垂直關(guān)系的判定課件北師大版必修

§6垂直關(guān)系6．1垂直關(guān)系的判定學(xué)習(xí)導(dǎo)航學(xué)習(xí)目標(biāo)重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：熟練掌握線面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理及其應(yīng)用．難點(diǎn)：二面角的平面角的求解．新知初探思維啟動(dòng)1.直線與平面垂直(1)定義：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的____________直線都_______，那么稱這條直線和這個(gè)平面垂直．(2)直線與平面垂直的判定定理任何一條垂直文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條______直線都_______，則該直線與此平面垂直相交垂直l⊥al⊥ba∩b＝Aaα，bα做一做1.下列說(shuō)法：①如果直線l與平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線垂直，則l⊥α；②如果直線l與平面α內(nèi)的一條直線垂直，則l⊥α；③如果直線l不垂直于α，則α內(nèi)沒有與l垂直的直線．其中，錯(cuò)誤的有__________．答案：①②③想一想直線與平面垂直的判定定理中，為什么是平面內(nèi)的兩條相交直線，而不是平行直線？提示：兩條相交直線就可確定唯一平面．若是平行直線，如圖，直角三角尺的一直角邊放在平面α內(nèi)，另一直角邊與α傾斜一個(gè)角度，則在α內(nèi)，與直角邊AC平行的直線會(huì)有無(wú)數(shù)條．也說(shuō)明一條直線垂直于平面內(nèi)無(wú)數(shù)直線，直線不一定垂直于平面．2.平面與平面垂直(1)二面角及其平面角①半平面：一個(gè)平面內(nèi)的一條直線，把這個(gè)平面分成__________，其中的___________都叫作半平面．②二面角：從一條直線出發(fā)的_____________所組成的圖形叫作二面角，這條直線叫作二面角的___，這兩個(gè)半平面叫作二面角的____．兩部分每一部分兩個(gè)半平面棱面③二面角的記法以直線AB為棱，半平面α、β為面的二面角，如圖，記作：二面角__________________．④二面角的平面角以二面角的棱上___________為端點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作____________的兩條射線，這兩條射線所成的角叫作二面角的平面角．α－AB－β任一點(diǎn)垂直于棱⑤直二面角：____________________的二面角叫作直二面角．(2)平面與平面的垂直①定義：兩個(gè)平面相交，如果所成的二面角是___________，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直．②畫法：把表示直立平面的平行四邊形的豎邊畫成和表示水平平面的平行四邊形的橫邊垂直(如圖)，記作：_________．平面角是直角直二面角α⊥β③兩個(gè)平面互相垂直的判定定理：文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言如果一個(gè)平面_______另一個(gè)平面的一條_______，則這兩個(gè)平面互相垂直經(jīng)過(guò)垂線a⊥βa

α做一做2.有下列說(shuō)法：①兩個(gè)相交平面所組成的圖形叫作二面角；②二面角的平面角是從棱上一點(diǎn)出發(fā)，分別在兩個(gè)面內(nèi)任做的射線所成的角；③二面角的大小與其平面角的頂點(diǎn)在棱上的位置有關(guān)系．其中正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)是(

)A．0

B．1C．2 D．3答案：A典題例證技法歸納題型探究例1題型一直線與平面垂直的判定

在正方體A1B1C1D1－ABCD中，E，F(xiàn)分別是棱AB，BC的中點(diǎn)，O是底面正方形ABCD的中心，求證：EF⊥平面BB1O.【證明】如圖所示，連接AC，BD，則O是AC和BD的交點(diǎn)，∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BO，∵B1B⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴BB1⊥AC.∵E、F分別是棱AB、BC的中點(diǎn)，∴AC∥EF，∴EF⊥BO，EF⊥BB1.又∵BO∩BB1＝B，∴EF⊥平面BB1O.【名師點(diǎn)評(píng)】證明直線與平面垂直時(shí)，

一定要證明直線和平面內(nèi)兩條相交直線垂直，如果沒有考慮相交的情況就可能把本來(lái)不垂直的情況證明成垂直的，得到錯(cuò)誤結(jié)論．互動(dòng)探究1.若在例1中E、F分別是棱AB、BC的中點(diǎn)改為“點(diǎn)M為CC1的中點(diǎn)”這一條件，其他條件不變，試證明：A1O⊥面MBD.證明：如圖，連接A1M，MO，A1C1.∵在正方體ABCD－A1B1C1D1中，BD⊥AC，BD⊥AA1，AC∩AA1＝A，∴BD⊥平面AA1C1C.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則在△A1OM中，A1M2＝A1O2＋OM2，∴∠A1OM＝90°，即A1O⊥OM.又∵BD∩OM＝O，BD平面MBD，OM平面MBD，∴A1O⊥平面MBD.例2題型二平面與平面垂直的判定

如圖，△ABC為正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中點(diǎn)，求證：(1)DE＝DA；(2)平面BDM⊥平面ECA；(3)平面DEA⊥平面ECA.【名師點(diǎn)評(píng)】用平面與平面垂直的判定定理證明兩平面垂直，關(guān)鍵是在一個(gè)平面內(nèi)尋找垂直于另一個(gè)平面的直線．在處理具體問(wèn)題時(shí)，應(yīng)先從已知入手，分析已有的垂直關(guān)系，再?gòu)慕Y(jié)論入手，分析要證明的垂直關(guān)系，從而架起已知與未知之間的“橋梁”．變式訓(xùn)練2.如圖，在空間四邊形ABCD中，DA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AE⊥CD，AF⊥DB.求證：(1)EF⊥DC；(2)平面DBC⊥平面AEF.證明：(1)∵AD⊥平面ABC，BC平面ABC，∴AD⊥BC.又∵BC⊥AB，DA∩AB＝A，∴BC⊥平面ABD.∵AF平面ABD，∴BC⊥AF.又∵BD⊥AF，BD∩BC＝B，∴AF⊥平面BCD.∵CD平面BCD，∴AF⊥CD.又∵AE⊥CD，AE∩AF＝A，∴CD⊥平面AEF.∵EF平面AEF，∴CD⊥EF.(2)在(1)中已證AF⊥平面BCD，且AF平面AEF，∴平面DBC⊥平面AEF.例3題型三二面角的求解

【解】

(1)證明：連接OC，∵OA＝OC且D為AC中點(diǎn)，∴AC⊥OD.1分又∵PO⊥底面⊙O，AC底面⊙O，∴AC⊥PO.2分∵PO∩OD＝O，且PO平面POD，OD平面POD，∴AC⊥平面POD.又∵AC平面PAC，∴平面PAC⊥平面POD.4分名師微博證明面面垂直，關(guān)鍵是在其中一個(gè)平面內(nèi)找出另一個(gè)平面的垂線，這一點(diǎn)可要抓住喲！(2)在平面POD中，過(guò)O作OH⊥PD于H，5分由(1)知：AC⊥平面POD，則AC⊥OH，又∵OH⊥PD，∴OH⊥平面PAC，∵PA平面PAC，∴PA⊥OH.6分在平面PAO中，過(guò)O作OG⊥PA于G，連接GH.7分∵PA⊥OG，且OG平面OGH，OH平面OGH，OG∩OH＝O.∴PA⊥平面OGH，∴PA⊥GH，又∵OH⊥PA.∴∠OGH為二面角B－PA－C的平面角.9分【名師點(diǎn)評(píng)】求二面角平面角的常用方法：(1)定義法：在二面角的棱上找一特殊點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線．(2)垂面法：過(guò)棱上一點(diǎn)作與棱垂直的平面，該平面與二面角的兩個(gè)半平面產(chǎn)生交線，這兩條交線所成的角，即為二面角的平面角．(3)垂線法：過(guò)二面角的一個(gè)面內(nèi)一點(diǎn)作另一個(gè)平面的垂線，過(guò)垂足作棱的垂線，利用線面垂直可找到二面角的平面角或其補(bǔ)角，此種方法通用于求二面角的所有題目，具體步驟為：一找，二證，三求．變式訓(xùn)練3.如圖，在三棱錐P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°.點(diǎn)D，E分別在棱PB，PC上，且DE∥BC.(1)求證：BC⊥平面PAC；(2)是否存在點(diǎn)E使得二面角A－DE－P為直二面角？并說(shuō)明理由．解：(1)證明：∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC.又∠BCA＝90°，∴AC⊥BC.又PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.(2)存在點(diǎn)E使得二面角A－DE－P為直二面角．由(1)知BC⊥平面PAC.又∵DE∥BC，∴DE⊥平面PAC.又∵AE平面PAC，PE平面PAC.∴DE⊥AE，DE⊥PE.∴∠AEP為二面角A－DE－P的平面角．又∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC.∴∠PAC＝90°.∴在棱PC上存在一點(diǎn)E使得AE⊥PC.這時(shí)，∠AEP＝90°.故存在點(diǎn)E使得二面角A－DE－P是直二面角．在一個(gè)傾斜角為60°的斜坡上，沿著與坡腳面的水平線成30°角的道路上坡，行走100m，實(shí)際升高了__________m.解析：如圖，構(gòu)造二面角α-AB-β，在CD上取一點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥平面β于G，過(guò)G作GF⊥AB于F，連接EF，則EF⊥AB.所以∠EFG為二面角α-AB-β的平面角，即∠EFG＝60°.備選例題方法技巧方法感悟1．判定線面垂直的步驟與方法(1)利用直線與平面垂直的判定定理判定直線與平面垂直的步驟是：①在這個(gè)平面內(nèi)找兩條直線，使它和這條直線垂直；②確定這個(gè)平面內(nèi)的兩條直線是相交的直線；③根據(jù)判定定理得出結(jié)論．(2)判定線面垂直的方法有：①利用線面垂直的定義：一條直線垂直于平面內(nèi)的任意直線，則該直線垂直于這個(gè)平面；②利用線面垂直的判定定理；③證明線線(或線面)垂直時(shí)，除了利用平面幾何知識(shí)(勾股定理逆定理、菱形對(duì)角線、圓周角定理等)之外，還需要注意運(yùn)用線面垂直的定義和線面垂直的判定定理，實(shí)現(xiàn)線線垂直與線面垂直的相互轉(zhuǎn)化．方法依據(jù)作法圖形作垂線在棱上找一點(diǎn)O，在兩個(gè)面內(nèi)分別作棱的垂線AO、BO，∠AOB即為α-CD