統(tǒng)計法課件10第10章方差分析

第10章方差分析PowerPoint統(tǒng)計學10.1方差分析引論10.2單因素方差分析10.3雙因素方差分析第10章方差分析學習目標解釋方差分析的概念解釋方差分析的基本思想和原理掌握單因素方差分析的方法及應用理解多重比較的意義掌握雙因素方差分析的方法及應用10.1方差分析引論10.1.1方差分析及其有關術語10.1.2方差分析的基本思想和原理10.1.3方差分析的基本假定10.1.4問題的一般提法方差分析及其有關術語什么是方差分析(ANOVA)?

(analysisofvariance)檢驗多個總體均值是否相等通過分析數(shù)據(jù)的誤差判斷各總體均值是否相等實質(zhì)是研究分類型自變量對數(shù)值型因變量的影響一個或多個分類型自變量一個數(shù)值型因變量有單因素方差分析和雙因素方差分析單因素方差分析：涉及一個分類的自變量雙因素方差分析：涉及兩個分類的自變量什么是方差分析?

(例題分析)消費者對四個行業(yè)的投訴次數(shù)行業(yè)觀測值零售業(yè)旅游業(yè)航空公司家電制造業(yè)12345675766494034534468392945565131492134404451657758【例10.1】為了對幾個行業(yè)的服務質(zhì)量進行評價，消費者協(xié)會在4個行業(yè)分別抽取了不同的企業(yè)作為樣本。最近一年中消費者對總共23家企業(yè)投訴的次數(shù)如下表什么是方差分析?

(例題分析)分析4個行業(yè)之間的服務質(zhì)量是否有顯著差異，也就是要判斷“行業(yè)”對“投訴次數(shù)”是否有顯著影響（分類變量“行業(yè)”對數(shù)值型變量“投訴次數(shù)”是否有影響）作出這種判斷最終被歸結為檢驗這四個行業(yè)被投訴次數(shù)的均值是否相等（多個總體的均值是否相等）若它們的均值相等，則意味著“行業(yè)”對投訴次數(shù)是沒有影響的，即它們之間的服務質(zhì)量沒有顯著差異；若均值不全相等，則意味著“行業(yè)”對投訴次數(shù)是有影響的，它們之間的服務質(zhì)量有顯著差異方差分析中的有關術語因素或因子(factor)所要檢驗的對象，通常是分類變量分析行業(yè)對投訴次數(shù)的影響，行業(yè)是要檢驗的因子水平或處理(treatment)因子的不同表現(xiàn)零售業(yè)、旅游業(yè)、航空公司、家電制造業(yè)觀察值在每個因素水平下得到的樣本數(shù)據(jù)每個行業(yè)被投訴的次數(shù)方差分析中的有關術語試驗這里只涉及一個因素，因此稱為單因素4水平的試驗若設計到兩個因素，則稱為雙因素試驗總體因素的每一個水平可以看作是一個總體零售業(yè)、旅游業(yè)、航空公司、家電制造業(yè)是4個總體樣本數(shù)據(jù)被投訴次數(shù)可以看作是從這4個總體中抽取的樣本數(shù)據(jù)方差分析的基本思想和原理方差分析的基本思想和原理

(例題分析)消費者對四個行業(yè)的投訴次數(shù)行業(yè)觀測值零售業(yè)旅游業(yè)航空公司家電制造業(yè)12345675766494034534468392945565131492134404451657758【例10.1】為了對幾個行業(yè)的服務質(zhì)量進行評價，消費者協(xié)會在4個行業(yè)分別抽取了不同的企業(yè)作為樣本。最近一年中消費者對總共23家企業(yè)投訴的次數(shù)如下表方差分析的基本思想和原理

(圖形分析—散點圖)

零售業(yè)旅游業(yè)航空公司家電制造從散點圖上可以看出不同行業(yè)被投訴的次數(shù)有明顯差異同一個行業(yè)，不同企業(yè)被投訴的次數(shù)也明顯不同家電制造被投訴的次數(shù)較高，航空公司被投訴的次數(shù)較低行業(yè)與被投訴次數(shù)之間有一定的關系如果行業(yè)與被投訴次數(shù)之間沒有關系，那么它們被投訴的次數(shù)的平均值應該差不多相同，在散點圖上所呈現(xiàn)的模式也就應該很接近，但散點圖的表現(xiàn)卻并非如此。方差分析的基本思想和原理

(圖形分析)散點圖觀察不能提供充分的證據(jù)證明不同行業(yè)被投訴的次數(shù)之間有顯著差異這種差異可能是由于抽樣的隨機性所造成的需要有更準確的方法來檢驗這種差異是否顯著，也就是進行方差分析之所以叫方差分析，因為雖然我們感興趣的是均值，但在判斷均值之間是否有差異時則需要借助于方差這個名字也表示：它是通過對數(shù)據(jù)誤差來源的分析判斷不同總體的均值是否相等。因此，進行方差分析時，需要考察數(shù)據(jù)誤差的來源方差分析的基本思想和原理方差分析的基本思想和原理

(兩類誤差)隨機誤差因素的同一水平(總體)下，樣本各觀察值之間的差異比如，同一行業(yè)下不同企業(yè)被投訴次數(shù)之間的差異這種差異可以看成是隨機因素的影響，稱為隨機誤差

系統(tǒng)誤差因素的不同水平(不同總體)之間觀察值的差異比如，不同行業(yè)之間的被投訴次數(shù)之間的差異這種差異可能是由于抽樣的隨機性所造成的，也可能是由于行業(yè)本身所造成的，后者所形成的誤差是由系統(tǒng)性因素造成的，稱為系統(tǒng)誤差方差分析的基本思想和原理

(誤差平方和—SS)數(shù)據(jù)的誤差用平方和(sumofsquares)表示組內(nèi)平方和

(誤差平方/殘差平方)記為SSE(SumSquaredError)因素的同一水平下數(shù)據(jù)誤差的平方和,反映了每個樣本內(nèi)各觀測值的總離散狀況比如，零售業(yè)被投訴次數(shù)的誤差平方和只包含隨機誤差組間平方和

(因素平方和)記為SSA(SumofSquaresforfactorA)因素的不同水平之間數(shù)據(jù)誤差的平方和，反映了樣本均值之間的差異程度比如，4個行業(yè)被投訴次數(shù)之間的誤差平方和既包括隨機誤差，也包括系統(tǒng)誤差方差分析的基本思想和原理

(均方—MS)若不同行業(yè)對投訴次數(shù)沒有影響，則在組間誤差中只包含隨機誤差，而沒有系統(tǒng)誤差。因此組間誤差的均值和組內(nèi)誤差的均值（又稱均方或均方差，即方差除以其自由度）就很接近，兩者的比值就會接近1若不同行業(yè)對投訴次數(shù)有影響，則組間誤差中除了隨機誤差還包含系統(tǒng)誤差，因此組間均方會大于組內(nèi)均方，它們之間的比值就會大于1當這個比值大到某種程度時，就可以說不同水平之間存在著顯著差異，即自變量對因變量有影響判斷行業(yè)對投訴次數(shù)是否有顯著影響，也就是檢驗被投訴次數(shù)的差異主要是由于什么原因所引起的。如果這種差異主要是系統(tǒng)誤差，說明不同行業(yè)對投訴次數(shù)有顯著影響方差分析的基本假定方差分析的基本假定每個總體都應服從正態(tài)分布對于因素的每一個水平，其觀察值是來自服從正態(tài)分布總體的簡單隨機樣本比如，每個行業(yè)被投訴的次數(shù)必須服從正態(tài)分布各個總體的方差必須相同各組觀察數(shù)據(jù)是從具有相同方差的總體中抽取的比如，4個行業(yè)被投訴次數(shù)的方差都相等觀察值是獨立的比如，每個行業(yè)被投訴的次數(shù)與其他行業(yè)被投訴的次數(shù)獨立方差分析中的基本假定在上述假定條件下，判斷行業(yè)對投訴次數(shù)是否有顯著影響，實際上也就是檢驗具有同方差的4個正態(tài)總體的均值是否相等如果4個總體的均值相等，可以期望4個樣本的均值也會很接近4個樣本的均值越接近，推斷4個總體均值相等的證據(jù)也就越充分樣本均值越不同，推斷總體均值不同的證據(jù)就越充分

方差分析中基本假定如果4個行業(yè)被投訴次數(shù)的均值都相等意味著每個樣本都來自均值為、方差為2的同一正態(tài)總體

Xf(X)1

2

3

4

方差分析中基本假定若至少有一個總體的均值是不同的4個樣本分別來自均值不同的4個正態(tài)總體

Xf(X)3

1

2

4

問題的一般提法問題的一般提法設因素有k個水平，每個水平的均值分別用1,2,,k

表示要檢驗k個水平(總體)的均值是否相等，需要提出如下假設：H0：

12…k

H1：

1,2,，k

不全相等10.2單因素方差分析10.2.1數(shù)據(jù)結構10.2.2分析步驟10.2.3關系強度的測量10.2.4方差分析中的多重比較單因素方差分析的數(shù)據(jù)結構

(one-wayanalysisofvariance)

觀察值(j)因素(A)i

水平A1水平A2…水平Ak12::n

x11x21…xk1x12x22…xk2::::::::x1n

x2n

…xkn分析步驟提出假設構造檢驗統(tǒng)計量統(tǒng)計決策提出假設一般提法H0

：m1=m2=…=mk

自變量對因變量沒有顯著影響

H1：m1

，m2

，…

，mk不全相等自變量對因變量有顯著影響

注意：拒絕原假設，只表明至少有兩個總體的均值不相等，并不意味著所有的均值都不相等

構造檢驗的統(tǒng)計量構造統(tǒng)計量需要計算各樣本的均值用于輔助計算組內(nèi)誤差和組間誤差全部觀察值的總均值用于輔助計算組間誤差誤差平方和均方(MS)

構造檢驗的統(tǒng)計量

(計算各樣本的均值)假定從第i個總體中抽取一個容量為ni的簡單隨機樣本，第i個總體的樣本均值為該樣本的全部觀察值總和除以觀察值的個數(shù)

計算公式為式中：ni為第i個總體的樣本觀察值個數(shù)

xij為第i個總體的第j個觀察值

構造檢驗的統(tǒng)計量

(計算全部觀察值的總均值)全部觀測值的總均值=全部觀察值的總和除以觀察值的總個數(shù)計算公式為構造檢驗的統(tǒng)計量

(例題分析)構造檢驗的統(tǒng)計量

(計算總誤差平方和SST)SST

=全部觀察值與總平均值的離差平方和反映全部觀察值的離散狀況構造統(tǒng)計量時沒有用到SST其計算公式為

前例的計算結果

SST=(57-47.869565)2+…+(58-47.869565)2=115.9295構造檢驗的統(tǒng)計量

(計算組間平方和SSA)SSA=各組平均值與總平均值的離差平方和（組間誤差）反映各總體的樣本均值之間的差異程度該平方和既包括隨機誤差，也包括系統(tǒng)誤差計算公式為

前例的計算結果SSA=1456.608696構造檢驗的統(tǒng)計量

(計算組內(nèi)平方和SSE)SSE=每個組的各樣本數(shù)據(jù)與其組平均值的離差平方和（組內(nèi)誤差）反映每個樣本各觀察值的離散狀況該平方和反映的是隨機誤差的大小計算公式為

前例的計算結果SSE=2708構造檢驗的統(tǒng)計量

(三個平方和的關系)總離差平方和(SST)、誤差項離差平方和(SSE)、水平項離差平方和(SSA)之間的關系SST=SSA+SSE前例的計算結果

4164.608696=1456.608696構造檢驗的統(tǒng)計量

(計算均方MS)各誤差平方和的大小與觀察值的多少有關，為消除觀察值多少對誤差平方和大小的影響，需要將其平均，這就是均方，也稱為方差均方由誤差平方和除以相應的自由度求得三個平方和對應的自由度分別是SST的自由度為n-1，其中n為全部觀察值的個數(shù)SSA的自由度為k-1，其中k為因素水平(總體)的個數(shù)SSE的自由度為n-k構造檢驗的統(tǒng)計量

(計算均方MS)組間方差：SSA的均方，記為MSA，計算公式為組內(nèi)方差：SSE的均方，記為MSE，計算公式為構造檢驗的統(tǒng)計量

(計算檢驗統(tǒng)計量F)當H0為真時，MSA和MSE的比值服從分子自由度為k-1、分母自由度為n-k的F分布，即構造檢驗的統(tǒng)計量

(F分布與拒絕域)如果均值相等，F(xiàn)=MSA/MSE1a

F分布F(k-1,n-k)0拒絕H0不能拒絕H0F統(tǒng)計決策

將統(tǒng)計量的值F與給定的顯著性水平的臨界值F進行比較，作出對原假設H0的決策根據(jù)給定的顯著性水平，在F分布表中查找與第一自由度df1＝k-1、第二自由度df2=n-k相應的臨界值F

若F>F

，則拒絕原假設H0

，表明均值之間的差異是顯著的，所檢驗的因素對觀察值有顯著影響若F<F

，則不拒絕原假設H0

，無證據(jù)表明所檢驗的因素對觀察值有顯著影響單因素方差分析表

(基本結構)誤差來源平方和(SS)自由度(df)均方(MS)F值P值F臨界值組間(因素影響)SSAk-1MSAMSAMSE組內(nèi)(誤差)SSEn-kMSE總和SSTn-1單因素方差分析

(例題分析)用Excel進行方差分析

(Excel分析步驟)第1步：選擇“工具”下拉菜單第2步：選擇【數(shù)據(jù)分析】選項第3步：在分析工具中選擇【單因素方差分析】

，然后選擇【確定】第4步：當對話框出現(xiàn)時

在【輸入?yún)^(qū)域】方框內(nèi)鍵入數(shù)據(jù)單元格區(qū)域在【】方框內(nèi)鍵入0.05(可根據(jù)需要確定)

在【輸出選項】中選擇輸出區(qū)域方差分析的目的是判斷：()A.各總體是否存在方差B.各樣本數(shù)據(jù)之間是否有顯著差異C.分類型自變量對數(shù)值型因變量的影響是否顯著D.分類型因變量對數(shù)值型自變量的影響是否顯著

在方差分析中，某一水平下樣本數(shù)據(jù)之間的誤差為：()A.組內(nèi)誤差；B.總誤差和；C.組間誤差；D.組間平方(3)在方差分析中，不同水平下樣本數(shù)據(jù)之間的誤差為：()A.隨機誤差；B.非隨機誤差；C.系統(tǒng)誤差；D.隨機誤差和系統(tǒng)誤差練習（1）CAD(4)采用單因素方差分析檢驗品牌對銷售量的影響，給定=0.05,得到的方差分析表如下，以下說法正確的是：()A.共有3個品牌B.共抽取了19個樣本C.p<0.05,品牌對銷售量有顯著影響D.F>F-crit，品牌對銷售量沒有顯著影響

C關系強度的測量關系強度的測量

組間平方和(SSA)度量了自變量(行業(yè))對因變量(投訴次數(shù))的影響效應只要組間平方和SSA不等于0，就表明兩個變量之間有關系(只是是否顯著的問題)當組間平方和(SSA)比組內(nèi)平方和(SSE)大，而且大到一定程度時，就意味著兩個變量之間的關系顯著，大得越多，表明它們之間的關系就越強。反之，就意味著兩個變量之間的關系不顯著，小得越多，表明它們之間的關系就越弱關系強度的測量

可用自變量平方和(SSA)占總平方和(SST)的比例大小來反映變量間關系的強度將自變量平方和占總平方和的比例記為R2,即其平方根R就可以用來測量兩個變量之間的關系強度

(類似于相關系數(shù))關系強度的測量

(例題分析)

R=0.591404結論在投訴次數(shù)的總差異中，行業(yè)(自變量)對投訴次數(shù)(因變量)的影響造成的差異占差異的34.9759%，而同一行業(yè)內(nèi)其他因素引起的差異（殘差效應）則占65.0241%。即行業(yè)對投訴次數(shù)差異解釋的比例達到近35%，而其它因素(殘差變量)所解釋的比例近為65%以上

R=0.591404，表明行業(yè)與投訴次數(shù)之間有中等以上的關系

方差分析中的多重比較

(multiplecomparisonprocedures)概述通過方差分析方法可以得到對多個均值是否相等的判斷。若判斷出均值不等，如何找出哪些均值不等呢？多重比較的意義通過對總體均值之間的配對比較來進一步檢驗到底哪些均值之間存在差異可采用Fisher提出的最小顯著差異方法，簡寫為LSD（LeastSignificantDifference）LSD方法是根據(jù)檢驗兩個總體均值是否相等的t檢驗方法加以修正(用MSE來代替)而得到的

多重比較的步驟提出假設H0:mi=mj(第i個總體的均值等于第j個總體的均值)H1:mimj(第i個總體的均值不等于第j個總體的均值)構造檢驗的統(tǒng)計量（類似教材P170頁公式(7.16)），可證明，在原假設成立的前提下，有:

（該統(tǒng)計量成立也必須包含每個水平的總體服從正態(tài)分布、各總體方差相等、觀測值獨立等前提）故有：若，則拒絕H0；

若，則接受H0多重比較的步驟決策：若|t|>t/2，則拒絕H0；

若|t|<t/2，則不拒絕H0而令（因此，可以先計算

和LSD，再做決策）多重比較分析

(例題分析)第1步：提出假設檢驗1：檢驗2：檢驗3：檢驗4：檢驗5：檢驗6：方差分析中的多重比較

(例題分析)第2步：計算檢驗統(tǒng)計量檢驗1：檢驗2：檢驗3：檢驗4：檢驗5：檢驗6：方差分析中的多重比較

(例題分析)第3步：計算LSD檢驗1：檢驗2：檢驗3：檢驗4：檢驗5：檢驗6：方差分析中的多重比較

(例題分析)第4步：作出決策不能認為零售業(yè)與旅游業(yè)均值之間有顯著差異

不能認為零售業(yè)與航空公司均值之間有顯著差異不能認為零售業(yè)與家電業(yè)均值之間有顯著差異不能認為旅游業(yè)與航空業(yè)均值之間有顯著差異不能認為旅游業(yè)與家電業(yè)均值之間有顯著差異航空業(yè)與家電業(yè)均值有顯著差異對變量關系的強度系數(shù)R2的描述，正確的是：()A.R2越大，表示SSA越??；B.R2越大，表示SSA越?。籆.R2越大，表示自變量對因變量的影響越大；D.R2的值可取任意非負實數(shù)

對若干個總體均值方差分析結果如下表，若已知第一個總體和第二個總體的樣本均值數(shù)分別為3和4，樣本均值為50和42，給定=0.05，以下結論錯誤的是：()

A.拒絕三個總體相等的假設；B.R2＝73.99%；C.總共抽取了15個樣本；D.利用多重檢驗應接受1＝2的假設練習（2）CDSSdfMSFP-valueF-crit組間615.62307.817.070.000313.885組內(nèi)216.41218合計83210.3雙因素方差分析10.3.1雙因素方差分析及其類型10.3.2無交互作用的雙因素方差分析10.3.3有交互作用的雙因素方差分析雙因素方差分析

(two-wayanalysisofvariance)

分析兩個因素(行因素Row和列因素Column)對試驗結果的影響如果兩個因素對試驗結果的影響是相互獨立的，分別判斷行因素和列因素對試驗數(shù)據(jù)的影響，這時的雙因素方差分析稱為無交互作用的雙因素方差分析或無重復雙因素方差分析(Two-factorwithoutreplication)如果除了行因素和列因素對試驗數(shù)據(jù)的單獨影響外，兩個因素的搭配還會對結果產(chǎn)生一種新的影響，這時的雙因素方差分析稱為有交互作用的雙因素方差分析或可重復雙因素方差分析

(Two-factorwithreplication)雙因素方差分析的基本假定每個總體都服從正態(tài)分布對于因素的每一個水平，其觀察值是來自正態(tài)分布總體的簡單隨機樣本各個總體的方差必須相同對于各組觀察數(shù)據(jù)，是從具有相同方差的總體中抽取的觀察值是獨立的無交互作用的雙因素方差分析

(無重復雙因素分析)雙因素方差分析

(例題分析)不同品牌的彩電在5個地區(qū)的銷售量數(shù)據(jù)品牌因素地區(qū)因素地區(qū)1地區(qū)2地區(qū)3地區(qū)4地區(qū)5品牌1品牌2品牌3品牌4365345358288350368323280343363353298340330343260323333308298【例10.3】有4個品牌的彩電在5個地區(qū)銷售，為分析彩電的品牌(品牌因素)和銷售地區(qū)(地區(qū)因素)對銷售量的影響（假設品牌和銷售地區(qū)對銷售額的影響是相互獨立的），對每個品牌在各地區(qū)的銷售量取得以下數(shù)據(jù)。試分析品牌和銷售地區(qū)對彩電的銷售量是否有顯著影響？(=0.05)

例題對應的數(shù)據(jù)結構

行因素的k個水平和列因素的r個水平的組合可形成k×r個總體。在每個總體中抽取的樣本量為1的獨立隨機樣本，xij就是行因素的第i個水平和列因素第j個水平對應的總體所抽取出來的樣本。例題對應的數(shù)據(jù)結構

是行因素的第i個水平下各觀察值的平均值是列因素的第j個水平下各觀察值的平均值是全部kr個樣本數(shù)據(jù)的總平均值上表中：分析步驟

(提出假設)提出假設對行因素提出的假設為(mi為第i個水平的均值)H0：m1=m2=…=mi=…=mk

（行因素對因變量沒有顯著影響）H1：mi

(i=1,2,…,k)

不全相等（行因素對因變量有顯著影響）對列因素提出的假設為(mj為第j個水平的均值)H0：m1=m2=…=mj=…=mr（列因素對因變量沒有顯著影響）H1：mj

(j=1,2,…,r)

不全相等（列因素對因變量有顯著影響）分析步驟

(構造檢驗的統(tǒng)計量)構造檢驗統(tǒng)計量(1)計算平方和(SS)總誤差平方和SST行因素誤差平方和SSR列因素誤差平方和SSC隨機誤差項平方和SSE隨機誤差平方和可理解為：分析步驟

(構造檢驗的統(tǒng)計量)

總誤差平方和(SST)、行因素平方和(SSR)、列因素平方和(SSC)、誤差項平方和(SSE)之間的關系SST=SSR+SSC+SSEWhy?分析步驟

(構造檢驗的統(tǒng)計量)構造檢驗統(tǒng)計量(2)計算均方(MS)誤差平方和除以相應的自由度三個平方和的自由度分別是總誤差平方和SST的自由度為kr-1行因素平方和SSR的自由度為k-1列因素平方和SSC的自由度為r-1誤差項平方和SSE的自由度為(k-1)×(r-1)

分析步驟

(構造檢驗的統(tǒng)計量)構造檢驗統(tǒng)計量(3)

計算均方(MS)行因素的均方，記為MSR，計算公式為列因素的均方，記為MSC

，計算公式為誤差項的均方，記為MSE

，計算公式為分析步驟

(構造檢驗的統(tǒng)計量)

構造檢驗統(tǒng)計量(4)

計算檢驗統(tǒng)計量(F)在對行因素假設的前提下，有以下統(tǒng)計量成立：在對列因素假設的前提下，有以下統(tǒng)計量成立：分析步驟

(統(tǒng)計決策)統(tǒng)計決策將統(tǒng)計量的值F與給定的顯著性水平的臨界值F進行比較，作出對原假設H0的決策根據(jù)給定的顯著性水平在F分布表中查找相應的臨界值F

若FR>F

，拒絕原假設H0

，表明均值之間的差異是顯著的，即所檢驗的行因素對觀察值有顯著影響；否則，接受原假設。若FC

>F

，拒絕原假設H0

，表明均值之間有顯著差異，即所檢驗的列因素對觀察值有顯著影響；否則，接受原假設。雙因素方差分析表

(基本結構)誤差來源平方和(SS)自由度(df)均方(MS)F值P值F臨界值行因素SSRk-1MSRMSRMSE列因素SSCr-1MSCMSCMSE誤差SSE(k-1)(r-1)MSE總和SSTkr-1雙因素方差分析

(例題分析)不同品牌的彩電在5個地區(qū)的銷售量數(shù)據(jù)品牌因素地區(qū)因素地區(qū)1地區(qū)2地區(qū)3地區(qū)4地區(qū)5品牌1品牌2品牌3品牌4365345358288350368323280343363353298340330343260323333308298【例10.3】有4個品牌的彩電在5個地區(qū)銷售，為分析彩電的品牌(品牌因素)和銷售地區(qū)(地區(qū)因素)對銷售量的影響（假設品牌和銷售地區(qū)對銷售額的影響是相互獨立的），對每個品牌在各地區(qū)的銷售量取得以下數(shù)據(jù)。試分析品牌和銷售地區(qū)對彩電的銷售量是否有顯著影響？(=0.05)

雙因素方差分析

(例題分析)提出假設對品牌因素提出的假設為H0：m1=m2=m3=m4(品牌對銷售量無顯著影響)H1：mi

(i=1,2,…,4)

不全相等(有顯著影響)對地區(qū)因素提出的假設為H0：m1=m2=m3=m4=m5(地區(qū)對銷售量無顯著影響)H1：mj

(j=1,2,…,5)

不全相等(有顯著影響)

雙因素方差分析

(例題分析)

結論：

FR＝18.10777>F＝3.4903，拒絕原假設H0，說明彩電的品牌對銷售量有顯著影響

FC＝2.100846<F＝3.2592，不拒絕原假設H0，無證據(jù)表明銷售地區(qū)對彩電的銷售量有顯著影響（也可以使用P值作出判斷）更一般的雙因素方差分析數(shù)據(jù)結構

(補充)

行因素的k個水平和列因素的r個水平的組合可形成k×r個總體。在每個總體中抽取的樣本量為m的獨立隨機樣本，xijl就是行因素的第i個水平和列因素第j個水平對應的總體所抽取出來的第l個樣本。是列因素的第j個水平下各觀察值的平均值是行因素的第i個水平下各觀察值的平均值是全部krm個樣本數(shù)據(jù)的總平均值對上表數(shù)據(jù)定義：更一般的雙因素方差分析數(shù)據(jù)結構

是第i行第j列對應的所有樣本的平均值更一般的雙因素方差分析數(shù)據(jù)結構

(構造檢驗的統(tǒng)計量(1))構造檢驗統(tǒng)計量(1)計算平方和(SS)總誤差平方和SST行因素誤差平方和SSR列因素誤差平方和SSC隨機誤差項平方和SSESST=SSR+SSC+SSE構造檢驗統(tǒng)計量(2)計算均方(MS)誤差平方和除以相應的自由度三個平方和的自由度分別是總誤差平方和SST的自由度為krm-1行因素平方和SSR的自由度為k-1列因素平方和SSC的自由度為r-1誤差項平方和SSE的自由度為krm-k-r+1更一般的雙因素方差分析數(shù)據(jù)結構

(構造檢驗的統(tǒng)計量(2))構造檢驗統(tǒng)計量(3)

計算均方(MS)行因素的均方，記為MSR，計算公式為列因素的均方，記為MSC

，計算公式為誤差項的均方，記為MSE

，計算公式為更一般的雙因素方差分析數(shù)據(jù)結構

(構造檢驗的統(tǒng)計量(3))分析步驟

(構造檢驗的統(tǒng)計量)

構造檢驗統(tǒng)計量(4)

計算檢驗統(tǒng)計量(F)在對行因素假設的前提下，可得到以下統(tǒng)計量在對列因素假設的前提下，可得到以下統(tǒng)計量雙因素方差分析

(關系強度的測量)行平方和(SSR)度量了品牌這個自變量對因變量(銷售量)的影響效應列平方和(SSC)度量了地區(qū)這個自變量對因變量(銷售量)的影響效應這兩個平方和加在一起則度量了兩個自變量對因變量的聯(lián)合效應聯(lián)合效應與總平方和的比值定義為R2，稱為多重判定系數(shù)其平方根R反映了這兩個自變量合起來與因變量之間的關系強度

雙因素方差分析

(關系強度的測量)例題分析品牌因素和地區(qū)因素合起來總共解釋了銷售量差異的83.94%其他因素(殘差變量)只解釋了銷售量差異的16.06%R=0.9162，表明品牌和地區(qū)兩個因素合起來與銷售量之間有較強的關系單、雙因素方差分析比較

(例題分析)若對例10.3中的兩個因素（品牌和地區(qū)）分別作單因素方差分析，得到如下結果:品牌與銷售量地區(qū)與銷售量單、雙因素方差分析比較

(例題分析)若對例10.3中的兩個因素（品牌和地區(qū)）分別作單因素方差分析，所得結果與雙因素方差分析的區(qū)別：(1)決策結果相同；(2)雙因素方差分析所得到的誤差平方和比單因素方差分析的誤差平方和小。因為在雙因素方差分析中所得到的誤差平方和是排除了兩個自變量（品牌和地區(qū)）的影響后總誤差中剩下的部分，而單因素方差分析中的誤差平方和為排除一個因素引起的誤差后總誤差中剩下的部分。

對于兩個變量而言：雙因素方差分析優(yōu)于單因素方差分析。有交互作用的雙因素方差分析

(可重復雙因素分析)可重復雙因素分析

(例題)【例10.5】城市道路交通管理部門為研究不同的路段和不同的時間段對行車時間的影響，讓一名交通警察分別在兩個路段和高峰期與非高峰期親自駕車進行試驗，通過試驗共獲得20個行車時間(單位：min)的數(shù)據(jù)，如下表。試分析路段、時段以及路段和時段的交互作用對行車時間的影響

數(shù)據(jù)結構行因素的k個水平和列因素的r個水平的組合可形成k×r個總體。在每個總體中抽取的樣本量為m的獨立隨機樣本，xijl就是行因素的第i個水平和列因素第j個水平對應的總體所抽取出來的第l個樣本。分析步驟

(提出假設)提出假設對行因素提出的假設為(mi為第i個水平的均值)H0：m1=m2=…=mi=…=mk（行因素對車流量無顯著影響）H1：mi

(i=1,2,…,k)

不全相等對列因素提出的假設為(mj為第j個水平的均值)H0：m1=m2=…=mj=…=mr（列因素對車流量無顯著影響）H1：mj

(j=1,2,…,r)

不全相等對行列因素提出的假設為(mij為行因素第i個水平和列因素第j個水平總體的均值,H0：mij=mst

(1i,s

k,1j,tr)（行列交互因素對車流量無顯著影響）H1：mij

(i=1,2,…,k;j=1,2,…,r)

不全相等可重復雙因素分析

(平方和的計算)設：

為對應于行因素的第i個水平和列因素的第j個水平的第l行的觀察值

為行因素的第i個水平的樣本均值

為列因素的第j個水平的樣本均值

對應于行因素的第i個水平和列因素的第j個水平組合的樣本均值

為全部n個觀察值的總均值

可重復雙因素分析

(平方和的計算)總平方和：行變量平方和：列變量平方和：交互作用平方和：誤差項平方和：SST=SSR+SSC+SSRC+SSE（可看作:）可重復雙因素方差分析