利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)單調(diào)性教案

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利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性

教學(xué)目標(biāo)：1、理解導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系,并應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)

系求單調(diào)區(qū)間，把握用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的方法。

2、能由導(dǎo)數(shù)信息作出函數(shù)的大致圖象，提高學(xué)生運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)問題的能力.

3、能解決含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性問題；能利用導(dǎo)數(shù)、函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)證三次不等式

4、培養(yǎng)學(xué)生的觀測、比較、分析、概括的能力，數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)

化思想、函數(shù)思想、分類探討的數(shù)學(xué)思想。

教學(xué)重點(diǎn)：理解函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，會(huì)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性。教學(xué)難點(diǎn)：構(gòu)造函數(shù)，證明三次不等式；探求含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的問題。教學(xué)方法：啟發(fā)式、探究式教學(xué)用具：多媒體教學(xué)思路與設(shè)計(jì)：

我們已復(fù)習(xí)了函數(shù)，函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)中的核心問題，正確認(rèn)識(shí)函數(shù)的性質(zhì)是運(yùn)用函數(shù)處理問題的基本要求。導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)圖像和性質(zhì)的重要工具，利用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的單調(diào)性比定義法、圖像法更簡便，是導(dǎo)數(shù)幾何意義在研究曲線變化規(guī)律時(shí)地一個(gè)重要應(yīng)用，對(duì)研究函數(shù)的最值問題，具有良好的承上啟下的作用。學(xué)生已把握了函數(shù)的單調(diào)性的基本概念，判斷方法、導(dǎo)數(shù)的概念，以及導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，為綜合應(yīng)用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性作好充分的準(zhǔn)備。

作為復(fù)習(xí)課首先明確考綱的要求：了解函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次）。自從導(dǎo)數(shù)進(jìn)入高中數(shù)學(xué)以來，函數(shù)導(dǎo)數(shù)是核心內(nèi)容，函數(shù)的單調(diào)性是基礎(chǔ)點(diǎn)，運(yùn)用不等式、導(dǎo)數(shù)等工具研究函數(shù)是交匯點(diǎn)，有關(guān)函數(shù)導(dǎo)數(shù)問題一直是考察的熱點(diǎn)，相對(duì)高考題所處的位置而言，不太難，我們的學(xué)生能夠接受，通過認(rèn)真復(fù)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生把握一定的分析問題和解決問題的能力，激發(fā)學(xué)生獨(dú)立思考和創(chuàng)新的意識(shí)。相信我們的學(xué)生是能充分把握好這一部分內(nèi)容的。教學(xué)過程（一）、引入

1、我們已經(jīng)復(fù)習(xí)了函數(shù)，學(xué)習(xí)了函數(shù)的單調(diào)性，什么是函數(shù)的單調(diào)性？3y?x?3x?

2、探討函數(shù)y?x2的單調(diào)性。

﹝學(xué)生活動(dòng)﹞獨(dú)立思考，認(rèn)真解題，通過比較分析得出：判斷三次的或三次以上的或圖像很難畫出的函數(shù)單調(diào)性問題時(shí)，應(yīng)考慮導(dǎo)數(shù)法。4、用導(dǎo)數(shù)法判斷函數(shù)的單調(diào)性

用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的法則：

1

設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，

（1）假使在區(qū)間(a，b)內(nèi)，f/(x)?0，則f(x)在此區(qū)間是增函數(shù)，(a，b)為

f(x)的單調(diào)增區(qū)間；

（2）假使在區(qū)間(a，b)內(nèi)，f/(x)?0，則f(x)在此區(qū)間是減函數(shù)，(a，b)為f(x)的單調(diào)減區(qū)間。（二）．題型例如

1、探討函數(shù)y?x3?3x的單調(diào)性。

﹝分析與解答﹞判斷三次函數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性，適合用求導(dǎo)法。函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)f/(x)?0的解集為區(qū)間是函數(shù)的增區(qū)間；f/(x)?0的解集為區(qū)間是函數(shù)的減區(qū)間。利用導(dǎo)數(shù)、一元二次不等式解決函數(shù)問題。變式：當(dāng)x?1時(shí)，求證：x3?3x??2

﹝分析與解答﹞通過上題的求解及圖像的觀測，自然想到運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性來處理，借助于導(dǎo)數(shù)工具，確定不等式所聯(lián)系著的具體函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，用函數(shù)思想處理問題。構(gòu)造函數(shù)f(x)?x3?3x，由上題知：該函數(shù)在區(qū)間（1，+∞）單調(diào)遞增，依函數(shù)單調(diào)性定義有：當(dāng)x?1時(shí)，f(x)?f(1)，而f(1)??2，從而得證?；驑?gòu)造函數(shù)y?x3?3x?2。學(xué)生分組進(jìn)行變式編題。

2、設(shè)f'(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，y=f'(x)的圖象如右圖所示，

（Ⅰ）寫出函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間

（Ⅱ）y=f(x)的圖像最有可能的是()

（A）（B）

2

(C)(D)

﹝分析與解答﹞函數(shù)的單調(diào)性由該函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)決定：在某區(qū)間函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f/(x)?0，則該函數(shù)在此區(qū)間單調(diào)遞增；在某區(qū)間函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)

f/(x)?0，則該函數(shù)在此區(qū)間單調(diào)遞減。根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖像知：在區(qū)間（-∞，0）

和（1，+∞）內(nèi)，f/(x)?0；在區(qū)間（0，2）內(nèi)，f/(x)?0。故在區(qū)間（-∞，0）和（1，+∞）內(nèi)，函數(shù)y=f(x)單調(diào)遞增，在區(qū)間（0，2）內(nèi)，函數(shù)y=f(x)單調(diào)遞減。選擇(C)。

3、設(shè)函數(shù)f(x)?x3?3ax?b(a?0).

（Ⅰ）若曲線y?f(x)在點(diǎn)(2,f(x))處與直線y?8相切，求a,b的值；（Ⅱ）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間。

（Ⅰ）求a,b兩個(gè)值，尋常需要尋覓與a,b有關(guān)的兩個(gè)等式。由題意知曲線y?f(x)和與直線y?8的交點(diǎn)為(2,f(x))，且切點(diǎn)處的斜率為0。（Ⅱ）含參數(shù)不等式，對(duì)參數(shù)的探討是解決這類問題的難點(diǎn)，找準(zhǔn)方向和切入點(diǎn)。此題主要考察倒數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、解不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考察綜合分析和解決問題的能力．（Ⅰ）f'?x??3x2?3a,

∵曲線y?f(x)在點(diǎn)(2,f(x))處與直線y?8相切，

'??a?4,?f?2??0??3?4?a??0????∴??8?6a?b?8?b?24.???f?2??8（Ⅱ）∵f'?x??3?x2?a??a?0?,

當(dāng)a?0時(shí)：f'?x??0，函數(shù)f(x)在???,???上單調(diào)遞增，當(dāng)a?0時(shí)：當(dāng)x??a,a時(shí)，f'?x??0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x????a,??時(shí)，f'?x??0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，

?3

（三）、學(xué)生練習(xí)

1、若在區(qū)間（a,b）內(nèi)有f/(x)?0且f(a)?0，則在（a,b）內(nèi)有（）A．f(x)?0B.f(x)?0C.f(x)?0D.不能確定由函數(shù)單調(diào)性定義知在（a,b）內(nèi)有f(x)?f(a)，選A。2、探討函數(shù)f(x)??3x3?3x2?9x?a的單調(diào)區(qū)間。

用求導(dǎo)法，結(jié)合一元二次不等式求得函數(shù)在（-∞，-1）內(nèi)單調(diào)遞減，在（-1，3）內(nèi)單調(diào)遞增，在（3，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減。3、探討函數(shù)f(x)?2x3?6ax2?7(a?0)的單調(diào)減區(qū)間。

用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間。由f/(x)?6x2?12ax?6x(x?2a)?0得x?0,x?2a，從2a與0的大小關(guān)系入手求f/(x)?6x2?12ax?6x(x?2a)?0的解：當(dāng)a?0時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為(0,2a)；當(dāng)a?0時(shí)，函數(shù)無減區(qū)間；當(dāng)a?0時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為（2a,0)。

（四）、本節(jié)課小結(jié)：

請(qǐng)同學(xué)們談?wù)勥@節(jié)課的收獲，從基礎(chǔ)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想等方面。（五）作業(yè)：

1、探討以下函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

(1)y?x3?8x2?13x?6（2）y?x2ex2、已知導(dǎo)函數(shù)f/(x)的以下信息：

/x）?0；當(dāng)1?x?4時(shí)，f（/x）?0：當(dāng)x?4或x?1時(shí)，f（當(dāng)x?4或x?1時(shí),f/(x)?0

試畫出函數(shù)y=f(x)圖象的大致形狀。

3、

已知函數(shù)3、（2023年北京文科高考17）

已知函數(shù)f(x)?x?ax?3bx?c(b?0),且g(x)?f(x)?2是奇函數(shù).（Ⅰ）求a,c的值；

（Ⅱ）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.

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4、已知函數(shù)f(x)?x3?bx2?cx?d的圖像過點(diǎn)P（0，2），且在點(diǎn)M(?1,f(?1))處的切線方程為6x?y?7?0。（Ⅰ）求函數(shù)y?f(x)的解析式；（Ⅱ）求函數(shù)y?f(x)的單調(diào)區(qū)間。

是奇函數(shù).

（Ⅰ）求a,c的值；

（Ⅱ）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.

4、已知函數(shù)f(x)?x3?bx2?cx?d的圖像過點(diǎn)P（0，2），且在點(diǎn)M(?1,f(?1