上海高三數(shù)學(xué)模擬試卷

上海高三數(shù)學(xué)模擬試卷第頁共4頁高三數(shù)學(xué)模擬試卷班級學(xué)號姓名得分注意：本試卷共有21道試題，滿分150分，考試時間120分鐘.一、填空題（本大題共有12小題，滿分54分）只要求直接填寫結(jié)果，1-6題每個空格填對得4分，7-12題每個空格填對得5分，否則一律得零分.1．設(shè)，若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于實軸上，則.2．集合，，且，則實數(shù)的取值范圍是.3．二項式的展開式中，系數(shù)最大的項為第項.4．從5名志愿者中選出3名，分別從事翻譯、導(dǎo)游、保潔三項不同的工作，每人承擔(dān)一項，其中甲不能從事翻譯工作，則不同的選派方案共有種．5．直線被雙曲線截得的弦長為.11．已知實數(shù)成等差數(shù)列，點(diǎn)在動直線（不同時為零）上的射影點(diǎn)為，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的取值范圍是．12．函數(shù)，若對于任意的實數(shù)均存在以為三邊長的三角形，則實數(shù)的取值范圍是．二、選擇題(本大題共有4小題，滿分20分)13．若與都是非零向量，則“”是“”的()（A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件（C）充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件14．將函數(shù)圖象上的點(diǎn)向左平移（）個單位長度得到點(diǎn)，若位于函數(shù)的圖象上，則（）（A），的最小值為（B），的最小值為（C），的最小值為（D），的最小值為15．如圖，在正方體中，當(dāng)動點(diǎn)在底面內(nèi)運(yùn)動時，總有，則動點(diǎn)在底面內(nèi)的軌跡是()（A）橢圓的一部分（B）雙曲線的一部分（C）拋物線的一部分 （D）圓的一部分16．如圖，在10×10的網(wǎng)格中，每個小方格都是邊長為的小正方形，每個小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．若拋物線經(jīng)過圖中的三個格點(diǎn)，則以這三個格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形稱為拋物線的“內(nèi)接格點(diǎn)三角形”．以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，若拋物線與網(wǎng)格對角線的兩個交點(diǎn)之間的距離為，且這兩個交點(diǎn)與拋物線的頂點(diǎn)是拋物線的內(nèi)接格點(diǎn)三角形的三個頂點(diǎn)，則滿足上述條件且對稱軸平行于軸的拋物線條數(shù)是()（A）0條（B）7條（C）14條（D）無數(shù)條三、解答題（本大題共有5小題，滿分76分）解答下列各題必須寫出必要的步驟．17．（本題滿分14分，第1小題滿分7分，第2小題滿分7分）在中，角所對的邊分別是，且.（1）證明：；（2）若，求.18．（本題滿分14分，第1小題滿分7分，第2小題滿分7分）如圖，已知直角梯形所在的平面垂直于平面，，，．（1）在直線上是否存在一點(diǎn)，使得平面？請證明你的結(jié)論；（2）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.19．（本題滿分14分，第1小題滿分5分，第2小題滿分7分）橢圓：，的短軸長等于焦距，在短軸上，且．（1）求橢圓的方程；（2）為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)的動直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，是否存在常數(shù)，使得為定值？若存在，求的值．20.（本題滿分16分，第1小題滿分5分，第2小題滿分5分，第3小題滿分6分）已知數(shù)列中，，，.（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項的和；（3）若且，，求證：使得，，成等差數(shù)列的點(diǎn)列在某一直線上.21．（本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分10分）對于函數(shù)與常數(shù)、，若對的定義域內(nèi)的任意都成立，則稱為函數(shù)的一個“數(shù)對”．設(shè)函數(shù)的定義域為，且．（1）若是的一個“數(shù)對”，求；（2）若是的一個“數(shù)對”，且當(dāng)時，求在區(qū)間上的最大值與最小值；（3）若是增函數(shù)，且是的一個“數(shù)對”，試比較下列各組中兩個式子的大小，并說明理由:①與；②與．高三數(shù)學(xué)練習(xí)卷班級學(xué)號姓名得分注意：本試卷共有21道試題，滿分150分，考試時間120分鐘.一、填空題（本大題共有12小題，滿分54分）只要求直接填寫結(jié)果，1-6題每個空格填對得4分，7-12題每個空格填對得5分，否則一律得零分.1．設(shè)，若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于實軸上，則.2．集合，，且，則實數(shù)的取值范圍是___.3．二項式的展開式中，系數(shù)最大的項為第3或5項.4．從5名志愿者中選出3名，分別從事翻譯、導(dǎo)游、保潔三項不同的工作，每人承擔(dān)一項，其中甲不能從事翻譯工作，則不同的選派方案共有48種．5．直線被雙曲線截得的弦長為.6．若函數(shù)是奇函數(shù)，則.3211112【解析】32111127.已知某幾何體的三視圖如圖，其中主視圖中半圓直徑為2，則該幾何體的體積____．8．已知數(shù)列的通項公式為，則+++=．9．若等差數(shù)列的首項為公差為，前項的和為，則數(shù)列為等差數(shù)列，且通項為．類似地，若各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的首項為，公比為，前項的積為，則數(shù)列為等比數(shù)列，且通項為__________．10．設(shè)滿足約束條件，向量，且,則實數(shù)的最小值為.【解析】不等式對應(yīng)的可行域是頂點(diǎn)為的三角形及其內(nèi)部，由，得，可知在處有最小值．11．已知實數(shù)成等差數(shù)列，點(diǎn)在動直線（不同時為零）上的射影點(diǎn)為，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的取值范圍是．【解析】因為實數(shù)成等差數(shù)列，所以，方程變形為，整理為所以，即，因此直線過定點(diǎn)畫出圖象可得，點(diǎn)在以為直徑的圓上運(yùn)動，線段的長度滿足即12．函數(shù)，若對于任意的實數(shù)均存在以為三邊長的三角形，則實數(shù)的取值范圍是．解：令當(dāng)時，，其中當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號所以若對于任意的實數(shù)均存在以為三邊長的三角形，只需，所以當(dāng)時，，其中當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號所以若對于任意的實數(shù)均存在以為三邊長的三角形，只需，所以綜上可得，二、選擇題(本大題共有4小題，滿分20分)13．若與都是非零向量，則“”是“”的(C)（A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件（C）充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件14．將函數(shù)圖象上的點(diǎn)向左平移（）個單位長度得到點(diǎn)，若位于函數(shù)的圖象上，則（A）（A），的最小值為（B），的最小值為（C），的最小值為（D），的最小值為【解析】點(diǎn)在函數(shù)上，所以，然后向左平移個單位，即，所以，所以的最小值為.15．如圖，在正方體中，當(dāng)動點(diǎn)在底面內(nèi)運(yùn)動時，總有，則動點(diǎn)在底面內(nèi)的軌跡是(D)（A）橢圓的一部分（B）雙曲線的一部分（C）拋物線的一部分 （D）圓的一部分解：因為滿足條件的動點(diǎn)在底面內(nèi)運(yùn)動時，動點(diǎn)的軌跡是以為軸線，以為母線的圓錐，與底面的交線即圓的一部分．16．如圖，在10×10的網(wǎng)格中，每個小方格都是邊長為的小正方形，每個小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．若拋物線經(jīng)過圖中的三個格點(diǎn)，則以這三個格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形稱為拋物線的“內(nèi)接格點(diǎn)三角形”．以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，若拋物線與網(wǎng)格對角線的兩個交點(diǎn)之間的距離為，且這兩個交點(diǎn)與拋物線的頂點(diǎn)是拋物線的內(nèi)接格點(diǎn)三角形的三個頂點(diǎn)，則滿足上述條件且對稱軸平行于軸的拋物線條數(shù)是(C)（A）0條（B）7條（C）14條（D）無數(shù)條【解析】如圖，開口向下，經(jīng)過點(diǎn)（0，0），（1，3），（3，3）的拋物線的解析式為y=﹣x2+4x，然后向右平移1個單位，向上平移1個單位一次得到一條拋物線，可平移6次，所以，一共有7條拋物線，同理可得開口向上的拋物線也有7條，所以，滿足上述條件且對稱軸平行于y軸的拋物線條數(shù)是：7+7=14．三、解答題（本大題共有5小題，滿分76分）解答下列各題必須寫出必要的步驟．17．（本題滿分14分，第1小題滿分7分，第2小題滿分7分）在中，角所對的邊分別是，且.（1）證明：；（2）若，求.【解析】（1）證明：由正弦定理可知原式可以化解為∵和為三角形內(nèi)角,∴則，兩邊同時乘以，可得由和角公式可知，原式得證。（2）由題,根據(jù)余弦定理可知，∵為為三角形內(nèi)角，， 則，即 由（I）可知，∴ ∴18．（本題滿分14分，第1小題滿分7分，第2小題滿分7分）如圖，已知直角梯形所在的平面垂直于平面，，，．（1）在直線上是否存在一點(diǎn)，使得平面？請證明你的結(jié)論；（2）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.解:（1）線段的中點(diǎn)就是滿足條件的點(diǎn)．證明如下：取的中點(diǎn)連結(jié)，則取的中點(diǎn)，連結(jié)，∵且，∴是正三角形，∴．∴四邊形為矩形，∴又∵，∴且，是平行四邊形．∴，而平面，平面，∴平面．（2）（法1）過作的平行線，過作的垂線交于，連結(jié)，∵，∴，是平面與平面所成二面角的棱．∵平面平面，，∴平面，又∵平面，,∴平面，∴，∴是所求二面角的平面角．設(shè)，則，∴，∴（法2）∵，平面平面，∴以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線為軸，直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則軸在平面內(nèi)（如圖）．設(shè)，由已知，得．∴，設(shè)平面的法向量為，則且，解之得取，得平面的一個法向量為.又∵平面的一個法向量為．.19．（本題滿分14分，第1小題滿分5分，第2小題滿分9分）橢圓：，的短軸長等于焦距，在短軸上，且．（1）求橢圓的方程；（2）為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)的動直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，是否存在常數(shù)，使得為定值？若存在，求的值．解：（1）由已知，點(diǎn)C，D的坐標(biāo)分別為(0，－b)，(0，b)又點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0，1)，且＝－1于是，解得a＝2，b＝所以橢圓E方程為.(2)當(dāng)直線AB斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為y＝kx＋1A，B的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)聯(lián)立，得(2k2＋1)x2＋4kx－2＝0其判別式△＝(4k)2＋8(2k2＋1)＞0所以從而＝x1x2＋y1y2＋λ[x1x2＋(y1－1)(y2－1)]＝(1＋λ)(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝＝－所以，當(dāng)λ＝1時，－＝－3，此時，＝－3為定值當(dāng)直線AB斜率不存在時，直線AB即為直線CD此時＝－2－1＝－3故存在常數(shù)λ＝－1，使得為定值－3.20.（本題滿分16分，第1小題滿分5分，第2小題滿分5分，第3小題滿分6分）已知數(shù)列中，，，.（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項的和；（3）若且，，求證：使得，，成等差數(shù)列的點(diǎn)列在某一直線上.解：（1）將已知條件變形為由于，則（常數(shù)）即數(shù)列是以為首項，公比為的等比數(shù)列所以，即（）．（2）（3）若，，成等差數(shù)列，則即，變形得由于若，且，下面對、進(jìn)行討論：①若，均為偶數(shù)，則，解得，與矛盾，舍去；②若為奇數(shù)，為偶數(shù)，則，解得；③若為偶數(shù)，為奇數(shù)，則，解得，與矛盾，舍去；④若，均為奇數(shù)，則，解得，與矛盾，舍去；綜上①②③④可知，只有當(dāng)為奇數(shù)，為偶數(shù)時，，，成等差數(shù)列，此時滿足條件點(diǎn)列落在直線（其中為正奇數(shù)）上．（不寫出直線方程扣1