中學(xué)常見(jiàn)絕對(duì)值問(wèn)題的解法

PAGE中學(xué)常見(jiàn)絕對(duì)值問(wèn)題的解法1.引言及預(yù)備知識(shí)絕對(duì)值問(wèn)題是指絕對(duì)值與其他數(shù)學(xué)知識(shí)相結(jié)合而生成的新的數(shù)學(xué)問(wèn)題.遇到這類數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，對(duì)于簡(jiǎn)單的，如解，或求的值域和定義域，我們還能解決，但是稍復(fù)雜的，大多數(shù)學(xué)習(xí)者就會(huì)感到束手無(wú)策.本文針對(duì)此種情況，在相關(guān)資料的基礎(chǔ)之上總結(jié)出了一元一次絕對(duì)值方程、一元一次絕對(duì)值不等式和一次絕對(duì)值函數(shù)這三類常見(jiàn)絕對(duì)值問(wèn)題的具體解法，供學(xué)習(xí)者參考.定義1絕對(duì)值的代數(shù)定義:一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；零的絕對(duì)值是零．定義2絕對(duì)值的幾何定義:在數(shù)軸上表示一個(gè)數(shù)的點(diǎn)離開(kāi)原點(diǎn)的距離，叫做這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值．性質(zhì)絕對(duì)值的主要性質(zhì)：(1)一個(gè)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是一個(gè)非負(fù)數(shù)，即，因此，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，絕對(duì)值最小的數(shù)是零．(2)一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值的相反數(shù)一定是非正數(shù).(3)兩個(gè)相反數(shù)的絕對(duì)值相等．(4)如果兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值相等，那么這兩個(gè)數(shù)相等或互為相反數(shù).定義3一元一次絕對(duì)值方程：我們把絕對(duì)值符合中含有一個(gè)未知數(shù)并且未知數(shù)的次數(shù)是一次的方程叫做含絕對(duì)值符號(hào)的一元一次方程，簡(jiǎn)稱為一元一次絕對(duì)值方程.定義4一元一次絕對(duì)值不等式：我們把絕對(duì)值符合中含有一個(gè)未知數(shù)并且未知數(shù)的次數(shù)是一次的不等式叫做含絕對(duì)值符號(hào)的一元一次不等式，簡(jiǎn)稱為一元一次絕對(duì)值不等式.定義5一次絕對(duì)值函數(shù)：我們把一次函數(shù)中含有絕對(duì)值符合的一次函數(shù)叫做含絕對(duì)值符號(hào)的一次函數(shù)，簡(jiǎn)稱為一次絕對(duì)值函數(shù).2.中學(xué)常見(jiàn)的絕對(duì)值問(wèn)題及其解法中學(xué)常見(jiàn)的絕對(duì)值問(wèn)題除了絕對(duì)值自身定義的應(yīng)用外，還有本文專門提出的一元一次絕對(duì)值方程、一元一次絕對(duì)值不等式以及一次絕對(duì)值函數(shù)這三類絕對(duì)值問(wèn)題.下面給出了相應(yīng)問(wèn)題的解法，并附有例題以便學(xué)習(xí)者融會(huì)貫通.2.1一元一次絕對(duì)值方程的解法 （1）形如型的絕對(duì)值方程的解法： ①當(dāng)時(shí)，根據(jù)絕對(duì)值的非負(fù)性，可知此時(shí)方程無(wú)解； ②當(dāng)時(shí)，原方程變?yōu)?，即，解得? ③當(dāng)時(shí)，原方程變?yōu)榛?，解得或．?．解方程：

解：由（1）可知，因?yàn)闀r(shí)，原方程變?yōu)榛?，解得或?（2）形如型的絕對(duì)值方程的解法： ①根據(jù)絕對(duì)值的非負(fù)性可知，求出的取值范圍； ②根據(jù)絕對(duì)值的定義將原方程化為兩個(gè)方程和； ③分別解方程和； ④將求得的解代入檢驗(yàn)，舍去不合條件的解．例2．解方程：解：由（2）可知，根據(jù)絕對(duì)值的定義將原方程化為兩個(gè)方程和；分別解得和；經(jīng)檢驗(yàn)都成立. （3）形如型的絕對(duì)值方程的解法： ①根據(jù)絕對(duì)值的定義將原方程化為兩個(gè)方程或； ②分別解方程和．例3．解方程：解：由（3）可知，根據(jù)絕對(duì)值的定義將原方程化為兩個(gè)方程或；分別解得和. （4）形如型的絕對(duì)值方程的解法： ①根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義可知； ②當(dāng)時(shí)，此時(shí)方程無(wú)解；當(dāng)時(shí)，此時(shí)方程的解為；當(dāng)時(shí)，分兩 種情況：①當(dāng)時(shí)，原方程的解為；②當(dāng)時(shí)，原方程的解為．例4．解方程：解：由（4）可知，應(yīng)分兩種情況；①當(dāng)時(shí)，原方程的解為；②當(dāng)時(shí)，原方程的解為． （5）形如型的絕對(duì)值方程的解法： ①找絕對(duì)值零點(diǎn)：令，得，令得； ②零點(diǎn)分段討論：不妨設(shè)，將數(shù)軸分為三個(gè)區(qū)段，即①；②；③； ③分段求解方程：在每一個(gè)區(qū)段內(nèi)去掉絕對(duì)值符號(hào)，求解方程并檢驗(yàn)，舍去不在區(qū)段內(nèi)的解．例5．解方程：解：由（5）可知，找絕對(duì)值零點(diǎn)：和；①時(shí)，解得；②時(shí)，解得；③時(shí)，解得.2.2一元一次絕對(duì)值不等式的解法解含有絕對(duì)值符號(hào)的不等式的基本思想是去掉絕對(duì)值符號(hào)，使不等式變?yōu)椴缓^對(duì)值符號(hào)的一般不等式，而后，其解法就與解一般不等式或不等式組相同．解絕對(duì)值不等式，關(guān)鍵在于“轉(zhuǎn)化”．根據(jù)絕對(duì)值的意義，把絕對(duì)值不等式轉(zhuǎn)化為一次不等式(組)．（1）不等式｜x｜＜a(a＞0)和不等式｜x｜＞a(a＞0)的解集分別是｛x｜－a＜x＜a｝、｛x｜x＞a或x＜－a｝．其解集在數(shù)軸上表示如下：把不等式｜x｜＜c與｜x｜＞c(c＞0)中的x替換成ax＋b，就可以得到與型的不等式的解法．（2）的解法是：先化不等式組或，再由不等式的性質(zhì)求出原不等式的解集.的解法是：先化不等式組,再由不等式的性質(zhì)求出原不等式的解集.例6．解不等式：|2x-3|>4解：由|2x-3|>4（符合上面第一種含絕對(duì)值的不等式，根據(jù)其解法）得2x-3>4或2x-3<-4分別解之，得x>7/2或x<-1/2所以原不等式解集為｛x|x>7/2或x<-1/2｝例7．解不等式：|3x-5|≤7解：由|3x-5|≤7，（符合上面第一種含絕對(duì)值的不等式，根據(jù)其解法）得-7≤3x-5≤7不等式各邊都加5，得-2≤3x≤12不等式各邊都除以3，得-2/3≤x≤4所以原不等式解集為｛x|-2/3≤x≤4｝（3）我們?cè)诮馀c型不等式的時(shí)候，一定要注意a的正負(fù).當(dāng)a為負(fù)數(shù)時(shí)，可先把a(bǔ)化成正數(shù)再求解.例8．解不等式：|1-2x|<5解法一：由原不等式可得-5<1-2x<5由不等式的性質(zhì)解得-2<x<3所以原不等式解集為｛x|-5/2<x<11/2｝.解法二：原不等式可化成|2x-1|<5-5<2x-1<5由不等式的性質(zhì)解得-2<x<3（4）含絕對(duì)值的雙向不等式的解法，關(guān)鍵是去絕對(duì)值號(hào)．其方法一是轉(zhuǎn)化為單向不等式組如下題中的解法一，再就是利用絕對(duì)值的定義如下題中的解法二、解法三.例9．解不等式：2＜｜2x－5｜≤7．解法一：原不等式等價(jià)于∴即∴原不等式的解集為｛或｝解法二：原不等式的解集是下面兩個(gè)不等式組解集的并集:(Ⅰ)(Ⅱ)不等式組(Ⅰ)的解集為｛｝不等式組(Ⅱ)的解集是｛｝∴原不等式的解集是｛或｝.解法三：原不等式的解集是下面兩個(gè)不等式解集的并集．(Ⅰ)2＜2x－5≤7(Ⅱ)2＜5－2x≤7不等式(Ⅰ)的解集為｛｝不等式(Ⅱ)的解集是｛｝∴原不等式的解集是｛或｝．（4）解含多重絕對(duì)值符號(hào)的不等式時(shí)，可以從“外”向“里”，反復(fù)應(yīng)用解答絕對(duì)值基本不等式類型的方法，去掉絕對(duì)值的符號(hào)，逐次化解．例11．解不等式：|x－|2x＋1||＞1．解：∵由|x－|2x＋1||＞1等價(jià)于(x－|2x＋1|)＞1或x－|2x＋1|＜－1①由x－|2x＋1|＞1得|2x＋1|＜x－1∴即均無(wú)解；②由x－|2x＋1|＜－1得|2x＋1|＞x＋1∴或即，∴或綜上討論，原不等式的解集為{x|或}．2.3一次絕對(duì)值函數(shù)的解法在中學(xué)階段遇到的一次絕對(duì)值函數(shù)問(wèn)題具體有四種：解析式、定義域、值域（最值）以及函數(shù)圖象.解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是要通過(guò)分類討論去掉絕對(duì)值號(hào)，而分類的標(biāo)準(zhǔn)是令絕對(duì)值里面的式子等于零，這樣就可以把數(shù)軸分成幾段，然后就可以討論了，寫(xiě)出函數(shù)解析式，畫(huà)出對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象，問(wèn)題就一目了然了.例10．

求此函數(shù)的解析式

并寫(xiě)出其值域和定義域.

解：，首先令x+2=0和x-5=0,得到x=-2和x=5,這時(shí)將數(shù)軸分為了三部分：①當(dāng)x<-2時(shí)，x+2<0、x-5<0，所以此時(shí)：y=-(x+2)-(-（x-5）)=-7；②當(dāng)時(shí)：x+2>0、x-5<0，此時(shí)：y=(x+2)+(x-5)=2x-3；③當(dāng)x>5時(shí)，x+2>0、x-5>0，此時(shí)：y=(x+2)-(x-5)=7；綜上可知：；其最大值為7，最小值為-7，由此可知，該函數(shù)的值域?yàn)閇-7，7]，定義域?yàn)镽.例11．指出函數(shù)y=|x-5|+|x+3|的圖像畫(huà)法.解：①首先要去絕對(duì)值，找到分界點(diǎn)：x-5=0，x=5x+3=0，x=-3，則5、-3就是其分界點(diǎn)；②分情況討論，得出去掉絕對(duì)值的函數(shù)解析式：x≤-3時(shí)，y=|x-5|+|x+3|=5-x-x-3=2-2x-3<x≤5時(shí)，y=|x-5|+|x+3|=5-x+x+3=8x>5時(shí)，y=|x-5|+|x+3|=x-5+x-3=2x-8；③按這三個(gè)區(qū)間對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式，就不難畫(huà)出這個(gè)帶絕對(duì)值的函數(shù)圖像了.3.絕對(duì)值問(wèn)題專題強(qiáng)化訓(xùn)練此部分專門為學(xué)習(xí)者所設(shè)，供其有針對(duì)性的強(qiáng)化訓(xùn)練，真正做到學(xué)有所得.3.1一元一次絕對(duì)值方程專題練習(xí)體小四【1】解方程：【2】方程的解為？．【3】解方程【4】解方程【5】解方程【6】解方程【7】解方程【8】解方程：3.2一元一次絕對(duì)值不等式專題練習(xí)【9】不等式｜x＋a｜＜1的解集是()A．｛x｜－1＋a＜x＜1＋aB．｛x｜－1－a＜x＜1－aC．｛x｜－1－｜a｜＜x＜1－｜a｜D．｛x｜x＜－1－｜a｜或x＞1－｜a｜｝【10】不等式1≤｜x－3｜≤6的解集是()A．｛x｜－3≤x≤2或4≤x≤9｝B．｛x｜－3≤x≤9｝C．｛x｜－1≤x≤2｝D．｛x｜4≤x≤9｝【11】下列不等式中，解集為｛x｜x＜1或x＞3｝的不等式是()A．｜x－2｜＞5B．｜2x－4｜＞3C．1－｜－1｜≤D．1－｜－1｜＜【12】已知不等式｜x－2｜＜a(a＞0)的解集是｛x｜－1＜x＜b}，則a＋2b＝．【13】不等式|x＋2|＞x＋2的解集是______．【14】解下列不等