課堂探究 2.3數(shù)學(xué)歸納法

///課堂探究探究一利用數(shù)學(xué)歸納法證明等式用數(shù)學(xué)歸納法證明等式時(shí),要注意弄清楚等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律,例如：等式兩邊的項(xiàng)數(shù)是多少,項(xiàng)的多少與n的關(guān)系是什么,由n＝k到n＝k＋1時(shí)項(xiàng)數(shù)增加多少項(xiàng),增加怎樣的項(xiàng)等．【典型例題1】用數(shù)學(xué)歸納法證明：eq\f(1,1×4)＋eq\f(1,4×7)＋eq\f(1,7×10)＋…＋eq\f(1,3n－23n＋1)＝eq\f(n,3n＋1)(n∈N＋)．證明：(1)當(dāng)n＝1時(shí),左邊＝eq\f(1,1×4)＝eq\f(1,4),右邊＝eq\f(1,3×1＋1)＝eq\f(1,4),左邊＝右邊,所以等式成立．(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1,k∈N＋)時(shí)等式成立,即eq\f(1,1×4)＋eq\f(1,4×7)＋eq\f(1,7×10)＋…＋eq\f(1,3k－23k＋1)＝eq\f(k,3k＋1),那么當(dāng)n＝k＋1時(shí),eq\f(1,1×4)＋eq\f(1,4×7)＋eq\f(1,7×10)＋…＋eq\f(1,3k－23k＋1)＋eq\f(1,3k＋13k＋4)＝eq\f(k,3k＋1)＋eq\f(1,3k＋13k＋4)＝eq\f(3k2＋4k＋1,3k＋13k＋4)＝eq\f(3k＋1k＋1,3k＋13k＋4)＝eq\f(k＋1,3k＋4)＝eq\f(k＋1,3k＋1＋1).所以當(dāng)n＝k＋1時(shí),等式也成立．由(1)(2)知等式對(duì)n∈N＋成立．探究二用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時(shí),在利用了歸納假設(shè)后,要注意根據(jù)欲證目標(biāo),靈活地運(yùn)用比擬法、放縮法等技巧來進(jìn)行證明．【典型例題2】用數(shù)學(xué)歸納法證明：1＋eq\f(1,\r(2))＋eq\f(1,\r(3))＋…＋eq\f(1,\r(n))＞eq\r(n)(其中n∈N＋,n＞1)．思路分析：按照數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)問題的方法與步驟進(jìn)行證明,在由n＝k證n＝k＋1成立時(shí),可利用比擬法或放縮法證得結(jié)論．證明：(1)當(dāng)n＝2時(shí),左邊＝1＋eq\f(1,\r(2)),右邊＝eq\r(2),eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,\r(2))))－eq\r(2)＝1－eq\f(\r(2),2)＞0,所以左邊＞右邊,即不等式成立．(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥2,k∈N＋)時(shí),不等式成立,即1＋eq\f(1,\r(2))＋eq\f(1,\r(3))＋…＋eq\f(1,\r(k))＞eq\r(k),那么當(dāng)n＝k＋1時(shí),1＋eq\f(1,\r(2))＋eq\f(1,\r(3))＋…＋eq\f(1,\r(k))＋eq\f(1,\r(k＋1))＞eq\r(k)＋eq\f(1,\r(k＋1)).(方法1)因?yàn)閑q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(k)＋\f(1,\r(k＋1))))－eq\r(k＋1)＝eq\f(\r(k2＋k)＋1－k＋1,\r(k＋1))＝eq\f(\r(k2＋k)－k,\r(k＋1))＝eq\f(k,\r(k＋1)\r(k2＋k)＋k)＞0,所以eq\r(k)＋eq\f(1,\r(k＋1))＞eq\r(k＋1),即1＋eq\f(1,\r(2))＋eq\f(1,\r(3))＋…＋eq\f(1,\r(k))＋eq\f(1,\r(k＋1))＞eq\r(k＋1).(方法2)因?yàn)閑q\r(k)＋eq\f(1,\r(k＋1))＝eq\f(\r(k2＋k)＋1,\r(k＋1))＞eq\f(\r(k2)＋1,\r(k＋1))＝eq\f(k＋1,\r(k＋1))＝eq\r(k＋1),所以1＋eq\f(1,\r(2))＋eq\f(1,\r(3))＋…＋eq\f(1,\r(k))＋eq\f(1,\r(k＋1))＞eq\r(k＋1).即當(dāng)n＝k＋1時(shí)原不等式也成立,由(1)(2)知原不等式成立．點(diǎn)評(píng)本例中在應(yīng)用歸納假設(shè)后,方法1是利用了比擬法,方法2是利用了放縮法來進(jìn)行后面的證明．探究三用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題與正整數(shù)有關(guān)的整除性問題常用數(shù)學(xué)歸納法證明,證明的關(guān)鍵在于第二步中,根據(jù)歸納假設(shè),將n＝k＋1時(shí)的式子進(jìn)行增減項(xiàng)、倍數(shù)調(diào)整等變形,使之能與歸納假設(shè)聯(lián)系起來．【典型例題3】用數(shù)學(xué)歸納法證明：n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3能被9整除(n∈N＋)．思路分析：在第二步時(shí)注意根據(jù)歸納假設(shè)進(jìn)行拼湊．證明：(1)當(dāng)n＝1時(shí),13＋23＋33＝36能被9整除,所以結(jié)論成立；(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N＋,k≥1)時(shí)結(jié)論成立,即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除．那么當(dāng)n＝k＋1時(shí),(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋[(k＋3)3－k3]＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋9k2＋27k＋27＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋9(k2＋3k＋3)．因?yàn)閗3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除,9(k2＋3k＋3)也能被9整除,所以(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3也能被9整除,即n＝k＋1時(shí)結(jié)論也成立．由(1)(2)知命題對(duì)一切n∈N＋成立．探究四歸納—猜測—證明1．由條件首先計(jì)算數(shù)列{an}的前幾項(xiàng)的值,根據(jù)前幾項(xiàng)值的特點(diǎn),猜測出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式或遞推公式,利用數(shù)學(xué)歸納法加以證明是求數(shù)列通項(xiàng)的一種常見的方法．2．在對(duì)猜測得到的結(jié)論用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明時(shí),要注意從歸納的過程中發(fā)現(xiàn)證明的方法．【典型例題4】某數(shù)列的第一項(xiàng)為1,并且對(duì)所有的自然數(shù)n≥2,數(shù)列的前n項(xiàng)之積為n2.(1)寫出這個(gè)數(shù)列的前五項(xiàng)；(2)寫出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式并加以證明．思路分析：根據(jù)數(shù)列前五項(xiàng)寫出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式,要注意觀察數(shù)列中各項(xiàng)與其序號(hào)變化的關(guān)系,歸納出構(gòu)成數(shù)列的規(guī)律．同時(shí)還要特別注意第一項(xiàng)與其他各項(xiàng)的差異,必要時(shí)可分段表示．證明這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式可用數(shù)學(xué)歸納法．解：(1)a1＝1,由題意,得a1·a2＝22,∴a2＝22.∵a1·a2·a3＝32,∴a3＝eq\f(32,22).同理,可得a4＝eq\f(42,32),a5＝eq\f(52,42).因此該數(shù)列的前五項(xiàng)為1,4,eq\f(9,4),eq\f(16,9),eq\f(25,16).(2)觀察這個(gè)數(shù)列的前五項(xiàng),猜測數(shù)列的通項(xiàng)公式應(yīng)為an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1,n＝1,,\f(n2,n－12),n≥2,n∈N＋.))下面用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)n≥2,n∈N＋時(shí),an＝eq\f(n2,n－12).①當(dāng)n＝2時(shí),a2＝eq\f(22,2－12)＝22,猜測正確．②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥2,k∈N＋)時(shí),猜測正確,即ak＝eq\f(k2,k－12).∵a1·a2·…·ak－1＝(k－1)2,a1·a2·…·ak－1·ak·ak＋1＝(k＋1)2,∴ak＋1＝eq\f(k＋12,a1·a2·…·ak－1·ak)＝eq\f(k＋12,k－12)·eq\f(k－12,k2)＝eq\f(k＋12,k2)＝eq\f(k＋12,[k＋1－1]2),∴當(dāng)n＝k＋1時(shí),猜測也正確．根據(jù)①和②,可知當(dāng)n≥2,n∈N＋時(shí),這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是an＝eq\f(n2,n－12).∴an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1,n＝1,,\f(n2,n－12),n≥2,n∈N＋.))探究五易錯(cuò)辨析易錯(cuò)點(diǎn)：因不運(yùn)用歸納假設(shè)而出錯(cuò)【典型例題5】用數(shù)學(xué)歸納法證明：eq\f(1,2×4)＋eq\f(1,4×6)＋eq\f(1,6×8)＋…＋eq\f(1,2n2n＋2)＝eq\f(n,4n＋1)(n∈N＋)．錯(cuò)證：(1)當(dāng)n＝1時(shí),左邊＝eq\f(1,2×4),右邊＝eq\f(1,41＋1)＝eq\f(1,4×2),等式成立．(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1,k∈N＋)時(shí)等式成立,那么當(dāng)n＝k＋1時(shí),直接使用裂項(xiàng)相減法求得eq\f(1,2×4)＋eq\f(1,4×6)＋eq\f(1,6×8)＋…＋eq\f(1,2k2k＋2)＋eq\f(1,2k＋22k＋4)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,4)))))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)－\f(1,6)))＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2k)－\f(1,2k＋2)))＋eq\b\lc\\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2k＋2)－\f(1,2k＋4)))))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,2k＋4)))＝eq\f(k＋1,4[k＋1＋1]),即當(dāng)n＝k＋1時(shí)等式成立．由(1)和(2),可知等式對(duì)一切n∈N＋都成立．錯(cuò)因分析：由n＝k到n＝k＋1時(shí)等式的證明沒有用歸納假設(shè),而是運(yùn)用了數(shù)列中的求和方法證得的,雖然結(jié)論正確,但沒有運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明,不符合題目要求．正確證法：(1)當(dāng)n＝1時(shí),左邊＝eq\f(1,2×4)＝eq\f(1,8),右邊＝eq\f(1,8),等式成立．(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1,k∈N＋)時(shí),eq\f(1,2×4)＋eq\f(1,4×6)＋eq\f(1,6×8)＋…＋eq\f(1,2k2k＋2)＝eq\f(k,4k＋1)成立．那么當(dāng)n＝k＋1時(shí),eq\f(1,2×4)＋eq\f(1,4×6)＋eq