三角形內(nèi)角和定理的證明-終結(jié)版課件

三角形內(nèi)角和定理的證明同學(xué)們，你們好！這節(jié)課我們要掌握三角形內(nèi)角和定理，并初步學(xué)會(huì)利用輔助線證題，同時(shí)培養(yǎng)大家對(duì)圖形的觀察、猜想和論證能力。內(nèi)角三兄弟之爭(zhēng)在一個(gè)直角三角形里住著三個(gè)內(nèi)角，平時(shí)，它們?nèi)值芊浅F(tuán)結(jié)?？墒怯幸惶?，老二突然不高興，發(fā)起脾氣來(lái)，它指著老大說(shuō)：“你憑什么度數(shù)最大，我也要和你一樣大！”“不行??！”老大說(shuō)：“這是不可能的，否則，我們這個(gè)家就再也圍不起來(lái)了……”“為什么？”

老二很納悶。同學(xué)們，你們知道其中的道理嗎？我們先觀察如下的實(shí)驗(yàn)：用橡皮筋構(gòu)成△ABC，其中頂點(diǎn)B、C為定點(diǎn)，A為動(dòng)點(diǎn)（如下圖），放松橡皮筋后，點(diǎn)A自動(dòng)收縮于BC上，請(qǐng)同學(xué)們考察點(diǎn)A變化時(shí)所形成的一系列的三角形：△A12BC、△A

BC、△A

BC……其內(nèi)角會(huì)產(chǎn)生怎樣的變化呢？3［想點(diǎn)］當(dāng)點(diǎn)A離BC越來(lái)越近時(shí),∠A越來(lái)越接近180°,而其他兩角∠B和∠C越來(lái)越接近于0°當(dāng)點(diǎn)A遠(yuǎn)離BC時(shí)，∠A越來(lái)越趨近于0°,而AB與AC也逐漸趨向平行，這時(shí),∠B、∠C逐漸接近為互補(bǔ)的同旁內(nèi)角.即∠B+∠C→180°.看實(shí)驗(yàn)：請(qǐng)同學(xué)們猜一猜：三角形的內(nèi)角和可能是多少度？＿是＿18＿0°言必有“據(jù)”:三角形的內(nèi)角和等于180

.0你有什么辦法可以驗(yàn)證呢?把三個(gè)角拼在一起試試看？言必有“據(jù)”:我們知道三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180

.0你還記得這個(gè)結(jié)論的探索過(guò)程嗎?想好就證明一下吧?。。。。。。。?例題

欣賞這里的CD，CE稱為輔助線，通常輔助線畫(huà)成虛線已知：如圖，△ABC.求證：∠A+∠B+∠C=180°證明：延長(zhǎng)BC到D,過(guò)AE點(diǎn)C作CE∥ABBCD則∠ACE=∠A﹙兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等﹚∠DCE=∠B﹙兩直線平行，同位角相等﹚∵∠BCA+∠ACE+∠ECD=180°﹙平角定義﹚∴∠BCA+∠A+∠B=180°﹙等量代換﹚三角形內(nèi)角和定理----三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于1800在證明三角形內(nèi)角和定理時(shí),小明的想法是把三個(gè)角“湊”到A處,他過(guò)點(diǎn)A作直線PQ∥BC(如圖),他的想法可以嗎?PA

Q1

3

2w證明：過(guò)點(diǎn)A作PQ∥BC，則∠1=∠B(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角BC相等)

∠2=∠C(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等)又∵∠1+∠2+∠3=1800(平角的定義)(等量代換).∴

∠BAC+∠B+∠C=1800w小明的想法已經(jīng)變?yōu)楝F(xiàn)實(shí)，由此你受到什么啟發(fā)?w你有新的證法嗎?與同伴交流開(kāi)啟

智慧?

已知：如圖，△ABC.?

求證：∠A

+∠B

+∠C=180°證明：過(guò)A作AE∥BC，EA∴∠B=∠BAE(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等)（∠EAB+∠BAC）+∠C=180°(兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ))∴∠B+∠C+∠BAC=180°(等量代換)BC?

已知：如圖，△ABC.?

求證：∠A

+∠B

+∠C=180°A證明：過(guò)點(diǎn)P作PQ∥AC交AB于Q點(diǎn)，作PR∥AB交AC于R點(diǎn)。QR∴四邊形AQPR是平行四邊形（平行四邊形的定義）CBP∴

∠QPR=∠A（平行四邊形的對(duì)角相等）∠RPC=∠B（兩直線平行，同位角相等）∠QPB=∠C（兩直線平行，同位角相等）∵∠QPB+∠QPR+∠RPC=180°（1平角=180°）∴∠A+∠B+∠C=180°（等量代換）你還有其他方法來(lái)證明三角形內(nèi)角和定理嗎？開(kāi)啟

智慧添加輔助線思路：1、構(gòu)造平角2、構(gòu)造同旁內(nèi)角AAEASNFPEQRC

BCBMTCBDA3圖3圖1E圖2FASNAPEDQR1241M2BBCCCBDT……圖4……圖5圖6?試一試在證明三角形內(nèi)角和定理時(shí)，是否可以把三角形的三個(gè)角“湊”到BC邊上的一點(diǎn)P？（如圖（1））如果把三個(gè)角“湊”到三角形內(nèi)一點(diǎn)呢？（如圖（2））“湊”到三角形外一點(diǎn)呢？（如圖（3））ASAANPQSRNQRPQRM

TBC

BCCBM

TP（3）（2）（1）三角形內(nèi)角和定理w三角形內(nèi)角和定理

三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于1800.w△ABC中,∠A+∠B+∠C=1800.w三角形內(nèi)角和定理的幾種變形:w∠A=180w∠B=180w∠C=180000–(∠B+∠C).–(∠A+∠C).–(∠A+∠B).Aw∠A+∠B=180w∠B+∠C=180w∠A+∠C=1800-∠C.-∠A.-∠B.BC00w這里的結(jié)論,以后可以直接運(yùn)用.?隨堂練習(xí)1、直角三角形的兩銳角之和是多少度?等邊三角形的一個(gè)內(nèi)角是多少度?請(qǐng)證明你的結(jié)論.ACBCBA結(jié)論:

直角三角形的兩個(gè)銳角互余；等邊三角形每個(gè)內(nèi)角是60°以后可以直接運(yùn)用.?隨堂練習(xí)已知：在△ABC中，∠C＝90゜求證：∠A＋∠B＝90゜證明

：在△ABC中BC∵∠A+∠B+∠C=180°(三角形內(nèi)角和定理）∠C=

90°（已知）∴∠A+∠B+90°=180°（等量代換）∴∠A+∠B=180°－90°=90°（等式性質(zhì)）A即∠A+∠B=90°?隨堂練習(xí)2、已知：如圖在△ABC中，DE∥BC,∠A=60

,

∠C=70求證：

∠ADE=5000.0A證明：∵

DE∥BC（已知）∴∠AED=∠C（兩直線平行，同位角相等）DE∵∠C=70

（已知）∴∠AED=700（等量代換）0CB（第2題）∵∠A+∠AED+∠ADE=180（三角形的內(nèi)角和定理）0∠A=60∴∠ADE=180即∠ADE=500（已知）0-600-700=500（等量代換）0?隨堂練習(xí)3、如圖，直線AB∥CD,在AB、CD外有一點(diǎn)P，連結(jié)PB、PD，交CD于A點(diǎn).

則∠

B、

∠

D、∠

P

之間是否存在一定的大小關(guān)系？BCEDP它們關(guān)系是怎樣的？并加以證明.動(dòng)腦筋：1

三角形中最大的角是

，那么這個(gè)三角形√是角三角形。（

）2一個(gè)三角形中最多只有一個(gè)角或直角。（√

）3一個(gè)等腰三角形一定是角三角形。（

）×4一個(gè)三角形最少有一個(gè)角不大于

。（

√）知識(shí)應(yīng)用：1、填空n（1）直角三角形的兩銳角之和是＿＿＿度；推論

1、直角三角形的兩銳角互余；（2）等邊三角形的每一個(gè)內(nèi)角是＿＿＿度；2、等邊三角形的每一個(gè)內(nèi)角都是60°。（3）已知等腰三角形的一個(gè)底角是50°，則它的頂角是＿80°＿＿

度；（4）已知等腰三角形的頂角是70°，則它的底角是＿＿65＿°度；（5）已知等腰三角形的一個(gè)角是50°，則其余的兩個(gè)角分別