彎曲應(yīng)力及剪力流

彎曲應(yīng)力及剪力流第1頁/共125頁2

梁的彎曲正應(yīng)力梁的彎曲切應(yīng)力梁的強度分析與設(shè)計彎拉(壓)組合問題本章主要研究：第2頁/共125頁3FBCA伽利略：關(guān)于力學(xué)和局部運動的兩門新科學(xué)的對話和數(shù)學(xué)證明，1638.一、歷史回顧§6-1

引言第3頁/共125頁4建立了“實驗觀測——假設(shè)——分析與推導(dǎo)”的現(xiàn)代科學(xué)研究方法

無中性軸概念——受當(dāng)時實驗觀測的局限

靜力不平衡——19世紀(jì)初才由L.Poinsot以靜力學(xué)公理明確闡明剛體上力系的簡化與平衡伽利略開創(chuàng)性研究的評述2.局限性1.開創(chuàng)性FBCA第4頁/共125頁5錯誤原因：下圖公式中S應(yīng)由代替。已意識到中性軸的概念，離正確結(jié)論僅一步之差。錯誤結(jié)論：中性軸位置無關(guān)緊要。馬略特（1680）的研究F設(shè)，以B點為矩心中圖：

下圖：

D為矩心，F(xiàn)BFD第5頁/共125頁6

相關(guān)梁應(yīng)力研究歷史：1620，荷蘭I.Beeckman：梁一側(cè)纖維伸長，一側(cè)縮短1678，Hooke:梁凸面纖維伸長，凹面縮短1702，P.Varignon:纖維拉力沿截面曲線變化（同樣忽略壓縮變形）1654-1705，Bernoull:中性軸位置無關(guān)緊要1713，Parent.A:指出應(yīng)靜力平衡，學(xué)說長期埋沒

……1813，Navier:中性軸位置無關(guān)緊要1826，Navier:正確應(yīng)用靜力平衡方程，中性軸過形心第6頁/共125頁7三、梁橫截面上的彎曲應(yīng)力彎曲正應(yīng)力彎曲切應(yīng)力四、對稱彎曲對稱截面梁具有對稱截面，且在縱向?qū)ΨQ面承受橫向外力（或外力的合力）時的受力與變形形式。二、組合變形桿件的一般變形通?？煞纸鉃槔瓑?、扭轉(zhuǎn)與彎曲變形的兩種或三種基本變形的組合。第7頁/共125頁8五、純彎曲與橫力彎曲六、對稱純彎曲

梁或梁段各橫截面剪力為零、彎矩為常數(shù)的受力狀態(tài)稱為純彎曲；既有剪力又有彎矩則稱為橫力彎曲。七、問題靜不定性質(zhì)連續(xù)體的靜不定問題八、分析方法從簡單到復(fù)雜，即從對稱純彎曲、到一般橫力彎曲、再到組合變形進行研究。連續(xù)體的靜不定問題，綜合幾何、物理和靜力學(xué)三方面進行研究第8頁/共125頁9一、實驗觀測與假設(shè)（動畫）縱向線：成圓弧線,上方縱向線縮短，下方伸長橫向線：保持直線，與橫線正交頂與底部縱、橫線變形比：符合單向受力泊松效應(yīng)單向受力假設(shè)平面假設(shè)：變形后橫截面保持平面，仍與縱線正交2.內(nèi)部變形假設(shè)§6-2

彎曲正應(yīng)力1.外部變形觀測第9頁/共125頁103.重要推論縱向纖維縮短縱向纖維伸長

梁內(nèi)存在一長度不變的過渡層－中性層

中性軸⊥截面縱向?qū)ΨQ軸

變形過程中橫各截面繞中性軸相對轉(zhuǎn)動第10頁/共125頁111.幾何方面考察線段ab的變形：變形前：變形后：二、彎曲正應(yīng)力一般公式y(tǒng)z中性軸dqra’b’dx中性層aby第11頁/共125頁122.物理方面由胡克定律和單向受力假設(shè)：y

—坐標(biāo)原點位于中性軸，r

—中性層的曲率半徑中性軸位置？r的大小?3.靜力學(xué)方面MsdA定義中性軸過形心確定r第12頁/共125頁13三、最大彎曲正應(yīng)力定義（抗彎截面系數(shù)）正應(yīng)力沿截面如何分布？第13頁/共125頁14截面典型截面的慣性矩與抗彎截面系數(shù)第14頁/共125頁15例

2-1

已知：鋼帶厚d=2mm,寬b=6mm,D=1400mm,E=200GPa。計算：帶內(nèi)的smax與M解：1.

問題分析應(yīng)力～變形關(guān)系：內(nèi)力～變形或內(nèi)力～應(yīng)力關(guān)系：已知r=(D+d)/2,E,

截面尺寸，可應(yīng)用下述關(guān)系求應(yīng)力與內(nèi)力或第15頁/共125頁162.應(yīng)力計算3.彎矩計算或第16頁/共125頁17

梁的彎曲正應(yīng)力小結(jié)中性軸過截面形心

中性軸位置：

正應(yīng)力公式：中性層曲率：，對稱彎曲

,純彎與非純彎

應(yīng)用條件：第17頁/共125頁18附錄A

截面幾何性質(zhì)截面的幾何性質(zhì)與構(gòu)件的力學(xué)性能有何關(guān)聯(lián)？如何描述截面的幾何性質(zhì)？截面的幾何性質(zhì)：與截面形狀與尺寸有關(guān)的量第18頁/共125頁19拉壓：扭轉(zhuǎn)：彎曲：A,IP,WP,Iz,Wz——表征截面幾何性質(zhì)的量

我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了哪些截面的幾何性質(zhì)？第19頁/共125頁20A-1靜矩與形心一、靜矩zyoyzdA積分分別稱為對坐標(biāo)軸x和y的靜矩或一次矩。靜矩的量綱：第20頁/共125頁21二.形心回顧理論力學(xué)的質(zhì)心計算公式：zyoyzdA●Czcyc均質(zhì)等厚薄板質(zhì)心位于中面形心靜矩：或如果截面對某軸的靜矩為零，則該軸為形心軸。

形心軸：通過截面形心的坐標(biāo)軸。第21頁/共125頁22三、組合截面的靜矩與形心zyoA1A2A3zyoA1A2負(fù)面積法第22頁/共125頁23例：

確定下圖所示截面的形心位置60105050解：將截面分為兩部分，利用組合截面的公式：yzA1A2O第23頁/共125頁24A-2極慣性矩·慣性矩·慣性積zyOyzdAr一、截面對o點的極慣性矩或二次極矩二、截面對z軸或y軸的慣性矩或二次軸矩三、一個恒等式第24頁/共125頁25zyoyzdAr五、截面對z軸或y軸的慣性半徑四、截面對z軸與y軸的慣性積六、慣性矩與慣性積的組合截面公式zyoA1A2A3第25頁/共125頁26A-3慣性矩與慣性積的平行移軸定理一、慣性矩的平行移軸定理Cy0z0－形心直角坐標(biāo)系Oyz－任意直角坐標(biāo)系二者平行同理:第26頁/共125頁27Cy0z0－形心直角坐標(biāo)系Oyz－任意直角坐標(biāo)系二者平行二、慣性積的平行移軸定理第27頁/共125頁28例：求下圖所示截面對z方向形心軸的慣性矩yz100100101020201、求全截面形心軸位置2、求對個部分自身形心軸的慣性矩A4A1A2A3z0解：方法一，如圖將截面劃分四塊3、求對全截面形心軸慣性矩方法二：負(fù)面積法。自行完成第28頁/共125頁29思考：下列計算是否正確？其中C是截面形心。解：不正確。

因為

Z1

不是形心軸Ca第29頁/共125頁30a：始邊-y軸，為正A-4轉(zhuǎn)軸公式與主慣性矩一、轉(zhuǎn)軸公式從公式，你發(fā)現(xiàn)了那些規(guī)律？第30頁/共125頁31二、主軸與主慣性矩令主形心軸主形心軸結(jié)論：在以o點為原點的所有坐標(biāo)系中，一定存在一直角坐標(biāo)系，截面對其坐標(biāo)軸的慣性積為零。主軸:滿足慣性積為零的坐標(biāo)軸

主慣性矩:對主軸的慣性矩

主形心軸與主形心慣性矩第31頁/共125頁32例:

l=1m,b=30m,t=5mm,=-0.001,=0.0005,E=200GPa,求1、梁內(nèi)的絕對值最大正應(yīng)力；

2、梁底部縱向總伸長量；

3、高度h的大小；

4、載荷q之值。C第32頁/共125頁33解：1、求絕對值最大正應(yīng)力可由應(yīng)變與彎矩的正比關(guān)系確定最大應(yīng)變，再由應(yīng)變求應(yīng)力。先畫剪力彎矩圖。3l/8分析：但均未知由知正應(yīng)力、正應(yīng)變最大值發(fā)生在H截面。第33頁/共125頁343l/8（2）絕對值最大正應(yīng)變（3）絕對值最大正應(yīng)力第34頁/共125頁352、計算底部縱向總伸長（1）彎矩方程（2）底部應(yīng)變由于e

與M成正比，可設(shè)分析：由需應(yīng)變方程，但只知一點應(yīng)變，怎么辦？應(yīng)變方程與彎矩方程的函數(shù)關(guān)系相同：第35頁/共125頁36（4）底部縱向總伸長量（3）底部縱向應(yīng)變方程第36頁/共125頁37C3、計算高度h截面對形心軸的靜矩為零分析：已知b,t,

未知h1,h2，需由兩個條件決定。第一個條件第二個條件第37頁/共125頁38C由截面對形心軸的靜矩為零代入：b=30mm,t=5mm（舍去）解得：第38頁/共125頁394、計算載荷q第39頁/共125頁40作業(yè)Ⅱ版：6-1，6-3，6-8，A-8cⅢ版：6-1，6-3，6-8，A-9c第40頁/共125頁41上一講回顧（12）梁變形與受力假設(shè)：平面假設(shè)，單向受力假設(shè)。正應(yīng)力公式：最大正應(yīng)力：靜矩：慣性矩與慣性積：平行移軸定理與轉(zhuǎn)軸公式第41頁/共125頁42§6-3

彎曲切應(yīng)力引言：問題的提出19世紀(jì)，鐵路開始發(fā)展，人們很不理解，枕木為什么沿縱向中截面開裂？梁的應(yīng)力第42頁/共125頁43

D.JJourawski(1821－1891)，俄國橋梁與鐵路工程師提出破壞原因：中性層切應(yīng)力最大Jourawski理論的廣泛工程應(yīng)用（矛盾解法的意義）梁中切應(yīng)力近似理論：Todhunter與Pearson極其苛刻評語，Timoshenko評價Saint－Venant梁中切應(yīng)力精確理論僅用于很少幾種實際情況FFq第43頁/共125頁44工程薄壁結(jié)構(gòu)的大量使用是彎曲切應(yīng)力研究的推動力第44頁/共125頁45§6-3

彎曲切應(yīng)力假設(shè):t

(y)

//

截面?zhèn)冗?，并沿截面寬度均勻分布思?

能否假設(shè)t

(y)沿截面高度均勻分布?一、矩形截面梁(h>b)的彎曲切應(yīng)力第45頁/共125頁46由圖示微體平衡：Sz(w)－面積

w

對中性軸

z

的靜矩ll第46頁/共125頁47l截面靜矩與慣性矩l最大切應(yīng)力發(fā)生在中性軸lAFSmax23=t第47頁/共125頁48

截面翹曲與非純彎推廣平截面假設(shè)不再嚴(yán)格成立矛盾解法切應(yīng)力利用純彎正應(yīng)力公式推導(dǎo)純彎正應(yīng)力公式依據(jù)平截面假設(shè)切應(yīng)力非均勻分布引起截面翹曲但當(dāng)l

?h時，純彎正應(yīng)力公式用于橫力彎曲仍然相當(dāng)精確第48頁/共125頁49彎曲切應(yīng)力沿寬度分布(有限元解1）高度/寬度＝10/1～1/1（白顏色最大應(yīng)力區(qū)間）第49頁/共125頁50彎曲切應(yīng)力沿寬度分布(有限元解2）高度/寬度＝1/1～1/10（白顏色最大應(yīng)力區(qū)間）第50頁/共125頁51垂直于剪力方向的彎曲切應(yīng)力高度/寬度＝10/1～1/1（白顏色最大應(yīng)力區(qū)間）第51頁/共125頁52當(dāng)

l>>h時，smax>>tmax橫截面上各點假設(shè)：t//側(cè)邊，或t//剪力

t沿截面寬度方向均勻分布D

h/b值對解的影響：F

h/b越大，解越精確。(h/b>2時，足夠精確)

彎曲正應(yīng)力與彎曲切應(yīng)力比較第52頁/共125頁53二、對稱薄壁梁的彎曲切應(yīng)力(1).切應(yīng)力方向與分布假定(2)、計算的大小沿截面中心線1.問題分析沿截面厚度均勻依據(jù)：切應(yīng)力互等定理同樣依據(jù)切應(yīng)力互等定理，將橫向截面上的切應(yīng)力計算轉(zhuǎn)化為縱向截面上的切應(yīng)力計算。第53頁/共125頁54二、對稱薄壁梁的彎曲切應(yīng)力2.的計算第54頁/共125頁55利用剪流概念，可以形象地確定的方向3、剪流——截面中心線單位長度上的剪力第55頁/共125頁56問題：定性分析下述截面在B點的切應(yīng)力，畫截面剪流的方向第56頁/共125頁57剪流概念的應(yīng)用：形象地確定的方向。中國最大內(nèi)陸河新疆塔里木河小論文題：試由有限元等方法評價剪流比擬的精度。第57頁/共125頁58例：畫下述薄壁截面剪流，確定剪流方向問題：A處剪流的方向向上還是向下？第58頁/共125頁59工字形截面梁的彎曲切應(yīng)力翼緣第59頁/共125頁60解：第60頁/共125頁61§6-4梁的強度條件工字形鋼梁，運動載荷，有幾個可能的危險截面？幾個可能的危險點？第61頁/共125頁621.彎曲正應(yīng)力梁應(yīng)力公式回顧2.矩形截面梁的彎曲切應(yīng)力3.對稱薄壁截面梁的彎曲切應(yīng)力第62頁/共125頁63梁的強度條件

彎曲正應(yīng)力強度條件：彎曲切應(yīng)力強度條件：

s,t

聯(lián)合作用強度條件（詳見第9章強度理論）smax：最大彎曲正應(yīng)力；[s]

：材料單向應(yīng)力許用應(yīng)力tmax

：最大彎曲切應(yīng)力；[t]：材料純剪切許用應(yīng)力討論題：1.強度條件通常解決哪幾類問題？強度校核、截面形狀尺寸設(shè)計、確定許用載荷2.如何確定梁的危險截面與危險點？第63頁/共125頁64例4-1簡易吊車梁，F(xiàn)=20kN，l=6m，[s]=100MPa，[t]=60MPa，選擇工字鋼型號關(guān)于危險截面的討論關(guān)于[s]與[t]兩個強度條件的討論梁的強度條件應(yīng)用問題討論(1)第64頁/共125頁65討論：如何確定可能危險截面畫剪力彎矩圖或列剪力彎矩方程分別確定剪力彎矩最大截面結(jié)論：關(guān)于正應(yīng)力的危險截面是梁中截面關(guān)于切應(yīng)力的危險截面是梁端截面注意：正應(yīng)力與切應(yīng)力危險截面不一定重合。第65頁/共125頁66討論：如何確定可能危險點分析思路：畫截面應(yīng)力分布圖。可能正應(yīng)力危險點：a,d；可能切應(yīng)力危險點：c?？赡苷龖?yīng)力和切應(yīng)力聯(lián)合作用危險點：b,b’（第九章討論）第66頁/共125頁67解：1.內(nèi)力分析

(確定危險截面）2.危險截面應(yīng)力分析

(確定危險點）可能正應(yīng)力危險點：a或d可能切應(yīng)力危險點：c正應(yīng)力的危險截面是梁中截面切應(yīng)力的危險截面是梁端截面第67頁/共125頁683.設(shè)計（選擇）

截面通常按正應(yīng)力強度條件設(shè)計截面，由切應(yīng)力強度條件校核思考：可否按t設(shè)計截面，由s校核，為什么？查教材P367,附錄F型鋼表：選№22a,Wz=3.09×10-4m43.校核梁的剪切強度№22a滿足要求第68頁/共125頁69

矩形截面梁的可能危險點可能危險點：a,d點，單向應(yīng)力；c點，純剪切思考：為什么工字形截面須考慮s,t都較大的b點？第69頁/共125頁70小結(jié)：梁強度條件的選用F

細(xì)長非薄壁梁：F

短粗梁、薄壁梁與

M小

FS大的梁：M

有時需考慮s,t

聯(lián)合作用的強度條件梁強度問題的分析步驟：1、內(nèi)力分析——確定危險截面2、應(yīng)力分析——確定危險點3、根據(jù)強度條件進行強度校核等。第70頁/共125頁71例4-2：已知校核梁的強度。有幾個可能的危險截面？幾個可能的危險點？梁的強度條件應(yīng)用問題討論(2)第71頁/共125頁72討論：危險截面是否一定是彎矩絕對值最大截面？C截面：彎矩絕對值最大。a點拉應(yīng)力，b點壓應(yīng)力都可能達危險值。B截面：彎矩絕對值不是最大，但b點拉應(yīng)力可能達危險值。畫剪力彎矩圖第72頁/共125頁73解：計算截面形心與慣性矩為校核梁的強度，需計算B截面a點的拉應(yīng)力與b點壓應(yīng)力，C截面b點拉應(yīng)力第73頁/共125頁74C截面：B截面：·

強度足夠第74頁/共125頁75討論：將截面b端換成朝上是否合理？第75頁/共125頁76（1）矩形截面（2）圓形截面討論：對于矩形與圓形截面，分析有何不同？梁的空間兩向?qū)ΨQ彎曲問題討論例4-3：已知，校核圖示懸臂梁的強度。第76頁/共125頁77

在H點，兩外力引起的最大拉應(yīng)力疊加，在H’點，兩外力引起的絕對值最大的壓應(yīng)力疊加，故為危險點。解：對于矩形和圓形截面，危險截面均為A（1)矩形截面，危險點分析：第77頁/共125頁78解：（2）圓形截面危險截面亦為A思考：下述解答是否正確？

判斷關(guān)鍵：兩向最大應(yīng)力是否能疊加？第78頁/共125頁79圓形截面問題分析：

力F1最大拉應(yīng)力發(fā)生在截面頂端，F(xiàn)2最大拉應(yīng)力發(fā)生在截面右側(cè)，不能疊加，故不正確！第79頁/共125頁80問題研究：最大應(yīng)力不能疊加，怎么辦？O圓的關(guān)于任意直徑的對稱性，彎矩可以合成最大應(yīng)力發(fā)生在圓截面的右上一點第80頁/共125頁81作業(yè)6-136-166-176-18第81頁/共125頁82上一講回顧（13）矩形截面梁的彎曲切應(yīng)力:梁的強度條件：薄壁截面梁的彎曲切應(yīng)力:剪流第82頁/共125頁83§6-5梁的合理強度設(shè)計中國古代建筑的斗拱結(jié)構(gòu)（沈陽故宮）問題1：從中國古建筑的斗拱結(jié)構(gòu)，你悟出了哪些力學(xué)原理？第83頁/共125頁84問題2：在成都132廠11K車間里，技術(shù)員和工人正面臨著一個問題，如何用現(xiàn)有的起吊重量只有5T的吊車吊起10T的重物？經(jīng)過大家的認(rèn)真思考和努力，改進了裝置，結(jié)果就吊起了10T的重物。請同學(xué)們想想他們是如何解決問題的。第84頁/共125頁85問題3：汽車與火車鋼板彈簧設(shè)計中的力學(xué)問題。第85頁/共125頁86引言：梁合理強度設(shè)計的理論依據(jù)與設(shè)計思路合理強度設(shè)計基本思路增大Wz、Iz與降低M第86頁/共125頁87讓材料遠離中性軸：工字梁、T形梁、槽形梁、箱形梁等一、梁的合理截面形狀增大W、Iz措施：為防止切應(yīng)力破壞，腹板也不能太薄第87頁/共125頁88通過截面設(shè)計充分利用材料力學(xué)性質(zhì)：如脆性材料拉壓強度不相等的性質(zhì)截面等強設(shè)計脆性材料梁第88頁/共125頁89答:位置1合理。應(yīng)用例：從拉壓強度考慮,圖示鑄鐵工字梁截面,跨中腹板鉆一個孔,哪一個是合理位置?問題分析：因為鑄鐵抗壓不抗拉，合理的位置是使最大拉應(yīng)力減小，最大壓應(yīng)力可增加。第89頁/共125頁90由Iz與Wz的區(qū)別看強度與剛度設(shè)計的不同去掉陰影部分可提高強度，不能提高剛度第90頁/共125頁91二、變截面梁與等強度梁（與載荷分布匹配的合理截面形狀）－彎曲等強條件等強度梁－各截面具有同樣強度的梁－剪切等強條件第91頁/共125頁92討論鋼板彈簧設(shè)計中的力學(xué)問題。變寬度等強梁不方便工程應(yīng)用，切成條后沿高度疊放鋼板彈簧受力的力學(xué)模型：第92頁/共125頁93三、梁的合理受力（降低彎矩M）

a=?[F]最大.Q

合理安排約束第93頁/共125頁94Q

合理安排加載方式—盡量分散載荷第94頁/共125頁95在成都132廠11K車間里，技術(shù)員和工人正面臨著一個問題，如何用現(xiàn)有的起吊重量只有5T的吊車吊起10T的重物？經(jīng)過大家的認(rèn)真思考和努力，改進了裝置，結(jié)果就吊起了10T的重物。請同學(xué)們想想他們是如何解決問題的。第95頁/共125頁96例2：中國古建筑的斗拱結(jié)構(gòu)分析第96頁/共125頁97中國古建筑的斗拱結(jié)構(gòu)分析第97頁/共125頁98Q

加配重趣味小問題：兩人帶了一塊長度超過溝寬的板，但一人在溝中點時的彎矩稍微超過板強度，這兩人能想出辦法過溝嗎？辦法：一人作配重第98頁/共125頁99

配重降低最大彎矩作用分析laaFPPMFl/4+MFl/4-PaPaPa+--laFaMPaPa-第99頁/共125頁100§6-6彎拉(壓)組合與截面核心下圖：載荷在端截面內(nèi)時，柱內(nèi)是否可能拉應(yīng)力破壞？右圖：桿另一側(cè)對稱開一缺口，桿內(nèi)最大應(yīng)力是增加還是減??？第100頁/共125頁101一、彎拉(壓)組合的應(yīng)力彎拉組合偏心拉壓(外力平行且偏離軸線)（橫向載荷＋軸向載荷）工程實例：第101頁/共125頁102彎拉（壓）組合分析危險點處－單向應(yīng)力內(nèi)力－FN，M第102頁/共125頁103偏心拉壓實驗方案設(shè)計：已知矩形桿橫截面積A=bh，材料彈性模量E，試由電測法測量軸向載荷F和偏心距d。請設(shè)計布片方案、橋路、寫出與讀數(shù)應(yīng)變關(guān)系式。ddFF12●●●●●●ABCDR2R1R4R3設(shè)計思路討論：1、2兩點應(yīng)力由拉伸與彎曲正應(yīng)力構(gòu)成應(yīng)變儀讀數(shù)應(yīng)變實驗方案：①上下表面1、2布片②測量F，應(yīng)變片分別接AB、CD段③測量d，應(yīng)變片分別接AB、BC段第103頁/共125頁104ddFF12●●●●●●ABCDR2R1R4R3e1e2etet解：1）測量軸力F布片方案與橋路如圖，是溫度補償片。第104頁/共125頁105●●●●●●ABCDR2R1R4R3e1e2解：2）測量偏心距dddFF12h第105頁/共125頁106解：單側(cè)開口情形雙側(cè)開口情形例：矩形桿寬h，厚b，軸向載荷F，一側(cè)深xh缺口，求桿內(nèi)最大應(yīng)力隨x變化，與雙側(cè)開口情況比較。(0<x<0.5)第106頁/共125頁107雙側(cè)開口較小當(dāng)時，一定條件下，雙側(cè)開同樣缺口能降低最大應(yīng)力單雙側(cè)開口最大應(yīng)力比較第107頁/共125頁108例：鋼繩橫截面積A，彈性模量E，許用應(yīng)力[σ]，滑輪直徑D，求許用拉力F。(1)單圓鋼繩(2)n根圓鋼繩討論：單根圓鋼繩改成n根鋼繩有何好處？第108頁/共125頁109解：(1)單圓鋼繩情形由強度條件第109頁/共125頁110(1)單圓鋼繩情形(2)n根圓鋼繩情形為滿足強度條件：