21控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

引言定義：控制系統(tǒng)的輸入和輸出之間動(dòng)態(tài)關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式即為數(shù)學(xué)模型。用途：1）分析實(shí)際系統(tǒng)2）預(yù)測(cè)物理量3）設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型1表達(dá)形式時(shí)域：微分方程、差分方程、狀態(tài)方程復(fù)域：傳遞函數(shù)、動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖頻域：頻率特性線性系統(tǒng)傳遞函數(shù)微分方程頻率特性拉氏變換傅氏變換2本章主要內(nèi)容：2.1建立數(shù)學(xué)模型的一般方法2.2傳遞函數(shù)2.3動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖及等效變換2.4信號(hào)流圖及梅遜公式2.5控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)3基本要求1.了解建立系統(tǒng)動(dòng)態(tài)微分方程的一般方法。2.熟悉拉氏變換的基本法則及典型函數(shù)的拉氏變換形式。3.掌握用拉氏變換求解微分方程的方法。4.掌握傳遞函數(shù)的概念及性質(zhì)。5.掌握典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)形式。返回子目錄46.掌握由系統(tǒng)微分方程組建立動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖的方法。7.掌握用動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖等效變換求傳遞函數(shù)和用梅森公式求傳遞函數(shù)的方法。8.掌握系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)、閉環(huán)傳遞函數(shù)，對(duì)參考輸入和對(duì)干擾的系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)及誤差傳遞函數(shù)的概念。5分析和設(shè)計(jì)任何一個(gè)控制系統(tǒng)，首要任務(wù)是建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是描述系統(tǒng)輸入、輸出變量以及內(nèi)部各變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。建立數(shù)學(xué)模型的方法分為解析法和實(shí)驗(yàn)法6解析法：依據(jù)系統(tǒng)及元件各變量之間所遵循的物理、化學(xué)定律列寫出變量間的數(shù)學(xué)表達(dá)式，并實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。實(shí)驗(yàn)法：對(duì)系統(tǒng)或元件輸入一定形式的信號(hào)（階躍信號(hào)、單位脈沖信號(hào)、正弦信號(hào)等），根據(jù)系統(tǒng)或元件的輸出響應(yīng)，經(jīng)過(guò)數(shù)據(jù)處理而辨識(shí)出系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。7總結(jié)：解析方法適用于簡(jiǎn)單、典型、常見(jiàn)的系統(tǒng)，而實(shí)驗(yàn)方法適用于復(fù)雜、非常見(jiàn)的系統(tǒng)。實(shí)際上常常是把這兩種方法結(jié)合起來(lái)建立數(shù)學(xué)模型更為有效。82.1建立數(shù)學(xué)模型的一般方法例1：如圖所示的RLC電路，試建立以電容上電壓uc(t)為輸出變量，輸入電壓ur(t)為輸入變量的運(yùn)動(dòng)方程。RLCur(t)uc(t)i(t)9依據(jù)：電學(xué)中的基爾霍夫定律

由（2）代入（1）得：消去中間變量i(t)（兩邊求導(dǎo)）10例2.機(jī)械位移系統(tǒng)物體在外力F(t)作用下產(chǎn)生位移y(t)，寫出運(yùn)動(dòng)方程。mkF(t)位移y(t)彈簧阻尼系數(shù)f阻尼器輸入F(t)，輸出y(t)理論依據(jù)牛頓第二定律——物體所受的合外力等于物體質(zhì)量與加速度的乘積11mF1(彈簧的拉力)F(t)外力F2阻尼器的阻力12根據(jù)上述的例子，可以得到列寫系統(tǒng)微分方程的一般步驟：1）確定系統(tǒng)的輸入、輸出變量；2）根據(jù)已知的物理或化學(xué)定律，寫出運(yùn)動(dòng)過(guò)程的微分方程；3）消去中間變量，寫出輸入、輸出變量的微分方程；4）整理，與輸入有關(guān)的放在等號(hào)右面，與輸出有關(guān)的放在等號(hào)左面，并按照降階次進(jìn)行排列。13許多表面上看來(lái)似乎毫無(wú)共同之處的控制系統(tǒng)，其運(yùn)動(dòng)規(guī)律可能完全一樣，可以用一個(gè)運(yùn)動(dòng)方程來(lái)表示，稱它們?yōu)榻Y(jié)構(gòu)相似系統(tǒng)。上例的機(jī)械平移系統(tǒng)和RLC電路就可以用同一個(gè)數(shù)學(xué)表達(dá)式分析，具有相同的數(shù)學(xué)模型。142.2.3用拉氏變換求解線性常系數(shù)微分方程

線性常系數(shù)微分方程的求解可以采用拉氏變換法。求解過(guò)程如下：

1．對(duì)微分方程進(jìn)行拉氏變換，得到以s為變量的代數(shù)方程，又稱變換方程。2．將輸入量和初始條件代入變換方程進(jìn)行求解，得到輸出量的拉氏變換函數(shù)表達(dá)式。3．將輸出量的拉氏變換函數(shù)表達(dá)式化為部分分式。4．對(duì)部分分式進(jìn)行拉氏反變換，得到輸出量的時(shí)域表達(dá)式，即為微分方程的全解。15自動(dòng)控制原理數(shù)學(xué)基礎(chǔ)－－

拉普拉斯變換16附拉普拉斯變換1、拉普拉斯變換的定義2、一些特殊函數(shù)的拉普拉斯變換3、拉普拉斯變換定理4、拉普拉斯變換反變換171.拉普拉斯變換的定義1.1復(fù)變量和復(fù)變函數(shù)一個(gè)復(fù)數(shù)包括實(shí)部和虛部，如果實(shí)部和虛部都是變量，則稱其為復(fù)變量。在拉氏變換中，復(fù)變量用符號(hào)s表示，表示一個(gè)復(fù)變函數(shù)F(s)是s的函數(shù)，它具有實(shí)部和虛部18F(s)的幅值為如果在某一域內(nèi)，復(fù)變函數(shù)F(s)及其所有階導(dǎo)數(shù)都存在，則稱該復(fù)變函數(shù)F(s)在該域內(nèi)是解析的。一個(gè)復(fù)變函數(shù)F(s)是解析的，當(dāng)且僅當(dāng)滿足如下的柯西－黎曼條件相角為角度從實(shí)軸開(kāi)始，沿逆時(shí)針計(jì)算19在s平面上，使函數(shù)F(s)解析的點(diǎn)稱為正常點(diǎn)，使F(s)為非解析的點(diǎn)稱為奇點(diǎn)使F(s)及其導(dǎo)數(shù)趨于無(wú)窮大的奇點(diǎn)稱為極點(diǎn)使F(s)=0的點(diǎn)叫做零點(diǎn)且p1為2階極點(diǎn)極點(diǎn)為例如零點(diǎn)為201.2拉普拉斯變換的定義由拉氏變換F(s)求時(shí)間函數(shù)f(t)的反變換過(guò)程稱為拉普拉斯反變換，定義為其中常數(shù)c選擇的比F(s)的所有奇點(diǎn)的實(shí)部都大。若f(t)是時(shí)間t的函數(shù)，且t<0時(shí)，f(t)=0;s是復(fù)變量則f(t)的拉氏變換F(s)定義為212.一些特殊函數(shù)的拉普拉斯變換223.拉氏變換性質(zhì)3.1實(shí)微分定理設(shè)的拉氏變換為233.2積分定理3.3與相乘不定積分定積分243.4延遲定理3.5復(fù)微分定理253.6卷積定理3.7初值定理3.8終值定理卷積若存在264.拉普拉斯反變換4.1求拉普拉斯變換的展開(kāi)式拉氏變換常以如下形式出現(xiàn)如果F(s)被分解成下列分量并且F1(s),F2(s),…,Fn(s)的拉普拉斯反變換可以容易得到，則274.2只包含不同極點(diǎn)的部分分式展開(kāi)考慮下列因式形式的F(s)如果F(s)只包含不同的極點(diǎn)，則F(s)可展開(kāi)成為下列簡(jiǎn)單的部分分式之和：系數(shù)ak叫做極點(diǎn)s=-pk上的留數(shù)，留數(shù)ak可由下式?jīng)Q定28例：求函數(shù)F(s)的拉氏逆變換解：該式可以分解為如下形式其中29所以其對(duì)應(yīng)的拉氏逆變換為304.3包含多重極點(diǎn)的F(s)部分展開(kāi)通過(guò)例子說(shuō)明F(s)的部分展開(kāi)式包括三項(xiàng)式中b1,b2,b3可確定如下31所以其拉氏逆變換為32例3

求得RLC無(wú)源網(wǎng)絡(luò)的輸入輸出微分方程

已知求輸出電壓對(duì)微分方程兩邊進(jìn)行拉氏變換

解：

332.2傳遞函數(shù)（transferfunction）用微分方程來(lái)描述系統(tǒng)比較直觀，但是一旦系統(tǒng)中某個(gè)參數(shù)發(fā)生變化或者結(jié)構(gòu)發(fā)生變化，就需要重新排列微分方程，不便于系統(tǒng)的分析與設(shè)計(jì)。為此提出傳遞函數(shù)的概念。一、傳遞函數(shù)的定義和概念以上一節(jié)例（1）RLC電路的微分方程為例：34設(shè)初始狀態(tài)為零，對(duì)上式進(jìn)行拉氏變換，得到：G(s)R(s))C(s))35定義：零初始條件下，系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與輸入量拉氏變換的比值稱為該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，用G(s)表示。一般形式：設(shè)線性定常系統(tǒng)（元件）的微分方程是：36

y(t)為系統(tǒng)的輸出，r(t)為系統(tǒng)輸入，則零初始條件下，對(duì)上式兩邊取拉氏變換，得到系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：分母中s的最高階次n即為系統(tǒng)的階次。37因?yàn)榻M成系統(tǒng)的元部件或多或少存在慣性，所以G(s)的分母階次大于等于分子階次，即,是有理真分式，若m>n,我們就說(shuō)這是物理不可實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)。38二、傳遞函數(shù)的性質(zhì)(1)傳遞函數(shù)是一種數(shù)學(xué)模型，是對(duì)微分方程在零初始條件下進(jìn)行拉氏變換得到的；(2)傳遞函數(shù)與微分方程一一對(duì)應(yīng)；(3)傳遞函數(shù)描述了系統(tǒng)的外部特性。不反映系統(tǒng)的內(nèi)部物理結(jié)構(gòu)的有關(guān)信息；(4)傳遞函數(shù)只取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)參數(shù)，而與輸入和初始條件等外部因素?zé)o關(guān)；(5)傳遞函數(shù)與系統(tǒng)的輸入輸出的位置有關(guān)；(6)傳遞函數(shù)一旦確定，系統(tǒng)在一定的輸入信號(hào)下的動(dòng)態(tài)特性就確定了。39三、典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)

1）比例環(huán)節(jié)：其輸出量和輸入量的關(guān)系，由下面的代數(shù)方程式來(lái)表示式中——環(huán)節(jié)的放大系數(shù)，為一常數(shù)。傳遞函數(shù)為：特點(diǎn)：輸入輸出量成比例，無(wú)失真和時(shí)間延遲。40比例環(huán)節(jié)實(shí)例：電子放大器，齒輪，電阻(電位器)，感應(yīng)式變送器等412）慣性環(huán)節(jié)：其輸出量和輸入量的關(guān)系，由下面的常系數(shù)非齊次微分方程式來(lái)表示傳遞函數(shù)為：式中T

——環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)。特點(diǎn)：含一個(gè)儲(chǔ)能元件，對(duì)突變的輸入,其輸出不能立即發(fā)現(xiàn)，輸出無(wú)振蕩。

實(shí)例：RC網(wǎng)絡(luò)，直流伺服電動(dòng)機(jī)的傳遞函數(shù)也包含這一環(huán)節(jié)423）積分環(huán)節(jié)：其輸出量和輸入量的關(guān)系，由下面的微分方程式來(lái)表示傳遞函數(shù)為：特點(diǎn)：輸出量與輸入量的積分成正比例，當(dāng)輸入消失，輸出具有記憶功能。實(shí)例：電動(dòng)機(jī)角速度與角度間的傳遞函數(shù)，模擬計(jì)算機(jī)中的積分器等。434）微分環(huán)節(jié)：是積分的逆運(yùn)算，其輸出量和輸入量的關(guān)系，由下式來(lái)表示傳遞函數(shù)為：式中——環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)。特點(diǎn)：輸出量正比輸入量變化的速度，能預(yù)示輸入信號(hào)的變化趨勢(shì)。實(shí)例：測(cè)速發(fā)電機(jī)輸出電壓與輸入角度間的傳遞函數(shù)即為微分環(huán)節(jié)445）振蕩環(huán)節(jié)：其輸出量和輸入量的關(guān)系，由下面的二階微分方程式來(lái)表示。傳遞函數(shù)為：特點(diǎn)：環(huán)節(jié)中有兩個(gè)獨(dú)立的儲(chǔ)能元件，并可進(jìn)行能量交換，其輸出出現(xiàn)振蕩。實(shí)例：RLC電路的輸出與輸入電壓間的傳遞函數(shù)。456）延遲環(huán)節(jié)：其輸出量和輸入量的關(guān)系，由下式來(lái)表示傳遞函數(shù)為：式中——延遲時(shí)間特點(diǎn)：輸出量能準(zhǔn)確復(fù)現(xiàn)輸入量，但須延遲一固定的時(shí)間間隔。實(shí)例：管道壓力、流量等物理量的控制，其數(shù)學(xué)模型就包含有延遲環(huán)節(jié)。46以上6種是常見(jiàn)的基本典型環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)模型1）是按數(shù)學(xué)模型的共性建立的，與系統(tǒng)元件不是一一對(duì)應(yīng)的；2）同一元件，取不同的輸入輸出量，有不同的傳遞函數(shù)；3）環(huán)節(jié)是相對(duì)的，一定條件下可以轉(zhuǎn)化；4）基本環(huán)節(jié)適合線性定常系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型描述。472.3動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖及等效變換一、動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖的組成1、信號(hào)線：有箭頭的直線，箭頭表示信號(hào)傳遞方向。2、引出點(diǎn)：信號(hào)引出或測(cè)量的位置。從同一信號(hào)線上引出的信號(hào)，數(shù)值和性質(zhì)完全相同483、綜合點(diǎn)：對(duì)兩個(gè)或兩個(gè)以上的信號(hào)進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，“＋”表示相加，常省略，“－”表示相減。4、方框：表示典型環(huán)節(jié)或其組合，框內(nèi)為對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)，兩側(cè)為輸入、輸出信號(hào)線。49二、動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖的建立例：建立如圖所示的雙T網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖。501）建立各元件的微分方程512）將各元件的微分方程進(jìn)行拉氏變換，并改寫成以下相乘形式523）繪出系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖按照變量的傳遞順序，依次將各元件的結(jié)構(gòu)圖連接起來(lái)作用：1）直觀形象的分析變量之間的關(guān)系2）方便求解傳遞函數(shù)53三、典型連接方式及等效變換X1(s)G1(s)G2(s)X(s)Y(s)G(s)X(s)Y(s)1、串聯(lián)及等效542、并聯(lián)及等效X(s)G2(s)G1(s)Y1(s)Y2(s)Y(S)G(s)X(s)Y(s)553、反饋及等效G(s)H(s)E(s)R(s)Y(s)R(s)Y(s)56四、等效移動(dòng)規(guī)則1、引出點(diǎn)的移動(dòng)G(S)G(S)X1X2X2X2X1X2G(S)G(S)X2X1X1G(S)1/G(S)X1X2X11）前移2）后移在移動(dòng)支路中串入所越過(guò)的傳遞函數(shù)的倒數(shù)方框

在移動(dòng)支路中串入所越過(guò)的傳遞函數(shù)方框572、綜合點(diǎn)的移動(dòng)1）后移2）前移在移動(dòng)支路中串入所越過(guò)的傳遞函數(shù)的倒數(shù)方框

在移動(dòng)支路中串入所越過(guò)的傳遞函數(shù)方框G(S)1/G(S)X1X2X3-G(S)X1X2X3-x2x3x1G(s)G(s)G(s)x1x2x3582、綜合點(diǎn)的移動(dòng)3）相鄰綜合點(diǎn)移動(dòng)相鄰綜合點(diǎn)之間可以隨意調(diào)換位置

x1Yx2x3x1Yx2x3注意：相鄰引出點(diǎn)和綜合點(diǎn)之間不能互換!59例：試簡(jiǎn)化系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，并求系統(tǒng)傳遞函數(shù)。60方法1:引出點(diǎn)后移例：試簡(jiǎn)化系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，并求系統(tǒng)傳遞函數(shù)。61例：試簡(jiǎn)化系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，并求系統(tǒng)傳遞函數(shù)。方法2:引出點(diǎn)前移62支路：表示變量之間的傳輸關(guān)系。2.4信號(hào)流圖及梅遜公式一、信流圖的基本概念節(jié)點(diǎn)：表示系統(tǒng)中的變量。信號(hào)流圖是一種表示線性化代數(shù)方程組變量間關(guān)系的圖示方法。信號(hào)流圖由節(jié)點(diǎn)和支路組成。x1x4x3x2abc163信流圖的基本術(shù)語(yǔ)1、源節(jié)點(diǎn)：只有輸出支路，沒(méi)有輸入支路的節(jié)點(diǎn)稱為源點(diǎn)，它對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)的輸入信號(hào)，或稱為輸入節(jié)點(diǎn)。2、匯節(jié)點(diǎn)：只有輸入支路，沒(méi)有輸出支路的節(jié)點(diǎn)稱為阱點(diǎn)，它對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)的輸出信號(hào)，或稱為輸出節(jié)點(diǎn)。3、混合節(jié)點(diǎn)：既有輸入支點(diǎn)也有輸出支點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)稱為混合節(jié)點(diǎn)。輸入節(jié)點(diǎn)（源點(diǎn)）輸出節(jié)點(diǎn)（匯點(diǎn)）輸入節(jié)點(diǎn)（源點(diǎn)）644、通道：從某一節(jié)點(diǎn)開(kāi)始沿支路箭頭方向經(jīng)過(guò)各相連支路到另一節(jié)點(diǎn)（或同一節(jié)點(diǎn)）構(gòu)成的路徑稱為通道。5、開(kāi)通道：與任一節(jié)點(diǎn)相交不多于一次的通路稱為開(kāi)通道。6、閉通道：如果通道的終點(diǎn)就是通道的起點(diǎn)，并且與任何其他節(jié)點(diǎn)相交不多于一次的稱為閉通道或稱為回環(huán)。7、回環(huán)增益：回環(huán)中各支路傳輸?shù)某朔e稱為回環(huán)增益。8、前向通道：