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定理設(shè)空間閉區(qū)域是由分片光滑的閉曲面所圍成P(x,yzQ(x,yzR(x,yz在上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)(PQR)dvPdydzQdzdx(PQR)dv cosRcos(Pcos(Pcos設(shè)是一柱體上邊界曲面為2zz2x,yz下邊界曲面為1zz1(x,y側(cè)面為柱面3 1取下側(cè)O2取上側(cè) 3取外側(cè)O

Rdv

dxdy

z2(x,y)R

Dxy

z1(x,y xy{R[x,y,z2(x,y)]R[x,y,z1(x,y)]}dxdyR(x,y,z)dxdyR[x,y,z1(x,y)]dxdy DxyR(x,y,z)dxdyR[x,y,z2(x,y)]dxdy2 DxyR(x,y,z)dxdy0 Rdv R(x,y, Pdv P(x,y, Qdv Q(x,y,z)dzdx 例利 其中x2y21z0z所圍成的空間閉區(qū)域的整個(gè)邊界曲面的外側(cè)z3解Pyz)xQ0Rxy3Pyz Q0 R0 O(xy)dxdy(yz)dydz

(yz)dxdydz (sinz)dd 計(jì)算曲面積分x2cosy2cosz2cos)dSzhOxy其中為錐面x2y2z2介于平面z0及zh(h0) cos,cos,cos是上點(diǎn)(x,y,z)zhOxy解設(shè)1zh(x2y2h2的上側(cè)則與1一起構(gòu)成一個(gè)閉曲面

1 x(x2cosy2cosz2cos)dS2(xyh h

(xy

dxdyx2y2h x2y2h

x

x2y2 x2y2

(h2x2

12(x2cosy2cosz2cos z2dS

x2y2h

h2dxdyπh4(x2cosy2cosz2cos1πh4πh41 設(shè)函數(shù)u(x,yz和v(x,yz在閉區(qū)域上具有一階二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)uvdxdydz uvdS (uvuvuv)dxdydz x y z其中是閉區(qū)域的整個(gè)邊界曲面v為函數(shù)v(xyz沿的外法線(xiàn)方向的方向?qū)?shù)符號(hào)

稱(chēng)為 斯算子解因?yàn)榉较驅(qū)?vvcosvcosvcos coscoscos是在(x,y,z)處外法線(xiàn)向量的方向余弦曲面積分uvdSuvcosvcosvcos [([(uv)

(uv)cos(uv)cos 利 即uvdS[(uv) (uv)(uv)]dxdydz n uvdxdy

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