第十三章函數(shù)、極限與連續(xù)

第十三章函數(shù)、極限與連續(xù)第一節(jié)函數(shù)１.函數(shù)的定義一、函數(shù)的概念通過(guò)函數(shù)定義,可以發(fā)現(xiàn),構(gòu)成函數(shù)的兩個(gè)重要因素為對(duì)應(yīng)關(guān)系與定義域.顯然,兩個(gè)函數(shù)只有當(dāng)它們的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全相同時(shí),這兩個(gè)函數(shù)才認(rèn)為是相同的.2.函數(shù)的定義域1.函數(shù)中有分式,要求分母不能為零2.函數(shù)中根式,要求負(fù)數(shù)不能開(kāi)偶次方3.函數(shù)中有對(duì)數(shù)式,要求真數(shù)必須大于零4.函數(shù)中有對(duì)數(shù)式和反三角函數(shù)式,要求符合它們定義域5.若函數(shù)式是上述各式的混合式,則應(yīng)取各部分定義域的交集例1求下列函數(shù)的定義域3.函數(shù)與函數(shù)值的記號(hào)4.函數(shù)的表示方法表示函數(shù)的方法,最常用的有以下三種:13-1在不同的區(qū)間內(nèi)用不同的式子來(lái)表示的函數(shù)稱為分段函數(shù)，即用幾個(gè)式子合在一起表示一個(gè)函數(shù).求分段函數(shù)的函數(shù)值時(shí)，應(yīng)將自變量的值代入相應(yīng)取值范圍的表示進(jìn)行計(jì)算.1.函數(shù)的奇偶性二、函數(shù)的幾種特性2.函數(shù)的單調(diào)性上述定義也適用于其它有限區(qū)間和無(wú)限區(qū)間的情形.單調(diào)增加(或單調(diào)減少)函數(shù)的圖形沿軸的正向上升(或下降).證3.函數(shù)的周期性4.函數(shù)有界性上述定義也適用于閉區(qū)間和無(wú)窮區(qū)間.三、復(fù)合函數(shù)例5指出下列復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過(guò)程解四、反函數(shù)解定義4由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算和有限次的函數(shù)復(fù)合而構(gòu)成的，并能用一個(gè)式子表示的函數(shù),稱為初等函數(shù).五、初等函數(shù)例7用鐵皮做一容積為V的圓柱形罐頭筒，試將它的表面積表示為底半徑的函數(shù)，并求定義域.解六、建立函數(shù)關(guān)系舉例解從上面的例子可以看出，建立函數(shù)關(guān)系時(shí)，首先要弄清題意，分析問(wèn)題中哪些是變量，哪些是常量；其次，分清變量中哪個(gè)應(yīng)作為自變量，哪個(gè)作為函數(shù)，并用習(xí)慣的字母區(qū)分它們；然后把變量暫固定，利用幾何關(guān)系、物理定律或其他知識(shí)，列出變量間的等量關(guān)系式，并進(jìn)行化簡(jiǎn)，便能得到所需要的函數(shù)關(guān)系，找出函關(guān)系式后，一般還要根據(jù)題意寫(xiě)出函數(shù)的定義域。1.需求函數(shù)某一商品的需要量是指在一定的價(jià)格水平下,消費(fèi)者愿意而且有支付能力購(gòu)買的商品量.消費(fèi)者對(duì)某種商品的需求由多種因素決定,商品的價(jià)格是影響需求的一個(gè)主要因素,還有其他因素,諸如消費(fèi)收入的增減、季節(jié)的變換都會(huì)影響需求.現(xiàn)在假定價(jià)格以外的其他因素均為常量,只研究需求與價(jià)格的關(guān)系.七、經(jīng)濟(jì)類函數(shù)舉例一般情況下,商品的價(jià)格越低,需求量越大;商品價(jià)格越高,需要越小.因此需求函數(shù)是單調(diào)減少函數(shù).依據(jù)經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),常見(jiàn)的需求函數(shù)有以下幾種類型.解2.供給函數(shù)

某一商品的供給量是指在一定的價(jià)格水平下,生產(chǎn)者愿意生產(chǎn)并可供出售的商品量.

一般情況下,商品的價(jià)格越低,生產(chǎn)者不愿生產(chǎn),供給少;商品價(jià)格越高,生產(chǎn)者愿意生產(chǎn)并且能夠向市場(chǎng)提供的多,因此供給函數(shù)是單調(diào)增加的.依據(jù)經(jīng)濟(jì)學(xué)中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),常見(jiàn)的供給函數(shù)有以下幾種類型.

如果市場(chǎng)上某商品的需求量恰好等于供給量,則稱此市場(chǎng)供需平衡狀態(tài),此時(shí)的商品價(jià)格稱為均衡價(jià)格.市場(chǎng)上的商品價(jià)格將圍繞均衡價(jià)格上下波動(dòng).解3.成本函數(shù)解4.收益函數(shù)總收益是生產(chǎn)者出售一定量產(chǎn)品所得到的全部收入，平均收益是生產(chǎn)者出售一定量產(chǎn)品，平均每出售單位產(chǎn)品所得到的收入，即單位產(chǎn)品的售價(jià).5.利潤(rùn)函數(shù)解

經(jīng)濟(jì)學(xué)中實(shí)際問(wèn)題的解決,不僅需要建立一些經(jīng)濟(jì)量之間的函數(shù)關(guān)系,更需要對(duì)這些函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行研究.在后面的幾章中,我們將陸續(xù)提供解決這些問(wèn)題的一些非常有效的數(shù)學(xué)工具.本節(jié)關(guān)鍵詞基本初等函數(shù)初等函數(shù)復(fù)合函數(shù)思考題1.判斷兩個(gè)函數(shù)是否相同的關(guān)鍵是什么？答案2.有界函數(shù)的界是否唯一？答案3.思考復(fù)合函數(shù)的定義，在什么情況下復(fù)合函數(shù)將失去意義？答案課堂練習(xí)題答案答案第二節(jié)數(shù)列及極限一、數(shù)列的極限例1觀察下列的通項(xiàng)變化趨勢(shì)，寫(xiě)出它們的極限-3-3-3-302-114321n由表中各個(gè)數(shù)列的變化趨勢(shì)，根據(jù)數(shù)列極限的定義可知：通過(guò)以上例題，可以推得以下結(jié)論：數(shù)列極限四則運(yùn)算法則：二、數(shù)列極限的四則運(yùn)算解例3求下列各極限.解三、無(wú)窮遞遞縮等比數(shù)列的求和公式這個(gè)公式叫無(wú)窮遞縮等比數(shù)列的求和公式.解(1)如果一個(gè)數(shù)列有極限,則此極限是惟一的.(2)數(shù)列有無(wú)極限,極限是何值,與該數(shù)列的任意有限項(xiàng)無(wú)關(guān).四、數(shù)列極限的性質(zhì)思考題答案答案答案課堂練習(xí)題答案答案第三節(jié)函數(shù)的極限一、先看下面的例子.二、例3觀察并寫(xiě)出下列函數(shù)的極限:解13-1913-20圖13-19例3（1）示意圖圖13-19例3（2）示意圖三、左極限與右極限解解四、函數(shù)的性質(zhì)思考題答案答案答案課堂練習(xí)題答案答案第四節(jié)、無(wú)窮小與窮大1.無(wú)窮小的定義在實(shí)際問(wèn)題中,常會(huì)遇到以零為極限的變量.一、無(wú)窮小與無(wú)窮大的定義及其關(guān)系應(yīng)當(dāng)注意以下幾點(diǎn):2.無(wú)窮大的定義與無(wú)窮小相仿,應(yīng)當(dāng)注意以下幾點(diǎn):3.無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系解

例2

以下函數(shù)在怎樣的變化過(guò)程中是無(wú)窮小?你能寫(xiě)出相同過(guò)程下的無(wú)窮大嗎?解例3討論以下函數(shù)在何種情況下為無(wú)窮小?無(wú)窮大?解1.無(wú)窮小與函數(shù)極限之間的關(guān)系2.無(wú)窮小的性質(zhì)及推論性質(zhì)1有限個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和仍為無(wú)窮小.性質(zhì)2有限個(gè)有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積為無(wú)窮小.推論1常數(shù)與無(wú)窮小的乘積仍為無(wú)窮小性質(zhì)3有限個(gè)無(wú)窮小的乘積仍為無(wú)窮小.推論2無(wú)窮小的正整數(shù)次冪仍為無(wú)窮小.二、無(wú)窮小的性質(zhì)解解思考題1.很小的數(shù)是否就是無(wú)窮小量？為什么？答案2.“無(wú)窮大的倒數(shù)就是無(wú)窮小，無(wú)窮小的倒數(shù)就是無(wú)窮大”這一命題是否正確？答案3.兩個(gè)無(wú)窮小的商是否一定為無(wú)窮??？舉例說(shuō)明.答案課堂練習(xí)題答案答案第五節(jié)極限的運(yùn)算法則解解解解解解解解解思考題答案答案課堂練習(xí)題答案答案第六節(jié)兩個(gè)重要的極限一、證解解解解解二、解解解思考題答案答案課堂練習(xí)題答案答案第七節(jié)無(wú)窮小的比較已經(jīng)知道，兩個(gè)無(wú)窮小的和、差、積都是無(wú)窮小，但是兩個(gè)無(wú)窮小的商將有什么樣的情況呢？表13-3三個(gè)無(wú)窮小趨向零的快慢程度0.10.010.0010.20.020.0020.010.00010.000001解解同階與等價(jià)的無(wú)窮小均具有反身性、對(duì)稱性和傳遞性,兩者相比，等價(jià)無(wú)窮小比同階無(wú)窮小用得更多，所以下面重點(diǎn)討論等價(jià)無(wú)窮小.本定理說(shuō)，在求商式或乘積的極限時(shí)，分子或分母有無(wú)窮小量的因子時(shí)，可以用和它等價(jià)的無(wú)窮小代換這種等價(jià)無(wú)窮小代換常使計(jì)算簡(jiǎn)化，但必須有乘、除式才可以使用等價(jià)無(wú)窮小代換，而諸如對(duì)加式、減式或冪中等方面的函數(shù)中出現(xiàn)的無(wú)窮小的求極限過(guò)程一般不能用等價(jià)無(wú)窮小代換.解解解解思考題答案答案答案課堂練習(xí)題答案答案第八節(jié)函數(shù)的連續(xù)性與間斷性連續(xù)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，是相對(duì)間斷而言的，它反映了許多自然現(xiàn)象的一個(gè)共同特性.例如，氣溫的變化、動(dòng)植物的生長(zhǎng)以及空氣的流動(dòng)等，都是隨著時(shí)間在連續(xù)不斷地變化著.這些現(xiàn)象反映在數(shù)學(xué)上，就是函數(shù)的連續(xù)性.一、函數(shù)連續(xù)性的概念(一)函數(shù)的增量解(二)函數(shù)的連續(xù)性圖13-24函數(shù)連續(xù)性與間斷點(diǎn)那么，上述函數(shù)的連續(xù)與間斷如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)定義呢？這一定義說(shuō)明了連續(xù)的本質(zhì)：當(dāng)自變量變化微小，函數(shù)值相應(yīng)變化也很微小.證明下面先介紹函數(shù)的左連續(xù)與右連續(xù)的概念.解顯然，在某一區(qū)間內(nèi)，連續(xù)的函數(shù)其圖形是一條連續(xù)不斷的曲線，這是連續(xù)函數(shù)的幾何特性.1.間斷點(diǎn)下面三個(gè)函數(shù)在x=1的連續(xù)性.二、函數(shù)的間斷點(diǎn)2.間斷點(diǎn)的分類例5求下列函數(shù)的間斷點(diǎn)，并說(shuō)明其類型.解思考題答案答案答案課堂練習(xí)題答案答案第九節(jié)初等函數(shù)的連續(xù)性1.基本初等函數(shù)的連續(xù)性基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的.2.連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商的連續(xù)性一、初等函數(shù)的連續(xù)性3.反函數(shù)的連續(xù)性定理2嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)反函數(shù)且單調(diào)性不變.4.復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍為連續(xù)函數(shù)在求復(fù)合函數(shù)極限時(shí)，若內(nèi)外層函數(shù)均為連續(xù)函數(shù)，則極限符號(hào)與函數(shù)符號(hào)可層層交換次序，即上式也可寫(xiě)成解解5.初等函數(shù)的連續(xù)性一切初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.解解解1.最大值與最小值性質(zhì)定理4在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)，在該區(qū)間上至少取得它的最大值和最小值各一次.二、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

此定理中有兩點(diǎn)需要注意：閉區(qū)間與函數(shù)連續(xù)，即在開(kāi)區(qū)間（a,b）內(nèi)連續(xù)，或在閉區(qū)間上有間斷點(diǎn)，那么函數(shù)在該區(qū)間上不一定有最值或最小值.2.介值性證思考題答案答案答案課堂練習(xí)題答案答案第十節(jié)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)三用Mathematica求一元函數(shù)的極限求一元函數(shù)的極限一.學(xué)習(xí)Mathematica的命令Mathematica的求極限命令調(diào)用格式為二.理解函數(shù)極概念解解解三.求一元函數(shù)的極限例4求下列函數(shù)的極限：解第十一節(jié)無(wú)窮級(jí)數(shù)簡(jiǎn)介無(wú)窮級(jí)數(shù)是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)工具.它包括常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)兩部分，本節(jié)僅簡(jiǎn)單介紹下無(wú)窮級(jí)數(shù)的一些基本知識(shí)。一、數(shù)項(xiàng)級(jí)的概念例1討論等比級(jí)數(shù)（又稱幾何級(jí)數(shù)）解解解二、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)證解解思考題答案答案答案課堂練習(xí)題答案答案三、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法1.比較審斂法根據(jù)該定理1，可建立正項(xiàng)級(jí)數(shù)的一些基本審斂法.解解解2.比值審斂法解四、任意項(xiàng)級(jí)的斂散性1.交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法