高中數(shù)學(xué)常用公式及常用結(jié)論匯總

高中數(shù)學(xué)常用公式及常用結(jié)論匯總高中數(shù)學(xué)常用公式及常用結(jié)論匯總高中數(shù)學(xué)常用公式及常用結(jié)論匯總高中數(shù)學(xué)常用公式及常用結(jié)論元素與會(huì)合的關(guān)系xAxCUA,xCUAxA.德摩根公式CU(AB)CUACUB;CU(AB)CUACUB.包含關(guān)系A(chǔ)BAABBABCUBCUAACUBCUABR6容斥原理card(AB)cardAcardBcard(AB)card(ABC)cardAcardBcardCcard(AB)card(AB)card(BC)card(CA)card(ABC).5．會(huì)合{a1,a2,,an}的子集個(gè)數(shù)共有2n個(gè)；真子集有2n–1個(gè)；非空子集有2n–1個(gè)；非空的真子集有2n–2個(gè).二次函數(shù)的剖析式的三種形式(1)一般式f(x)ax2bxc(a0);(2)極點(diǎn)式f(x)a(xh)2k(a0);零點(diǎn)式f(x)a(xx1)(xx2)(a0).7.解連不等式Nf(x)M常有以下轉(zhuǎn)變形式Nf(x)M[f(x)M][f(x)N]0|f(x)MN|MNf(x)N022Mf(x)11f(x)N.MN8.方程f(x)0在(k1,k2)上有且只有一個(gè)實(shí)根,與f(k1)f(k2)0不等價(jià),前者是后者的一個(gè)必要而不是充分條件.特別地,方程ax2bxc0(a0)有且只有一個(gè)實(shí)根在(k1,k2)內(nèi),等價(jià)于f(k1)f(k2)0,或f(k1)0且k1bk1k2,或f(k2)k1k2b2a20且k2.22a閉區(qū)間上的二次函數(shù)的最值二次函數(shù)(20)bfxaxbxca在閉區(qū)間p,q上的最值只幸虧x處及區(qū)間的兩頭點(diǎn)處取2a得，詳細(xì)以下：(1)當(dāng)a>0時(shí)，若xbp,q，則f(x)minf(bf(x)maxmaxf(p),f(q)2a),；b2ap,q，f(x)maxf(p),f(q)，f(x)minf(p),f(q).xmaxmin2a(2)當(dāng)bp,q，則f(x)minminf(p),f(q)，若xba<0時(shí)，若xp,q，則2a2af(x)maxmaxf(p),f(q)，f(x)minminf(p),f(q).一元二次方程的實(shí)根散布依據(jù)：若f(m)f(n)0，則方程f(x)0在區(qū)間(m,n)內(nèi)最罕有一個(gè)實(shí)根.設(shè)fxxpxq，則()21p24q0（1）方程f(x)0在區(qū)間(m,)內(nèi)有根的充要條件為f(m)0或pm；（2）方程f(x)0在2f(m)0f(n)0f(m)0f(n)0區(qū)間(m,n)內(nèi)有根的充要條件為f(m)f(n)0或p24q0或或af(m)；paf(n)00mn2（3）方程f(x)0在區(qū)間(,n)內(nèi)有根的充要條件為f(m)0或p24q0pm.2定區(qū)間上含參數(shù)的二次不等式恒建立的條件依據(jù)(1)在給定區(qū)間(,)的子區(qū)間L（形如,，,，,不相同）上含參數(shù)的二次不等式f(x,t)0(t為參數(shù))恒建立的充要條件是f(x,t)min0(xL).(2)在給定區(qū)間(,)的子區(qū)間上含參數(shù)的二次不等式f(x,t)0(tf(x,t)man0(xL).a00(3)f(x)ax4bx2c0恒建立的充要條件是ba0或24ac0cb0

為參數(shù))恒建立的充要條件是.真值表ｐｑ非ｐｐ或ｑｐ且ｑ真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假常有結(jié)論的否認(rèn)形式原結(jié)論反設(shè)詞原結(jié)論反設(shè)詞是不是最罕有一個(gè)一個(gè)也沒(méi)有都是不都是至多有一個(gè)最罕有兩個(gè)大于不大于最罕有n個(gè)至多有（n1）個(gè)小于不小于至多有n個(gè)最罕有（n1）個(gè)對(duì)所有x，存在某x，建立不建立p或qp且q對(duì)任何x，存在某x，不建立建立p且qp或q四種命題的互相關(guān)系原命題互逆抗命題若ｐ則ｑ若ｑ則ｐ互互互為為互2否否逆逆否否否命題逆否命題若非ｐ則非ｑ互逆若非ｑ則非ｐ15.充要條件pq，則p是q充分條件.（1）充分條件：若（2）必要條件：若qp，則p是q必要條件.（3）充要條件：若pq，且qp，則p是q充要條件.注：若是甲是乙的充分條件，則乙是甲的必要條件；反之亦然.函數(shù)的單一性(1)設(shè)x1x2a,b,x1x2那么(x1x2)f(x1)f(2x)0f(x1)f(x2)0f(x)在a,bx1x2(x1x2)f(x1)f(2x)0f(x1)f(x2)0f(x)在a,bx1x2

上是增函數(shù)；上是減函數(shù).(2)設(shè)函數(shù)yf(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，若是f(x)0，則f(x)為增函數(shù)；若是f(x)0，則f(x)為減函數(shù).f(x)和g(x)都是減函數(shù),則在公共定義域內(nèi),和函數(shù)f(x)g(x)也是減函數(shù);若是函數(shù)17.若是函數(shù)yf(u)和ug(x)在其對(duì)應(yīng)的定義域上都是減函數(shù),則復(fù)合函數(shù)yf[g(x)]是增函數(shù).18．奇偶函數(shù)的圖象特點(diǎn)奇函數(shù)的圖象對(duì)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖象對(duì)于y軸對(duì)稱;反過(guò)來(lái)，若是一個(gè)函數(shù)的圖象對(duì)于原點(diǎn)對(duì)稱，那么這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)；若是一個(gè)函數(shù)的圖象對(duì)于y軸對(duì)稱，那么這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)．19.若函數(shù)yf(x)是偶函數(shù)，則f(xa)f(xa)；若函數(shù)yf(xa)是偶函數(shù)，則f(xa)f(xa).20.對(duì)于函數(shù)yf(x)(xR),f(xa)f(bx)恒建立,則函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸是函數(shù)abx;兩2個(gè)函數(shù)yf(xa)與yf(bx)的圖象對(duì)于直線xab對(duì)稱.221.若f(x)f(xa),則函數(shù)yf(x)的圖象對(duì)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱;若f(x)f(xa),則函數(shù)2f(x)為周期為2a的周期函數(shù).22．多項(xiàng)式函數(shù)P(x)anxnan1xn1a0的奇偶性多項(xiàng)式函數(shù)P(x)是奇函數(shù)P(x)的偶次項(xiàng)(即奇數(shù)項(xiàng))的系數(shù)全為零.多項(xiàng)式函數(shù)P(x)是偶函數(shù)P(x)的奇次項(xiàng)(即偶數(shù)項(xiàng))的系數(shù)全為零.函數(shù)yf(x)的圖象的對(duì)稱性(1)函數(shù)yf(x)的圖象對(duì)于直線xa對(duì)稱f(ax)f(a)xf(2ax)f(x.)(2)函數(shù)yf(x)的圖象對(duì)于直線xabf(amx)f(bm)x對(duì)稱2f(abm)x(fm.)x兩個(gè)函數(shù)圖象的對(duì)稱性(1)函數(shù)yf(x)與函數(shù)yf(x)的圖象對(duì)于直線x0(即y軸)對(duì)稱.(2)函數(shù)yf(mxa)與函數(shù)yf(bmx)的圖象對(duì)于直線xab對(duì)稱.12m(3)函數(shù)yf(x)和x()的圖象對(duì)于直線y=x對(duì)稱.325.若將函數(shù)yf(x)的圖象右移a、上移b個(gè)單位，獲得函數(shù)yf(xa)b的圖象；若將曲線f(x,y)0的圖象右移a、上移b個(gè)單位，獲得曲線f(xa,yb)0的圖象.26．互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的關(guān)系f(a)bf1(b)a.27.若函數(shù)yf(kxb)存在反函數(shù),則其反函數(shù)為y1[f1()b],其實(shí)不是y[f1(kxb),而函數(shù)ky[f1(kxb)是y1[f(x)b]的反函數(shù).28.k幾個(gè)常有的函數(shù)方程(1)正比率函數(shù)f(x)cx,f(xy)f(x)f(y),f(1)(2)指數(shù)函數(shù)f(x)ax,f(xy)f(x)f(y),f(1)a0.(3)對(duì)數(shù)函數(shù)f(x)logax,f(xy)f(x)f(y),f(a)1(a(4)冪函數(shù)f(x)x,f(xy)f(x)f(y),f'(1).(5)余弦函數(shù)f(x)cosx,正弦函數(shù)g(x)sinx，f(xy)f(0)1,limg(x)1.x0x29.幾個(gè)函數(shù)方程的周期(約定a>0)

.0,a1).f(x)f(y)g(x)g(y)，（1）f(x)f(xa)，則f(x)的周期T=a；（2）f(x)f(xa)0，或f(xa)1(f(x)0)，f(x)或f(xa)1(f(x)0),f(x)或1f(x)f2(x)f(xa),(f(x)0,1),則f(x)的周期T=2a；21(3)f(x)1(f(x)0)，則f(x)的周期T=3a；f(xa)(4)f(x1x2)f(x1)f(x2)1(f(x1)f(x2)1,0|x1x2|2a)，則f(x)的周期T=4a；且f(a)1f(x1)f(x2)(5)f(x)f(xa)f(x2a)f(x3a)f(x4a)f(x)f(xa)f(x2a)f(x3a)f(x4a),則f(x)的周期T=5a；(6)f(xa)f(x)f(xa)，則f(x)的周期T=6a.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪m1(1)an（a0,m,nN，且n1）.mnam1(2)an0,m,nN，且n1）.m（aan31．根式的性質(zhì)（1）(na)na.（2）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，nana；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，nan|a|a,a0a,a.032．有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)(1)arasars(a0,r,sQ).(2)(ar)sars(a0,r,sQ).4()rrr(0,0,).ababrQ(3)注：若a＞0，p是一個(gè)無(wú)理數(shù)，則ap表示一個(gè)確定的實(shí)數(shù)．上述有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，對(duì)于無(wú)理數(shù)指數(shù)冪都合用.指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化式logaNbabN(a0,a1,N0).34.對(duì)數(shù)的換底公式logmNa0,且a1,m0,且m1,N0).logaN(logma推論logambnnlogab(a0,且a1,m,n0,且m1,n1,N0).m35．對(duì)數(shù)的四則運(yùn)算法例若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，則(1)loga(MN)logaMlogaN;(2)logaMlogaMlogaN;N(3)logaMnnlogaM(nR).36.設(shè)函數(shù)()log(2)(0),記b24acRa0faxbxca.若f(x)的定義域?yàn)?則，且xm0;若f(x)的值域?yàn)镽,則a0，且0.對(duì)于a0的狀況,需要獨(dú)自查驗(yàn).對(duì)數(shù)換底不等式及其實(shí)行若a0,b0,x0,x1,則函數(shù)ylogax(bx)a(1)當(dāng)ab時(shí),在(0,1)和(1,)上ylogax(bx)為增函數(shù).aa，(2)當(dāng)ab時(shí),在1和(1,)ylogaxbx()aa上為減函數(shù).推論:設(shè)nm1，p0，a0，且a1，則（1）log()log.mpnpmn（2）logamloganloga2mn.2平均增添率的問(wèn)題若是原來(lái)產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N，平均增添率為p，則對(duì)于時(shí)間x的總產(chǎn)值y，有yN(1p)x.39.數(shù)列的同項(xiàng)公式與前n項(xiàng)的和的關(guān)系s1,n1數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和為sna1a2an).ansn1,n(sn2等差數(shù)列的通項(xiàng)公式ana1(n1)ddna1d(nN*)；其前n項(xiàng)和公式為snn(a1an)na1n(n1)d22dn2(a11d)n.22等比數(shù)列的通項(xiàng)公式ana1qn1a1qn(nN*)；q其前n項(xiàng)的和公式為5sna1(1qn),q11qna1,q1a1anq,q1或sn1q.na1,q142.等比差數(shù)列an:an1qand,a1b(q0)的通項(xiàng)公式為b(n1)d,q1anbqn(db)qn1d；q1,q1其前n項(xiàng)和公式為nbn(n1)d,(q1)snn.(bd)1qdn,(q1)1qq11q43.分期付款(按揭貸款)每次還款xab(1b)n元(貸款a元,n次還清,每期利率為b).(1b)n144．常有三角不等式（1）若x(0,)，則sinxxtanx.2(2)若x(0,)，則1sinxcosx2.2(3)|sinx||cosx|1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式sin2cos21，tan=sin，tancot1.cos正弦、余弦的引誘公式（奇變偶不變，符號(hào)看象限）nn(1)2sin,(n為偶數(shù))sin()n12(1)2cos,(n為奇數(shù))(n為偶數(shù))n(1)2cos,cos(n)n12(1)2sin,(n為奇數(shù))和角與差角公式sin()sincoscos;scos()coscossin;stan(tantan)tan.1tansin()sin()sin2sin2(平方正弦公式);cos()cos()cos2sin2.asinbcosa2b2sin()(協(xié)助角所在象限由點(diǎn)的象限決定,tanb=(a,b)).a二倍角公式6sin2sincos.cos2cos2sin22cos2112sin2.tan22tan.1tan249.三倍角公式sin33sin4sin34sinsin()sin().33cos34cos33cos4coscos()cos().33tan33tantan3tantan()tan().13tan233三角函數(shù)的周期公式函數(shù)ysin(x)，x∈R及函數(shù)ycos(x)，x∈R(A,ω,為常數(shù)，且A≠0，ω＞0)的周期2；函數(shù)ytan(x)，xk,kZ(A,ω,為常數(shù)，且A≠0，ω＞0)的周期T.T2正弦定理abcsinAsinB2R.sinC余弦定理a2b2c22bccosA;b2c2a22cacosB;c2a2b22abcosC.面積定理（1）S1aha1bhb1chc（ha、hb、hc分別表示a、b、c邊上的高）.222（2）S1absinC1bcsinA1casinB.222(3)SOAB1(|OA||OB|)2(OAOB)2.2三角形內(nèi)角和定理在△ABC中，有ABCC(AB)CAB2(AB).222C22簡(jiǎn)單的三角方程的通解sinxaxk(1)karcsina(kZ,|a|1).cosxax2karccosa(kZ,|a|1).tanxaxkarctana(kZ,aR).特別地,有sinsink(1)k(kZ).coscos2k(kZ).tantank(kZ).最簡(jiǎn)單的三角不等式及其解集sinxa(|a|1)x(2karcsina,2karcsina),kZ.sinxa(|a|1)x(2karcsina,2karcsina),kZ.cosxa(|a|1)x(2karccosa,2karccosa),kZ.cosxa(|a|1)x(2karccosa,2k2arccosa),kZ.tanxa(aR)x(karctana,k),kZ.27tanxa(aR)x(k,karctana),kZ.2實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律設(shè)λ、μ為實(shí)數(shù)，那么聯(lián)合律：λ(μa)=(λμ)a;第一分派律：(λ+μ)a=λa+μa;第二分派律：λ(a+b)=λa+λb.向量的數(shù)量積的運(yùn)算律：a·b=b·a（交換律）;(2)（）·b=（·b）=·b=a·（b）;aaa(3)（a+b）·c=a·c+b·c.平面向量基本定理若是e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任向來(lái)量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2．不共線的向量e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．60．向量平行的坐標(biāo)表示設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b0，則ab(b0)x1y2x2y10.53.a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)a·b=|a||b|cosθ．61.a·b的幾何意義數(shù)量積a·b等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2)，則a+b=(x1x2,y1y2).設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2)，則a-b=(x1x2,y1y2).(3)設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2),則ABOBOA(x2x1,y2y1).(4)設(shè)a=(x,y),R，則a=(x,y).(5)設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2)，則a·b=(x1x2y1y2).兩向量的夾角公式cosx1x2y1y2(=(x1,y1),b=(x2,y2)).y12x22ax12y22平面兩點(diǎn)間的距離公式dA,B=|AB|ABAB(x2x1)2(y2y1)2(A(x,y)，B(x,y)).1122向量的平行與垂直設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b0，則A||bb=λax1y2x2y10.ab(a0)a·b=0x1x2y1y20.線段的定比分公式設(shè)P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)12的分點(diǎn),是實(shí)數(shù)，且PP1PP2，則是線段PPx1x2xOPOP1OP12y1y21y1OPtOP1(1t)OP2（t1）.1三角形的重心坐標(biāo)公式△ABC三個(gè)極點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),則△ABC的重心的坐標(biāo)是8G(x1x2x3,y1y2y3).3368.點(diǎn)的平移公式x'xhxx'hOPPP'.y'ykyy'OP'k注:圖形F上的隨意一點(diǎn)P(x，y)在平移后圖形F'上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P'(x',y')，且PP'的坐標(biāo)為(h,k).“按向量平移”的幾個(gè)結(jié)論（1）點(diǎn)P(x,y)按向量a=(h,k)平移后獲得點(diǎn)P'(xh,yk).(2)函數(shù)yf(x)的圖象C按向量a=(h,k)平移后獲得圖象C',則C'的函數(shù)剖析式為yf(xh)k.(3)圖象C'按向量a=(h,k)平移后獲得圖象C,若C的剖析式y(tǒng)f(x),則C'的函數(shù)剖析式為yf(xh)k.(4)曲線C:f(x,y)0按向量a=(h,k)平移后獲得圖象C',則C'的方程為f(xh,yk)0.(5)向量m=(x,y)按向量a=(h,k)平移后獲得的向量仍舊為m=(x,y).三角形五“心”向量形式的充要條件設(shè)O為ABC所在平面上一點(diǎn)，角A,B,C所對(duì)邊長(zhǎng)分別為a,b,c，則（1）O為ABC的外心2OB22OAOC.（2）O為ABC的重心OAOBOC0.（3）O為ABC的垂心OAOBOBOCOCOA.（）O為ABC的心里aOAbOBcOC0.4（5）O為ABC的A的旁心aOAbOBcOC.常用不等式：（1）a,bRa2b22ab(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取“=”號(hào))．（2）a,bRabab(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取“=”號(hào))．2（3）a3b3c33abc(a0,b0,c0).（4）柯西不等式(a2b2)(c2d2)(acbd)2,a,b,c,dR.（5）ababab.極值定理已知x,y都是正數(shù)，則有（1）若積xy是定值p，則當(dāng)xy時(shí)和xy有最小值2p；（2）若和xy是定值s，則當(dāng)xy時(shí)積xy有最大值1s2.4實(shí)行已知x,yR，則有(xy)2(xy)22xy（1）若積xy是定值,則當(dāng)|xy|最大時(shí),|xy|最大；當(dāng)|xy|最小時(shí),|xy|最小.（2）若和|xy|是定值,則當(dāng)|xy|最大時(shí),|xy|最??；當(dāng)|xy|最小時(shí),|xy|最大.73.一元二次不等式ax2bxc0(或0)(a0,b24ac0)，若是a與ax2bxc同號(hào)，則其解集在兩根之外；若是a與ax2bxc異號(hào)，則其解集在兩根之間.簡(jiǎn)言之：同號(hào)兩根之外，異號(hào)兩根之間.x1xx2(xx1)(xx2)0(x1x2)；xx1,或xx2(xx1)(xx2)0(x1x2).含有絕對(duì)值的不等式當(dāng)a>0時(shí)，有9xax22axa.axax2a2xa或xa.無(wú)理不等式1）2）3）

f(x)0f(x)g(x)g(x)0.f(x)g(x)f(x)0或f(x)0f(x)g(x)g(x)0.f(x)[g(x)]2g(x)0f(x)0f(x)g(x)g(x)0.f(x)[g(x)]2指數(shù)不等式與對(duì)數(shù)不等式當(dāng)a1時(shí),af(x)ag(x)f(x)g(x);f(x)0logaf(x)logag(x)g(x)0.f(x)g(x)(2)當(dāng)0a1時(shí),af(x)ag(x)f(x)g(x);f(x)0logaf(x)logag(x)g(x)0f(x)g(x)77.斜率公式ky2y1（P1(x1,y1)、P2(x2,y2)）.x2x178.直線的五種方程（1）點(diǎn)斜式y(tǒng)y1k(xx1)(直線l過(guò)點(diǎn)P1(x1,y1)，且斜率為k)．（2）斜截式y(tǒng)kxb(b為直線l在y軸上的截距).（3）兩點(diǎn)式y(tǒng)y1xx1(y1y2)(P1(x1,y1)、P2(x2,y2)(x1x2)).y2y1x2x1(4)截距式xy1(a、b分別為直線的橫、縱截距，a、b0)b5）一般式AxByC0(其中A、B不相同時(shí)為0).79.兩條直線的平行和垂直(1)若l1:yk1xb1，l2:yk2xb2①l1||l2k1k2,b1b2;②l1l2k1k21.(2)若l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20,且A1、A2、B1、B2都不為零,①l1||l2A1B1C1；A2B2C2l1l2A1A2B1B20；80.夾角公式10(1)tan|k2k1|.1k2k1(l1:yk1xb1，l2:yk2xb2,k1k21)(2)tan|A1B2A2B1|.A1A2B1B2(l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20,A1A2B1B20).直線l1l2時(shí)，直線l1與l2的夾角是.2l1到l2的角公式(1)tank2k1.1k2k1(l1:yk1xb1，l2:yk2xb2,k1k21)(2)tanA1B2A2B1.A1A2B1B2(l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20,AABB0).1212直線l1l2時(shí)，直線l1到l2的角是.82．四種常用直線系方程2(1)定點(diǎn)直線系方程：經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P0(x0,y0)的直線系方程為yy0k(xx0)(除直線xx0),其中k是待定的系數(shù);經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P0(x0,y0)的直線系方程為A(xx0)B(yy0)0,其中A,B是待定的系數(shù)．(2)共點(diǎn)直線系方程：經(jīng)過(guò)兩直線l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20的交點(diǎn)的直線系方程為(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0(除l2)，其中λ是待定的系數(shù)．(3)平行直線系方程：直線ykxb中當(dāng)斜率k必然而b改動(dòng)時(shí)，表示平行直線系方程．與直線AxByC0平行的直線系方程是AxBy0(0)，λ是參變量．(4)垂直直線系方程：與直線AxByC0(A≠0，B≠0)垂直的直線系方程是BxAy0,λ是參變量．83.點(diǎn)到直線的距離|Ax0By0C|dA2B2(點(diǎn)P(x0,y0),直線l：AxByC0).84.AxByC0或0所表示的平面地區(qū)設(shè)直線l:AxByC0，則AxByC0或0所表示的平面地區(qū)是：若B0，當(dāng)B與AxByC同號(hào)時(shí)，表示直線l的上方的地區(qū)；當(dāng)B與AxByC異號(hào)時(shí)，表示直線l的下方的地區(qū).簡(jiǎn)言之,同號(hào)在上,異號(hào)在下.若B0，當(dāng)A與AxByC同號(hào)時(shí)，表示直線l的右方的地區(qū)；當(dāng)A與AxByC異號(hào)時(shí)，表示直線l的左方的地區(qū).簡(jiǎn)言之,同號(hào)在右,異號(hào)在左.85.(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0或0所表示的平面地區(qū)設(shè)曲線C:(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0（A1A2B1B20），則(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0或0所表示的平面地區(qū)是：(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0所表示的平面地區(qū)上下兩部分；(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0所表示的平面地區(qū)上下兩部分.86.圓的四種方程a)2b)2r2（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x(y.（2）圓的一般方程x2y2DxEyF0(D2E24F＞0).11xarcos（3）圓的參數(shù)方程b.yrsin（4）圓的直徑式方程(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0(圓的直徑的端點(diǎn)是A(x1,y1)、B(x2,y2)).87.圓系方程過(guò)點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)的圓系方程是(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)[(xx1)(y1y2)(yy1)(x1x2)]0(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)(axbyc)0,其中axbyc0是直線AB的方程,λ是待定的系數(shù)．(2)過(guò)直線l:AxByC0與圓C:x2y2DxEyF0的交點(diǎn)的圓系方程是x2y2DxEyF(AxByC)0,λ是待定的系數(shù)．(3)過(guò)圓C1:x2y2D1xE1yF10與圓C2:x2y2D2xE2yF20的交點(diǎn)的圓系方程是x2y2D1xE1yF1(x2y2D2xE2yF2)0,λ是待定的系數(shù)．點(diǎn)與圓的地點(diǎn)關(guān)系點(diǎn)P(x0,y0)與圓(xa)2(yb)2r2的地點(diǎn)關(guān)系有三種若d(ax0)2(by0)2，則dr點(diǎn)P在圓外;dr點(diǎn)P在圓上;dr點(diǎn)P在圓內(nèi).直線與圓的地點(diǎn)關(guān)系直線AxByC0與圓(xa)2(yb)2r2的地點(diǎn)關(guān)系有三種:dr相離0;dr相切0;dr訂交0.其中dAaBbCA2.B2兩圓地點(diǎn)關(guān)系的判斷方法設(shè)兩圓圓心分別為O1，O2，半徑分別為r1，r2，OO2d1dr1r2外離4條公切線dr1r2外切3條公切線

;;r1r2dr1r2訂交2條公切線;dr1r2內(nèi)切1條公切線;0dr1r2內(nèi)含無(wú)公切線.圓的切線方程已知圓x2y2DxEyF0．①若已知切點(diǎn)(x0,y0)在圓上，則切線只有一條，其方程是x0xD(x0x)E(y0y)F0.y0y22D(x0x)E(y0y)當(dāng)(x,y)圓外時(shí),x0xy0y0表示過(guò)兩個(gè)切點(diǎn)的切點(diǎn)弦方程．F0022②過(guò)圓外一點(diǎn)的切線方程可設(shè)為yy0k(xx0)，再利用相切條件求k，這時(shí)必有兩條切線，注意不要遺漏平行于y軸的切線．③斜率為k的切線方程可設(shè)為ykxb，再利用相切條件求b，必有兩條切線．(2)已知圓x2y2r2．①過(guò)圓上的P(x0,y0)點(diǎn)的切線方程為xxyyr2;000②斜率為k的圓的切線方程為ykxr1k2.12橢圓x2y2xacos92.1(ab0)的參數(shù)方程是.a2b2ybsin93.橢圓x2y21(ab0)焦半徑公式a2b2PF1e(xa2e(a2x).)，PF2cc94．橢圓的的內(nèi)外面（1）點(diǎn)P(x0,y0)在橢圓x2y21(ab0)的內(nèi)部x02y021.a2b2a2b2（2）點(diǎn)P(x0x2y21(ab0)的外面x02y021.,y0)在橢圓2b2a2b2a橢圓的切線方程(1)橢圓x2y21(abx0xy0y1.ab20)上一點(diǎn)P(x0,y0)處的切線方程是b22a2（2）過(guò)橢圓x2y21(ab0)外一點(diǎn)P(x0,y0)所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是x0xy0ya2b2a2b21.（3）橢圓x2y21(ab0)與直線AxByC0相切的條件是A2a2B2b2c2.a2b296.雙曲線x2y21(a0,b0)的焦半徑公式a2b2PF1|e(xa2)|，PF2|e(a2x)|.cc雙曲線的內(nèi)外面(1)點(diǎn)P(x,y)在雙曲線x2y20,b0)的內(nèi)部x02y021(a1.00a2b2a2b2(2)點(diǎn)P(x0,y0)在雙曲線x2y20,b0)的外面x02y02a221(a221.bab雙曲線的方程與漸近線方程的關(guān)系x2y21漸近線方程：x2y20ybx.(1）若雙曲線方程為2b2a2b2aa(2)若漸近線方程為ybxxyx2y2a0雙曲線可設(shè)為.aba2b2(3)若雙曲線與x2y21有公共漸近線，可設(shè)為x2y2（0，焦點(diǎn)在x軸上，0，a2b2a2b2焦點(diǎn)在y軸上）.雙曲線的切線方程(1)雙曲線x2y21(a0,b0)上一點(diǎn)P(x0,y0)處的切線方程是x0xy0y1.a2b2a2b2（2）過(guò)雙曲線x2y21(a0,b0)外一點(diǎn)P(x0,y0)所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是x0xy0ya2b21.a2b2x2y21(a0,b0)2a2222（3）雙曲線b2與直線AxByC0相切的條件是ABbc.a213拋物線y22px的焦半徑公式拋物線y22px(p0)焦半徑CFx0p.pp2CDx1x2p.過(guò)焦點(diǎn)弦長(zhǎng)x1x222101.拋物線y22px上的動(dòng)點(diǎn)可設(shè)為P(y2,y)或P(2pt2,2pt)或P(x,y)，其中y22px.2p102.二次函數(shù)yax2bxca(xb)24acb2(a0)的圖象是拋物線：（1）極點(diǎn)坐標(biāo)為2a4ab4acb2)；（2）焦點(diǎn)的坐標(biāo)為(b4acb214acb21(,,4a)；（3）準(zhǔn)線方程是y4a.2a4a2a拋物線的內(nèi)外面(1)點(diǎn)P(x0,y0)在拋物線y22px(p0)的內(nèi)部y22px(p0).點(diǎn)P(x0,y0)在拋物線y22px(p0)的外面y22px(p0).(2)點(diǎn)P(x0,y0)在拋物線y22px(p0)的內(nèi)部y22px(p0).點(diǎn)P(x0,y0)在拋物線y22px(p0)的外面y22px(p0).(3)點(diǎn)P(x0,y0)在拋物線x22py(p0)的內(nèi)部x22py(p0).點(diǎn)P(x0,y0)在拋物線x22py(p0)的外面x22py(p0).(4)點(diǎn)P(x0,y0)在拋物線x22py(p0)的內(nèi)部x22py(p0).點(diǎn)P(x0,y0)在拋物線x22py(p0)的外面x22py(p0).拋物線的切線方程(1)拋物線y22px上一點(diǎn)P(x0,y0)處的切線方程是y0yp(xx0).（2）過(guò)拋物線y22px外一點(diǎn)P(x,y)所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是yyp(xx).0000（3）拋物線y22px(p0)與直線AxByC0相切的條件是pB22AC.兩個(gè)常有的曲線系方程(1)過(guò)曲線f1(x,y)0,f2(x,y)0的交點(diǎn)的曲線系方程是f1(x,y)f2(x,y)0(為參數(shù)).(2)共焦點(diǎn)的有意圓錐曲線系方程x2ky21,其中kmax{a2,b2}.當(dāng)kmin{a2,b2}時(shí),表示a2b2k橢圓;當(dāng)min{a2,b2}kmax{a2,b2}時(shí),表示雙曲線.106.直線與圓錐曲線訂交的弦長(zhǎng)公式AB(x1x2)2(y1y2)2或AB(1k2)(x2x1)2|x1x2|1tan2|y1y2|1cot2（弦端點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)，由方程ykxb消去y獲得ax2bxc0，0,為直線AB的傾斜角，k為直線的斜率）.F(x,y)0圓錐曲線的兩類對(duì)稱問(wèn)題（1）曲線F(x,y)0對(duì)于點(diǎn)P(x0,y0)成中心對(duì)稱的曲線是F(2x0-x,2y0y)0.（2）曲線F(x,y)0對(duì)于直線AxByC0成軸對(duì)稱的曲線是F(x2A(AxByC),y2B(AxByC))0.A2B2A2B2“四線”一方程對(duì)于一般的二次曲線Ax2BxyCy2DxEyF0，用x0x代x2，用y0y代y2，用x0yxy0代xy，214用x0x代x，用y0y代y即得方程22Ax0xx0yxy0x0xy0yBCy0yDEF0，曲線的切線，切點(diǎn)弦，中點(diǎn)弦，弦中點(diǎn)方222程均是此方程獲得.109．證明直線與直線的平行的思慮路子1）轉(zhuǎn)變?yōu)榕袛喙裁娑本€無(wú)交點(diǎn)；2）轉(zhuǎn)變?yōu)槎本€同與第三條直線平行；3）轉(zhuǎn)變?yōu)榫€面平行；4）轉(zhuǎn)變?yōu)榫€面垂直；5）轉(zhuǎn)變?yōu)槊婷嫫叫?110．證明直線與平面的平行的思慮路子1）轉(zhuǎn)變?yōu)橹本€與平面無(wú)公共點(diǎn)；2）轉(zhuǎn)變?yōu)榫€線平行；3）轉(zhuǎn)變?yōu)槊婷嫫叫?111．證明平面與平面平行的思慮路子1）轉(zhuǎn)變?yōu)榕袛喽矫鏌o(wú)公共點(diǎn)；2）轉(zhuǎn)變?yōu)榫€面平行；3）轉(zhuǎn)變?yōu)榫€面垂直.112．證明直線與直線的垂直的思慮路子1）轉(zhuǎn)變?yōu)橛喗淮怪保?）轉(zhuǎn)變?yōu)榫€面垂直；3）轉(zhuǎn)變?yōu)榫€與另一線的射影垂直；4）轉(zhuǎn)變?yōu)榫€與形成射影的斜線垂直.113．證明直線與平面垂直的思慮路子1）轉(zhuǎn)變?yōu)樵撝本€與平面內(nèi)任素來(lái)線垂直；2）轉(zhuǎn)變?yōu)樵撝本€與平面內(nèi)訂交二直線垂直；3）轉(zhuǎn)變?yōu)樵撝本€與平面的一條垂線平行；4）轉(zhuǎn)變?yōu)樵撝本€垂直于另一個(gè)平行平面；5）轉(zhuǎn)變?yōu)樵撝本€與兩個(gè)垂直平面的交線垂直.114．證明平面與平面的垂直的思慮路子1）轉(zhuǎn)變?yōu)榕袛喽娼鞘侵倍娼牵?）轉(zhuǎn)變?yōu)榫€面垂直.115.空間向量的加法與數(shù)乘向量運(yùn)算的運(yùn)算律加法交換律：a＋b=b＋a．加法聯(lián)合律：(a＋b)＋c=a＋(b＋c)．?dāng)?shù)乘分派律：λ(a＋b)=λa＋λb．平面向量加法的平行四邊形法例向空間的實(shí)行始點(diǎn)相同且不在同一個(gè)平面內(nèi)的三個(gè)向量之和，等于以這三個(gè)向量為棱的平行六面體的以公共始點(diǎn)為始點(diǎn)的對(duì)角線所表示的向量.117.共線向量定理對(duì)空間隨意兩個(gè)向量a、b(b≠0)，a∥b存在實(shí)數(shù)λ使a=λb．P、A、B三點(diǎn)共線AP||ABAPtABOP(1t)OAtOB.AB||CDAB、CD共線且AB、CD不共線ABtCD且AB、CD不共線.118.共面向量定理向量p與兩個(gè)不共線的向量a、b共面的存在實(shí)數(shù)對(duì)x,y,使paxby．推論空間一點(diǎn)P位于平面MAB內(nèi)的存在有序?qū)崝?shù)對(duì)x,y,使MPxMAyMB，或?qū)臻g任必然點(diǎn)O，有序?qū)崝?shù)對(duì)x,y，使OPOMxMAyMB.zOC119.對(duì)空間任一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A、B、C，知足OPxOAyOBk），則當(dāng)k1（xyz時(shí)，對(duì)于空間任一點(diǎn)O，總有P、A、B、C四點(diǎn)共面；當(dāng)k1時(shí)，若O平面ABC，則P、A、B、C四點(diǎn)共面；若O平面ABC，則P、A、B、C四點(diǎn)不共面．15A、B、C、D四點(diǎn)共面AD與AB、AC共面ADxAByACOD(1xy)OAxOByOC（O平面ABC.）120.空間向量基本定理若是三個(gè)向量a、b、c不共面，那么對(duì)空間任向來(lái)量p，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使p＝xayb＋zc．推論設(shè)O、A、B、C是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn)P，都存在唯一的三個(gè)有序?qū)崝?shù)x，y，z，使OPxOAyOBzOC.射影公式已知向量AB=a和軸l，e是l上與l同方向的單位向量.作A點(diǎn)在l上的射影A'，作B點(diǎn)在l上的射影B'，則〈a，〉a·''|AB|coseABe=向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算設(shè)a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)則(1)a＋b＝(a1b1,a2b2,a3b3)；(2)a－b＝(a1b1,a2b2,a3b3)；λa＝(a1,a2,a3)(λ∈R)；(4)a·b＝a1b1a2b2a3b3；設(shè)A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，則ABOBOA=(x2x1,y2y1,z2z1).124．空間的線線平行或垂直rr設(shè)a(x1,y1,z1)，b(x2,y2,z2)，則rrrrrrx1x2aPbab(b0)y1y2；rrrrz1z2abab0x1x2y1y2z1z20.夾角公式設(shè)a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)，則cos〈，b〉=a1b1a2b2a3b3.a12a22a32b12b22b32推論(a1b1a2b2a3b3)2(a12a22a32)(b12b22b32)，此即三維柯西不等式.周圍體的對(duì)棱所成的角周圍體ABCD中,AC與BD所成的角為,則cos|(AB2CD2)(BC2DA2)|.2ACBD127．異面直線所成角cosrr||cosa,brr|x1x2y1y2z1z2||ab|=rrx12y12z12x22y22z22|a||b|rr（0o90oa,b的方向向量）（其中）為異面直線a,b所成角，a,b分別表示異面直線128.直線AB與平面所成角arcsinABm(m為平面的法向量).|AB||m|129.若ABC所在平面若與過(guò)若AB的平面成的角,另兩邊AC,BC與平面成的角分別是1、162,A、B為ABC的兩個(gè)內(nèi)角，則sin21sin22(sin2Asin2B)sin2.特別地,當(dāng)ACB90時(shí),有sin21sin22sin2.130.若ABC所在平面若與過(guò)若AB的平面成的角,另兩邊AC,BC與平面成的角分別是1、2,A'、B'為ABO的兩個(gè)內(nèi)角，則tan21tan22(sin2A'sin2B')tan2.特別地,當(dāng)AOB90時(shí),有sin21sin22sin2.131.二面角l的平面角arccosmn或arccosmn（m，n為平面，的法向量）.|m||n||m||n|三余弦定理設(shè)AC是α內(nèi)的任一條直線，且BC⊥AC，垂足為C，又設(shè)AO與AB所成的角為1，AB與AC所成的角為2，AO與AC所成的角為．則coscos1cos2.133.三射線定理若夾在平面角為的二面角間的線段與二面角的兩個(gè)半平面所成的角是1,2,與二面角的棱所成的角是θ，則有sin2sin2sin21sin222sin1sin2cos;|12|180(12)(當(dāng)且僅當(dāng)90時(shí)等號(hào)建立).空間兩點(diǎn)間的距離公式若A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，則dA,B=|AB|ABAB(x2x1)2(y2y1)2(z2z1)2.135.點(diǎn)Q到直線l距離h1(|a||b|)2(ab)2(點(diǎn)P在直線l上，直線l的方向向量a=PA，向量b=PQ).|a|136.異面直線間的距離d|CDn|(l1,l2是兩異面直線，其公垂向量為n，C、D分別是l1,l2上任一點(diǎn)，d為l1,l2間的距離).|n|137.點(diǎn)B到平面的距離d|ABn|的法向量，AB是經(jīng)過(guò)面的一條斜線，A）.（n為平面|n|138.異面直線上兩點(diǎn)距離公式dh2m2n22mncos.dh2m2n22mncosEA',AF.dh2m2n22mncos（EAA'F）.(兩條異面直線a、b所成的角為θ，其公垂線段AA'的長(zhǎng)度為h.在直線a、b上分別取兩點(diǎn)E、F，A'Em,AFn,EFd).三個(gè)向量和的平方公式(abc)2222abc2ab2bc2caa2222|a||b|cosa,b2|b||c|cosb,c2|c||a|cosc,abc140.長(zhǎng)度為l的線段在三條兩兩互相垂直的直線上的射影長(zhǎng)分別為l1、l2、l3，夾角分別為1、2、3,17則有l(wèi)2l12l22l32cos21cos22cos231sin21sin22sin232.（立體幾何中長(zhǎng)方體對(duì)角線長(zhǎng)的公式是其特例）.面積射影定理S'S.cos(平面多邊形及其射影的面積分別是S、S'，它們所在平面所成銳二面角的為).斜棱柱的直截面已知斜棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)是l,側(cè)面積和體積分別是S斜棱柱側(cè)和V斜棱柱,它的直截面的周長(zhǎng)和面積分別是c和S,11則①S斜棱柱側(cè)cl.1②V斜棱柱Sl1.143．作截面的依據(jù)三個(gè)平面兩兩訂交，有三條交線，則這三條交線交于一點(diǎn)或互相平行.144．棱錐的平行截面的性質(zhì)若是棱錐被平行于底面的平面所截，那么所得的截面與底面相像，截面面積與底面面積的比等于極點(diǎn)到截面距離與棱錐高的平方比（對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊對(duì)應(yīng)成比率的多邊形是相像多邊形，相像多邊形面積的比等于對(duì)應(yīng)邊的比的平方）；相應(yīng)小棱錐與小棱錐的側(cè)面積的比等于極點(diǎn)到截面距離與棱錐高的平方比．歐拉定理(歐拉公式)VFE2(簡(jiǎn)單多面體的極點(diǎn)數(shù)V、棱數(shù)E和面數(shù)F).n的多邊形，則面數(shù)（1）E=各面多邊形邊數(shù)和的一半.特別地,若每個(gè)面的邊數(shù)為F與棱數(shù)E的關(guān)系：1nF；2（2）若每個(gè)極點(diǎn)引出的棱數(shù)為m，則極點(diǎn)數(shù)V與棱數(shù)E的關(guān)系：E1mV.2球的半徑是R，則其體積V4R3,3其表面積S4R2．球的組合體球與長(zhǎng)方體的組合體:長(zhǎng)方體的外接球的直徑是長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng).(2)球與正方體的組合體:正方體的內(nèi)切球的直徑是正方體的棱長(zhǎng),正方體的棱切球的直徑是正方體的面對(duì)角線長(zhǎng),正方體的外接球的直徑是正方體的體對(duì)角線長(zhǎng).(3)球與正周圍體的組合體:棱長(zhǎng)為a的正周圍體的內(nèi)切球的半徑為6a,外接球的半徑為6a.148．柱體、錐體的體積124V柱體1Sh（S是柱體的底面積、h是柱體的高）.3V錐體1Sh（S是錐體的底面積、h是錐體的高）.3分類計(jì)數(shù)原理（加法原理）Nm1m2mn.分步計(jì)數(shù)原理（乘法原理）Nm1m2mn.排列數(shù)公式18Anm=n(n1)(nm1)=n！.(n，m∈N*，且mn)．注:規(guī)定0!1.(nm)！152.排列恒等式(1）Anm(nm1)Anm1;（2）AnmnAnm1;nm3）AnmnAnm11;（4）nAnnAnn11Ann;5）Anm1AnmmAnm1.(6)1!22!33!nn!(n1)!1.組合數(shù)公式Cnm=Anm=n(n1)(nm1)=n！(n∈N*，mN，且mn).Am12mm！(nm)！m組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)Cnm=Cnnm;Cnm+Cnm1=Cnm1.注:規(guī)定Cn01.組合恒等式mnm1m1（1）CnCn;（2）CnmnCnm1;nm（3）CnmnCnm11;mnCnr=2n;（4）r0（5）CrrCrr1Crr2Cnr(6)Cn0Cn1Cn2Cnr(7)Cn1Cn3Cn5Cn0Cn2(8)Cn12Cn23Cn3nCnn(9)CmrCn0Cmr1Cn1Cm0rCnr(Cn0)2(C1n)2(Cn2)2排列數(shù)與組合數(shù)的關(guān)系A(chǔ)nmm！Cnm.

Cnr11.Cnn2n.Cn42n1.n2n1.Cmrn.(Cnn)2C2nn.157．單條件排列n個(gè)元素中取m個(gè)元素的排列.以下各條的大前提是從（1）“在位”與“不在位”①某（特）元必在某位有Anm11種；②某（特）元不在某位有AnmAnm11（補(bǔ)集思想）An11Anm11（著眼地點(diǎn)）Anm1Am11Anm11（著眼元素）種.（2）緊貼與插空（即相鄰與不相鄰）①定位緊貼：k(kmn)個(gè)元在固定位的排列有AkkAnmkk種.②浮動(dòng)緊貼：n個(gè)元素的全排列把k個(gè)元排在一同的排法有Annkk11Akk種.注：此類問(wèn)題常用捆綁法；③插空：兩組元素分別有、h個(gè)（kh1），把它們合在一同來(lái)作全排列，k個(gè)的一組互不能夠挨近的所k19有排列數(shù)有AhhAhk1種.（3）兩組元素各相同的插空m個(gè)大球n個(gè)小球排成一列，小球必分開(kāi)，問(wèn)有多少種排法？當(dāng)nm1時(shí)，無(wú)解；當(dāng)nm1時(shí)，有Amn1Cmn1種排法.Ann（4）兩組相同元素的排列：兩組元素有m個(gè)和n個(gè)，各組元素分別相同的排列數(shù)為Cmnn.158．分派問(wèn)題m、n個(gè)物件均分給m個(gè)人，各得n件，其分派方法數(shù)共有（1）(平均分組有歸屬問(wèn)題)將相異的nnnnn(mn)!NCmnCmnnCmn2nC2nCn(n!)m.（2）(平均分組無(wú)歸屬問(wèn)題)將相異的m·n個(gè)物體均分為無(wú)記號(hào)或無(wú)次序的m堆，其分派方法數(shù)共有CmnnCmnnnCmnn2n...C2nnCnn(mn)!Nm!m!(n!)m.（3）(非平均分組有歸屬問(wèn)題)將相異的P(P=n1+n2++nm)個(gè)物體分給m個(gè)人，物件必定被分完，分別獲得n1，n2，，nm件，且n1，n2，，nm這m個(gè)數(shù)互相不相等，則其分派方法數(shù)共有NCpn1Cpn2n1...Cnnmmm!p!m!.n1!n2!...nm!（4）(非完好平均分組有歸屬問(wèn)題)將相異的P(P=n1+n2++nm)個(gè)物體分給m個(gè)人，物件必定被分完，分別獲得n1，n2，，nm件，且n1，n2，，nm這m個(gè)數(shù)中分別有a、b、c、個(gè)相等，則其分派方Cpn1Cpn2n1...Cnnmmm!p!m!.法數(shù)有Na!b!c!...n1!n2!...nm!(a!b!c!...)（5）(非平均分組無(wú)歸屬問(wèn)題)將相異的P(P=n1+n2++nm)個(gè)物體分為隨意的n，n，，nm件無(wú)記號(hào)12的m堆，且n1，n2，，nm這m個(gè)數(shù)互相不相等，則其分派方法數(shù)有Np!.n1!n2!...nm!（6）(非完好平均分組無(wú)歸屬問(wèn)題)將相異的P(P=n1+n2++nm)個(gè)物體分為隨意的n1，n2，，nm件無(wú)記號(hào)的m堆，且n1，n2，，nm這m個(gè)數(shù)中分別有a、b、c、個(gè)相等，則其分派方法數(shù)有p!N.n1!n2!...nm!(a!b!c!...)（7）(限制分組有歸屬問(wèn)題)將相異的p（1+++）個(gè)物體分給甲、乙、丙，等m個(gè)人，pnn2nm物體必定被分完，若是指定甲得n1件，乙得n2件，丙得n3件，時(shí)，則不論n1，n2，，nm等m個(gè)數(shù)可否全相異或不全相異其分派方法數(shù)恒有NCpn1Cpn2n...Cnnmp!.1mn1!n2!...nm!159．“錯(cuò)位問(wèn)題”及其實(shí)行貝努利裝錯(cuò)箋問(wèn)題:信n封信與n個(gè)信封所有錯(cuò)位的組合數(shù)為f(n)n![111(1)n1].2!3!4!n!實(shí)行:n個(gè)元素與n個(gè)地點(diǎn),其中最罕有m個(gè)元素錯(cuò)位的不相同組合總數(shù)為f(n,m)n!Cm1(n1)!Cm2(n2)!Cm3(n3)!Cm4(n4)!(1)pCmp(np)!(1)mCmm(nm)!n![1Cm1Cm2Cm3Cm4(1)pCmp(mCmm1224p1)m].AnAnAnAnAnAn160．不定方程x1+x2++xnm的解的個(gè)數(shù)(1)方程1+++m（n,mN）的正整數(shù)解有Cn1個(gè).xx2xnm120(2)方程x1+x2++xnm（n,mN）的非負(fù)整數(shù)解有n1個(gè).Cnm12in1的非負(fù)整數(shù)解有方程+++（n,mN）知足條件(3)x1x2xnmxik(kN,)Cmn11(n2)(k1)個(gè).(4)方程+++m（n,mN）知足條件xik(kN,2in1)的正整數(shù)解有x1x2xnCn1C1Cn1C2Cn1(1)n2Cn2Cn1nm1n2mnk2n2mn2k3n2m1(n2)k個(gè).161.二項(xiàng)式定理(ab)nCn0anCn1an1bCn2an2b2CnranrbrCnnbn;二項(xiàng)張開(kāi)式的通項(xiàng)公式Tr1Cnranrbr(r0，1，2，n).等可能性事件的概率P(A)m.n互斥事件A，B分別發(fā)生的概率的和P(A＋B)=P(A)＋P(B)．n個(gè)互斥事件分別發(fā)生的概率的和P(A1＋A2＋＋An)=P(A1)＋P(A2)＋＋P(An)．獨(dú)立事件A，B同時(shí)發(fā)生的概率P(A·B)=P(A)·P(B).166.n個(gè)獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率P(A1·A2··An)=P(A1)·P(A2)··P(An)．167.n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中某事件恰巧發(fā)生k次的概率Pn(k)CnkPk(1P)nk.失散型隨機(jī)變量的散布列的兩個(gè)性質(zhì)（1）Pi0(i1,2,);（2）P1P21.數(shù)學(xué)希望ExPxPxP1122nn數(shù)學(xué)希望的性質(zhì)1）E(ab)aE()b.（2）若～B(n,p),則Enp.(3)若遵照幾何散布,且P(k)g(k,p)qk1p，則E1.p方差Dx1E22xnE2p1x2Ep2pn標(biāo)準(zhǔn)差D.方差的性質(zhì)(1)Daba2D；(2）若～B(n,p)，則Dnp(1p).(3)若遵照幾何散布,且P(k)g(k,p)qk1p，則Dqp2.方差與希望的關(guān)系DE2E2.正態(tài)散布密度函數(shù)x21e2,，式中的實(shí)數(shù)μ，（>0）是參數(shù)，分別表示個(gè)體的平均數(shù)與標(biāo)fx26,x2621準(zhǔn)差.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)散布密度函數(shù)1x2fxe2,x,.262)，取值小于x的概率177.對(duì)于N(,Fxx.Px1x0x2Pxx2Pxx1Fx2Fx1x2x1.178.回歸直線方程nnxixyiyxiyinxybi1i1yabx，其中n2n2.xix2nxxii1i1aybx179.有關(guān)系數(shù)nnxixyiyxixyiyri1i1.nnnn(xix)2(yiy)2(xi2nx2)(yi2ny2)i1i1i1i1|r|≤1，且|r|越湊近于1，有關(guān)程度越大；|r|越湊近于0，有關(guān)程度越小.特別數(shù)列的極限0|q|1（1）limqn1q1.n不存在|q|1或q10(kt)（2）limaknkak1nk1a0at(kt).tt1nbtnbt1nb0bk不存在(kt)（3）Sa11qna1（S無(wú)量等比數(shù)列a1qn1(|q|1)的和）.limn1q1q函數(shù)的極限制理limf(x)alimf(x)limf(x)a.xx0xx0xx0182.函數(shù)的夾逼性定理若是函數(shù)f(x)，g(x)，h(x)在點(diǎn)x0的周邊知足：（1）g(x)f(x)h(x);（2）limg(x)a,limh(x)a（常數(shù)）,xx0xx0則limf(x)a.xx0本定理對(duì)于單側(cè)極限和x的狀況仍舊建立.183.幾個(gè)常用極限22（1）lim10，liman0（|a|1）；nnn11（2）limxx0，lim.xx0xx0xx0184.兩個(gè)重要的極限（1）limsinx1；x0x1x（2）lim1e(e=2.718281845).x185.函數(shù)極限的四則運(yùn)算法例若limf(x)a，limg(x)b，則xx0xx0(1)limfxgxab；xx0(2)limfxgxab;xx0(3)limfxab0.xx0gxb186.數(shù)列極限的四則運(yùn)算法例若limana,limbnb，則nn(1)limanbnab；n(2)limanbnab；n(3)limanab0bnbn(4)limcanlimclimanca(c是常數(shù)).nnnf(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)（或變化率或微商）f(x0)yxx0limylimf(x0x)f(x0).188.剎時(shí)速度x0xx0xs(t)limslims(tt)s(t).t0tt0t189.剎時(shí)加快度av(t)lim0vlimv(tt)v(t).ttt0tf(x)在(a,b)的導(dǎo)數(shù)f(x)ydydflimylimf(xx)f(x).dxdxx0xx0x函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)是曲線yf(x)在P(x0,f(x0))處的切線的斜率f(x0)，相應(yīng)的切線方程是yy0f(x0)(xx0).幾種常有函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)C0（C為常數(shù)）.(xn)'nxn1(nQ).(3)(sinx)cosx.(4)(cosx)sinx.23(5)(lnx)1；(logax)e1loga.xx(6)(ex)ex;(ax)axlna.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法例（1）(uv)'u'v'.2）(uv)'u'vuv'.（3）(u)'u'vuv'(v0).vv2194.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法例設(shè)函數(shù)u(x)在點(diǎn)x處有導(dǎo)數(shù)ux''(x)，函數(shù)yf(u)在點(diǎn)x處的對(duì)應(yīng)點(diǎn)U處有導(dǎo)數(shù)yu'f'(u)，則復(fù)合函數(shù)yf((x))在點(diǎn)x處有導(dǎo)數(shù)，且yx'yu'ux'，或?qū)懽鱢x'((x))f'(u)'(x).195.常用的近似計(jì)算公式（當(dāng)x充小時(shí)）(1)1x11x;n1x11x；2n(2)(1x)1x(R)；11x；x1ex1x；ln(1xx；(4)sinxx（x為弧度）；tanxx（x為弧度）；arctanxx（x為弧度）鑒別f(x0)是極大（?。┲档姆椒ó?dāng)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)時(shí)，（1）若是在x0周邊的左側(cè)f(x)0，右側(cè)（2）若是在x0周邊的左側(cè)f(x)0，右側(cè)復(fù)數(shù)的相等

f(x)0，則f(x0)是極大值；f(x)0，則f(x0)是極小值.abicdiac,bd.（a,b,c,dR）198.復(fù)數(shù)zabi的模（或絕對(duì)值）|z|=|abi|=a2b2.復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法例(1)(abi)(cdi)(ac)(b(2)(abi)(cdi)(ac)(b(3)(abi)(cdi)(acbd)(bc(4)(abi)(cdi)acbdbcc2d2c2

d)i;d)i;ad)i;ad2i(cdi0).復(fù)數(shù)的乘法的運(yùn)算律對(duì)于任何z1,z2,z3C，有交換律:z1z2z2z1.聯(lián)合律:(z1z2)z3z1(z2z3).分派律:z1(z2z3)z1z2z1z3.復(fù)平面上的兩點(diǎn)間的距離公式d|z1z2|(x2x1)2(y2y1)2（z1x1y1i，z2x2y2i）.向量的垂直非零復(fù)數(shù)z1abi，z2cdi對(duì)應(yīng)的向量分別是OZ1，OZ2，則24OZ1OZ2z1z2的實(shí)部為零z2為純虛數(shù)|z1z2|2|z1|2|z2|2z1|z1z2|2|z1|2|z2|2|z1z2||z1z2|acbd0z1iz2(λ為非零實(shí)數(shù)).實(shí)系數(shù)一元二次方程的解實(shí)系數(shù)一元二次方程ax2bxc0，①若b24ac0,則x1,2bb24ac;2a②若b24ac0,則x1x2b;2a③若b24ac0，它在實(shí)數(shù)集R內(nèi)沒(méi)有實(shí)數(shù)根；在復(fù)數(shù)集C內(nèi)有且僅有兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)根b(b24ac)i(b24ac0).2a高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)1.對(duì)于會(huì)合，必然要抓住會(huì)合的代表元素，及元素的“確定性、互異性、無(wú)序性”。中元素各表示什么？重視借助于數(shù)軸和文氏圖解會(huì)合問(wèn)題?？占撬袝?huì)合的子集，是所有非空會(huì)合的真子集。注意以下性質(zhì)：3）德摩根定律：你會(huì)用補(bǔ)集思想解決問(wèn)題嗎？（除去法、間接法）25的取值范圍。命題的四種形式及其互相關(guān)系是什么？（互為逆否關(guān)系的命題是等價(jià)命題。）原命題與逆否命題同真、同假；抗命題與否命題同真同假。7.對(duì)照射的見(jiàn)解認(rèn)識(shí)嗎？照射f：A→B，可否注意到A中元素的隨意性和B中與之對(duì)應(yīng)元素的唯一性，哪幾種對(duì)應(yīng)能組成照射？（一對(duì)一，多對(duì)一，贊同B中有元素?zé)o原象。）函數(shù)的三要素是什么？怎樣比較兩個(gè)函數(shù)可否相同？（定義域、對(duì)應(yīng)法例、值域）求函數(shù)的定義域有哪些常有種類？怎樣求復(fù)合函數(shù)的定義域？義域是_____________。求一個(gè)函數(shù)的剖析式或一個(gè)函數(shù)的反函數(shù)時(shí)，注明函數(shù)的定義域了嗎？反函數(shù)存在的條件是什么？（一一對(duì)應(yīng)函數(shù)）求反函數(shù)的步驟掌握了嗎？（①反解x；②交換x、y；③注明定義域）反函數(shù)的性質(zhì)有哪些？26①互為反函數(shù)的圖象對(duì)于直線y＝x對(duì)稱；②保留了原來(lái)函數(shù)的單一性、奇函數(shù)性；怎樣用定義證明函數(shù)的單一性？（取值、作差、判正負(fù)）怎樣判斷復(fù)合函數(shù)的單一性？∴）怎樣利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單一性？值是（）A.0B.1C.2D.3∴a的最大值為3）函數(shù)f(x)擁有奇偶性的必要（非充分）條件是什么？（f(x)定義域?qū)τ谠c(diǎn)對(duì)稱）注意以下結(jié)論：（1）在公共定義域內(nèi)：兩個(gè)奇函數(shù)的乘積是偶函數(shù)；兩個(gè)偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù)；一個(gè)偶函數(shù)與奇27函數(shù)的乘積是奇函數(shù)。你熟悉周期函數(shù)的定義嗎？函數(shù)，T是一個(gè)周期。）如：你掌握常用的圖象變換了嗎？28注意以下“翻折”變換：你嫻熟掌握常用函數(shù)的圖象和性質(zhì)了嗎？的雙曲線。應(yīng)用：①“三個(gè)二次”（二次函數(shù)、二次方程、二次不等式）的關(guān)系——二次方程②求閉區(qū)間［m，n］上的最值。③求區(qū)間定（動(dòng)），對(duì)稱軸動(dòng)（定）的最值問(wèn)題。④一元二次方程根的散布問(wèn)題。29由圖象記性質(zhì)?。ㄗ⒁獾讛?shù)的限制！）利用它的單一性求最值與利用均值不等式求最值的差別是什么？你在基本運(yùn)算上常出現(xiàn)錯(cuò)誤嗎？30怎樣解抽象函數(shù)問(wèn)題？（賦值法、結(jié)構(gòu)變換法）掌握求函數(shù)值域的常用方法了嗎？（二次函數(shù)法（配方法），反函數(shù)法，換元法，均值定理法，鑒別式法，利用函數(shù)單一性法，導(dǎo)數(shù)法等。）如求以下函數(shù)的最值：23.你記得弧度的定義嗎？能寫(xiě)出圓心角為α，半徑為R的弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式嗎？熟記三角函數(shù)的定義，單位圓中三角函數(shù)線的定義31你能快速畫(huà)出正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象嗎？并由圖象寫(xiě)出單一區(qū)間、對(duì)稱點(diǎn)、對(duì)稱軸嗎？32（x，y）作圖象。33在三角函數(shù)中求一個(gè)角時(shí)要注意兩個(gè)方面——先求出某一個(gè)三角函數(shù)值，再判斷角的范圍。在解含有正、余弦函數(shù)的問(wèn)題時(shí)，你注意（到）運(yùn)用函數(shù)的有界性了嗎？嫻熟掌握三角函數(shù)圖象變換了嗎？（平移變換、伸縮變換）平移公式：圖象？嫻熟掌握同角三角函數(shù)關(guān)系和引誘公式了嗎？“奇”、“偶”指k取奇、偶數(shù)。A.正當(dāng)或負(fù)值B.負(fù)值C.非負(fù)值D.正當(dāng)嫻熟掌握兩角和、差、倍、降冪公式及其逆向應(yīng)用了嗎？理解公式之間的聯(lián)系：34應(yīng)用以上公式對(duì)三角函數(shù)式化簡(jiǎn)。（化簡(jiǎn)要求：項(xiàng)數(shù)最少、函數(shù)種類最少，分母中不含三角函數(shù)，能求值，盡可能求值。）詳細(xì)方法：2）名的變換：化弦或化切3）次數(shù)的變換：升、降冪公式4）形的變換：一致函數(shù)形式，注意運(yùn)用代數(shù)運(yùn)算。正、余弦定理的各樣表達(dá)形式你還記得嗎？怎樣實(shí)現(xiàn)邊、角轉(zhuǎn)變，而解斜三角形？（應(yīng)用：已知兩邊一夾角求第三邊；已知三邊求角。）35用反三角函數(shù)表示角時(shí)要注意角的范圍。不等式的性質(zhì)有哪些？答案：C利用均值不等式：值？（一正、二定、三相等）注意以下結(jié)論：36不等式證明的基本方法都掌握了嗎？（比較法、剖析法、綜合法、數(shù)學(xué)概括法等）并注意簡(jiǎn)單放縮法的應(yīng)用。（移項(xiàng)通分，分子分母因式分解，x的系數(shù)變?yōu)?，穿軸法解得結(jié)果。）38.用“穿軸法”解高次不等式——“奇穿，偶切”，從最大根的右上方開(kāi)始解含有參數(shù)的不等式要注意對(duì)字母參數(shù)的討論對(duì)含有兩個(gè)絕對(duì)值的不等式怎樣去解？（找零點(diǎn)，分段討論，去掉絕對(duì)值符號(hào)，最后取各段的并集。）37證明：（按不等號(hào)方向放縮）不等式恒建立問(wèn)題，常用的辦理方式是什么？（可轉(zhuǎn)變?yōu)樽钪祮?wèn)題，或“△”問(wèn)題）等差數(shù)列的定義與性質(zhì)的二次函數(shù)）項(xiàng)，即：38等比數(shù)列的定義與性質(zhì)你熟悉求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法嗎？比方：（1）求差（商）法解：［練習(xí)］2）疊乘法解：3）等差型遞推公式39［練習(xí)］（4）等比型遞推公式［練習(xí)］（5）倒數(shù)法你熟悉求數(shù)列前n項(xiàng)和的常用方法嗎？比方：（1）裂項(xiàng)法：把數(shù)列各項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)之和，使之出現(xiàn)