初二數(shù)學其次講方程（組）與不等式（教案）

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特性化教案第02講方程（組）與不等式適用學科適用區(qū)域初中數(shù)學全國-人教版1.解二元一次方程組2.根據(jù)實際問題列二元一次方程3.根據(jù)實際問題列二元一次方程組4.含字母系數(shù)的二元一次方程組5.解三元一次方程組6.三元一次方程組的應用適用年級初中二年級課時時長（分鐘）120分鐘知識點7.一元一次不等式的整數(shù)解8.含字母系數(shù)的一元一次不等式9.根據(jù)實際問題列一元一次不等式10.解一元一次不等式組11.一元一次不等式組的整數(shù)解12.含字母系數(shù)的一元一次不等式組13.根據(jù)實際問題列一元一次不等式組1.了解二元一次方程（組）的有關(guān)概念；把握代入消元法和加減消元法；能選擇恰當?shù)姆椒ń舛淮畏匠探M2.會運用二元一次方程組解決簡單的實際問題教學目標3.理解不等式的基本性質(zhì)，會利用不等式的性質(zhì)比較兩個實數(shù)的大小4.了解一元一次不等式（組）的解的意義，會在數(shù)軸上表示或判定其解集；會解一元一次不等式和由兩個一元一次不等式組成的不等式組1

特性化教案5.能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系，列出一元一次不等式解決簡單問題1.把握加減消元法和代入消元法解二元一次方程組，以及用二元一次方程教學重點組解決實際問題。2.把握解不等式（組）的方法，學會列不等式（組）解決實際問題。1.解含字母參數(shù)的二元一次方程組和一元一次不等式2.求一元一次不等式（組）的整數(shù)解教學難點3.建立二元一次方程組和一元一次不等式這種數(shù)學模型，并應用它們解決實際問題教學過程

一、復習預習

數(shù)學離不開相等和不等.從其意義來說，這是兩個既統(tǒng)一又對立的概念，沒有相等就無所謂不等，沒有不等也無所謂相等.它們之間有著內(nèi)在的、本質(zhì)的、密切的聯(lián)系，在某種條件下可以相互轉(zhuǎn)化.方程探求相等關(guān)系，不等式是研究不等關(guān)系的重要手段，兩者有不同的根基。方程以等式性質(zhì)為基石，不等式以不等式的基本性質(zhì)為起點。解方程、解不等式在去分母、去括號、移項、合并同類項這個幾個過程是類似的，只是在系數(shù)化為1時，不等式兩邊同時除以同一個負數(shù)時不等號的方向改變。

二、知識講解

1.二元一次方程（組）

（1）代入法解二元一次方程組的一般步驟：①“變〞②“代③“解〞④“回代〞⑤“聯(lián)〞（2）加減消元法解二元一次方程組步驟：①“乘〞②“加減〞③“解〞④“回代〞⑤“聯(lián)〞2.二元一次方程組應用題

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（1）列二元一次方程組解應用題的一般步驟可概括為“審、找、列、解、答〞五步，即：①審：通過審題，把實際問題抽象成數(shù)學問題，分析已知數(shù)和未知數(shù)，用字母表示未知數(shù)；②找：找出能夠表示題意兩個相等關(guān)系；

③列：根據(jù)這兩個相等關(guān)系列出必需的代數(shù)式，從而列出方程組；④解：解這個方程組，求出兩個未知數(shù)的值；

⑤答：在對求出的方程的解做出是否合理判斷的基礎(chǔ)上，寫出答案。（2）列方程組解應用題的常見類型主要有：

①行程問題：包括追及問題和相遇問題，基本等量關(guān)系為：路程＝速度×時間；②工程問題：一般分為兩類，一類是一般的工程問題，一類是工作總量為1的工程問題；基本等量關(guān)系為：工作量＝工作效率×工作時間；

③和差倍分問題：基本等量關(guān)系為：較大量＝較小量＋多余量，總量＝倍數(shù)×1倍量；④航速問題：此類問題分為水中航行和風中航行兩類，基本關(guān)系式為：順流（風）：航速＝靜水（無風）中的速度＋水（風）速；逆流（風）：航速＝靜水（無風）中的速度－水（風）速；⑤產(chǎn)品配套問題：加工總量成比例；

⑥增長率問題：原量×（1+增長率）=增長后的量，原量×（1+增長率）=減少后的量；

7濃度問題：溶液×濃度=溶質(zhì)；○

8利潤問題：利潤=售價-進價，利潤率=[（售價-進價）÷進價]×100%；○

9幾何問題、年齡問題、盈虧問題、數(shù)字問題、方案設(shè)計問題等。○

3.一元一次不等式

（1）求解的一般步驟為：①去分母；②去括號；③移項；④合并同類項；⑤系數(shù)化為1.（2）一元一次不等式和一元一次方程的異同：

一致點：二者都是只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)都是1，左右兩邊都是整式；不同點：一元一次不等式表示不等關(guān)系(用“＞〞、“＜〞、“≥〞、“≤〞連接)，一元一次方程表示相等關(guān)系(用“＝〞連接)；運用不等式的性質(zhì)對不等式進行變形時，要特別注意，在乘(除)同一個負數(shù)時數(shù)，要記住不等號的方向一定要改變。

（3）在用數(shù)軸表示不等式的解集時，要確定邊界和方向：①邊界：有等號的是實心圓圈，無等號的是空心圓圈；②方向：大向右，小向左。

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考點/易錯點1

判定一個方程是二元一次方程必需同時滿足三個條件：方程兩邊的代數(shù)式都是整式——整式方程；含有兩個未知數(shù)——“二元〞；含有未知數(shù)的項的最高次數(shù)為1——“一次〞?？键c/易錯點2

不等式的解集與不等式的解的區(qū)別:解集是能使不等式成立的未知數(shù)的取值范圍，是所

有解的集合，而不等式的解是使不等式成立的未知數(shù)的值.解集包括解，所有的解組成解集?？键c/易錯點3

解一元一次不等式的本卷須知

變形名稱①不含分母的項不能漏乘；去分母②注意分數(shù)線有括號作用，去掉分母后，如分子是多項式，要加括號；③不等式兩邊同乘以的數(shù)是個負數(shù)，不等號方向改變。①運用分派律去括號時，不要漏乘括號內(nèi)的項；去括號②假使括號前是“—〞號，去括號時，括號內(nèi)的各項要變號。移項合并同類項移項變號合并同類項只是將同類項的系數(shù)相加，字母及字母的指數(shù)不變。①分子、分母不能顛倒；系數(shù)化1②不等號改不改變由系數(shù)a的正負性決定；③計算順序：先算數(shù)值后定符號。本卷須知三、例題精析

?2x?y?5（2023?涼山州）已知方程組?，則x+y的值為（）

x?3y?5?A．﹣1D．解：?0B．2C．3D．?2x?y?5①?x?3y?5②，②×2得，2x+6y=10③，③﹣①得，5y=5，解得y=1，

把y=1代入①得，2x+1=5，解得x=2，

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所以，方程組的解是??x?2，所以，x+y=2+1=3．

?y?1此題考察的是二元一次方程組的解法，方程組中未知數(shù)的系數(shù)較小時可用代入法，當未知數(shù)的系數(shù)相等或互為相反數(shù)時用加減消元法較簡單．

?x?m?3x?4y?2k?3已知二元一次方程組?的解為?，且m+n=2，求k的值．

2x?y?3k?4y?n???3m?4n?2k?3?m?k?2?由題意得?2m?n?3k?4，（2）+（3）得：?，代入（1）得：k=3．

?n??k?m?n?2?此題的實質(zhì)是考察三元一次方程組的解法．需要對三元一次方程組的定義有一個深刻的理解．通過解方程組，了解把“三元〞轉(zhuǎn)化為“二元〞、把“二元〞轉(zhuǎn)化為“一元〞的消元的思想方法，從而進一步理解把“未知〞轉(zhuǎn)化為“已知〞和把繁雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題的思想方法．解三元一次方程組的關(guān)鍵是消元．解題之前先觀測方程組中的方程的系數(shù)特點，認準易消的未知數(shù)，消去未知數(shù)，組成元該未知數(shù)的二元一次方程組．

已知等式（3A﹣B）x+（2A+5B）=5x﹣8對于一切實數(shù)x都成立，則A，B的值為（）

?A?1?A．B??2??A?6B．?B??4??A?1C．?B?2??A?2D．?B?1?A．原式可化為（3A﹣B﹣5）x+（2A+5B+8）=0，由于對于一切實數(shù)x都成立，

?3A?B?5?0?A?1故?，解得?．

2A?5B?8?0B??2??根據(jù)條件“對于一切實數(shù)x都成立〞，將原式轉(zhuǎn)化為關(guān)于A、B的二元一次方程組解答，表達了轉(zhuǎn)化思想的應用。

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?ax?2y?3方程組?的解適合y＞x＞0，則a的取值范圍是（）

2x?y?1?A．﹣3＜a＜2B．2＜a＜5C．1＜a＜4D．﹣4＜a＜15?ax?2y?3①D．解：?，②×2得，4x﹣2y=2③，①+③得，（a+4）x=5，解得x=，

a+42x?y?1②?5?x??56?a?a?4，把x=代入②得，y=，∴方程組的解是?a+4a?4?y?6?a?a?4?5?6?a＞③??a?4a?4∵y＞x＞0，∴?，解不等式③得，a＜1，解不等式④得，a＞﹣4，

5?＞0④?a?4?∴a的取值范圍是﹣4＜a＜1．

先求出二元一次方程組的解然后列出關(guān)于a的一元一次不等式組是解題的關(guān)鍵。

?2x?y?5a（2023?永春）已知關(guān)于x，y的方程組?的解滿足x+y＞10，則a的取

x?2y?a?值范圍是．

?2x?y?5a①a＞5?！?，①+②得，3（x+y）=6a，解得x+y=2a，

?x?2y?a②∵x+y＞10，∴2a＞10，解得a＞5．

先把a當作已知條件求出x+y的值，再根據(jù)x+y＞10即可求出a的不等式．

?x?2y?3關(guān)于x、y的方程組?，請你分析a、b取何值時，方程組解的狀況．

?2x?ay?b?x?2y?3①6?b解：?，①×2﹣②得：y=。探討：①當a≠﹣4，b≠6時有無窮解．②

2x?ay?b②4?a?當a=﹣4時無解．③a≠﹣4，b=6時有唯一解．

此題主要考察了二元一次方程組的解法和分式的性質(zhì)，在解題時要注意分類探討．

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?3?x?2??x?4①?（2023?自貢）解不等式組：?2x?1并寫出它的所有的整數(shù)解．

＞x?1②??3?3?x?2??x?4①?解：?2x?1，解不等式①得，x≥1，解不等式②得，x＜4，

＞x?1②??3所以，不等式組的解集是1≤x＜4，所以，不等式組的所有整數(shù)解是1、2、3．

此題主要考察了一元一次不等式組解集的求法，其簡便求法就是用口訣求解．求不等式組解集的口訣：都大取大，都小取小，大小小大中間找，大大小小找不到（無解）．

?xx?1?＞0??23（2023?荊門）試確定實數(shù)a的取值范圍，使不等式組?恰5a+44?x+＞?x?1??a?33?有兩個整數(shù)解．

xx+12＞0，兩邊同乘以6得3x+2（x+1）＞0，解得x＞﹣，+2355a+44由x+＞(x+1)+a，兩邊同乘以3得3x+5a+4＞4（x+1）+3a，解得x＜2a，

332∴原不等式組的解集為﹣＜x＜2a．

5解：由

又∵原不等式組恰有2個整數(shù)解，即x=0，1；則2a較大值在1（不含1）到2（含2）之間，∴1＜2a≤2，∴0.5＜a≤1．

此題考察的是一元一次不等式的解法，得出x的整數(shù)解，再根據(jù)x的取值范圍求出a的值即可．

?3x?y?2a?5若關(guān)于x，y的方程組?的解為正數(shù)，求a的取值范圍．

x?2y?3a?3?解：??3x?y?2a?5①?x?2y?3a?3②，①×2得，6x﹣2y=4a﹣10③，②+③得，7x=7a﹣7，解得

x=a﹣1，把x=a﹣1代入①得，3（a﹣1）﹣y=2a﹣5，解得y=a+2，

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?x?a?1?a?1＞0③所以，方程組的解是?，∵方程組的解是正數(shù)，∴?，

y?a?2a?2＞0④??解不等式③得，a＞1，解不等式④得，a＞﹣2，所以，不等式組的解集是a＞1，

此題考察的是含參數(shù)的二元一次方程組的解法，一元一次不等式組的解法，此類題目，先確鑿求出方程組的解是解題的關(guān)鍵。

有收錄機、鋼筆和書包三種物品，若購買收錄機3臺，鋼筆6支，書包2個共需302元，若購買收錄機5臺，鋼筆11支，書包3個共需508元，則購買收錄機、鋼筆、書包各一個需要元．

96．解：設(shè)收錄機、鋼筆和書包三種物品的單價分別為x、y和z元，

?3x?6y?2z?302①根據(jù)題意得：?，②﹣①得：2x+5y+z=206③，①﹣③得：x+y+z=96，

5x?11y?3z?508②?∴購買收錄機、鋼筆、書包各一個需要96元．

此題考察不定方程及三元一次方程組的應用，將生活中的事件用數(shù)學思想進行求解．

假使2x+3y-z=0，且x-2y+z=0，那么?A．17B．?15x的值為（）z1C．2D．﹣3?2x?3y?z＝0①xx1A．?，①×2+②×3得7x+z=0，即z=-7x，所以=??。

x?2y?z＝0②z?7x7?由于兩個方程含有三個未知數(shù)，為不定方程組，只能用一個未知數(shù)來表示另外兩個未知數(shù)，然后化簡

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x。z特性化教案

x2+y2+z2已知3x﹣4y﹣z=0，2x+y﹣8z=0，求的值．

xy+yz+zx解：由3x﹣4y﹣z=0，2x+y﹣8z=0求得x=3z，y=2z，代入原式，原式=

9+4+114=．

6+2+311本由已知條件列出方程組，用含z的式子把x，y表示出來，再代入代數(shù)式求值．

一個兩位數(shù)，交換它的十位數(shù)字與個位數(shù)字所得的兩位數(shù)是原來兩位數(shù)的則這樣的兩位數(shù)有（）A．1個B．2個C．3個D．4個7倍，4D．設(shè)原兩位數(shù)的個位數(shù)為x，十位數(shù)為y（x，y為自然數(shù)），原兩伴數(shù)為10y+x，新兩位數(shù)為10x+y，根據(jù)題意得：10x+y=

7?10y?x?，化簡得：x=2y，由于x，y為1﹣9內(nèi)4的自然數(shù)，故12、24、36、48，共4個．

此題考察了二元一次方程的應用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出適合的等量關(guān)系列出方程，再求解，注意不要漏解．

1．現(xiàn)用190張鐵皮做盒子，每張鐵皮做8個盒身或做22個盒底，而一個盒身與兩個盒底配成一個盒子，設(shè)用x張鐵皮做盒身，y張鐵皮做盒底，則可列方程組為（）

?x?y?190?A．2?8x?22y??x?y?190B．?2?22y?8x??2y?x?190C．?8x?22y??2y?x?190D．?2?8x?22y?A．解：根據(jù)共有190張鐵皮，得方程x+y=190；根據(jù)做的盒底數(shù)等于盒身數(shù)的2

?x?y?190倍時才能正好配套，得方程2×8x=22y．列方程組為?．

2?8x?22y?題中的等量關(guān)系：①共有190張鐵皮；②盒底數(shù)=2×盒身數(shù)．

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特性化教案

（2023?長春）在長為10m，寬為8m的矩形空地中，沿平行于矩形各邊的方向分割出三個全等的小矩形花圃，其示意圖如下圖．求小矩形花圃的長和寬．

?2x?y?10?x?4解：設(shè)小矩形的長為xm，寬為ym，由題意得：?，解得：?．

x?2y?8y?2??答：小矩形的長為4m，寬為2m．

由圖形可看出：小矩形的2個長+一個寬=10m，小矩形的2個寬+一個長=8m，設(shè)出長和寬，列出方程組即可得答案．

甲市到乙市航線長1200km，一架飛機從甲市順風航行至乙市需2.5h，從乙市逆風航行至甲市需要3h，求飛機的速度與風速．

13??x?y??2.5?1200?x?420?解：設(shè)飛機的速度為xkm/h，風速為ykm/h．則?，解得?1??x?y?3?1200y?60??3?答：飛機的速度為420km/h，風速為60km/h．

在做飛機飛行的問題時，尋常要用到的等量關(guān)系為：（飛機的速度+風速）×順風時間=順風路程；（飛機的速度﹣風速）×逆風時間=逆風路程．

（2023?西寧）青海新聞網(wǎng)訊：西寧市為加大向國家環(huán)境保護模范城市大步邁進的步伐，積極推進城市綠地、主題公園、休閑場地建設(shè)．園林局利用甲種花卉和乙種花卉搭配成A、B兩種園藝造型擺放在夏都大道兩側(cè)．搭配數(shù)量如下表所示：

A種園藝造型（個）B種園藝造型（個）甲種花卉（盆）80盆50盆乙種花卉（盆）40盆90盆10

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（1）若搭配一個A種園藝造型和一個B種園藝造型共需500元．若園林局搭配A種園藝造型32個，B種園藝造型18個共投入11800元．則A、B兩種園藝造型的單價分別是多少元？（2）若搭配A、B兩種園藝造型共50個，某校學生課外小組承接了搭配方案的設(shè)計，其中甲種花卉不超過3490盆，乙種花卉不超過2950盆，問符合題意的搭配方案有幾種？請你幫忙設(shè)計出來．

解：（1）設(shè)A種園藝造型單價為x元，B種園藝造型單價為y元，根據(jù)題意得：

?x?y?500?x?200，解此方程組得：?，?32x?18y?11800y?300??答：A種園藝造型單價是200元，B種園藝造型單價是300元．

（2）設(shè)搭配A種園藝造型a個，搭配B種園藝造型（50﹣a）個，根據(jù)題意得：

?80a?50?50?a??3490，解此不等式組得：31≤a≤33，???40a?9050?a?2950?∵a是整數(shù)，∴符合題意的搭配方案有3種，如下：

方案1方案2方案3A種園藝造型（個）313233B種園藝造型（個）191817（1）先設(shè)A種園藝造型單價為x元，B種園藝造型單價為y元，根據(jù)搭配一個A種園藝造型和一個B種園藝造型共需500元，園林局搭配A種園藝造型32個，B種園藝造型18個共投入11800元，列出方程組，求出x，y的值即可；（2）設(shè)搭配A種園藝造型a個，搭配B種園藝造型（50﹣a）個，根據(jù)甲種花卉不超過3490盆，乙種花卉不超過2950盆，列出不等式組，求出a的取值范圍，即可得出符合題意的搭配方案．

某城市出租車的收費標準是：起步價7元（即行駛距離不超過3千米都需付7元車費），超過3千米，每增加l千米，加收2.4元（不足1千米按1千米付費）．某人乘這種出租車從甲地到乙地共付車費19元，他乘出租車從甲地到乙地行駛的路程不超過多少千米？解：設(shè)他乘此出租車從甲地到乙地行駛的路程是x千米，依題意：7+2.4（x﹣3）≤19，解得：x≤8．

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答：他乘此出租車從甲地到乙地行駛路程不超過8千米．

已知從甲地到乙地共需支付車費19元，從甲地到乙地經(jīng)過的路程為x千米，首先去掉前3千米的費用，從而根據(jù)題意列出不等式，從而得出答案．

列不等式組解應用題：一群女生住若干間宿舍，每間住4人，剩19人無房??；每間住6人，有一間宿舍住不滿，可能有多少間宿舍，多少名學生？解：設(shè)有x間宿舍．0＜4x+19﹣6（x﹣1）＜6，9.5＜x＜12.5∴x可取10、11或12，∴學生數(shù)為59或63或67人．

答：有10間宿舍59名學生或11間宿舍，63名學生或12間宿舍，67名學生．設(shè)宿舍數(shù)為未知數(shù)，根據(jù)最終一間宿舍住不滿列式求出整數(shù)解即可．

某次知識競賽共有25道選擇題，規(guī)定答對一道題得4分，答錯或不答一道題扣1分．在這次競賽中，小明被評為優(yōu)秀（85分或85分以上）請問小明至少要答對幾道題？小明可能答對了幾道題？

解：設(shè)小明答對了x道題，則他答錯或不答的共有（25﹣x）道題，由題意得

4x﹣（25﹣x）×1≥85，解得x≥22．

答：小明至少答對了22道題，他可能答對了22，23，24或25道題．

將答對題數(shù)所得的分數(shù)減去答錯或不答所扣的分數(shù)，在由題意知小明答題所得的分數(shù)大于等于85分，列出不等式即可．

四、課堂運用

?2x?m?1①1.（2023?雅安）由方程組?可得出x與y的關(guān)系是（）

y?3?m②?2x+y=4A．B．2x﹣y=4C．2x+y=﹣4D．2x﹣y=﹣4?2x?m?1①A．解：?，把②代入①得2x+y﹣3=1，即2x+y=4．

y?3?m②?12

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把②中m的值代入①即可求出x與y的關(guān)系式．

?x?4?y?32.假使方程組?的解與方程組?的解一致，則a，b的值是（）

ax?by?5bx?ay?2???a?2A．?b?1??a?2B．?b??1??a??2C．?b?1??a??2D．?b??1??x?4B．解法一：由于兩個方程組的解一致，所以這個一致的解是?，

y?3??x?4?4a?3b?5?a?2把?代入方程中其余兩個方程得?，解得?．

?b??1?y?3?4b?3a?2解法二：把兩個方程相加得7a+7b=7，∴a+b=1，只有答案B滿足此條件。此題考察了對同解方程組解的理解。

3.某次知識競賽共有20道選擇題，對于每一道題，答對了得10分，答錯或不答扣3分，小明要想得分不少于70分，請問他至少要答對幾道題（）12A．13B．10C．16D．C．解：設(shè)答對了x道題，則答錯或不答的題為（20﹣x）道，依題意得：10x﹣3（20﹣x）≥70，得x≥10，即至少要答對10道題．

關(guān)鍵描述語：其得分不少于70分，即答對題的總分減去不答或答錯題的總分應大于等于70分，列出不等式求解即可．

4.已知不等式4x﹣a≤0的正整數(shù)解是1，2，則a的取值范圍是．

a，由于正整數(shù)解是1，2，而只有當4a不等式的解集為x≤2，x≤2.1，x≤2.2等時，但x＜3時，其整數(shù)解才為1，2，則2≤＜3，

48≤a＜12解：不等式4x﹣a≤0的解集是x≤即a的取值范圍是8≤a＜12．

先求出不等式的解集，再根據(jù)整數(shù)解為1，2逆推a的取值范圍．

13

特性化教案

?2x?y?2a5.已知關(guān)于x，y的二元一次方程組?的解互為相反數(shù)，求x，y，a的值．

3x?2y?4?2a?①?2x?y?2a?解：由題意得，?3x?2y?4?2a②，①+②得，5x+3y=4④，④﹣③×3得，2x=4，

?x?y?0③?解得x=2，把x=2代入③得，2+y=0，y=﹣2，把x=2，y=﹣2代入①得，2×2﹣2=2a，a=1．故a=1，x=2，y=﹣2．

先根據(jù)已知條件得出三元一次方程組，再解關(guān)于x、y、z的三元一次方程組．

?x?y?2?6.假使方程組?y?z?3，的解也是方程3x+my+2z=0的解，求m的值．

?z?x?1??x?y?2①?z?x?1?解：?y?z?3②，①+②，得x﹣z=5④，③④組成方程組?，

x?z?5??z?x?1③??x?3解得?，把x=3代入①，得y=1，

z??2??x?3?x?3??故原方程組的解是?y?1，把?y?1代入3x+my+2z=0，得9+m﹣4=0，解得m=﹣5．

?z??2?z??2??此題考察了解三元一次方程組，解題的關(guān)鍵是把握消元思想．

?2x?y?2a7.已知關(guān)于x，y的方程組?的解滿足x＞y，求a的取值范圍．

x?3y?a?1?2?2x?y?2a①解：?，②×2﹣①得：7y=﹣2，y=﹣，

7?x?3y?a?1②把y=﹣

221121代入①得：2x﹣（﹣）=2a，解得：x=a﹣，x＞y，∴a﹣＞﹣，∴a＞﹣。777777先用加減消元法消去未知數(shù)x，同時也消去了a從而求出y的值，把y的值代入方程即可求出x的值，然后把x、y的值代入不等式，即可求出a的取值范圍。

14

特性化教案

?x?y?1?8.解三元一次方程組：?x?y?z?26

?2x?y?z?18?①?x?y?1?解：已知方程組，?x?y?z?26②，將方程①+②得，2x+z=27④，將方程②+

?2x?y?z?18③?③得，3x+2z=44⑤，將④×3﹣⑤×2得z=7，將z值代入⑤得，x=10，把x=10代入①得，y=9．

?x?10?∴三元一次方程組的解為?y?9．

?z?7?此題考察三元一次方程解的定義和解法，解三元一次方程跟解二元一次方程組一樣，首先要消元，然后再移項、系數(shù)化為1，來求解，同時也考察學生的計算能力．

?x?39.甲、乙兩人同求方程ax﹣by=7的整數(shù)解，甲求出一組解為?，而乙把ax﹣by=7中的

y?4??x?17錯看成1，求得一組解為?，試求a、b的值．

y?2?解：把x=3，y=4代入ax﹣by=7中，得3a﹣4b=7①，

?a?5把x=1，y=2代入ax﹣by=1中，得a﹣2b=1②，解由①②組成的方程組得，?．

b?2?此題考察了學生的分析能力，解題的關(guān)鍵是找到關(guān)于a、b的方程組．

10.有一個專項加工茶杯車間，一個工人每小時平均可以加工杯身12個，或者加工杯蓋15個，車間共有90人，應怎樣分派人力，才能使生產(chǎn)的杯身和杯蓋正好配套？解：設(shè)加工杯身的人數(shù)為x人，加工杯蓋的人數(shù)為y人，由題意，得：

?x?y?90?x?50，解得．???12x?15y?y?40答：加工杯身的人數(shù)為50人，加工杯蓋的人數(shù)為40人．

等量關(guān)系：加工杯身人數(shù)+加工杯蓋人數(shù)=90，加工的杯身個數(shù)=加工的杯蓋個數(shù)。

15

特性化教案

1.與已知二元一次方程5x﹣y=2組成的方程組有無數(shù)多個解的方程是（）10x+2y=4A．B．4x﹣y=7C．20x﹣4y=3D．15x﹣3y=6D。解：15x﹣3y=6化簡得：5x﹣y=2，則15x﹣3y=6與二元一次方程5x﹣y=2組成的方程組有無數(shù)多個解．

找出方程整理后與已知方程一致的方程即可．

2.某校組織部分師生到甲地考察，學校到甲地的全程票價為25元，對集體購票，客運公司有兩種優(yōu)惠方案供選擇：方案1：所有師生按票價的88%購票；方案2：前20人購全票，從第21人開始，每人按票價的80%購票．你若是組織者，請你根據(jù)師生人數(shù)探討選擇哪種方案更省錢？

解：設(shè)師生人數(shù)為x人，則按方案1：收費為25×88%?x=22x；按方案2收費為：25×20+25（x﹣20）80%=20x+100；

答：（1）由22x＜20x+100得x＜50，即當0

特性化教案

?3x?7y?3①3.用加減消元法解方程組?的最正確策略是（）

9x?2y?23②?②﹣①×3，消去xA．

C．①×2+②×7，消去y

B．①×9﹣②×3，消去xD．①×2﹣②×7，消去y

A．解：∵②中x的系數(shù)為①中x系數(shù)的倍數(shù)，故把①進行變形先消去x較簡單．∴②﹣①×3，消去x較簡單．

注意觀測兩方程的特點，尋覓相應的未知數(shù)之間的關(guān)系，消去易通分的未知數(shù)即可．

4.（2023?XX）《九章算術(shù)》是我國東漢年間編訂的一部數(shù)學經(jīng)典著作，在它的“方程〞一章里一次方程組是由算籌布置而成的．《九章算術(shù)》中的算籌圖是豎排的，為看圖便利，把它改為橫排，如圖（1）、（2），圖中各行從左到右列出的算籌數(shù)分別表示未知數(shù)x，y的系數(shù)與

?3x?2y?19對應的常數(shù)項，把圖（1）所示的算籌圖中方程組形式表述出來，就是?類似地，

x?4y?23?圖（2）所示的算籌圖可表述為（）

?2x?y?11?A．4x?3y?27??2x?y?11B．?4x?3y?22??3x?2y?19C．?x?4y?23??2x?y?6D．?4x?3y?27?A．根據(jù)已知，第一個方程是2x+y=11；其次個方程是4x+3y=27，則方程組為

?2x?y?11．?4x?3y?27?結(jié)合已知的方程組理解算籌表示的實際數(shù)字，發(fā)現(xiàn)：前兩項是x、y的系數(shù)，后一項為哪一項方程右邊的常數(shù)項，十位數(shù)用橫線表示，個位數(shù)用豎線表示，滿五用橫線表示．

5.若不等式a≤x≤2有五個整數(shù)解，則a的取值范圍是．

﹣3＜a≤﹣2。解：∵不等式a≤x≤2有五個整數(shù)解，∴﹣3＜a≤﹣2，

21

特性化教案

根據(jù)不等式的解集和不等式的整數(shù)解的個數(shù)得出﹣3＜a≤﹣2，即可得到答案．

6.解方程（組）

?x?y?z??1?2?3x?1??3?3y?（1）?5x?2y?z?6（2）?．

3x?1?2y??4x?3y?2z??5?①?x?y?z??1?（1）?5x?2y?z?6②，①+②得：6x+y=5，④，②×2+③得：14x+y=7⑤，

?4x?3y?2z??5③?117179，把x=代入④得：y=，把x=，y=代入①得：z=，4424241?x??4?7?則原方程的解是：?y?；

2?9?z??4?⑤﹣④得：8x=2，x=

?2?3x?1??3?3y?6x?3y?5①7（2）?，原方程變形為：?，①×2﹣②×3得：3x=7，x=，

3?3x?1?2y?3x?2y?1②7?7?x?把x=代入①得：y=3，則原方程的解是；?3．

3??y?3此題考察了一元一次方程的解、二元一次方程組和三元一次方程組的解．7.（2023?貴港）在校園文化建設(shè)中，某學校原計劃按每班5幅訂購了“名人字畫〞共90幅．由于新學期班數(shù)增加，決定從閱覽室中取若干幅“名人字畫〞一起分發(fā)，假使每班分4幅，則剩下17幅；假使每班分5幅，則最終一班不足3幅，但不少于1幅．（1）該校原有的班數(shù)是多少個？（2）新學期所增加的班數(shù)是多少個？解：（1）原有的班數(shù)為：

90=18個；5（2）設(shè)增加后的班數(shù)為x，則“名人字畫〞有4x+17，

?4x?17?5?x?1?＜3由題意得，?，解得：19＜x≤21，∵x為正整數(shù)，∴x可取20，21，

??4x?17?5x?1?1?22

特性化教案

故新學期所增加的班數(shù)為2個或3個．

此題考察了一元一次方程的應用，難點在其次問，關(guān)鍵是設(shè)出未知數(shù)，表示出“名人字畫〞的數(shù)量，根據(jù)不等關(guān)系建立不等式組，難度一般．

8.某旅行團到內(nèi)江欣賞在甜城湖舉行的“中美澳藝術(shù)滑水對抗賽〞，安排住宿時發(fā)現(xiàn)，假使每間宿舍住3人，則有18人沒有宿舍住；假使每間住6人，則有一間不空也不滿．求該旅行團有多少人及安排住宿的房間有多少間？

?y?3x?18解：設(shè)有房間x間，旅行團有y人，由題意，得?，解得：6＜x＜8，

?6?x?1?＜y＜6x∵x為整數(shù)，∴x=7，∴有房間7件．∴旅行團有3×7+18=39人

設(shè)有房間x間，旅行團有y人，就有y=3x+18，由題意可以建立不等式組6（x﹣1）＜y＜6x，求出不等式組的搭救可以得出結(jié)論．

9.某車間有工人56名，生產(chǎn)一種螺栓和螺母，每人每天平均能生產(chǎn)螺栓24個或螺母36個，應分派多少人生產(chǎn)螺栓，多少人生產(chǎn)螺母，才能使一個螺栓配2個螺母剛好配套？解：設(shè)應分派x人生產(chǎn)螺栓，y人生產(chǎn)螺母，才能使一個螺栓配2個螺母剛好配套，

?x?y?56?x?24根據(jù)題意，得?，解得?

36y?2?24xy?32??答：應分派24人生產(chǎn)螺栓，32人生產(chǎn)螺母．

此類題目的解決需細心分析題意，利用方程組即可解決問題，但應注意配套問題中零件數(shù)目的關(guān)系．

?2?x?y?x?y1????10.（2023?黃岡）解方程組：?3412．

?3?x?y??2?2x?y?=3??5x?11y??1①解：方程組可化為?，由②得，x=5y﹣3③，

?x?5y?3②?③代入①得，5（5y﹣3）﹣11y=﹣1，解得y=1，把y=1代入③得，x=5﹣3=2，

23

特性化教案

?x?2所以，原方程組的解是?．

y?1?此題考察的是二元一次方程組的解法，方程組中未知數(shù)的系數(shù)較小時可用代入法，當未知數(shù)的系數(shù)相等或互為相反數(shù)時用加減消元法較簡單．

?3x?y?11.已知關(guān)于x、y的方程組?無解，則m的值是（）

2x?my?2?A．m=﹣6

B．m=﹣32C．m=﹣23m=6D．①?3x?y?1C．解：原方程組?，由①式得y=3x﹣1，代入②式得：2x+m

2x?my?2②?（3x﹣1）=2，x=

2+m2，∵原方程組無解，∴當2+3m=0時原方程組無解，m=﹣．

2+3m3由第一個方程可得到y(tǒng)=3x﹣1，把此式代入其次個方程求x的解，當分式分母為零時原方程無解，求m的值即可．

2.（2023?甘孜州）為了勉勵居民儉約用水，某地規(guī)定用水收費標準如下：若每戶每月的用水量不超過20方（1方=1米），水費為x元/方；若超過20方，不超過部分仍為x元/方，超過部分為y元/方．已知某用戶四月份用水l5方，交水費30元，五月份用水30方，交水費70元．

（1）求x，y的值；

（2）若估計該用戶六月份的水費支出不少于64元，但不超過91元．求該用戶六月份的用水量W的取值范圍．

解：（1）根據(jù)題意得：x=30÷15=2；y=（70﹣20×2）÷（30﹣20）=3；

（2）根據(jù)題意得：64≤20×2+3（W﹣20）≤91，解得：28≤W≤37，即該用戶六月份的用水量W的取值范圍為28≤W≤37．

（1）根據(jù)某用戶四份用水15方，交水費30元，五月份用水30方，交水費70元，分別求出x和y的值即可；（2）根據(jù)該用戶六月份的水費支出不少于64元，但不超過91元

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3

特性化教案

列一元一次不等式組求解即可．

3.已知關(guān)于x，y的二元一次方程（a﹣3）x+（2a﹣5）y+6﹣a=0，當a每取一個值時就有一個方程，這些方程有一個公共解．（1）求出這個公共解；

（2）請說明，無論a取何值，這個公共解都是二元一次方程（a﹣3）x+（2a﹣5）y+6﹣a=0的解．

解：（1）原方程去括號整理得：（x+2y﹣1）a﹣3x﹣5y+6=0，由題意得：

?x?2y?1?0?x?7，解得；??y??3?3x?5y?6?0??（2）∵把（a﹣3）x+（2a﹣5）y+6﹣a=0化為下面的形式：（x+2y﹣1）a﹣3x﹣5y+6=0，

?x?2y?1?0?x?7∴?，解得?

?y??3??3x?5y?6?0∴無論a取何值，這個公共解都是二元一次方程（a﹣3）x+（2a﹣5）y+6﹣a=0的解（1）先把原方程去括號整理得出（x+2y﹣1）a﹣3x﹣5y+6=0，再由題意得出

?x?2y?1?0，解方程即可；（2）依照（1）的思路去做。??3x?5y?6?0?

4.（2023?雙流縣）雙流縣新城濕地公園工程指揮部計劃在休閑地帶鋪設(shè)地磚1600m，由甲、乙兩個工程隊合作完成．假使甲工程隊先單獨做5天，余下工程由乙隊單獨完成需要2天；假使甲工程隊先單獨做2天，余下工程由乙隊單獨完成需要4天．那么甲、乙兩個工程隊哪一個工程隊的工作效率高？高多少？

解：設(shè)甲隊每天鋪地磚xm，乙隊每天鋪地磚ym

2

2

2

?5x?2y?1600?x?200由題意得：?，解之得：?，∴y﹣x=100

2x?4y?1600y?300??答：乙隊的工作效率高于甲隊工作效率，高100m/天．

此題考察理解題意的能力，關(guān)鍵是設(shè)出甲，乙每天鋪多少米，然后根據(jù)鋪完1600米做為等量關(guān)系列方程求解．

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2

特性化教案

?3x?y?5?2x?3y?4?05.已知關(guān)于x、y的方程組?與?有一致的解，求a、b的值．

4ax?5by??22ax?by?8?0???19x???3x?y?5?7，解：據(jù)題意得?，解得??2x?3y?4?0?y?22?7?11014?76?a?b??22a?????719．代入其他兩個方程，可得方程組為?7，解得??19a?22b?8?0?b??21??711??7此題比較繁雜，考察了學生對方程組有公共解定義的理解能力及應用能力．

1.（2023?鄭州模擬）某工廠用如圖1所示的長方形和正方形紙板，做成如圖2所示的A種與B種兩種長方體形狀的無蓋紙盒．現(xiàn)有正方形和長方形紙板共502張，其中正方形紙版比長方形紙板少138張．

（1）求長方形紙板和正方形