2023高考(理數(shù))分類解析(概率統(tǒng)計(jì)-函數(shù)導(dǎo)數(shù))word版

2023年全國(guó)各省（市）高考數(shù)學(xué)試題分類匯編(概率統(tǒng)計(jì))1.（2023福建卷.理16題）（本小題滿分13分）某聯(lián)歡晚會(huì)舉行抽獎(jiǎng)活動(dòng)，舉辦方設(shè)置了甲．乙兩種抽獎(jiǎng)方案，方案甲的中獎(jiǎng)率為，中將可以獲得2分；方案乙的中獎(jiǎng)率為，中將可以得3分；未中獎(jiǎng)則不得分．每人有且只有一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，每次抽獎(jiǎng)中將與否互不影響，晚會(huì)結(jié)束后憑分?jǐn)?shù)兌換獎(jiǎng)品．（1）若小明選擇方案甲抽獎(jiǎng)，小紅選擇方案乙抽獎(jiǎng)，記他們的累計(jì)得分為，求的概率；（2）若小明．小紅兩人都選擇方案甲或方案乙進(jìn)行抽獎(jiǎng)，問：他們選擇何種方案抽獎(jiǎng)，累計(jì)的得分的數(shù)學(xué)期望較大？本小題主要考查古典概型．離散型隨機(jī)變量的分布列．?dāng)?shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)據(jù)處理能力．運(yùn)算求解能力．應(yīng)用意識(shí)，考查必然和或然思想，滿分13分．解：（Ⅰ）由已知得：小明中獎(jiǎng)的概率為，小紅中獎(jiǎng)的概率為，兩人中獎(jiǎng)與否互不影響，記“這2人的累計(jì)得分”的事件為A，則A事件的對(duì)立事件為“”，，這兩人的累計(jì)得分的概率為．（Ⅱ）設(shè)小明．小紅都選擇方案甲抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的次數(shù)為，都選擇方案乙抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的次數(shù)為，則這兩人選擇方案甲抽獎(jiǎng)累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望為，選擇方案乙抽獎(jiǎng)累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望為由已知：，，，他們都在選擇方案甲進(jìn)行抽獎(jiǎng)時(shí)，累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望最大．2．（本小題滿分12分）(福建卷.文)某工廠有25周歲以上（含25周歲）工人300名，25周歲以下工人200名。為研究工人的日平均生產(chǎn)量是否與年齡有關(guān)，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從中抽取了100名工人，先統(tǒng)計(jì)了他們某月的日平均生產(chǎn)件數(shù)，然后按工人年齡在“25周歲以上（含25周歲）”和“25周歲以下”分為兩組，再將兩組工人的日平均生產(chǎn)件數(shù)分為5組：分別加以統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖.（=1\*ROMANI）從樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60件的工人中隨機(jī)抽取2人，求至少抽到一名“25周歲以下組”工人的概率；（=2\*ROMANII）規(guī)定日平均生產(chǎn)件數(shù)不少于80件者為“生產(chǎn)能手”，請(qǐng)你根據(jù)已知條件完成列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認(rèn)為“生產(chǎn)能手與工人所在的年齡組有關(guān)”？0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828（注：此公式也可以寫成）解：（I）由已知可得，樣本中有25周歲以上組工人100×=60名，25周歲以下組工人100×=40名，所以樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60件的工人中，25周歲以上組工人有60×0.05=3（人），25周歲以下組工人有40×0.05=2（人），故從中隨機(jī)抽取2名工人所有可能的結(jié)果共=10種，其中至少1名“25周歲以下組”工人的結(jié)果共+=7種，故所求的概率為：；（II）由頻率分布直方圖可知：在抽取的100名工人中，“25周歲以上組”中的生產(chǎn)能手有60×0.25=15（人），“25周歲以下組”中的生產(chǎn)能手有40×0.375=15（人），據(jù)此可得2×2列聯(lián)表如下：生產(chǎn)能手非生產(chǎn)能手合計(jì)25周歲以上組15456025周歲以下組152540合計(jì)3070100所以可得==≈1.79，因?yàn)?.79＜2.706，所以沒有90%的把握認(rèn)為“生產(chǎn)能手與工人所在的年齡組有關(guān)”．3.（2023廣東卷.理17題）．（本小題滿分12分）某車間共有名工人,隨機(jī)抽取名,他們某日加工零件個(gè)數(shù)的莖葉圖如圖所示,其中莖為十位數(shù),葉為個(gè)位數(shù).第17題圖(Ⅱ)日加工零件個(gè)數(shù)大于樣本均值的工人為優(yōu)秀工人.根據(jù)莖葉圖推斷該車間名工人中有幾名優(yōu)秀工人；(Ⅲ)從該車間名工人中,任取人,求恰有名優(yōu)秀工人的概率.【解析】(Ⅰ)樣本均值為；(Ⅱ)由(Ⅰ)知樣本中優(yōu)秀工人占的比例為,故推斷該車間名工人中有名優(yōu)秀工人.(Ⅲ)設(shè)事件:從該車間名工人中,任取人,恰有名優(yōu)秀工人,則.4．（本小題滿分13分）(2023廣東文)從一批蘋果中，隨機(jī)抽取50個(gè)，其重量（單位：克）的頻數(shù)分布表如下：分組（重量）頻數(shù)（個(gè)）5102015(1)根據(jù)頻數(shù)分布表計(jì)算蘋果的重量在的頻率；(2)用分層抽樣的方法從重量在和的蘋果中共抽取4個(gè)，其中重量在的有幾個(gè)？(3)在（2）中抽出的4個(gè)蘋果中，任取2個(gè)，求重量在和中各有1個(gè)的概率．【解析】（1）蘋果的重量在的頻率為；（2）重量在的有個(gè)；（3）設(shè)這4個(gè)蘋果中分段的為1，分段的為2、3、4，從中任取兩個(gè)，可能的情況有：（1，2）（1，3）（1，4）（2，3）（2，4）（3，4）共6種；設(shè)任取2個(gè)，重量在和中各有1個(gè)的事件為A，則事件A包含有（1，2）（1，3）（1，4）共3種，所以.5.（2023全國(guó)新課標(biāo)二卷.理18題）（本小題滿分12分） 經(jīng)銷商經(jīng)銷某種農(nóng)產(chǎn)品，在一個(gè)銷售季度內(nèi)，每售出1t該產(chǎn)品獲利潤(rùn)500元，未售出的產(chǎn)品，每1t虧損300元。根據(jù)歷史資料，得到銷售季度內(nèi)市場(chǎng)需求量的頻率分布直方圖，如右圖所示。經(jīng)銷商為下一個(gè)銷售季度購進(jìn)了130t該農(nóng)產(chǎn)品。以x（單位：t，100≤x≤150）表示下一個(gè)銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該農(nóng)產(chǎn)品的利潤(rùn)。 （Ⅰ）將T表示為x的函數(shù) （Ⅱ）根據(jù)直方圖估計(jì)利潤(rùn)T，不少于57000元的概率；（Ⅲ）在直方圖的需求量分組中，以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的各個(gè)值，需求量落入該區(qū)間的頻率作為需求量取該區(qū)間中點(diǎn)值的概率（例如：若x）則取x=105，且x=105的概率等于需求量落入的利潤(rùn)T的數(shù)學(xué)期望。解：（I）由題意得，當(dāng)x∈[100，130）時(shí)，T=500x﹣300（130﹣x）=800x﹣39000，當(dāng)x∈[130，150）時(shí)，T=500×130=65000，∴T=．（II）由（I）知，利潤(rùn)T不少于57000元，當(dāng)且僅當(dāng)120≤x≤150．由直方圖知需求量X∈[120，150]的頻率為0.7，所以下一個(gè)銷售季度的利潤(rùn)T不少于57000元的概率的估計(jì)值為0.7．（Ⅲ）依題意可得T的分布列如圖，

T

45000

53000

61000

65000

p

0.1

0.2

0.3

0.4所以ET=45000×0.1+53000×0.2+61000×0.3+65000×0.4=59400．6.（2023年河南山西河北卷19）（本小題滿分共12分）一批產(chǎn)品需要進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)，檢驗(yàn)方案是：先從這批產(chǎn)品中任取4件作檢驗(yàn)，這4件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)記為n。如果n=3，再從這批產(chǎn)品中任取4件作檢驗(yàn)，若都為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)；如果n=4，再從這批產(chǎn)品中任取1件作檢驗(yàn)，若為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)；其他情況下，這批產(chǎn)品都不能通過檢驗(yàn)。假設(shè)這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率為50%，即取出的產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品的概率都為，且各件產(chǎn)品是否為優(yōu)質(zhì)品相互獨(dú)立（1）求這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)的概率；（2）已知每件產(chǎn)品檢驗(yàn)費(fèi)用為100元，凡抽取的每件產(chǎn)品都需要檢驗(yàn)，對(duì)這批產(chǎn)品作質(zhì)量檢驗(yàn)所需的費(fèi)用記為X（單位：元），求X的分布列及數(shù)學(xué)期望?！久}意圖】【解析】設(shè)第一次取出的4件產(chǎn)品中恰有3件優(yōu)質(zhì)品為事件A，第一次取出的4件產(chǎn)品中全為優(yōu)質(zhì)品為事件B,第二次取出的4件產(chǎn)品都是優(yōu)質(zhì)品為事件C，第二次取出的1件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品為事件D，這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)為事件E，根據(jù)題意有E=(AB)∪(CD),且AB與CD互斥，所以P(E)=P(AB)+P(CD)=P(A)P(B|A)+P(C)P(D|C)=+=.…6分（Ⅱ）X的可能取值為400,500,800，并且P(X=400)=1-=，P(X=500)=，P(X=800)==，∴X的分布列為X400500800P…10分EX=400×+500×+800×=506.2512分7.（2023湖北卷.理20題）假設(shè)每天從甲地去乙地的旅客人數(shù)是服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量。記一天中從甲地去乙地旅客人數(shù)不超過900的概率為（=1\*ROMANI）求的值；（參考數(shù)據(jù)：若，有，，。）（=2\*ROMANII）某客運(yùn)公司用、兩種型號(hào)的車輛承擔(dān)甲、乙兩地間的長(zhǎng)途客運(yùn)業(yè)務(wù)，每車每天往返一次，、兩種車輛的載客量分別為36人和60人，從甲地去乙地的運(yùn)營(yíng)成本分別為1600元/輛和2400元/輛。公司擬組建一個(gè)不超過21輛車的客運(yùn)車隊(duì)，并要求型車不多于型車7輛。若每天要以不小于的概率運(yùn)完從甲地去乙地的旅客，且使公司從甲地去乙地的運(yùn)營(yíng)成本最小，那么應(yīng)配備型車、型車各多少輛？【解析與答案】（=1\*ROMANI）（=2\*ROMANII）設(shè)配備型車輛，型車輛，運(yùn)營(yíng)成本為元，由已知條件得，而作出可行域，得到最優(yōu)解。所以配備型車5輛，型車12輛可使運(yùn)營(yíng)成本最小?！鞠嚓P(guān)知識(shí)點(diǎn)】正態(tài)分布，線性規(guī)劃8（本小題滿分12分）(2023湖南.理)某人在如圖4所示的直角邊長(zhǎng)為米的三角形地塊的每個(gè)格點(diǎn)（指縱、橫直線的交叉點(diǎn)以及三角形的頂點(diǎn)）處都種了一株相同品種的作物。根據(jù)歷年的種植經(jīng)驗(yàn)，一株該種作物的年收獲量（單位：）與它的“相近”作物株數(shù)之間的關(guān)系如下表所示：X1234Y51484542這里，兩株作物“相近”是指它們之間的直線距離不超過1米（1）從三角形地塊的內(nèi)部和邊界上分別隨機(jī)選取一株作物，求它們恰好“相近”的概率（2）從所種作物中隨機(jī)選取一株，求她的年收獲量的分布列與數(shù)學(xué)期望解析：（1）所種作物總株數(shù)，其中三角形地塊內(nèi)部的作物株數(shù)為，邊界上的作物株數(shù)為，從三角形地塊的內(nèi)部和邊界上分別隨機(jī)選取一株的不同結(jié)果有種，選取的兩株作物恰好“相近”的不同結(jié)果有種故從三角形地塊的內(nèi)部和邊界上分別隨機(jī)選取一株作物，它們恰好“相近”的概率為（2）先求從所種作物中隨機(jī)選取的一株作物的年收獲量的分布列因?yàn)椋核灾恍枨蟪黾纯捎洖槠洹跋嘟弊魑锴∮兄甑淖魑镏陻?shù)（）則由得，；；故所求的分布列為所求的數(shù)學(xué)期望為：9．（本小題滿分12分）(2023湖南文)某人在如圖3所示的直角邊長(zhǎng)為4米的三角形地塊的每個(gè)格點(diǎn)（指縱、橫直線的交叉點(diǎn)以及三角形的頂點(diǎn)）處都種了一株相同品種的作物.根據(jù)歷年的種植經(jīng)驗(yàn),一株該種作物的年收獲量(單位:)與它“相近”作物株數(shù)之間的關(guān)系如下表所示：123451484542這里兩株“相近”是指它們之間的直線距離不超過1米.（Ⅰ）完成下表，并求所種作物的平均年收獲量；51484542頻數(shù)4（Ⅱ）在所種作物中隨機(jī)選取一株，求它的年收獲量至少為48的概率解：（I）所種作物的總株數(shù)為1+2+3+4+5=15，其中“相近”作物株數(shù)為1的有2株，“相近”作物株數(shù)為2的有4株，“相近”作物株數(shù)為3的有6株，“相近”作物株數(shù)為4的有3株，列表如下Y51484542頻數(shù)2463所種作物的平均所收獲量為：（51×2+48×4+45×6+42×3）==46，（Ⅱ）由（I）知，P（Y=51）=，P（Y=48）=，故在所種作物中隨機(jī)選取一株，求它的年收獲量至少為48kg的概率為P（Y≥48）=P（Y=51）+P（Y=48）=+=．10.（2023年江蘇卷6題7題）．（本小題滿分5分）（6題）．抽樣統(tǒng)計(jì)甲、乙兩位設(shè)計(jì)運(yùn)動(dòng)員的5此訓(xùn)練成績(jī)（單位：環(huán)），結(jié)果如下：運(yùn)動(dòng)員第一次第二次第三次第四次第五次甲8791908993乙8990918892則成績(jī)較為穩(wěn)定（方差較?。┑哪俏贿\(yùn)動(dòng)員成績(jī)的方差為．【答案】2【解析】易得乙較為穩(wěn)定乙平均值為．方差為：．（7題）．現(xiàn)在某類病毒記作，其中正整數(shù)，（，）可以任意選取，則都取到奇數(shù)的概率為．【答案】【解析】m取到奇數(shù)的有1，3，5，7共4種情況；n取到奇數(shù)的有1，3，5，7，9共5種情況，則都取到奇數(shù)的概率為．11．（12分）（2023?江西）小波以游戲方式?jīng)Q定是參加學(xué)校合唱團(tuán)還是參加學(xué)校排球隊(duì)，游戲規(guī)則為：以0為起點(diǎn)，再從A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8（如圖）這8個(gè)點(diǎn)中任取兩點(diǎn)分別為終點(diǎn)得到兩個(gè)向量，記這兩個(gè)向量的數(shù)量積為X．若X=0就參加學(xué)校合唱團(tuán)，否則就參加學(xué)校排球隊(duì)．（1）求小波參加學(xué)校合唱團(tuán)的概率；（2）求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．解：（1）從8個(gè)點(diǎn)中任意取兩個(gè)點(diǎn)為向量的終點(diǎn)的不同取法有=28種X=0時(shí)，兩向量夾角為直角共有8種情形所以小波參加學(xué)校合唱團(tuán)的概率P（X=0）==（2）兩向量數(shù)量積的所有可能情形有﹣2，﹣1，0，1X=﹣2時(shí)有2種情形X=1時(shí)有8種情形X=﹣1時(shí)，有10種情形X的分布列為EX==12．（12分）（2023?遼寧.理）現(xiàn)有10道題，其中6道甲類題，4道乙類題，張同學(xué)從中任取3道題解答．（I）求張同學(xué)至少取到1道乙類題的概率；（II）已知所取的3道題中有2道甲類題，1道乙類題．設(shè)張同學(xué)答對(duì)甲類題的概率都是，答對(duì)每道乙類題的概率都是，且各題答對(duì)與否相互獨(dú)立．用X表示張同學(xué)答對(duì)題的個(gè)數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．解：（I）設(shè)事件A=“張同學(xué)至少取到1道乙類題”則=張同學(xué)至少取到的全為甲類題∴P（A）=1﹣P（）=1﹣=（II）X的所有可能取值為0，1，2，3P（X=0）==P（X=1）==P（X=2）==P（X=3）==X的分布列為

X

0

1

2

3

PEX=13.（2023年遼寧卷19題）（本小題滿分12分）

甲、乙兩支排球隊(duì)進(jìn)行比賽，約定先勝3局者獲得比賽的勝利，比賽隨即結(jié)束.除第五局甲隊(duì)獲勝的概率是外，其余每局比賽甲隊(duì)獲勝的概率是.假設(shè)每局比賽結(jié)果互相獨(dú)立.（1）分別求甲隊(duì)以3：0，3：1，3：2勝利的概率（2）若比賽結(jié)果為3：0或3：1，則勝利方得3分，對(duì)方得0分；若比賽結(jié)果為3：2，則勝利方得2分、對(duì)方得1分，求乙隊(duì)得分x的分布列及數(shù)學(xué)期望.解答：（1），，

（2）由題意可知X的可能取值為：3,2,1,0相應(yīng)的概率依次為：，所以EX=14．（本小題滿分12分）(遼寧卷.文)現(xiàn)有6道題，其中4道甲類題，2道乙類題，張同學(xué)從中任取3道題解答.試求：（=1\*ROMANI）所取的2道題都是甲類題的概率；（=2\*ROMANII）所取的2道題不是同一類題的概率.[解題思路]（Ⅰ）基本事件空間中有15個(gè)基本事件，都是甲類的有6個(gè)，所以可求得概率（Ⅱ）不是同一類的有8個(gè)基本事件，所以所求的概率是。15本小題滿分12分(2023山東.理)甲、乙兩支排球隊(duì)進(jìn)行比賽，約定先勝3局者獲得比賽的勝利，比賽隨即結(jié)束.除第五局甲隊(duì)獲勝的概率是外，其余每局比賽甲隊(duì)獲勝的概率是.假設(shè)每局比賽結(jié)果互相獨(dú)立。（1）分別求甲隊(duì)以3：0，3：1，3：2勝利的概率（2）若比賽結(jié)果為3：0或3：1，則勝利方得3：分，對(duì)方得0分；若比賽結(jié)果為3：2，則勝利方得2分、對(duì)方得1分，求乙隊(duì)得分x的分布列及數(shù)學(xué)期望。解：（1）,，

（2）由題意可知X的可能取值為：3,2,1,0相應(yīng)的概率依次為：，所以16.（2023年山東卷19題）（本小題滿分12分）現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目，對(duì)甲項(xiàng)目每投資萬元，一年后利潤(rùn)是萬元，萬元，萬元的概率分別為；已知乙項(xiàng)目的利潤(rùn)與產(chǎn)品價(jià)格的調(diào)整有關(guān)，在每次調(diào)整中，價(jià)格下降的概率都是，設(shè)乙項(xiàng)目產(chǎn)品價(jià)格在一年內(nèi)進(jìn)行次獨(dú)立的調(diào)整，記乙項(xiàng)目產(chǎn)品價(jià)格在一年內(nèi)的下降次數(shù)為．對(duì)乙項(xiàng)目每投資十萬元，取時(shí)，一年后相應(yīng)利潤(rùn)是萬元，萬元，萬元．隨機(jī)變量，分別表示對(duì)甲、乙兩項(xiàng)目各投資十萬元一年后的利潤(rùn)．（=1\*ROMANI）求，的概率分布和數(shù)學(xué)期望；（=2\*ROMANII）當(dāng)時(shí)，求的取值范圍．本小題主要考查二項(xiàng)分布、分布列、數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問題的能力．滿分12分．（=1\*ROMANI）解法一：的概率分布為． 3分由題設(shè)得，即的概率分布為故的概率分布為 6分所以的數(shù)學(xué)期望為． 9分解法二：的概率分布為． 3分設(shè)表示事件“第次調(diào)整，價(jià)格下降”，則，，．故的概率分布為 6分所以的數(shù)學(xué)期望為． 9分（=2\*ROMANII）解：由，得，整理得，解得．因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，的取值范圍是．12分17.（2023年陜西卷.理19題）.(本小題滿分12分)在一場(chǎng)娛樂晚會(huì)上,有5位民間歌手(1至5號(hào))登臺(tái)演唱,由現(xiàn)場(chǎng)數(shù)百名觀眾投票選出最受歡迎歌手.各位觀眾須彼此獨(dú)立地在選票上選3名歌手,其中觀眾甲是1號(hào)歌手的歌迷,他必選1號(hào),不選2號(hào),另在3至5號(hào)中隨機(jī)選2名.觀眾乙和丙對(duì)5位歌手的演唱沒有偏愛,因此在1至5號(hào)中隨機(jī)選3名歌手. (Ⅰ)求觀眾甲選中3號(hào)歌手且觀眾乙未選中3號(hào)歌手的概率; (Ⅱ)X表示3號(hào)歌手得到觀眾甲、乙、丙的票數(shù)之和,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】(Ⅰ); (Ⅱ)X的分布列如下：X0123P數(shù)學(xué)期望【解析】(Ⅰ)設(shè)事件A表示:觀眾甲選中3號(hào)歌手且觀眾乙未選中3號(hào)歌手。觀眾甲選中3號(hào)歌手的概率為,觀眾乙未選中3號(hào)歌手的概率為。所以P(A)=.因此，觀眾甲選中3號(hào)歌手且觀眾乙未選中3號(hào)歌手的概率為(Ⅱ)X表示3號(hào)歌手得到觀眾甲、乙、丙的票數(shù)之和，則X可取0,1,2,3.觀眾甲選中3號(hào)歌手的概率為,觀眾乙選中3號(hào)歌手的概率為。當(dāng)觀眾甲、乙、丙均未選中3號(hào)歌手時(shí)，這時(shí)X=0，P(X=0)=.當(dāng)觀眾甲、乙、丙中只有1人選中3號(hào)歌手時(shí)，這時(shí)X=1，P(X=1)=.當(dāng)觀眾甲、乙、丙中只有2人選中3號(hào)歌手時(shí)，這時(shí)X=2，P(X=2)=.當(dāng)觀眾甲、乙、丙均選中3號(hào)歌手時(shí)，這時(shí)X=3，P(X=3)=.X的分布列如下表：X0123P所以，數(shù)學(xué)期望18.（2023安徽卷.理21題）（本小題滿分13分）某高校數(shù)學(xué)系計(jì)劃在周六和周日各舉行一次主題不同的心理測(cè)試活動(dòng)，分別由李老師和張老師負(fù)責(zé)，已知該系共有位學(xué)生，每次活動(dòng)均需該系位學(xué)生參加（和都是固定的正整數(shù)）。假設(shè)李老師和張老師分別將各自活動(dòng)通知的信息獨(dú)立、隨機(jī)地發(fā)給該系位學(xué)生，且所發(fā)信息都能收到。記該系收到李老師或張老師所發(fā)活動(dòng)通知信息的學(xué)生人數(shù)為（Ⅰ）求該系學(xué)生甲收到李老師或張老師所發(fā)活動(dòng)通知信息的概率；（Ⅱ）求使取得最大值的整數(shù)?！敬鸢浮浚á瘢?（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）...則.所以，.（Ⅱ）,.;討論如下：..19．（12分）（2023?安徽.文）為調(diào)查甲、乙兩校高三年級(jí)學(xué)生某次聯(lián)考數(shù)學(xué)成績(jī)情況，用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，從這兩校中為各抽取30名高三年級(jí)學(xué)生，以他們的數(shù)學(xué)成績(jī)（百分制）作為樣本，樣本數(shù)據(jù)的莖葉圖如下：（Ⅰ）若甲校高三年級(jí)每位學(xué)生被抽取的概率為0.05，求甲校高三年級(jí)學(xué)生總?cè)藬?shù)，并估計(jì)甲校高三年級(jí)這次聯(lián)考數(shù)學(xué)成績(jī)的及格率（60分及60分以上為及格）；（Ⅱ）設(shè)甲、乙兩校高三年級(jí)學(xué)生這次聯(lián)考數(shù)學(xué)平均成績(jī)分別為x1，x2，估計(jì)x1﹣x2的值．解：（I）設(shè)甲校高三年級(jí)總?cè)藬?shù)為n，則=0.05，∴n=600，又樣本中甲校高三年級(jí)這次聯(lián)考數(shù)學(xué)成績(jī)的不及格人數(shù)為5，∴估計(jì)甲校高三年級(jí)這次聯(lián)考數(shù)學(xué)成績(jī)的及格率1﹣=；（II）設(shè)樣本中甲、乙兩校高三年級(jí)學(xué)生這次聯(lián)考數(shù)學(xué)平均成績(jī)分別為a1，a2，由莖葉圖可知，30（a1﹣a2）=（7﹣5）+55+（2﹣8）+（5﹣0）+（5﹣6）+…+92=15，∴a1﹣a2==0.5．∴利用樣本估計(jì)總體，故估計(jì)x1﹣x2的值為0.5．20.(本小題滿分12分)(2023陜西.文)有7位歌手(1至7號(hào))參加一場(chǎng)歌唱比賽,由500名大眾評(píng)委現(xiàn)場(chǎng)投票決定歌手名次,根據(jù)年齡將大眾評(píng)委分為5組,各組的人數(shù)如下:組別ABCDE人數(shù)5010015015050 (Ⅰ)為了調(diào)查評(píng)委對(duì)7位歌手的支持狀況,現(xiàn)用分層抽樣方法從各組中抽取若干評(píng)委,其中從B組中抽取了6人.請(qǐng)將其余各組抽取的人數(shù)填入下表.組別ABCDE人數(shù)5010015015050抽取人數(shù)6 (Ⅱ)在(Ⅰ)中,若A,B兩組被抽到的評(píng)委中各有2人支持1號(hào)歌手,現(xiàn)從這兩組被抽到的評(píng)委中分別任選1人,求這2人都支持1號(hào)歌手的概率.(Ⅰ). 組別ABCDE人數(shù)5010015015050抽取人數(shù)36993(Ⅱ)【解析】(Ⅰ)按相同的比例從不同的組中抽取人數(shù)。從B組100人中抽取6人，即從50人中抽取3人，從100人中抽取6人，從100人中抽取9人。(Ⅱ)A組抽取的3人中有2人支持1號(hào)歌手，則從3人中任選1人，支持支持1號(hào)歌手的概率為·B組抽取的6人中有2人支持1號(hào)歌手，則從6人中任選1人，支持支持1號(hào)歌手的概率為·現(xiàn)從抽樣評(píng)委A組3人,B組6人中各自任選一人，則這2人都支持1號(hào)歌手的概率.所以，從A,B兩組抽樣評(píng)委中，各自任選一人，則這2人都支持1號(hào)歌手的概率為.21.（2023年上海卷10題）（本小題滿分5分）設(shè)非零常數(shù)d是等差數(shù)列的公差，隨機(jī)變量等可能地取值，則方差【解答】，22．（12分）（2023?四川.理）某算法的程序框圖如圖所示，其中輸入的變量x在1，2，3，…，24這24個(gè)整數(shù)中等可能隨機(jī)產(chǎn)生（I）分別求出按程序框圖正確編程運(yùn)行時(shí)輸出y的值為i的概率pi（i=1，2，3）；（II）甲乙兩同學(xué)依據(jù)自己對(duì)程序框圖的理解，各自編程寫出程序重復(fù)運(yùn)行n次后，統(tǒng)計(jì)記錄輸出y的值為i（i=1，2，3）的頻數(shù)，以下是甲乙所作頻數(shù)統(tǒng)計(jì)表的部分?jǐn)?shù)據(jù)．甲的頻數(shù)統(tǒng)計(jì)圖（部分）運(yùn)行次數(shù)n輸出y的值為1的頻數(shù)輸出y的值為2的頻數(shù)輸出y的值為3的頻數(shù)3014610…………21001027376697乙的頻數(shù)統(tǒng)計(jì)圖（部分）運(yùn)行次數(shù)n輸出y的值為1的頻數(shù)輸出y的值為2的頻數(shù)輸出y的值為3的頻數(shù)3012117…………21001051696353當(dāng)n=2100時(shí)，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，分別寫出甲、乙所編程序各自輸出y的值為i（i=1，2，3）的頻率（用分?jǐn)?shù)表示），并判斷兩位同學(xué)中哪一位所編程序符合要求的可能系較大；（III）將按程序擺圖正確編寫的程序運(yùn)行3次，求輸出y的值為2的次數(shù)ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．解：（I）變量x是在1，2，3，…，24這24個(gè)整數(shù)中隨機(jī)產(chǎn)生的一個(gè)數(shù)，共有24種可能，當(dāng)x從1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23這12個(gè)數(shù)中產(chǎn)生時(shí)，輸出的y值為1，故P1==；當(dāng)x從2，4，8，10，14，16，20，22這8個(gè)數(shù)中產(chǎn)生時(shí)，輸出的y值為2，故P2==；當(dāng)x從6，12，18，24這4個(gè)數(shù)中產(chǎn)生時(shí)，輸出的y值為3，故P3==；故輸出的y值為1的概率為，輸出的y值為2的概率為，輸出的y值為3的概率為；（II）當(dāng)n=2100時(shí)，甲、乙所編程序各自輸出的y值為i（i=1，2，3）的頻率如下：輸出y值為1的頻率輸出y值為2的頻率輸出y值為3的頻率甲乙比較頻率趨勢(shì)與概率，可得乙同學(xué)所編程序符合算法要求的可能性較大；（III）隨機(jī)變量ξ的可能取值為：0，1，2，3，P（ξ=0）==，P（ξ=1）==P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，故ξ的分布列為：ξ0123P所以所求的數(shù)學(xué)期望Eξ==123.(2023年天津卷.理16題)(本小題滿分13分)一個(gè)盒子里裝有7張卡片,其中有紅色卡片4張,編號(hào)分別為1,2,3,4;白色卡片3張,編號(hào)分別為2,3,4.從盒子中任取4張卡片(假設(shè)取到任何一張卡片的可能性相同).(Ⅰ)求取出的4張卡片中,含有編號(hào)為3的卡片的概率.(Ⅱ)再取出的4張卡片中,紅色卡片編號(hào)的最大值設(shè)為X,求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.解：（I）設(shè)取出的4張卡片中，含有編號(hào)為3的卡片為事件A，則P（A）==所以，取出的4張卡片中，含有編號(hào)為3的卡片的概率為（II）隨機(jī)變量X的所有可能取值為1，2，3，4P（X=1）=P（X=2）=P（X=3）==P（X=4）==X的分布列為EX==24(本小題滿分13分)(2023天津.文)某產(chǎn)品的三個(gè)質(zhì)量指標(biāo)分別為x,y,z,用綜合指標(biāo)S=x+y+z評(píng)價(jià)該產(chǎn)品的等級(jí).若S≤4,則該產(chǎn)品為一等品.先從一批該產(chǎn)品中,隨機(jī)抽取10件產(chǎn)品作為樣本,其質(zhì)量指標(biāo)列表如下:產(chǎn)品編號(hào)A1A2A3A4A5質(zhì)量指標(biāo)(x,y,z)(1,1,2)(2,1,1)(2,2,2)(1,1,1)(1,2,1)產(chǎn)品編號(hào)A6A7A8A9A10質(zhì)量指標(biāo)(x,y,z)(1,2,2)(2,1,1)(2,2,1)(1,1,1)(2,1,2)(Ⅰ)利用上表提供的樣本數(shù)據(jù)估計(jì)該批產(chǎn)品的一等品率;(Ⅱ)在該樣品的一等品中,隨機(jī)抽取兩件產(chǎn)品,(⒈)用產(chǎn)品編號(hào)列出所有可能的結(jié)果;(⒉)設(shè)事件B為“在取出的2件產(chǎn)品中,每件產(chǎn)品的綜合指標(biāo)S都等于4”,求事件B解：（Ⅰ）計(jì)算10件產(chǎn)品的綜合指標(biāo)S，如下表：其中S≤4的有A1，A2，A4，A5，A7，A9共6件，故樣本的一等品率為．從而可估計(jì)該批產(chǎn)品的一等品率為0.6；（Ⅱ）（i）在該樣本的一等品種，隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品的所有可能結(jié)果為{A1，A2}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A1，A9}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A2，A9}，{A4，A5}，{A4，A7}，{A4，A9}，{A5，A7}，{A5，A9}，{A7，A9}共15種．（ii）在該樣本的一等品種，綜合指標(biāo)S等于4的產(chǎn)品編號(hào)分別為A1，A2，A5，A7．則事件B發(fā)生的所有可能結(jié)果為{A1，A2}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A5，A7}，共6種．所以p（B）=．25.(本題滿分14分)(2023浙江.理)設(shè)袋子中裝有a個(gè)紅球，b個(gè)黃球，c個(gè)藍(lán)球，且規(guī)定：取出一個(gè)紅球得1分，取出一個(gè)黃球得2分，取出一個(gè)藍(lán)球得3分。（Ⅰ）當(dāng)a=3，b=2，c=1時(shí)，從該袋子中任?。ㄓ蟹呕?，且每球取到的機(jī)會(huì)均等）2個(gè)球。記隨機(jī)變量為取出此2球所得分?jǐn)?shù)之和，求的分布列；（Ⅱ)從該袋子中任?。壳蛉〉降臋C(jī)會(huì)均等）1個(gè)球，記隨機(jī)變量為取出此球所得分?jǐn)?shù)。若E＝，D＝，求a:b:c解:（I）由題意得＝2，3，4，5，6故所以的分布列為23456P(II)由題意知的分布列為,1,2,3P,,,所以E＝++＝D=(1－)2·+(2－)2·+(3－)2·=化簡(jiǎn)得解得a=3c，b=2c故a:b:c=3:2:126.（2023浙江卷19題）．(本小題滿分14分)已知箱中裝有4個(gè)白球和5個(gè)黑球，且規(guī)定：取出一個(gè)白球的2分，取出一個(gè)黑球的1分．現(xiàn)從該箱中任取(無放回，且每球取到的機(jī)會(huì)均等)3個(gè)球，記隨機(jī)變量X為取出3球所得分?jǐn)?shù)之和．(Ⅰ)求X的分布列；(Ⅱ)求X的數(shù)學(xué)期望E(X)．【解析】本題主要考察分布列，數(shù)學(xué)期望等知識(shí)點(diǎn)。(Ⅰ)X的可能取值有：3，4，5，6．；；；．故，所求X的分布列為X3456P(Ⅱ)所求X的數(shù)學(xué)期望E(X)為：E(X)＝．27（2023年重慶卷.理18題）(本小題滿分14分)某商場(chǎng)舉行的“三色球”購物摸獎(jiǎng)活動(dòng)規(guī)定：在一次摸獎(jiǎng)中，摸獎(jiǎng)?wù)呦葟难b有個(gè)紅球與個(gè)白球的袋中任意摸出個(gè)球，再從裝有個(gè)藍(lán)球與個(gè)白球的袋中任意摸出個(gè)球，根據(jù)摸出個(gè)球中紅球與藍(lán)球的個(gè)數(shù)，設(shè)一、二、三等獎(jiǎng)如下：獎(jiǎng)級(jí)摸出紅、藍(lán)球個(gè)數(shù)獲獎(jiǎng)金額一等獎(jiǎng)3紅1藍(lán)200元二等獎(jiǎng)3紅0藍(lán)50元三等獎(jiǎng)2紅1藍(lán)10元其余情況無獎(jiǎng)且每次摸獎(jiǎng)最多只能獲得一個(gè)獎(jiǎng)級(jí)。（1）求一次摸獎(jiǎng)恰好摸到1個(gè)紅球的概率；（2）求摸獎(jiǎng)?wù)咴谝淮蚊?jiǎng)中獲獎(jiǎng)金額的分布列與期望。解：（1）設(shè)Ai表示摸到i個(gè)紅球，Bi表示摸到i個(gè)藍(lán)球，則與相互獨(dú)立（i=0，1，2，3）∴P（A1）==（2）X的所有可能取值為0，10，50，200P（X=200）=P（A3B1）=P（A3）P（B1）=P（X=50）=P（A3）P（B0）==P（X=10）=P（A2）P（B1）==P（X=0）=1﹣=∴X的分布列為EX==4元28．（13分）（2023?重慶卷.文）從某居民區(qū)隨機(jī)抽取10個(gè)家庭，獲得第i個(gè)家庭的月收入xi（單位：千元）與月儲(chǔ)蓄yi（單位：千元）的數(shù)據(jù)資料，算得，，，．（Ⅰ）求家庭的月儲(chǔ)蓄y對(duì)月收入x的線性回歸方程y=bx+a；（Ⅱ）判斷變量x與y之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)；（Ⅲ）若該居民區(qū)某家庭月收入為7千元，預(yù)測(cè)該家庭的月儲(chǔ)蓄．附：線性回歸方程y=bx+a中，，，其中，為樣本平均值，線性回歸方程也可寫為．解：（Ⅰ）由題意可知n=10，===8，===2，故=720﹣10×82=80，=184﹣10×8×2=24，故可得b===0.3，a==2﹣0.3×8=﹣0.4，故所求的回歸方程為：y=0.3x﹣0.4；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知b=0.3＞0，即變量y隨x的增加而增加，故x與y之間是正相關(guān)；（Ⅲ）把x=7代入回歸方程可預(yù)測(cè)該家庭的月儲(chǔ)蓄為y=0.3×7﹣0.4=1.7（千元）29.（2023北京卷16題）(本小題共13分)下圖是某市3月1日至14日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢(shì)圖，空氣質(zhì)量指數(shù)小于100表示空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良，空氣質(zhì)量指數(shù)大于200表示空氣重度污染，某人隨機(jī)選擇3月1日至3月13日中的某一天到達(dá)該市，并停留2天（Ⅰ）求此人到達(dá)當(dāng)日空氣重度污染的概率（Ⅱ）設(shè)X是此人停留期間空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的天數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望。（Ⅲ）由圖判斷從哪天開始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大？（結(jié)論不要求證明）30（本小題共13分）(2023北京.文)下圖是某市3月1日至14日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢(shì)圖．空氣質(zhì)量指數(shù)小于100表示空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良，空氣質(zhì)量指數(shù)大于200表示空氣重度污染．某人隨機(jī)選擇3月1日至3月13日中的某一天到達(dá)該市，并停留2天．（Ⅰ）求此人到達(dá)當(dāng)日空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的概率；（Ⅱ）求此人在該市停留期間只有1天空氣重度污染的概率；（Ⅲ）由圖判斷從哪天開始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大?（結(jié)論不要求證明）解：（Ⅰ）由圖看出，子1日至13日13天的時(shí)間內(nèi)，空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的是1日、2日、3日、7日、12日、13日共6天．由古典概型概率計(jì)算公式得，此人到達(dá)當(dāng)日空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的概率p=；（Ⅱ）此人在該市停留期間兩天的空氣質(zhì)量指數(shù)（86，25）、（25，57）、（57，143）、（143，220）、（220，160）（160，40）、（40，217）、（217，160）、（160，121）、（121，158）、（158，86）、（86，79）、（79，34）共13種情況．其中只有1天空氣重度污染的是（143，220）、（220，160）、（40，217）、（217，160）共4種情況，所以，此人在該市停留期間只有1天空氣重度污染的概率p=；（Ⅲ）因?yàn)榉讲钤酱螅f明三天的空氣質(zhì)量指數(shù)越不穩(wěn)定，由圖看出從5日開始連續(xù)5、6、7三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大．2023年全國(guó)各地高考試題分類匯編(函數(shù)與導(dǎo)數(shù))1．(2023廣東.理)（14分）設(shè)函數(shù)(其中).(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(Ⅱ)當(dāng)時(shí),求函數(shù)在上的最大值.【解析】(Ⅰ)當(dāng)時(shí),,令,得,當(dāng)變化時(shí),的變化如下表:極大值極小值右表可知,函數(shù)的遞減區(qū)間為,遞增區(qū)間為,.(Ⅱ),令,得,,令,則,所以在上遞增,所以,從而,所以所以當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),；所以令,則,令,則所以在上遞減,而所以存在使得,且當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.因?yàn)?,所以在上恒成立,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得“”.綜上,函數(shù)在上的最大值.2．（本小題滿分14分）(2023廣東文)設(shè)函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí),求函數(shù)在上的最小值和最大值．【解析】：(1)當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增.（2）當(dāng)時(shí)，，其開口向上，對(duì)稱軸，且過-kkk（i）當(dāng)，即時(shí)，，在上單調(diào)遞增，-kkk從而當(dāng)時(shí)，取得最小值,當(dāng)時(shí)，取得最大值.（ii）當(dāng)，即時(shí)，令解得：,注意到,(注：可用韋達(dá)定理判斷，,從而；或者由對(duì)稱結(jié)合圖像判斷)的最小值,的最大值綜上所述，當(dāng)時(shí)，的最小值,最大值解法2（2）當(dāng)時(shí)，對(duì)，都有，故故，而，所以，3（本小題共13分）(2023北京.理)設(shè)為曲線在點(diǎn)處的切線．（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）證明：除切點(diǎn)之外，曲線在直線的下方．解：（I）,所以的斜率所以的方程為（II）證明：令則在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，又時(shí)，，即時(shí)，，即即除切點(diǎn)（1，0）之外，曲線C在直線的下方4．（13分）（2023?北京.文）已知函數(shù)(1)若曲線在點(diǎn)處與直線相切，求與的值；(2)若曲線與直線有兩個(gè)不同交點(diǎn)，求的取值范圍．解：(1),因?yàn)榍€在點(diǎn)處與直線相切，所以故(2)于是當(dāng)時(shí)，，故單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，，故單調(diào)遞減．所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，故當(dāng)時(shí)，曲線與直線有兩個(gè)不同交點(diǎn)．故的取值范圍是．5．(2023大綱版.文)（12分）已知函數(shù)(1)求當(dāng)時(shí),討論的單調(diào)性;(1)若時(shí),,求的取值范圍.解：(1)求當(dāng)時(shí),，令或當(dāng)時(shí)，,單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，,單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，,單調(diào)遞增；(2)由，可解得，當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，于是當(dāng)時(shí)，綜上可得，的取值范圍是.6．（13分）（2023?福建）已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）求函數(shù)的極值．解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?）當(dāng)時(shí)，，，因而，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為（2）由知：①當(dāng)時(shí)，，函數(shù)為上的增函數(shù)，函數(shù)無極值；②當(dāng)時(shí)，由，解得又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．從而函數(shù)在處取得極小值，且極小值為，無極大值．綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)無極值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在處取得極小值，無極大值．7．（14分）（2023?福建）已知函數(shù)(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))(1)若曲線在點(diǎn)處的切線平行于軸，求的值；(2)求函數(shù)的極值；(3)當(dāng)時(shí)，若直線與曲線沒有公共點(diǎn)，求的最大值．解：(1)由，得，又曲線在點(diǎn)處的切線平行于軸,(2)，①當(dāng)時(shí)，，函數(shù)為上的增函數(shù)，函數(shù)無極值；②當(dāng)時(shí)，由，解得又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,從而函數(shù)在處取得極小值，且極小值為，無極大值．綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)無極值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在處取得極小值，無極大值．(3)當(dāng)時(shí)，，令則直線與曲線沒有公共點(diǎn),等價(jià)于方程在上沒有實(shí)數(shù)解．假設(shè)，此時(shí)，，又函數(shù)的圖象連續(xù)不斷，由零點(diǎn)存在定理可知在上至少有一解，與“方程在上沒有實(shí)數(shù)解”矛盾，故．又時(shí)，，知方程在上沒有實(shí)數(shù)解，所以的最大值為.8．（13分）（2023?安徽）設(shè)函數(shù)，證明：（1）對(duì)每個(gè)，存在唯一的，滿足；（2）對(duì)于任意，由（1）中構(gòu)成數(shù)列滿足．證明：（1）對(duì)每個(gè)，當(dāng)時(shí)，由函數(shù)，可得，故函數(shù)在上是增函數(shù)．求得，又根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)的判定定理，可得存在唯一的，滿足．（2）對(duì)于任意，由（1）中構(gòu)成數(shù)列，當(dāng)時(shí)，，由在上單調(diào)遞增，可得．故數(shù)列為遞減數(shù)列，即對(duì)任意的由于......①，..............②，用①減去②并移項(xiàng)，利用，可得綜上可得，對(duì)于任意，由（1）中構(gòu)成數(shù)列滿足．9.(本小題滿分14分)(2023陜西.理)已知函數(shù). (Ⅰ)若直線與的反函數(shù)的圖像相切,求實(shí)數(shù)的值; (Ⅱ)設(shè),討論曲線與曲線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù). (Ⅲ)設(shè),比較與的大小,并說明理由.【解析】(Ⅰ)的反函數(shù).設(shè)直線與相切與點(diǎn)。所以(Ⅱ)當(dāng)時(shí)，曲線與曲線的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)即方程根的個(gè)數(shù)。由，令則在上單調(diào)遞減,這時(shí),在上單調(diào)遞增,這時(shí)是的極小值即最小值.所以對(duì)曲線與曲線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)，討論如下：當(dāng)時(shí),有個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng),有個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)有個(gè)公共點(diǎn)；(Ⅲ)設(shè)令,則的導(dǎo)函數(shù)所以在上單調(diào)遞增,且,因此在上單調(diào)遞增,而所以在。因?yàn)楫?dāng)時(shí),且所以當(dāng)時(shí),10.(本小題滿分14分)(2023陜西.文)已知函數(shù). (Ⅰ)求的反函數(shù)的圖象上圖象上點(diǎn)處的切線方程; (Ⅱ)證明:曲線與曲線有唯一公共點(diǎn). (Ⅲ)設(shè),比較與的大小,并說明理由.解(Ⅰ).(Ⅱ)證明曲線與曲線有唯一公共點(diǎn)，過程如下。令則的導(dǎo)數(shù)且因此，當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增.所以在上單調(diào)遞增,最多有一個(gè)零點(diǎn)所以，曲線與曲線只有唯一公共點(diǎn).(證畢）(Ⅲ)設(shè)令則的導(dǎo)函數(shù)所以在上單調(diào)遞增,且,因此在上單調(diào)遞增,而所以在。因?yàn)楫?dāng)時(shí),且所以11.（本小題滿分14分）(2023湖北.理)設(shè)為正整數(shù)，為正有理數(shù).（I）求函數(shù)的最小值；（=2\*ROMANII）證明：（=3\*ROMANIII）設(shè)記不小于的最小整數(shù)，例如令求的值。（參考數(shù)據(jù)：）解.(1)因?yàn)?令解得當(dāng)時(shí),,所以在內(nèi)是減函數(shù)當(dāng)時(shí),,所以在內(nèi)是增函數(shù)故函數(shù)在處取得最小值(2)由(1),當(dāng)時(shí),有即且等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立.故當(dāng)且時(shí),有………..①在①中,令,(這時(shí)且)得上式兩邊同乘得即…………..②當(dāng)時(shí),在①中,令,(這時(shí)且),類似可得………………③且當(dāng)時(shí),③式也成立綜合②③得………..④(3)在④中,令分別取81,82,83,…,125,得,…………….將以上各式相加,并整理得代入數(shù)據(jù)計(jì)算,可得,由的定義,得12．（本小題滿分13分）(2023湖北.文)設(shè)，，已知函數(shù).（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，稱為、關(guān)于的加權(quán)平均數(shù).（i）判斷,,是否成等比數(shù)列，并證明；（ii）、的幾何平均數(shù)記為.稱為、的調(diào)和平均數(shù)，記為.若，求的取值范圍.解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，函數(shù)在,上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在,上單調(diào)遞減．（Ⅱ）（i）計(jì)算得，成等比數(shù)列,（ii）由（i）知,故由，得．當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增．這時(shí)，即的取值范圍為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減.所以的取值范圍為13.(2023江蘇卷)（本小題滿分16分）設(shè)函數(shù)，，其中為實(shí)數(shù).(1)若在上是單調(diào)減函數(shù)，且在上有最小值，求的范圍；(2)若在上是單調(diào)增函數(shù)，試求的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論.解：（1）,由題意：對(duì)恒成立即對(duì)恒成立在上有最小值時(shí)，恒成立，在無最值時(shí)，由題意,綜上：的范圍是：（2）在上是單調(diào)增函數(shù)對(duì)恒成立即對(duì)恒成立令，則則有的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為與圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù)令則易知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減在時(shí)取到最大值當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，圖像如下所以由圖可知：時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)綜上所述：或時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)14（本小題滿分13分）(2023湖南.理)已知，函數(shù)記在區(qū)間上的最大值為，求的表達(dá)式是否存在，使函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的圖象上存在兩點(diǎn)，在該兩點(diǎn)處的切線互相垂直？若村子啊，求出的取值范圍，若不存在，請(qǐng)說明理由解（1）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，因此，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；=1\*GB3①若，則在上單調(diào)遞減，=2\*GB3②若，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增。所以，而，故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)當(dāng)時(shí)，.綜上所述，（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，故不滿足要求。當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，若存在，使曲線在兩點(diǎn)處的切線互相垂直，則，且，即亦即（*）由得，故（*）成立等價(jià)于集合與集合的交集非空.因?yàn)椋援?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，綜上所述，存在使函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的圖像上存在兩點(diǎn)，在該兩點(diǎn)處的切線互相垂直，且的取值范圍是15．（13分）（2023?湖南.文）已知函數(shù).（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）證明：當(dāng)時(shí)，．解：（I）易知函數(shù)的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．（II）當(dāng)時(shí)，由于;同理，當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)．由（I）可知：．下面證明：，即證．此不等式等價(jià)于.令，則.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，即,而從而，.由于在上單調(diào)遞增，16（本小題滿分13分）(2023山東.理)設(shè)函數(shù)是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，.（1）求的單調(diào)區(qū)間，最大值；（2）討論關(guān)于x的方程根的個(gè)數(shù).解：（1），令當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減;所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值（2）由（1）知，先增后減，即從負(fù)無窮增大到，然后遞減到c，而函數(shù)是時(shí)由正無窮遞減到，然后又逐漸增大。故令得，，所以當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)根；當(dāng)時(shí)，方程有一兩個(gè)根；當(dāng)時(shí)，方程有無兩個(gè)根.17(山東.文)(本小題滿分12分) 已知函數(shù)(Ⅰ)設(shè)，求的單調(diào)區(qū)間(Ⅱ)設(shè)，且對(duì)于任意，。試比較與的大小解：（Ⅰ）由知又，故當(dāng)時(shí)，若時(shí)，由得，恒成立，故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是；若，令可得，即函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù).所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是當(dāng)時(shí)，令由于，故有顯然有，故在區(qū)間上，導(dǎo)數(shù)小于0，函數(shù)是減函數(shù)；在區(qū)間上，導(dǎo)數(shù)大于0，函數(shù)是增函數(shù)綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是當(dāng)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是（II）由題意，函數(shù)在處取到最小值，由（1）知，是函數(shù)的唯一極小值點(diǎn)故整理得令，則由當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減因?yàn)楣?即,即18．（13分）（2023?安徽）設(shè)函數(shù)，區(qū)間（Ⅰ）求的長(zhǎng)度（注：區(qū)間的長(zhǎng)度定義為）；（Ⅱ）給定常數(shù)，當(dāng)時(shí)，求長(zhǎng)度的最小值．解：（Ⅰ）因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)實(shí)根,故的解集為因此區(qū)間，區(qū)間長(zhǎng)度為；（Ⅱ）設(shè)，則令,由于，故當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，因此當(dāng)時(shí)，的最小值必定在,或處取得.而，故.因此當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上取得最小值，即長(zhǎng)度的最小值為．19.(2023全國(guó)卷.文)已知，函數(shù)（Ⅰ）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（Ⅱ)若，求在閉區(qū)間上的最小值.解(略)20.（本小題滿分14分）(2023江西.理)已知函數(shù)為常數(shù)且.證明：函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱；若滿足，但，則稱為函數(shù)的二階周期點(diǎn)，如果有兩個(gè)二階周期點(diǎn)，試確定的取值范圍；對(duì)于（2）中的，和，設(shè)為函數(shù)的最大值點(diǎn)，,記的面積為，討論的單調(diào)性。（1）證明：,，的圖象關(guān)于直線對(duì)稱．（2）解：當(dāng)時(shí)，有．只有一個(gè)解,又，故不是二階周期點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，有有解集，，故此集合中的所有點(diǎn)都不是二階周期點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，有有四個(gè)解：,,,由，,,故只有,是的二階周期點(diǎn)，綜上所述，所求的取值范圍為（3）由（2）得,.為函數(shù)的最大值點(diǎn)，所以或當(dāng)時(shí)，．求導(dǎo)得：所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減．當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)得因?yàn)?從而所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．21．（本小題滿分14分）(2023江西.文)設(shè)函數(shù)QUOTEfx=1ax,0≤x當(dāng)時(shí)，求；若滿足但，則稱為的二階有且僅有兩個(gè)二階周期點(diǎn)，并求二階周期點(diǎn);對(duì)于（2）中，設(shè),，記的面積為，求在區(qū)間上的最大值和最小值。解：（1）當(dāng)時(shí)，求，故（2）當(dāng)時(shí)，由，解得，因?yàn)?，故不是函?shù)的二階周期點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，由，解得因?yàn)楣适呛瘮?shù)的二階周期點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，由，解得，因?yàn)?，故得不是函?shù)的二階周期點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，由，解得，因?yàn)椋适呛瘮?shù)的二階周期點(diǎn)；因此函數(shù)有兩個(gè)二階周期點(diǎn)，,（3）由（2）得,則，所以因?yàn)椋?，所以（或令利用?dǎo)數(shù)證明其符號(hào)為正亦可）在區(qū)間上是增函數(shù)，故在區(qū)間[，]上的最小值為，最大值為.22．（12分）（2023?遼寧.理）已知函數(shù),，當(dāng)時(shí)，（I）求證：；（II）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．證明：①當(dāng)時(shí)，令，則．當(dāng)時(shí)，,所以在上是增函數(shù),,即.②當(dāng)時(shí)，,令,則,當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，,綜上可知：.解：設(shè)令，則令，則當(dāng)時(shí)，,可得是上的減函數(shù)，,故在單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，在上恒成立．下面證明當(dāng)時(shí)，在上不恒成立．．令，則.當(dāng)時(shí)，，故在上是減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．所以存在，使得，此時(shí)，．即在上不恒成立．綜上實(shí)數(shù)的取值范圍是23．(2023大綱版.理)（12分）已知函數(shù).（Ⅰ）若時(shí)，求的最小值；（Ⅱ）設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)，證明：.解：（I）由已知，,，且…3分若，則當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，;若，則當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，綜上，的最小值為…6分（II）令，由（I）知，當(dāng)時(shí)，，即取，則...............9分于是所以…12分24．(2023大綱版.文)（本小題滿分12分）已知函數(shù)（=1\*ROMANI）求時(shí),討論的單調(diào)性;（=2\*ROMANII）若時(shí),,求的取值范圍.【解析】(Ⅰ)當(dāng)時(shí)，.令，得.當(dāng)時(shí)，，在上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，在上是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，在上是增函數(shù)；（Ⅱ）由得.當(dāng)，時(shí)，所以在是增函數(shù)，于是當(dāng)時(shí)，.綜上，的取值范圍是25．（14分）（2023?四川.理）已知函數(shù)，其中是實(shí)數(shù)，設(shè),為該函數(shù)圖象上的點(diǎn)，且.（I）指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（II）若函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線互相垂直，且，求的最小值；（III）若函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線重合，求的取值范圍．解：（I）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增．（II），所以函數(shù)在點(diǎn)處的切線的斜率分別為因