2006年數(shù)學(xué)四考研試題和答案

#/182006年數(shù)學(xué)四試題分析、詳解和評注-、填空題：1—6小題，每小題4分，共24分.把答案填在題中橫線上./、「(n+111〉1lim =Lnf8InJ(2)設(shè)函數(shù)f(x)在x=2的某鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且廣(x)=efG),f(2)=1,則f'〃(2)=2e3.(3)設(shè)函數(shù)f(u)可微，且f'(0)=1,則z=f(4x2—山)在點(diǎn)(i,2)處的全微分dz =4dx一2dy.(1,2) (4)已知a,a為2維列向量，矩陣A=(2a+a,a—a),B=(a,a).若行列式1 2 12 12 1 2IA1=6,則IB1二一2.(21)_ _(5)設(shè)矩陣A= ,E為2階單位矩陣，矩陣B滿足BA=B+2E，則1-12B=(6)設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且均服從區(qū)間［0,3］上的均勻分布，則P{max{X,Y}<1}=>二、選擇題：7—14小題，每小題4分，共32分.每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi).⑺設(shè)函數(shù)y=以x)具有二階導(dǎo)數(shù)，且八x)>0f(x)>0，及為自變量x在點(diǎn)x0處的增量,Ay與dy分別為f(x)在點(diǎn)x0處對應(yīng)的增量與微分，若及>0，則(B)0<Ay<dy.AyAy<dy<0.dy<Ay<0(8(8)設(shè)函數(shù)f(x)在x=0處連續(xù)，f(h2)且lim——=1，則hf0h2f(f(0)=0且/'(0)存在(C)f(0)=0且f'(0)存在+f(0)=1且f'(0)存在(D)f(0)=1且f'(0)存在+(9)設(shè)函數(shù)f(x)與g(x)在[0,1]上連續(xù)，且f(x)<g(x)，且對任何ce(0,1),(A)fcf(t)dt』；g(t)dt(A)fcf(t)dt』；g(t)dt22(C)J1f(t)dt』1g(t)dtcc22(D)J1f(t)dt<J1g(t)dt []cc(10)設(shè)非齊次線性微分方程y'+P(x*=Q(x)有兩個不同的解y(x),y(x),c為任意常12數(shù)，則該方程的通解是(A)C[y(x)-y(x)]. (B)y(x)+C[y(x)-y(x)1TOC\o"1-5"\h\z12 1 12C[y(x)+y(x)]. (D)y(x)+C[y(x)+y(x)] []12 1 12(11)設(shè)f(x,y)與①(x,y)均為可微函數(shù)，且①’(x,y)中0,已知(x,y)是f(x,y)在約y 00束條件中(x,y)=0下的一個極值點(diǎn)，下列選項正確的是(A)若f'(x,y)=0，則f'(x,y)=0.x 00 y00(B)若f'(x,y)=0，則f'(x,y)中0.x 00 y00(C)若ff(x,y)中0，則f'(x,y)=0.x00 y 00(D)若f'(x,y)中0，則f'(x,y)中0. []x00 y00(12)設(shè)a,a,,a均為n維列向量，A為mxn矩陣，下列選項正確的是12 s(A)若a,a,,a線性相關(guān)，則Aa,Aa,,Aa線性相關(guān).12 s 1 2 s???(B)若a,a,,a線性相關(guān)，則Aa,Aa,,Aa線性無關(guān).12 s 1 2 s?????(C)若a,a,,a線性無關(guān)，則Aa,Aa,,Aa線性相關(guān).12 s 1 2 s?????(D)若a,a,,a線性無關(guān)，則Aa,Aa,,Aa線性無關(guān).12 s 1 2 s?? ???[ ](13)設(shè)A為3階矩陣，將A的第2行加到第1行得B，再將B的第1列的-1倍加到第2??? ???TOC\o"1-5"\h\z,1 1 0、列得C，記P:0 1 0，則'0 0 1,(A)C=P-1AP. (B)C=PAP-1.C=C=PtAPC=PAPt.TOC\o"1-5"\h\z(14)設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(日，o2),Y服從正態(tài)分布N(日，o2),且1 1 2 2P{|X-^J<1}>P\y-^2|<1}則必有(A)O<O (B)O>O\o"CurrentDocument"1 2 1 2\o"CurrentDocument"(C)N<從 ①)N>N [ ]12 12三、解答題：15—23小題，共94分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.(15)(本題滿分7分)設(shè)f(羽y設(shè)f(羽y)=兀X1-ysin——1+xyarctanx,x>0,y>0,求g(x)=limf(x,y)；yf+8limg(x).X-0+(16)(16)(本題滿分7分)

計算二重積分UvS2-xydxdy,其中D是由直線y=x,y=1,x=0所圍成的平面區(qū)域.D(17)(本題滿分10分)證明：當(dāng)0<a<b<兀時，bsinb+2cosb+兀b>asina+2cosa+兀a.(18)(本題滿分8分)在xOy坐標(biāo)平面上，連續(xù)曲線L過點(diǎn)M(1,0)，其上任意點(diǎn)P(x,y)Qw0)處的切線斜率與直線OP的斜率之差等于ax(常數(shù)a>0).(I)求L的方程；_ 8(II)當(dāng)L與直線y=ax所圍成平面圖形的面積為3時，確定a的值.(19)(本題滿分10分)試確定A,B,C的值，使得ex(1+Bx+Cx2)=1+Ax+o(x3),其中o(X3)是當(dāng)X-0時比X3高階的無窮小.(20)(本題滿分13分)設(shè)4維向量組a=(1+a,1,1,1%,a=(2,2+a,2,2>,a=(3,3,3+a,3%,1 2 3a=(4,4,4,4+a>，問a為何值時a,a,a,a線性相關(guān)?當(dāng)a,a,a,a線性相關(guān)時，求4 1 2 3 4 1 2 3 4其一個極大線性無關(guān)組,并將其余向量用該極大線性無關(guān)組線性表出.(21)(本題滿分13分)設(shè)3階實對稱矩陣A的各行元素之和均為3,向量a=(—1,2,—1%,a=(0,—1,1%是12線性方程組=0的兩個解.(I)求A的特征值與特征向量；(II)求正交矩陣Q和對角矩陣A，使得QtAQ=A；(.3_、6 —(III)求A及A--E，其中E為3階單位矩陣.1 27(22)(本題滿分13分)設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率分布為*X __Y_—101—1a0.110.20.2100.1c其中a,b,c為常數(shù)，且X的數(shù)學(xué)期望EX=-0.2,P{Y<01X<0}=0.5，記Z=X+Y,求a,b,c的值；Z的概率分布；P{X=Z}.(23)(本題滿分13分)設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為(1 .八2，-7<01f(%)=]-,0<x<2,X40,其他令Y=X2,F(x,y)為二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù).(I)求Y的概率密度f(y)；Y(I)Cov(X,Y)；(1A(in)F--,4(in)k21【分析】將其對數(shù)恒等化N=einN求解.(n(n+1)5【詳解】limI——nf8VnJ?r3尸產(chǎn)=limenVnJn-8lim(-1)nln|n+1|.en-8 VnJ，而數(shù)列而數(shù)列｛-1)n｝有界rn+1) rn+1)limlnI—10,所以lim(-1)nlnI—10.n—8VnJ n—8 VnJ…?(n+1Y-1＞八】故lim =eo=1?n—8VnJ【評注】對于幕指函數(shù)的極限，總是將其化為指數(shù)函數(shù)后求解.完全類似例題見文登暑期輔導(dǎo)班《高等數(shù)學(xué)》第1講第2節(jié)【例23】，《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》(經(jīng)濟(jì)類)P.30【例1.41】.2…..【分析】利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)即可.【詳解】由題設(shè)知，f'(x)=efG)，兩邊對x求導(dǎo)得f'\x)=ef(x)f'(x)=e2f(x)，兩邊再對X求導(dǎo)得f"(x)=2e2f(x)f(x)=2e3f(x)，又f(2)=1，故f〃'(2)=2e3f(2)=2e3.【評注】本題為抽象復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，注意計算的準(zhǔn)確性.完全類似例題見文登暑期輔導(dǎo)班《高等數(shù)學(xué)》第2講第2節(jié)【例11】，【例12】，《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》(經(jīng)濟(jì)類)P.53【例2.18】(幾乎一樣).3….【分析】利用二元函數(shù)的全微分公式或微分形式不變性計算.& TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"【詳解】方法一：因為〒 =f(4x2-y2).8x =4，Sx(1,2) (1,2)\o"CurrentDocument"|z 二f(4x2-y2).(-2y) =-2，Sy1(1,2) ?(1,2)所以dz(1,2)生 dx+因 dy=4dx-所以dz(1,2)Sx(1,2) Sy(1,2)J J方法二：對Z=f(4x2-y2)微分得dz=f'(4x2-y2)d(4x2-y2)=f'(4x2-y2)(8xdx-2ydy)，故dz=f(0)(8dx-2dy)=4dx-2dy.故dz(1,2)【評注】本題為基本題型.

完全類似例題見文登暑期輔導(dǎo)班《高等數(shù)學(xué)》第9講第1節(jié)【例12】，《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》（經(jīng)濟(jì)類）P.1621例6.13】，《考研數(shù)學(xué)過關(guān)基本題型》（經(jīng)濟(jì)類）P.621例6，例7】及練習(xí).4 1)(21)J"I-J【分析】利用矩陣乘積的行列式運(yùn)算|AB\1)(21)J"I-J【詳解】A=(2a+a,a—a)=(a,a)21 2 1 2 1 211一一21一所以|A|=Bli1=-3|B\，而1Al=6，1—1故IBl=—2.【評注】本題關(guān)鍵是將其轉(zhuǎn)化為用矩陣乘積形式表示.完全類似例題見文登暑期輔導(dǎo)班《線性代數(shù)》第1講【例6】，《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》（經(jīng)濟(jì)類）P.2871例2.12】.5…….【分析】將矩陣方程改寫為AX=B或XA=B或AXB=C的形式，其中X是待求矩陣，再通過左乘或右乘可逆陣，解出待求矩陣即可.【詳解】由題設(shè)，有B（A—E）=2E于是有B=2(于是有B=2(A—E)-1=2^11『 1(1=2?—

1 212T)_(1【評注】本題關(guān)鍵是將被求矩陣B轉(zhuǎn)化為矩陣方程中的一個乘積因子.完全類似例題見文登暑期輔導(dǎo)班《線性代數(shù)》第2講【例10，例11】，《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》（經(jīng)濟(jì)類）P.2901例2.20一例2.22】.6…….【分析】利用X與Y的獨(dú)立性及分布計算.【詳解】由題設(shè)知，X與Y具有相同的概率密度<x<x<3其他f(x)=<30,P{max{X,Y}<1}=P{X<1,Y<1}=P{X<1}P{y<1}A{x<1}>=(472=1【評注】本題屬幾何概型，也可如下計算，如下圖：則P{max{X,Y}<l}=P{X<1,Y<l}=^陰=9.完全類似例題見文登暑期輔導(dǎo)班《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》第3講例5，《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》(經(jīng)濟(jì)類)P.4311例2.31JP.4421例2.50】7…….【分析】題設(shè)條件有明顯的幾何意義，用圖示法求解.【詳解】由f(x)>。廳〃(x)>0知，函數(shù)f(x)單調(diào)增加，曲線y=f(x)凹向，作函數(shù)y=f(x)的圖形如右圖所示，顯然當(dāng)Ax>0時，卜y>dy=f'(x)dx=f'(x)Ax>0，故應(yīng)選(A).0 0【評注】對于題設(shè)條件有明顯的幾何意義或所給函數(shù)圖形容易繪出時，圖示法是求解此題的首選方法.本題還可用拉格朗日中值定理求解：,x<己<x+Ax

00Ay=f(x+Ax)-f,x<己<x+Ax

00因為f〃(x)>0,所以八x)單調(diào)增加‘即f'&)>八x0),又M>0，則Ay二/(己)Ax>f(x)Ax=dy>0，即0<dy<Ay.0定義一般教科書均有，類似例題見《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》(經(jīng)濟(jì)類)P.129【例5.1］，P.151【1(3)】.fQ)8…. 【分析】從lim——=1入手計算f(0),利用導(dǎo)數(shù)的左右導(dǎo)數(shù)定義判定h.0h2f'(0),f'(0)的存在性.- +f(h2)【詳解】由lim——二1知,h.0h2limfh.0(h2)二。.又因為f(x)在x=0處連續(xù),f(0)=limf(x)=limfQ2)=0x-0f(h2)令t=h2，貝U1=lim h-0h2

h-0=limfIf0=f(0),t-0+所以f'(0)存在，故本題選(c).+【評注】本題聯(lián)合考查了函數(shù)的連續(xù)性和左右導(dǎo)數(shù)的定義，屬基本題型.完全類似例題見文登暑期輔導(dǎo)班《高等數(shù)學(xué)》第2講第1節(jié)【例2】，《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》(經(jīng)濟(jì)類)P.46【例2.2].9…..【分析】利用定積分的比較定理即可.【詳解】因為f(x)與g(x)在[0,1]上連續(xù)，則對任何ce(0,1),f(x)與g(x)在[c,1]上連續(xù)，且f(x)<g(x)，所以J1f(t)dt<f1g(t)dt.故選(D).cc【評注】本題屬基本題型.由于c與1比較大小未知，所以不能選(A)(B).完全類似例題見文登暑期輔導(dǎo)班《高等數(shù)學(xué)》第5講第1節(jié)【例1】，《數(shù)學(xué)題型集粹與練習(xí)題集》(經(jīng)濟(jì)類)P.72典例精析2及題型演練(2).10…?【分析】利用一階線性非齊次微分方程解的結(jié)構(gòu)即可.【詳解】由于y(x)-y(x)是對應(yīng)齊次線性微分方程y'+P(x)y=0的非零解，所以12它的通解是Y=CL(x)-y(x)],故原方程的通解為12y=y(x)+Y=y(x)+C[y(x)-y(x)],故應(yīng)選(B).1 1 12【評注】本題屬基本題型，，考查一階線性非齊次微分方程解的結(jié)構(gòu)：y=y*+Y.其中y*是所給一階線性微分方程的特解，Y是對應(yīng)齊次微分方程的通解.相關(guān)性質(zhì)和定理見《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》(經(jīng)濟(jì)類)P.219.11 【分析】利用拉格朗日函數(shù)F(x,y,入)=f(x,y)+入叭x,y)在(x,y,九)(九000 0是對應(yīng)x,y的參數(shù)九的值)取到極值的必要條件即可.00【詳解】作拉格朗日函數(shù)F(x,y,入)=f(x,y)+入叭x,y)，并記對應(yīng)x,y的參數(shù)九的00值為九，則0

F(x,y,九)二0x000 ，F(xiàn)r(F(x,y,九)二0x000 ，F(xiàn)r(x,y,九)二0y000x 0 0 0x 0 0f'(x,y)+九①’(x,y)=0y 0 0 0y 0 0消去％，得f'(x,y卯'(x,y)-f'(x,y沖'(x,y)=0,x00y00y00x00整理得f'(x,y)=- f'(x,y卯'(x,y).(因為①'(x,y)豐0),整理得x0 0 4’(xy)y0 0x0 0 yy0,0若fx'(x0,y0)中0，則fy'(x0，y0)豐0.故選(D).【評注】本題考查了二元函數(shù)極值的必要條件和拉格朗日乘數(shù)法.本題屬基本題型，相關(guān)定理見《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》(經(jīng)濟(jì)類)P.170定理1及P.171條件極值的求法.12..…【分析】本題考查向量組的線性相關(guān)性問題，利用定義或性質(zhì)進(jìn)行判定.【詳解】記B=(a,a,,a)，則(Aa,Aa,,Aa)=AB.TOC\o"1-5"\h\z12 s 1 2 s所以，若向量組a,a,,a線性相關(guān)，貝"(B)<s，從而r(AB)<丫(B)<s，向量組12 s??????Aa,Aa,,Aa也線性相關(guān)，故應(yīng)選(A).12 s【評注】對于向量組的線性相關(guān)問題，可用定義，秩，也可轉(zhuǎn)化為齊次線性方程組有無非零解進(jìn)行討論.完全類似例題及性質(zhì)見《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》(經(jīng)濟(jì)類)P.309【例3,7】，幾乎相同試題見文登2006最新模擬試卷(數(shù)學(xué)一)P,2(11).13……【分析】利用矩陣的初等變換與初等矩陣的關(guān)系以及初等矩陣的性質(zhì)可得.「110、B=「110、B=010A,

1001)-10、-10、/1-10、而P-1=0 1 0,則有C=PAP-1.故應(yīng)選(B).、001,【評注】(1)每一個初等變換都對應(yīng)一個初等矩陣，并且對矩陣A施行一個初等行(列)變換，相當(dāng)于左(右)乘相應(yīng)的初等矩陣.(2)牢記三種初等矩陣的轉(zhuǎn)置和逆矩陣與初等矩陣的關(guān)系.完全類似例題及性質(zhì)見文登暑期輔導(dǎo)班《線性代數(shù)》第2講【例12】，《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指

南》（經(jīng)濟(jì)類）P.2901例2.19】.14…..【分析】利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度曲線的幾何意義可得.【詳解】由題設(shè)可得』<:H』<:H?121J<——o2riri)則2①—-1>2①o1o1r1\-1，即①一>中其中①（X）是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù).TOC\o"1-5"\h\z工,、 1 1又①（X）是單調(diào)不減函數(shù)，則一>——，即o<o.oo1 2\o"CurrentDocument"1 2故選（A）.【評注】對于服從正態(tài)分布N（從,o2）的隨機(jī)變量X，在考慮它的概率時，一般先將XX-R標(biāo)準(zhǔn)化，即——-.o完全類似例題見文登暑期輔導(dǎo)班《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》第2講【例7】和【例8】，《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》（經(jīng)濟(jì)類）P.417【例2.7].15…..【分析】第（I）問求極限時注意將X作為求解，此問中含三,0?8型未定式極限;8-i「兀x1—ysm——y y-i「兀x1—ysm——y yarctanx1+xyyf+8【詳解】(I)g(X)=limf(x,y)=limyf+8.兀x)

sin一=limy=limy-81y1, arctanx—+xy1一兀xarctanx(I)limg((I)limg(x)=lim1-1兀xx-0+ x-0+1xarctanx7=limx-0+arctanx-x+兀x2xarctanx（通分）kc -1+2兀xarctanx-x+兀x2 1+x2=lim =lim^^-x2 x—0x—0+x2x—0+-x2+2兀x(1+x2)二lim 二兀x—0+【評注】本題為基本題型，注意利用洛必達(dá)法則求極限時，要充分利用等價無窮小代換，并及時整理極限式，以使求解簡化.對8-8型未定式極限，一般利用通分將其轉(zhuǎn)化為8廿0—或人型未定式，然后再計算.8 0完全類似例題見文登暑期輔導(dǎo)班《高等數(shù)學(xué)》第1講第2節(jié)【例21】，《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》經(jīng)濟(jì)類P.321例1.45(1)】，P.29【例1.35】，【例1.36】，P.30【例1.40】，《考研數(shù)學(xué)過關(guān)基本題型》(經(jīng)濟(jì)類)P.8【例14】，P.9【例16].16…… 【分析】畫出積分域，將二重積分化為累次積分即可.【詳解】積分區(qū)域如右圖.因為根號下的函數(shù)為關(guān)于x的一次函數(shù)，“先x后J”積分較容易，所以二二J&y2-xyHdy二J1四,二3oy 0' 30'’ 9【評注】計算二重積分時，首先畫出積分域的圖形，然后結(jié)合積分域的形狀和被積函數(shù)的形式，選擇坐標(biāo)系和積分次序.完全類似例題見文登暑期輔導(dǎo)班《高等數(shù)學(xué)》第10講第2節(jié)【例8】，《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》(經(jīng)濟(jì)類)P.181【例7.2]，《考研數(shù)學(xué)過關(guān)基本題型》(經(jīng)濟(jì)類)P.65【例1】，P.66【例3】及練習(xí).17…..【分析】利用“參數(shù)變易法”構(gòu)造輔助函數(shù)，再利用函數(shù)的單調(diào)性證明.【詳解】令f(x)=xsinx+2cosx+兀x-asina-2cosa-兀a,0<a<x<b<兀，貝Uf(x)=sinx+xcosx-2sinx+兀=xcosx-sinx+兀，且f'(兀)=0.又f"(x)=cosx-xsinx-cosx=-xsinx<0，(0<x<兀時,xsinx>0)，故當(dāng)0<a<x<b<兀時，f(x)單調(diào)減少，即f(x)>fm)=0，則f(x)單調(diào)增加，于是f(b)>f(a)=0，即bsinb+2cosb+兀b>asina+2cosa+兀a.

【評注】證明數(shù)值不等式一般需構(gòu)造輔助函數(shù)，輔助函數(shù)一般通過移項，使不等式一端為“0”，另一端即為所作輔助函數(shù)f(x)，然后求導(dǎo)驗證f(x)的增減性，并求出區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值(或極限值)，作比較即得所證.本題也可用拉格朗日中值定理結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性證明.完全類似例題見文登暑期輔導(dǎo)班《高等數(shù)學(xué)》第8講第2節(jié)【例4】，《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》(經(jīng)濟(jì)類)P.2421例10.18】，《考研數(shù)學(xué)過關(guān)基本題型》(經(jīng)濟(jì)類)P.98【例11】，P.99【例13】及練習(xí).18…..【分析】(I)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義建立微分方程，并求解；(II)利用定積分計算平面圖形的面積，確定參數(shù).【詳解】(I)設(shè)曲線L的方程為y=f(x),則由題設(shè)可得y-2=ax,這是一階線性微分方程，其中P(x)=-1,Q(x)=ax,代入x x通解公式得y=eLdx]jaxeLdxdx+C=x(ax+C)=ax2+Cx,又f(1)=0，所以C=—a.故曲線L的方程為y=ax2-ax(x豐0).(II)L與直線y=ax(a>0)所圍成平面圖形如右圖所示.所以J21-ax-(ax2-ax)1dx0l2( 14 8=aJV2x-x27dx=—a=-,0 3 3故a=2.【評注】本題涉及了導(dǎo)數(shù)和定積分的幾何意義，一階線性微分方程的求解，屬基本題型.完全類似例題見《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》(經(jīng)濟(jì)類)P.1361例5.131P.1491例5.34】，《考研數(shù)學(xué)過關(guān)基本題型》(經(jīng)濟(jì)類)P.272【例15】及練習(xí)8.2.19…….【分析】題設(shè)方程右邊為關(guān)于x的多項式，要聯(lián)想到ex的泰勒級數(shù)展開式，比較x的同次項系數(shù)，可得A,B,C的值.x2x3【詳解】將ex的泰勒級數(shù)展開式ex=1+x+—+—+o(x3)代入題設(shè)等式得2 6x2x3 _ _1+x+—+—+o(x3)[1+Bx+Cx2]=1+Ax+o(x3)

整理得(1+(B+1)x+B+IC+—x2+一+C+—+o(x3)=1+Ax+o(x3)比較兩邊同次幕系數(shù)得<B+C整理得(1+(B+1)x+B+IC+—x2+一+C+—+o(x3)=1+Ax+o(x3)比較兩邊同次幕系數(shù)得<B+C+1=02B1 1八—+C+—=0解得A=-3R2<B=—3C=1C=6【評注】題設(shè)條件中含有高階無窮小形式的條件時，要想到用麥克勞林公式或泰勒公式求解.要熟練掌握常用函數(shù)的泰勒公式.相應(yīng)公式見《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》（經(jīng)濟(jì)類）P.202表格.20….【分析】因為向量組中的向量個數(shù)和向量維數(shù)相同，所以用以向量為列向量的矩陣的行列式為零來確定參數(shù)a；用初等變換求極大線性無關(guān)組.【詳解】記以a,a,a,a為列向量的矩陣為A,則12341Al=333+a3于是當(dāng)IAl=0,即a=0或a=-10時，a,a,a,a線性相關(guān).12 3 4當(dāng)a=0時，顯然匕是個極大線性無關(guān)組，且a=2a,a=3a,a=4a；21當(dāng)a=-10時，(-91-82-73-6J由于此時A有三階非零行列式-91-82-7=-400中0所以\a2,a3為極大線性無=-a-a-a123【評注】本題屬常規(guī)題型.91年，=-a-a-a123完全類似例題見文登暑期輔導(dǎo)班《線性代數(shù)》第3講【例1,例2】，《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》（經(jīng)濟(jì)類）P.306【例3.2】，《考研數(shù)學(xué)過關(guān)基本題型》（經(jīng)濟(jì)類）P.134【例3】.21 【分析】由矩陣A的各行元素之和均為3及矩陣乘法可得矩陣A的一個特征值和對應(yīng)的特征向量；由齊次線性方程組=0有非零解可知A必有零特征值，其非零解是0特征值所對應(yīng)的特征向量.將A的線性無關(guān)的特征向量正交化可得正交矩陣Q；由_ _ (.3—、6QTAQ=A可得到A和A--E\ 2/【詳解】（【詳解】（I）因為矩陣A的各行元素之和均為3,所以(D1〔」(D(D1〔」1〔」則由特征值和特征向量的定義知，九二3是矩陣A的特征值，a=（1,1,1）t是對應(yīng)的特征向量.對應(yīng)九=3的全部特征向量為ka，其中k為不為零的常數(shù).又由題設(shè)知Aa=0,Aa=0，即Aa=0-a,Aa=0-a，而且a,a線性無TOC\o"1-5"\h\z1 2 1 12 2 1 2關(guān)，所以九二0是矩陣A的二重特征值，a,a是其對應(yīng)的特征向量，對應(yīng)九二0的全12部特征向量為ka+ka，其中k,k為不全為零的常數(shù).11 22 1 2（II）因為A是實對稱矩陣，所以a與（a2正交，所以只需將%a2正交.P=a\o"CurrentDocument"2 2再將a,p1，p2單位化，得(1)，n31，n3茅，n2_1173JQ山,"，則Q山,"，則Q-1=QT，由A是實對稱矩陣必可相似對角化，得3QTAQ= 0=A._ 0_-3 一3QTAQ= 0=A._ 0_-3 一(III)由(II)知QTAQ= 0=A，所以0(1I11)Q=QT|A--EQtaq-3e((3(30)2)(32)2)(3￥ (3￥ (3￥則A—E=Q-IEQT=-E.I2) 12) 12)【評注】本題主要考查求抽象矩陣的特征值和特征向量及矩陣的對角化問題，抽象矩陣特征值和特征向量問題一般用定義求解，要想方設(shè)法將題設(shè)條件轉(zhuǎn)化為瓶=卜x的形式.矩陣的對角化用常規(guī)方法求解.完全類似例題見文登暑期輔導(dǎo)班《線性代數(shù)》第5講【例12】，《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》（經(jīng)濟(jì)類）P.3701例5.24】，P.282【例2.7】，《考研數(shù)學(xué)過關(guān)基本題型》（經(jīng)濟(jì)類）P.167【例6】及練習(xí)3.1,3.4.22…..【分析】利用二維離散型隨機(jī)變量概率分布的性質(zhì)和定義計算.【詳解】（I）由概率分布的性質(zhì)知a+0.2+0.1+b+0.2+0.1+c=1,TOC\o"1-5"\h\z即a+b+c=0.4, ①由（X,Y）可寫出X的邊緣概率分布為X —1 0 1P a+0.2 b+0.3 c+0.1故EX=