行估計(jì)。假定我們有股價在等時間間隔上的個觀測值，觀測到的股價序列，其中。令，存在，其中為第t個時間間隔上的連續(xù)復(fù)合收益率。根據(jù)Ito引理，并且假定股價服從一個幾何布朗運(yùn)動，我們得到服從均值為，方差為的正態(tài)分布。第9頁/共38頁第二節(jié)二叉樹模型及其在衍生產(chǎn)品定價中的應(yīng)用一、二叉樹模型（BinomialTreeModel）二叉樹期權(quán)定價模型假定，在每一期股票價格可以沿兩個方向——向上或向下——中的任何一個方向變動。因此，可以將將時間T分為很多小的時間間隔,在一個時間間隔內(nèi)證券價格價格只有兩種運(yùn)動可能：從開始的S上升到原來的u倍，即Su；或下降到原來的d倍，其中u>1，d<1(一般假定)。也就是說，股價上升或下降分別用u和d表示，而在每一個,股票價格變化由S到Su或Sd.若價格上揚(yáng)的概率為p,那么下跌的概率為q=1-p。S0p1-puS0dS0第10頁/共38頁二叉樹模型及其在衍生產(chǎn)品定價中的應(yīng)用二、二叉樹期權(quán)定價模型二項(xiàng)式期權(quán)定價模型(BinomialOptionPricingModel，簡稱BOPM)是對期權(quán)進(jìn)行估價方法，它是通過統(tǒng)計(jì)中的二項(xiàng)分布，假定只有兩種可能結(jié)果而推算出來的。下面，我們可以分六步驟對看漲期權(quán)的二項(xiàng)式期權(quán)定價模型進(jìn)行分析：第一步：分析股價的未來可能運(yùn)動形態(tài);第二步：列出期權(quán)的價格分布;第三步：構(gòu)建對沖投資組合;第四步：對保值比率進(jìn)行求解;第五步：用凈現(xiàn)值法（NPV）解出買入期權(quán)的價格;第六步，將單期擴(kuò)展之多期。第11頁/共38頁假定不支付紅利股票的的3個月期的美式看跌期權(quán)，股票價格15元，執(zhí)行價格15元，無風(fēng)險(xiǎn)利率為3%，波動率為50%。即：S=15，X=15，r=0.03，

=0.5，T=0.25。

為構(gòu)造二叉樹，假定到期期限分為4個階段，每段長度

=0.25/4=0.0625。

第12頁/共38頁二叉樹模型及其在衍生產(chǎn)品定價中的應(yīng)用三、二叉樹模型在可轉(zhuǎn)債定價中的應(yīng)用可轉(zhuǎn)債的二叉樹定價步驟如下：第一步，先計(jì)算出對應(yīng)股票的二叉樹節(jié)點(diǎn)上的數(shù)值。利用股價的歷史數(shù)據(jù)（一般利用過去3個月或者半年的股價數(shù)據(jù)）估計(jì)出股票的波動率，然后計(jì)算出二叉樹的幾個重要參數(shù)。其中，t，T分別指的是可轉(zhuǎn)債的初始和期末時刻，為無風(fēng)險(xiǎn)利率，使用這些參數(shù)就可以推出股票的價格樹圖。第二步，通過可轉(zhuǎn)債的相關(guān)條件來遞推價格樹中各個節(jié)點(diǎn)的可轉(zhuǎn)債的價格。第13頁/共38頁二叉樹模型及其在衍生產(chǎn)品定價中的應(yīng)用應(yīng)用二叉樹模型，Matlab程序?qū)ξ麂撧D(zhuǎn)債進(jìn)行擬合。第14頁/共38頁第三節(jié)Black-Scholes期權(quán)定價模型在衍生產(chǎn)品一、Black-Scholes期權(quán)定價模型1973年，美國芝加哥大學(xué)教授費(fèi)希爾·布萊克和邁倫·斯科爾斯提出了有史以來的第一個期權(quán)定價模型，即布萊克-斯科爾期權(quán)定價模型（Black-ScholesOptionsPricingModel，BSOPM)。布萊克－斯科爾斯推導(dǎo)出了一個確定期權(quán)價格的明確公式，即：其中第15頁/共38頁二、B-S期權(quán)定價求解由于BS公式是關(guān)于期權(quán)定價的連續(xù)時間公式，因此容易分析期權(quán)價格的敏感性，即可以利用BS公式求出的看漲期權(quán)的價格同看漲期權(quán)的內(nèi)在價值進(jìn)行比較分析，分析兩者隨著股票價格變化的差異。看漲期權(quán)的價格和內(nèi)在價值

第16頁/共38頁BS公式的EXCEL求解過程。在此，股票價格S為25元，執(zhí)行價格X為25元，無風(fēng)險(xiǎn)利率為8%，股票的波動率為30%，期權(quán)的到期年限為0.5年。計(jì)算相應(yīng)的看漲期權(quán)的價格。

運(yùn)用B-S公式進(jìn)行期權(quán)定價求解當(dāng)前股價25執(zhí)行價格25無風(fēng)險(xiǎn)利率8%到期時間（年）T0.5股價波動率30%d10.294627825d20.082495791N(d1)0.615860834N(d2)0.532873834看漲期權(quán)價格2.597032043S*N(-d1)-X*exp(-r*T)*N(d2)看跌期權(quán)價格（利用平權(quán)）1.616768021C-S+X*exp(-r*T)看跌期權(quán)價格（利用BS公式）1.616768021X*exp(-r*T)*N(-d2)-S*N(d1)BS公式求出的看漲-看跌期權(quán)價格股票價格看漲期權(quán)價格內(nèi)在價值2.5970320430101.29408E-05012.50.0010539970150.018528597017.50.1290378060200.49746469022.51.2970356240252.597032043027.54.3418929582.5306.411299266532.58.6849189037.53511.0734186710第17頁/共38頁Black-Scholes期權(quán)定價模型在衍生產(chǎn)品鞍鋼權(quán)證的理論價格和實(shí)際價格

第18頁/共38頁三、波動率與波動率微笑1、歷史波動率對于理想的歐式期權(quán)而言，BS期權(quán)定價模型僅依賴于五個參數(shù)：股票價格、期權(quán)的執(zhí)行價格、期權(quán)的到期時間、無風(fēng)險(xiǎn)利率和股票的價格波動率。在這些參數(shù)中，和由發(fā)行的金融合約的條款所定，和可從市場得到。唯一需要確定的參數(shù)就是波動率。請注意，BS模型中波動率是指在到的未來時期內(nèi)的標(biāo)的資產(chǎn)的波動率。由于在現(xiàn)實(shí)金融市場上，證券價格的波動是一個隨機(jī)過程，估計(jì)波動率并不是一件簡單的事情。通常，有兩種方法可以對波動率進(jìn)行估計(jì)，即歷史波動率(historicalvolatility)與隱含波動(impvolatility)。第19頁/共38頁（1）方差估計(jì)法計(jì)算方式如下：先計(jì)算出標(biāo)的資產(chǎn)價格S第i天的報(bào)酬ut，即ui=ln(Si/Si-1)，利用此前一段時間（可選擇3個月、半年）資產(chǎn)報(bào)酬數(shù)據(jù)，估計(jì)日報(bào)酬的標(biāo)準(zhǔn)差。即：

這里，為的算術(shù)平均。的標(biāo)準(zhǔn)差相當(dāng)于的估計(jì)值，其中為時間間隔長度（以年為計(jì)算單位）。第20頁/共38頁鞍鋼股份的歷史波動率第21頁/共38頁（2）GARCH(1,1)模型估計(jì)鞍鋼股份的波動性（GARCH估計(jì)）第22頁/共38頁2、隱含波動率確定波動率的第二種方法是估計(jì)隱含波動率。隱含波動率是另外一種定義，假定：為當(dāng)前股票價格；K為執(zhí)行價格；T為到期時間；r為無風(fēng)險(xiǎn)利率；V為期權(quán)當(dāng)前的市場價格。利用上述參數(shù)，通過數(shù)值方法求解下式，可以得到隱含波動率的值：其中，時間從到期日起以天計(jì)，且：第23頁/共38頁華菱權(quán)證的歷史波動和隱含波動

第24頁/共38頁3、波動率微笑（VolatilitySmiles）應(yīng)用期權(quán)市場價格和BS公式推算出來的隱含波動率具有以下兩個方向的變動規(guī)律：一是“波動率微笑”，即隱含波動率會隨著期權(quán)執(zhí)行價格不同而不同。由于隱含波動率是執(zhí)行價格和到期日的函數(shù)，特別地，當(dāng)執(zhí)行價格等于股票最初價格S0時，隱含波動率最小，當(dāng)執(zhí)行價格偏離0時，隱含波動率會增加，這種現(xiàn)象通常稱為“波動率微笑”。二是波動率期限結(jié)構(gòu)（VolatilityTermStructure），即隱含波動率會隨期權(quán)到期時間不同而變化。從長期來看，波動率大多表現(xiàn)出均值回歸，即到期日接近時，隱含波動率的變化較劇烈，隨著到期時間的延長，隱含波動率將逐漸向歷史波動率的平均值靠近。波動率微笑的形狀也受到期權(quán)到期時間的影響。一般而言，期權(quán)到期日越近，波動率“微笑”就越顯著，到期日越長，不同價格的隱含波動率差異越小，接近于常數(shù)。第25頁/共38頁四、期權(quán)的衍生物及其風(fēng)險(xiǎn)對沖1.德爾塔（）在任何確定的時間內(nèi)，衍生證券的價值是標(biāo)的資產(chǎn)價格的函數(shù)。這個函數(shù)對標(biāo)的資產(chǎn)價格變化的敏感度用希臘字母德爾塔（Delta，）來描述。德爾塔（）是Black-Schols期權(quán)定價模型的一個重要衍生概念，在證券組合中對投資者具有重要意義。其公式表達(dá)為：

看漲期權(quán)對股票價格的敏感性和Delta策略

C:\C_doc\教學(xué)\Matlab_金融試驗(yàn)\衍生市場第26頁/共38頁在Black-Schols期權(quán)定價模型中，德爾塔（）的決定十分簡單：它就等于。德爾塔特性如下：（1）認(rèn)購權(quán)證的Delta一定為正值，認(rèn)沽權(quán)證的Delta一定為負(fù)值。這正負(fù)號表示期權(quán)價格和標(biāo)的資產(chǎn)價格之間的變動關(guān)系。正號表示同向變動，負(fù)號表示異向變動；（2）Delta數(shù)值的范圍介于-1和+1之間。（3）平價期權(quán)的Delta數(shù)值約為0.5。第27頁/共38頁Black-Scholes期權(quán)定價模型在衍生產(chǎn)品Delta中性組合對于價格低于理論價值的權(quán)證,還可以按比例購買股票+認(rèn)沽權(quán)證，構(gòu)造Delta中性組合,也就是買入波動率,在股價向任何一方向變動時，組合價值都將上升。但是，如果波動率下降，則會影響到套期保值效果，隱含波動率變動會使得組合價值曲線發(fā)生位移，一旦權(quán)證的隱含波動率下降，即使股價發(fā)生了較大變動，組合價值仍會受到損失。第28頁/共38頁Black-Scholes期權(quán)定價模型在衍生產(chǎn)品2.伽馬（）僅在標(biāo)的股票的價格只發(fā)生微小變動時，德爾塔對沖才是有效的，因?yàn)樗豢紤]了一階導(dǎo)數(shù)。如果標(biāo)的股票價格可能發(fā)生較大的變化，那么，對沖組合就要考慮二階導(dǎo)數(shù)。于是，引入伽馬（Gamma，）的概念。伽馬度量的是衍生資產(chǎn)的凸性，伽馬度量的是期權(quán)價格曲線上該點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù)。對于不支付紅利的歐式期權(quán)來說，存在：

第29頁/共38頁X=30;sigma=0.3;r_f=0.05價格=15-50周期：12MC:\ProgramFiles\MATLAB71\work\Delta_Gamma_option01第30頁/共38頁Black-Scholes期權(quán)定價模型在衍生產(chǎn)品3.西塔()西塔(,Theta)是期權(quán)定價中的另一個重要參數(shù)。西塔()被定義為：

西塔度量的是衍生證券價值的變動方向。如果時間增加，期權(quán)曲線將向右移動。西塔正是度量的曲線的這種移動。第31頁/共38頁Black-Scholes期權(quán)定價模型在衍生產(chǎn)品4、維加（vega，）當(dāng)波動率變化一個單位時（通常為1%），衍生證券的價值變化稱為維加（vega，）。用公式表達(dá)為：反映的是證券價格本身波動對衍生證券價格的影響。若構(gòu)造的組合使值等于零，則該組合的價值不受波動率變化的影響。按照BS期權(quán)定價公式，可以得到不支付紅利股票的歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的表達(dá)式：第32頁/共38頁Black-Scholes期權(quán)定價模型在衍生產(chǎn)品5、羅（）當(dāng)利率變化一個單位時（通常為1%），衍生證券的價值變化稱為羅（）。用公式表達(dá)為：

可見，反映的是衍生產(chǎn)品價格對利率變化的比率。按照BS期權(quán)定價公式，可以得到不支付紅利股票的歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的表達(dá)式：第33頁/共38頁蒙特卡羅模擬在衍生產(chǎn)品定價中的應(yīng)用第四節(jié)蒙特卡羅模擬在衍生產(chǎn)品定價中的應(yīng)用一、蒙特卡羅模擬方法介紹蒙特卡羅模擬（MonteCarloSimulation）是一種通過模擬標(biāo)的資產(chǎn)價格隨機(jī)運(yùn)動路徑得到權(quán)證價值期望值的數(shù)值方法，是一種應(yīng)用十分廣泛的金融衍生產(chǎn)品定價方法。如果股價運(yùn)動服從伊藤過程，則當(dāng)然股價如果服從其他分布，只要給出具體的表達(dá)式，我們就可利用蒙特卡羅模擬法進(jìn)行模擬。蒙特卡羅模擬進(jìn)行期權(quán)定價的核心在于生成股價價格的隨機(jī)過程。第34頁/共38頁蒙特卡羅模擬在衍生產(chǎn)品定價中的應(yīng)用蒙特卡羅模擬的實(shí)質(zhì)是模擬標(biāo)的變量的隨機(jī)運(yùn)動，預(yù)測其衍生產(chǎn)品的平均回報(bào)，并由此得到衍生品價格的一個概率解。蒙特卡羅模擬的優(yōu)點(diǎn)：（