2021-2022學(xué)年廣東省汕尾市華中師范大學(xué)海豐附屬學(xué)校高一年級下冊學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2021-2022學(xué)年廣東省汕尾市華中師范大學(xué)海豐附屬學(xué)校高一下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B．C． D．{1，2，3}【答案】A【分析】利用并集概念進(jìn)行計算.【詳解】.故選：A2．下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】在上單調(diào)遞增，故A不符題意；在上單調(diào)遞減，故B符合題意；在上單調(diào)遞增，故C不符題意；在上不單調(diào)，故D不符題意.故選：B.3．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式，可得，計算化簡，即可得答案.【詳解】由，得，所以．故選：B4．化簡以下各式:①；②；③；④，結(jié)果為零向量的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】由向量的加法三角形法則和向量加法三角形法則可得.【詳解】；；；.故選：D5．已知在平行四邊形ABCD中，，，對角線AC與BD相交于點M，（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)向量加法的幾何意義可得，應(yīng)用向量線性運算的坐標(biāo)表示，即可求的坐標(biāo).【詳解】由題設(shè)，.故選：D.6．我國東漢末數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一副“弦圖”給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形，如圖所示.在“趙爽弦圖"中，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用平面向量的線性運算及平面向量的基本定理求解即可.【詳解】由題意，所以，，.故選：D.7．已知點是所在平面內(nèi)的動點，且滿足，射線與邊交于點，若，，則的最小值為（

）A． B．2 C． D．【答案】C【分析】由已知得，所以點在的平分線上，即為的角平分線，利用正弦定理得，，可知，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可求最小值.【詳解】表示與共線的單位向量，表示與共線的單位向量，的分向與的平分線一致，，所以點在的平分線上，即為的角平分線，在中，，，利用正弦定理知：同理，在中，，其中分析可知當(dāng)時，取得最小值，即故選：C8．三個數(shù)，，的大小順序為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】結(jié)合對數(shù)恒等式進(jìn)行變換，利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可證明，由此得出三者的大小關(guān)系.【詳解】，由于，，所以，所以，即，而，所以，所以，即，所以.故選：D二、多選題9．[多選題]下列命題是真命題的是（

）．A．若A，B，C，D在一條直線上，則與是共線向量B．若A，B，C，D不在一條直線上，則與不是共線向量C．若向量與是共線向量，則A，B，C，D四點必在一條直線上D．若向量與是共線向量，則A，B，C三點必在一條直線上【答案】AD【分析】向量平行與共線是同一個概念，對四個命題依次判斷即可．【詳解】A項為真命題，A，B，C，D在一條直線上，則向量，的方向相同或相反，因此與是共線向量；B項為假命題，A，B，C，D不在一條直線上，則，的方向不確定，不能判斷與是否共線；C項為假命題，因為，兩個向量所在的直線可能沒有公共點，所以A，B，C，D四點不一定在一條直線上；D項為真命題，因為，兩個向量所在的直線有公共點A，且與是共線向量，所以A，B，C三點共線．故選：AD．10．（多選）下列結(jié)論中錯誤的是（

）A．兩個向量的和仍是一個向量B．向量與的和是以的始點為始點，以的終點為終點的向量C．D．向量與都是單位向量，則【答案】BD【分析】根據(jù)向量的相關(guān)概念，對選項逐一判斷即可.【詳解】兩個向量的和差運算結(jié)果都是是一個向量，所以A正確；兩個向量的加法遵循三角形法則，只有當(dāng)首尾相連時才成立，故B錯誤；任何向量與相加都得其本身，故C正確；兩個單位向量的方向沒有確定，當(dāng)它們方向相同時才成立，故D錯誤；故選：BD11．設(shè)點M是所在平面內(nèi)一點，下列說法正確的是（

）A．若，則的形狀為等邊三角形B．若，則點M是邊BC的中點C．過M任作一條直線，再分別過頂點A，B，C作l的垂線，垂足分別為D，E，F(xiàn)，若恒成立，則點M是的垂心D．若，則點M在邊BC的延長線上【答案】AB【分析】根據(jù)題意，結(jié)合平面向量的線性運算，以及數(shù)量積運算，一一判斷即可.【詳解】對于選線A，如圖作的中點，連接，由，得，即，結(jié)合三角形性質(zhì)易知，，同理，，故的形狀為等邊三角形，故A正確；對于選項B，由，得，即，因此點M是邊BC的中點，故B正確；對于選項C，如圖當(dāng)過點時，，由，得，則直線經(jīng)過的中點，同理直線經(jīng)過的中點，直線經(jīng)過的中點，因此點M是的重心，故C錯誤；對于選項D，由，得，即，因此點M在邊的延長線上，故D錯.故選：AB.12．函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（

）A．點是的對稱中心B．直線是的對稱軸C．在區(qū)間上單調(diào)減D．的圖象向右平移個單位得的圖象【答案】CD【分析】由圖知且求，再由過求，將A、B中的點代入驗證是否為對稱中心、對稱軸，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)判斷給定區(qū)間是否為減區(qū)間，應(yīng)用誘導(dǎo)公式化簡，進(jìn)而判斷平移后解析式是否為.【詳解】由圖知：且，則，∴，可得，又過，∴，得，又，∴當(dāng)時，.綜上，.A：代入得：，故錯誤；B：代入得：，故錯誤；C：由，故在上單調(diào)遞減，則上遞減，而，故正確；D：，故正確；故選：CD【點睛】關(guān)鍵點點睛：利用函數(shù)部分圖象確定的參數(shù)，寫出解析式，進(jìn)而根據(jù)各選項的描述，判斷對稱中心、對稱軸、單調(diào)區(qū)間及平移后的解析式.三、填空題13．已知非零向量，，，則的最大值為______．【答案】13【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的運算性質(zhì)，有，即可求的最大值.【詳解】∵，∴當(dāng)時，有最大值為169.∴的最大值為13.故答案為：13.14．已知向量，的夾角為，，，則______.【答案】【分析】先由數(shù)量積的定義求出，再由，代入化簡即可得出答案.【詳解】因為向量，的夾角為，，，所以，所以.故答案為：.15．已知向量，，則______.【答案】5【分析】由平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】解：因為向量，，所以，所以，故答案為：5.16．如圖，在△中，，，與交于點，，，，則的值為_________.【答案】2【分析】令，，利用平面向量的基本定理知：，，將其轉(zhuǎn)化為的線性關(guān)系，可求，再由已知條件，應(yīng)用數(shù)量積的運算律求即可.【詳解】令，，而，，∴，得，∴，又，∴，，，∴.故答案為：2【點睛】關(guān)鍵點點睛：設(shè)，，應(yīng)用平面向量基本定理求的線性關(guān)系求參數(shù)，利用向量數(shù)量積的運算律求.四、解答題17．已知為銳角，.（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由二倍角公式，結(jié)合題意，可直接求出結(jié)果；（2）先由題意求出，，根據(jù)，由兩角差的正弦公式，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）因為，所以；（2）因為為銳角，所以，，又，所以，，所以.【點睛】本題主要考查三角恒等變換給值求值的問題，熟記二倍角公式，以及兩角差的正弦公式即可，屬于?？碱}型.18．已知函數(shù)的最小正周期是.（1）求值；（2）求的對稱中心；（3）將的圖象向右平移個單位后，再將所得圖象所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，求的單調(diào)遞增區(qū)間.【答案】（1）2；（2），；（3），.【分析】（1）由且，即可求值；（2）由（1）知，結(jié)合正弦函數(shù)的對稱中心即可求的對稱中心；（3）由函數(shù)平移知，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求的單調(diào)遞增區(qū)間.【詳解】（1），又，∵，∴.（2）由（1）知，，令，解得.∴的對稱中心是，.（3）將的圖像向右平移個單位后可得：，再將所得圖像橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變得到：，由，解得，.∴的單調(diào)遞增區(qū)間為，.【點睛】關(guān)鍵點點睛：（1）應(yīng)用輔助角公式求三角函數(shù)解析式，結(jié)合最小正周期求參數(shù).（2）根據(jù)正弦函數(shù)的對稱中心，應(yīng)用整體代入求的對稱中心.（3）由函數(shù)圖像平移得解析式，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，應(yīng)用整體代入求的單調(diào)增區(qū)間.19．2022年2月4日，冬奧會在北京與張家口開幕，如圖，四邊形ABCD是主辦方為運動員精心設(shè)計的休閑區(qū)域的大致形狀，區(qū)域四周是步道，中間是花卉種植區(qū)域，為減少擁堵，中間穿插了氫能源環(huán)保電動步道AC，，，，．(1)求氫能源環(huán)保電動步道AC的長；(2)若，求花卉種植區(qū)域總面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）△ADC中用余弦定理求解即可；（2）分別求出△ABC和△的面積即可解決.【詳解】（1）∵，，∴，在△ADC中，由余弦定理可知，即．（2）在△ABC中，由余弦定理可得，即，解得或（舍去），即，即，，所以花卉種植區(qū)域總面積為．20．已知向量.(1)若，求的值；(2)記求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）直接利用向量平行得到，即可求出角x；（2）整理出=，直接求值域.【詳解】（1）∵向量，由可得：，即.∵∴（2）由=∵，∴∴f（x）的取值范圍為21．已知，，求：(1)，；(2)與的夾角的余弦值．【答案】(1)，；(2).【分析】（1）首先利用向量坐標(biāo)的加減法求出和，再根據(jù)向量的模的計算方法進(jìn)行求解;（2）由數(shù)量積夾角公式，將兩向量的坐標(biāo)代入進(jìn)行計算即可求解.【詳解】（1）因為，，所以，，所以，.（2）因為，，設(shè)與的夾角為，則，所以與的夾角的余弦值為.22．已知平面直角坐標(biāo)系中，點A(a，0)，點B(0，b)(其中a，b為常數(shù)，且ab≠0)，點O為坐標(biāo)原點.（1）設(shè)點P為線段AB上靠近A的三等分點，，求的值；（2）如圖所示，設(shè)點是線段AB的n等分點，其中，①當(dāng)n=2020時，求的值(用含a，b的式子表示)；②當(dāng)a=b=1，n=10時，求的最小值.(說明：可能用到的計算公式：.【答案】（1）；（2）①；②.【分析】(1)利用向量的線性運算得出，結(jié)合即可得出結(jié)果；(2)①由題意可得，進(jìn)而推出，代入題中的等式即可；②當(dāng)a=b=1，n=10時，，