ch1線性代數(shù)課件1

線性代數(shù)電話：210室1考試及要求2.期末閉卷考試，總評比例：8:23.平時成績采取扣分制。1.本門課共2.5個學分關于平時分的規(guī)定：一、曠課1次扣1分；早退、第二節(jié)才來上課的算曠課；二、曠課超過本學期總課時的1/3者，取消考試資格；三、遲到、說話、睡覺、接打手機每次扣1分；四、擾亂秩序，扣5分；五、每少交一次作業(yè)，扣1分，抄襲作業(yè)一次扣2分。5.答疑：每周二下午2:30--5:00在二教一樓休息室。4.助教信息：班級姓名電話保學0901-0902，金融0905-0906施會強國貿(mào)0902-0904何井森李達0903，國碩0901劉端亮金融0901-0904陳亮一元一次方程

ax=b一元二次方程二元、三元線性方程組行列式矩陣及其運算矩陣的初等變換與線性方程組向量組的線性相關性矩陣的特征值和特征向量二次型第一章行列式§1二階與三階行列式§2全排列及其逆序數(shù)§3n階行列式的定義§4對換§5行列式的性質(zhì)§6行列式按行（列）展開§7Cramer法則71．理解n個元素的全排列及其逆序數(shù)的定義。2．理解n階行列式的定義，熟練掌握行列式的性質(zhì)，會用行列式的有關性質(zhì)化簡、計算行列式。3．熟練掌握把一般行列式化簡為上（下）三角形行列式的方法。本章學習要求：~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~對于概念和理論方面的內(nèi)容，從高到低分別用“理解”、“了解”、“知道”三級來表述；對于方法，運算和能力方面的內(nèi)容，從高到低分別用“熟練掌握”、“掌握”、“能”（或“會”）三級來表述。84．會求n階行列式中元素的代數(shù)余子式，并熟練掌握行列式按某行（列）展開的方法。5．能熟練應用克拉默法則判定線性方程組解的存在性、唯一性及求出方程組的解。本章學習要求：~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~對于概念和理論方面的內(nèi)容，從高到低分別用“理解”、“了解”、“知道”三級來表述；對于方法，運算和能力方面的內(nèi)容，從高到低分別用“熟練掌握”、“掌握”、“能”（或“會”）三級來表述。9一元一次方程ax=b當a≠0時，二元（三元）線性方程組例解二元線性方程組得于是類似地，可得于是§1二階與三階行列式10線性方程組消去x2,的兩邊后,兩式相加得消元法11記稱它為二階行列式，于是，線性方組（1）的解可以寫為定義為類似地，可得12類似的，我們還可以定義三階行列式為13n

階排列共有n!個.排列的逆序數(shù)§2全排列及其逆序數(shù)把1,2,……,n

排成一列，稱為一個

n

階全排列.奇排列

逆序數(shù)為奇數(shù)的排列.在一個排列中如果一對數(shù)的前后位置與大小次序相反就說有例1排列1

2……n

稱為自然排列，所以是偶排列.一個逆序.偶排列

一個排列中所有逆序的總數(shù).逆序數(shù)為偶數(shù)的排列.

它的逆序數(shù)為0，三階排列共有3×2×1=3!個.記為14例2排列3251

4的逆序數(shù)為(３２５１４)例3排列n(n?1)…321的逆序數(shù)為

(n(n?1)…321)排列32514為奇排列.＝2＋１＋2＋0＋0＝

5

=(n?1)+(n?2)+…+2+115三階行列式定義為§3n階行列式的定義三階行列式是

3!=6

項的代數(shù)和.123231312132213321(123)=0(231)=2(312)=2(132)=1(213)=1(321)=316三階行列式可以寫成數(shù)17

定義由n2個數(shù)組成的數(shù)表，稱為n

階行列式,項的代數(shù)和，

即

規(guī)定為所有形如記成數(shù)18例

1簡記為：稱為下三角行列式19例2下三角行列式例3

三階行列式上三角行列式呢？問：20

例5n

階行列式

例4四階行列式21經(jīng)對換a與b,得排列

所以，經(jīng)一次相鄰對換，排列改變奇偶性.§4對換

對換

定理1一個排列中的任意兩個元素對換，排列改變奇偶性.

證先證相鄰對換的情形.

那么設排列經(jīng)對換a與b排列，得排列

相鄰對換再證一般對換的情形.設排列22事實上，排列（1）經(jīng)過2m+1

次相鄰對換變?yōu)榕帕校?）.

定理2

n

階行列式也可以定義為根據(jù)相鄰對換的情形及2m+1

是奇數(shù)，性相反.所以這兩個排列的奇偶23

53142解(53142)=4+2+0+1+0=7(53412)=4+2+2+0+0=8

53412求這兩個排列的逆序數(shù).經(jīng)對換1與4得排列例1排列241.選擇i與

k使（1）25i1k成偶排列;（2）25i1k成奇排列.若是，指出應冠以的符號

3.計算n

階行列式練習25行列式中的項.1.（1）i=4,k=3時，即排列25413

為偶排列；（2）i=3,k=4時，即排列25314

為奇排列.26

性質(zhì)1

§5行列式的性質(zhì)行列式與它的轉置行列式相等.設行列式DT

稱為行列式

D

的轉置行列式.記那么27=

性質(zhì)2

推論

兩行（列）相同的行列式值為零.互換行列式的兩行（列），行列式變號.

設行列式D=det(aij)互換第i,j(i＜j)兩行,得行列式

性質(zhì)2的證明28其中，當k≠i,j

時,bkp=akp;當k=i,j

時，bip=ajp,,bjp=aip,其中,1…i…j…n是自然排列,所以于是=?D29數(shù)k,

推論行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符號性質(zhì)3

等于用數(shù)

k

乘此行列式.行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以同一個外面.30例331

性質(zhì)4

式等于零.行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列

例5=032若行列式的某一列（行）的元素都是兩個元素和，

例如則此行列式等于兩個行列式之和.性質(zhì)533例634把行列式的某行（列）的各元素同一倍數(shù)后加到另一行（列）的對應元素上去，行列式的值不變.性質(zhì)635

r2-r1=例7

例8計算行列式36

解r2-r1,r3-3r1,r4-r1

例8計算行列式37

r2÷2

r3+r2,r4-2r238

r4÷(-3),r3←→r4

r4+3r339

例9計算行列式

解從第4行開始，后行減前行得，40

例10計算行列式

解各行都加到第一行，41

各行都減第一行的x倍第一行提取公因子(a+3x)42

§6行列式按行（列）展開

在

n

階行列式det(aij)中，把元素aij

所在的第

i行和第j

列

Aij=(?1)i+jMij

記成Mij

,

稱為元素aij

的余子式.

稱它為元素aij

的代數(shù)余子式.

劃去,剩下的(n?1)2

個元素按原來的排法構成的n?1階行列式,

記

例1三階行列式中元素a23的余子式為43元素a23的代數(shù)余子式為

例2四階行列式中元素x的代數(shù)余子式為=544

行列式某一行（列）的元素與另一行（列）的對應元

或

行列式等于它的任意一行（列）的各元素與其對應

或的代數(shù)余子式乘積之和，即素的代數(shù)余子式乘積之和等于零.即定理3推論45

引理在行列式D中，如果它的第

i行中除

aij

外其余元素都為0,即

D=aijAij那么證明先證aij位于第1行，第1

列的情形，即46由行列式的定義，得再證一般情形，設用互換相鄰兩行和相鄰兩列，把aij

調(diào)到左上角，得行列式47利用前面的結果，得于是所以引理成立.48

定理3

行列式等于它的任意一行（列）的各元素與其對應

證因為

或的代數(shù)余子式乘積之和，即49椐引理，就得到類似地可得50

例3計算四階行列式解按第

1列展開，有51例4計算四階行列式解按第1

行展開，有52對等式右端的兩個

3

階行列式都按第3

行展開，得解c3-c1c4-2c1例5計算四階行列式53第1行提取2，第2行提取?1按第2行展開得54按第

1

行展開

r2+r1=?24c2-c1

，c3-c155

例6證明范德蒙（Vandermonde

）行列式證用數(shù)學歸納法.所以當n=2時（*）式成立.

假設對于n–1

階范德蒙

ri–x1ri-1

,i=n,n–1,…2,有因為對

n階范德蒙行列式做運算行列式等式成立.56按第1列展開后，各列提取公因子(xi-x1)

得57椐歸納法假設，可得歸納法完成.例7計算行列式58解例7計算行列式59

推論行列式某一行（列）的元素與另一行（列）的對應元

或元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零.即60先以3階行列式為例，例如為了證得因為所以又61