高中數(shù)學(xué)人教A版必修5《不等式》教材分析與教學(xué)建議

人教A版必修5《不等式》教材分析與教學(xué)建議1．課程目標(biāo)不等關(guān)系與相等關(guān)系都是客觀事物的基本數(shù)量關(guān)系，是數(shù)學(xué)研究的重要內(nèi)容。不等關(guān)系在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中大量存在，任何人都需要對發(fā)生在我們周圍的事物作出某種判斷，判斷有時(shí)需借助于量與量的比較來實(shí)現(xiàn)，這就是不等關(guān)系在本章的地位與作用。在本章中，學(xué)生將通過具體情境感受不等關(guān)系，理解不等式（組）對于刻畫不等關(guān)系的意義和價(jià)值；掌握求解一元二次不等式的基本方法，并能解決一些實(shí)際問題；能用二元一次不等式組表示平面區(qū)域，并嘗試解決一些簡單的二元線性規(guī)劃問題；認(rèn)識(shí)基本不等式及其簡單應(yīng)用；體會(huì)不等式、方程及函數(shù)之間的聯(lián)系。我們將重點(diǎn)研究一元二次不等式、二元一次不等式（組）、基本不等式三種不等式模型，在了解不等式實(shí)際背景的前提下，重點(diǎn)研究不等式的應(yīng)用。2．課標(biāo)內(nèi)容不等關(guān)系：通過具體情境，感受在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中大量存在的數(shù)量關(guān)系，了解不等式（組）的實(shí)際背景，了解不等式的一些基本性質(zhì)。一元二次不等式：經(jīng)歷從實(shí)際情景中抽象出一元二次不等式模型的過程；通過函數(shù)圖象了解一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程的聯(lián)系；會(huì)解一元二次不等式，對給定的一元二次不等式，嘗試設(shè)計(jì)求解的程序框圖。二元一次不等式組與簡單線性規(guī)劃問題：從實(shí)際情景中抽象出二元一次不等式組；了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組；從實(shí)際情景中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃問題，并能加以解決。(4)基本不等式：探索基本不等式的證明過程；會(huì)用基本不等式解決簡單最值問題。3．教學(xué)要求3.1基本要求（1）了解不等式（組）的實(shí)際背景；（2）理解不等式（組）對于刻劃不等關(guān)系的意義和價(jià)值；（3）會(huì)用不等式（組）表示實(shí)際問題中的不等關(guān)系，能用不等式（組）研究含有不等關(guān)系的實(shí)際問題；（4）了解從實(shí)際情境中抽象出一元二次不等式模型的過程；（5）理解一元二次不等式的概念；（6）理解并掌握一元二次不等式、二次函數(shù)及一元二次方程之間的關(guān)系；（7）理解并掌握解一元二次不等式的過程；（8）會(huì)求一元二次不等式解集；（9）掌握求解一元二次不等式的程序框圖及隱含的算法思想；（10）了解從實(shí)際情境中抽象出二元一次不等式（組）模型的過程；（11）理解二元一次不等式（組）、二元一次不等式（組）的解集的概念；（12）了解二元一次不等式的幾何意義，理解（區(qū)域）邊界的概念及實(shí)線、虛線邊界的含義；（13）會(huì)用二元一次不等式（組）表示平面區(qū)域，能畫出給定的不等式（組）表示的平面區(qū)域；（14）了解線性約束條件、目標(biāo)函數(shù)、線性目標(biāo)函數(shù)、線性規(guī)劃、可行解、可行域、最優(yōu)解的概念；（15）掌握簡單的二元線性規(guī)劃問題的解法；（16）了解基本不等式的代數(shù)背景、幾何背景以及它的證明過程；（17）理解算術(shù)平均數(shù)，幾何平均數(shù)的概念；（18）會(huì)用基本不等式解決簡單的最大（小）值的問題；（19）通過基本不等式的實(shí)際應(yīng)用，感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。3.2發(fā)展要求（1）理解并掌握不等式的基本性質(zhì)；4.2內(nèi)容主要變化原大綱教材中，一元二次不等式安排在“集合與簡易邏輯”之后，是學(xué)生剛步入高一就要學(xué)習(xí)的內(nèi)容，而課標(biāo)教材則安排在模塊5中，意圖在高二（上）學(xué)習(xí)，簡單的線性規(guī)劃問題從解析幾何《直線和圓的方程》中移到模塊5的不等式中，與二元一次不等式組成一個(gè)單元。不等式內(nèi)容進(jìn)一步整編，刪除一元高次、分式不等式，把不等式證明后移到選修中，基本不等式則控制難度,只用于解決求最值問題。4.3幾個(gè)特點(diǎn)①內(nèi)容安排上的特點(diǎn)把簡單的線性規(guī)劃和不等式放在一起，將線性規(guī)劃問題作為不等式來處理，突出了不等式的幾何意義以及在解決優(yōu)化問題中的作用，有利于理解不等式的本質(zhì)，體現(xiàn)優(yōu)化思想。②教學(xué)要求上的特點(diǎn)在不等式求解方面，《課標(biāo)》對學(xué)生的基本要求進(jìn)一步弱化，在大綱教材刪除了指、對數(shù)不等式和無理不等式的基礎(chǔ)上，又刪除了分式不等式、一元高次不等式求解，將絕對值不等式移至選修4-5(不等式選講)；不等式證明采取分步到位、螺旋上升的做法，由于選修4-5不作高考要求（但是為學(xué)業(yè)考試內(nèi)容），其基本要求是降低的。但在選修1-2（文科必選）、選修2-2（理科必選）的推理與證明中，均提出用綜合法與分析法證明不等式。在選修4-5中，介紹了不等式證明的常用方法—比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法，進(jìn)一步介紹了柯西不等式、排序不等式、均值不等式及其應(yīng)用，還介紹了數(shù)學(xué)歸納法與貝努利不等式。二元一次不等式（組）與簡單的線性規(guī)劃問題學(xué)習(xí)要求基本不變。③教學(xué)價(jià)值上變化不等式是原教材中的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)，是培養(yǎng)學(xué)生思維能力和推理能力的一個(gè)很好素材，所以它強(qiáng)調(diào)理論敘述、推理嚴(yán)密、變化技巧，而《課標(biāo)》則更加關(guān)注不等式的背景和實(shí)際應(yīng)用，把不等式作為刻畫現(xiàn)實(shí)世界中不等關(guān)系的數(shù)學(xué)工具，作為描述優(yōu)化問題的一種數(shù)學(xué)模型，而不再把重點(diǎn)放在純理論的數(shù)學(xué)探究上。5.教學(xué)建議☆章頭圖本章的章頭圖是一幅山巒重疊起伏的壯觀畫面，將學(xué)生帶入“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”的大自然中，使學(xué)生在具體情境中感受到不等關(guān)系在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中是大量存在的，由此產(chǎn)生用數(shù)學(xué)研究不等關(guān)系的強(qiáng)烈愿望?！?.1不等關(guān)系與不等式這一節(jié)的要求和原教材有很大的不同，原教材作為研究不等式的理論基礎(chǔ)，所以對它們歸結(jié)為幾個(gè)定理和推論，并給出了證明。而現(xiàn)在把所有的定理和推論整理為不等式的八大性質(zhì)，并作一些簡要的說明，強(qiáng)調(diào)這些關(guān)于不等式的事實(shí)和性質(zhì)是解決不等式問題的依據(jù)。建議在教學(xué)中不要對這些性質(zhì)的證明作過多的糾纏，而應(yīng)該在說明這些性質(zhì)的合理性上舉例說明，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步挖掘一些感興趣的和富有時(shí)代感的素材，通過分析其中的基本數(shù)量關(guān)系，以加深學(xué)生對“不等關(guān)系是客觀事物的基本數(shù)量關(guān)系”的認(rèn)識(shí)。也可以類比等式的基本性質(zhì)，對一些不等式的推斷作一些分析驗(yàn)證，通過類比，使學(xué)生認(rèn)識(shí)不等式與等式性質(zhì)之間的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)?！?.2一元二次不等式及其解法在大綱教材的函數(shù)部分，借助于二次函數(shù)安排了二次不等式的內(nèi)容。這樣安排已為廣大教師所接受，其好處也是多方面的。課標(biāo)教材則把二次不等式的內(nèi)容移至“必修5”，在“必修1”的函數(shù)內(nèi)容中，強(qiáng)調(diào)函數(shù)“是描述現(xiàn)實(shí)世界變量之間的依賴關(guān)系的數(shù)學(xué)模型”，把重點(diǎn)放在函數(shù)概念的本質(zhì)的理解、函數(shù)性質(zhì)討論以及函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用上，其用意固然是為了防止教師在集合的學(xué)習(xí)與函數(shù)概念的教學(xué)中，在求解定義域、值域等“細(xì)枝末節(jié)”的問題上對學(xué)生進(jìn)行大量人為的、繁瑣的訓(xùn)練，但這種“釜底抽薪”的做法似乎更多的是因?yàn)槭艿礁鱾€(gè)模塊課時(shí)的限制而造成的無奈，許多首批參與實(shí)驗(yàn)的教師也對此提出質(zhì)疑，認(rèn)為這樣處理值得商榷。一元二次不等式解集的求法對于高一學(xué)生而言并不會(huì)感到困難，但理解二次函數(shù)、一元二次方程與一元二次不等式解集之間的關(guān)系，則要經(jīng)歷觀察、思考、探究的過程。課標(biāo)教材著眼于讓學(xué)生體驗(yàn)知識(shí)形成過程的精心設(shè)計(jì)值得我們在教學(xué)中細(xì)心體味，無論是一元二次不等式模型的建立、解法的歸納，還是以填空的形式讓學(xué)生嘗試設(shè)計(jì)求解一般一元二次不等式過程的程序框圖，都為學(xué)生的思維活動(dòng)留足了空間。這種從特殊到一般的處理方式符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，有助于學(xué)生了解知識(shí)的形成過程和來龍去脈，加深對知識(shí)的理解，以及對隱藏在知識(shí)發(fā)生過程中的數(shù)學(xué)思想方法的領(lǐng)悟。另外，教學(xué)中要控制不等式的難度，一般不要超出教科書的要求，一元二次不等式的求解只要達(dá)到基本要求即可，要淡化解不等式技巧性要求，要注意加強(qiáng)與函數(shù)、方程的聯(lián)系，積極滲透算法思想，突出不等式的實(shí)際背景及其應(yīng)用，有關(guān)內(nèi)容將在選修系列4—5中作進(jìn)一步討論。☆3.3二元一次不等式（組）與簡單的線性規(guī)劃問題不等式作為用來刻劃不等關(guān)系的有效工具，有著豐富的現(xiàn)實(shí)背景，不等式也是刻劃區(qū)域的重要工具，刻劃區(qū)域是解決線性規(guī)劃問題的一個(gè)基本步驟，在現(xiàn)實(shí)生產(chǎn)、生活中，經(jīng)常遇到的資源利用、人力調(diào)配、生產(chǎn)安排等問題常常可歸結(jié)為二元線性規(guī)劃問題。線性規(guī)劃是數(shù)學(xué)規(guī)劃中理論較完整、方法較成熟、應(yīng)用較廣泛的一個(gè)分支，它能解決科學(xué)研究、工程設(shè)計(jì)、經(jīng)濟(jì)管理等許多方面的實(shí)際問題。教學(xué)中要注意從實(shí)際問題引入，著眼于不等式與實(shí)際問題的聯(lián)系，使學(xué)生明確數(shù)學(xué)問題源于生活且用于生活。由于線性規(guī)劃屬于多元條件極值問題，對高一學(xué)生有一定難度，因此教學(xué)中應(yīng)當(dāng)強(qiáng)調(diào)借助幾何直觀解決一些簡單的線性規(guī)劃問題，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)線性規(guī)劃的基本思想，在其它方面的一些應(yīng)用不宜作過多展開。另外，直線方程是平面解析幾何內(nèi)容，根據(jù)《指導(dǎo)意見》先上模塊5、后上模塊2的順序，學(xué)生對直線的斜率、截距、平行直線系等概念尚不清晰，無疑這也將增加學(xué)習(xí)線性規(guī)劃的難度，有人提出“讓線性規(guī)劃回去”，也是有一定道理的。在本節(jié)內(nèi)容的后面，教材安排了閱讀材料“錯(cuò)在哪兒”和信息技術(shù)應(yīng)用“用Excel解線性規(guī)劃問題舉例”。前者提出的問題既有思考性又有挑戰(zhàn)性，對于同一道習(xí)題得到不同答案的類似問題情境學(xué)生常常經(jīng)歷，也常常給學(xué)生帶來困惑，引導(dǎo)學(xué)生辨析糾錯(cuò)，有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性和反思意識(shí)。后者借助計(jì)算機(jī)為研究二元一次不等式組的解集表示的平面區(qū)域和簡單的線性規(guī)劃問題提供試驗(yàn)探索平臺(tái)，從動(dòng)手實(shí)踐、觀察猜想中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，且有較強(qiáng)的操作性，可指導(dǎo)學(xué)生課外完成?！?.4基本不等式：本節(jié)主要內(nèi)容是使學(xué)生了解基本不等式的代數(shù)、幾何背景及基本不等式的證明，通過基本不等式的實(shí)際應(yīng)用，感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，重點(diǎn)是應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解基本不等式并從不同的角度探究其證明過程。根據(jù)課標(biāo)立足基礎(chǔ)、螺旋上升的教學(xué)要求，教學(xué)時(shí)要突出用基本不等式解決問題的基本方法和基本的應(yīng)用，如運(yùn)用基本不等式可解決周長、面積、造價(jià)的最大（?。┲祮栴}等。對不等式證明的教學(xué)不必加深，基本不等式僅限于二元