定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用

定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用541第1頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四542學(xué)習(xí)指導(dǎo)熟練運(yùn)用定積分計(jì)算直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系中平面圖形的面積；熟練運(yùn)用定積分計(jì)算旋轉(zhuǎn)體的體積和平行截面為已知的空間立體的體積；熟練運(yùn)用定積分計(jì)算平面曲線的長度。第2頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四543注意事項(xiàng)直角坐標(biāo)系中求平面圖形的面積時(shí)可能選X作為積分變量，也可能選Y作為積分變量，需視具體情況而定；求旋轉(zhuǎn)體的體積時(shí)要注意旋轉(zhuǎn)軸和積分變量；要注意平面曲線的數(shù)學(xué)表達(dá)式的具體形式，相應(yīng)的計(jì)算曲線長度的公式有所不同，需區(qū)分清楚。

第3頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四544一、平面圖形的面積1、直角坐標(biāo)情形2、極坐標(biāo)情形第4頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四545曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積1、直角坐標(biāo)系情形第5頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四546面積元素例1.

計(jì)算兩條拋物線在第一象限所圍所圍圖形的面積.解:

由得交點(diǎn)第6頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四547兩曲線的交點(diǎn)解選為積分變量第7頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四548解先求兩曲線的交點(diǎn)。第8頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四549如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程曲邊梯形的面積第9頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四5410一般地,當(dāng)曲邊梯形的曲邊由參數(shù)方程

給出時(shí),按順時(shí)針方向規(guī)定起點(diǎn)和終點(diǎn)的參數(shù)值則曲邊梯形面積第10頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四5411例3.求橢圓解:

利用對稱性,所圍圖形的面積.有利用橢圓的參數(shù)方程應(yīng)用定積分換元法得當(dāng)a=b

時(shí)得圓面積公式第11頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四5412例4.求由擺線的一拱與x

軸所圍平面圖形的面積.解:第12頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四5413小結(jié)第13頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四5414第14頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四5415第15頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四54162.極坐標(biāo)情形在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)O，叫極點(diǎn)，引一條射線Ox，叫做極軸，再選定一個(gè)長度單位和角度的正方向(通常取逆時(shí)針方向)。對于平面內(nèi)任何一點(diǎn)M，用ρ表示線段OM的長度，θ表示從Ox到OM的角度，ρ叫做點(diǎn)M的極徑，θ叫做點(diǎn)M的極角，有序數(shù)對(ρ,θ)就叫點(diǎn)M的極坐標(biāo)，這樣建立的坐標(biāo)系叫做極坐標(biāo)系。極坐標(biāo)是二維坐標(biāo)系

x=r*cosθ,y=r*sinθ,極坐標(biāo)簡介第16頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四54172.極坐標(biāo)情形求由曲線及圍成的曲邊扇形的面積.在區(qū)間上任取小區(qū)間則對應(yīng)該小區(qū)間上曲邊扇形面積的近似值為所求曲邊扇形的面積為第17頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四5418第18頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四5419第19頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四5420對應(yīng)

從0變例5.計(jì)算阿基米德螺線解:到2

所圍圖形面積.第20頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四54212a例6.計(jì)算心形線所圍圖形的面積.解:第21頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四5422例7.

計(jì)算心形線與圓所圍圖形的面積.解:

利用對稱性,所求面積第22頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四5423立體體積的計(jì)算1、旋轉(zhuǎn)體體積計(jì)算方法2、平行截面面積為已知的立體體積第23頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四5424圓柱圓錐圓臺1、旋轉(zhuǎn)體體積計(jì)算方法旋轉(zhuǎn)體就是由一個(gè)平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體.直線叫做旋轉(zhuǎn)軸.第24頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四5425旋轉(zhuǎn)體的體積為第25頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四5426第26頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四5427第27頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四5428例1解第28頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四5429第29頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四5430

解

軸圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的立體.

旋轉(zhuǎn)橢球體的體積為

例2

計(jì)算由橢圓所成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體(旋轉(zhuǎn)橢球體)的體積.

第30頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四5431

例3

計(jì)算由擺線xa(tsint),ya(1cost)的一拱,

直線y0所圍成的圖形分別繞x軸、y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積.

解所給圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為第31頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四5432

例3

計(jì)算由擺線xa(tsint),ya(1cost)的一拱,

直線y0所圍成的圖形分別繞x軸、y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積.

解

設(shè)曲線左半邊為x=x1(y),右半邊為x=x2(y).

所給圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為63a3

.

第32頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四5433體積元素為例4*解第33頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四54342、平行截面面積為已知的立體體積如果一個(gè)立體不是旋轉(zhuǎn)體，但卻知道該立體上垂直于一定軸的各個(gè)截面面積，那么，這個(gè)立體的體積也可用定積分來計(jì)算.第34頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四5435

設(shè)立體在x軸上的投影區(qū)間為[a,

b],

立體內(nèi)垂直于x軸的截面面積為A(x).

立體的體積元素為

立體的體積為A(x)dx.第35頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四5436截面面積為A(x)的立體體積：

例5

一平面經(jīng)過半徑為R的圓柱體的底圓中心,

并與底面交成角.

計(jì)算這平面截圓柱所得立體的體積.

建立坐標(biāo)系如圖,則底圓的方程為x2y2R2.

所求立體的體積為

解

立體中過點(diǎn)x且垂直于x軸的截面為直角三角形,其面積為第36頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四5437

例6

求以半徑為R的圓為底、平行且等于底圓直徑的線段為頂、高為h的正劈錐體的體積.

建立坐標(biāo)系如圖,則底圓的方程為x2y2R2.于是所求正劈錐體的體積為截面面積為A(x)的立體體積：

解

立體中過點(diǎn)x且垂直于x軸的截面面積為第37頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四5438三、平面曲線的弧長1、平面曲線弧長的概念2、平面曲線弧長的計(jì)算第38頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四54391、平面曲線的弧長定義:

若在弧

AB

上任意作內(nèi)接折線,當(dāng)折線段的最大邊長→0時(shí),折線的長度趨向于一個(gè)確定的極限,此極限為曲線弧AB

的弧長,即并稱此曲線弧為可求長的.定理:

任意光滑曲線弧都是可求長的.(證明略)則稱第39頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四5440弧長元素(弧微分):因此所求弧長2、平面曲線弧長的計(jì)算（1）直角坐標(biāo)情形:曲線弧由直角坐標(biāo)方程給出第40頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四5441曲線弧由參數(shù)方程給出:弧長元素(弧微分):因此所求弧長（2）參數(shù)方程情形第41頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四5442（3）極坐標(biāo)方程情形:曲線弧由極坐標(biāo)方程給出第42頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四5443所求弧長為例1解第43頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四5444例2解積分上限函數(shù)的性質(zhì)第44頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四5445例3.

兩根電線桿之間的電線,由于其本身的重量,成懸鏈線,求這一段弧長.解:下垂懸鏈線方程為第45頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四5446例4證第46頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四5447根據(jù)橢圓的對稱性知故原結(jié)論成立.第47頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四5448

弧長元素為從而,所求弧長例5解第48頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四5449例6解第49頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四5450例7解第50頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四54511、直角坐標(biāo)方程給出的平面圖形的面積一般以直角坐標(biāo)為積分變量；四、小結(jié)2、參數(shù)方程給出的平面圖形的面積可由直角坐標(biāo)面積計(jì)算公式經(jīng)積分變量替換得到；3、極坐標(biāo)方程給出的平面圖形的面積一般以極坐標(biāo)為積分