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第2節(jié)數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和題型74數(shù)列通項(xiàng)公式的求解1.(2013安徽文19)設(shè)數(shù)列滿足,且對(duì)任意,函數(shù)滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;;(2)若,求數(shù)列的前項(xiàng)和.1.分析(1)求導(dǎo),代入,并對(duì)所得式子進(jìn)行變形,從而證明數(shù)列是等差數(shù)列,再由題目條件求基本量,得通項(xiàng)公式.(2)將代入化簡(jiǎn),利用分組求和法,結(jié)合等差、等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式計(jì)算.解析(1)由題設(shè)可得.對(duì)任意,,即,故為等差數(shù)列.由,,可得數(shù)列的公差,所以.(2)由知,.2.(2013廣東文19)設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為,滿足,,且構(gòu)成等比數(shù)列.(1)證明:;(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(3)證明:對(duì)一切正整數(shù),有2.分析(1)把代入遞推式,可以得到和的關(guān)系式,變形可得.(2)鑒于遞推式含有的特點(diǎn),常用公式進(jìn)行化異為同,得到和的遞推式,構(gòu)造等差數(shù)列,進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng).(3)要證的不等式的左邊是一個(gè)新數(shù)列的前項(xiàng)和,因此要求和、化簡(jiǎn),因?yàn)槭且粋€(gè)分式,常常通過(guò)裂項(xiàng)相消法逐項(xiàng)相消,然后再通過(guò)放縮,得出結(jié)論.解析(1)證明:由,得,即,所以.因?yàn)?,所?(2)因?yàn)棰偎援?dāng)時(shí),②由①-②得,即.因?yàn)?,所以,?因?yàn)槌傻缺葦?shù)列,所以,即,解得.又由(1)知,所以,所以.綜上知,所以數(shù)列是首項(xiàng)為,公差為的等差數(shù)列.所以.所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.(3)證明:由(2)知,所以.3.(2013江西文16)正項(xiàng)數(shù)列滿足:.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)令,數(shù)列的前項(xiàng)和為.3.分析(1)根據(jù)已知的和的關(guān)系式進(jìn)行因式分解,通過(guò)得到數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)把數(shù)列的通項(xiàng)公式代入的表達(dá)式,利用裂項(xiàng)法求出數(shù)列的前項(xiàng)和.解析(1)由,得.由于是正項(xiàng)數(shù)列,所以.(2)由,則,.(2013重慶文16)設(shè)數(shù)列滿足:.(1)求的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和;(2)已知是等差數(shù)列,為其前項(xiàng)和,且,求.4.分析根據(jù)等比、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式直接運(yùn)算求解.解析(1)由題設(shè)知是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列,所以.(2),所以公差,故.5.(2013湖南文19)設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和,已知,2,.(1)求,,并求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.5.分析根據(jù)消去得到關(guān)于的關(guān)系式,求其通項(xiàng);利用錯(cuò)位相減法求前項(xiàng)和.解析(1)令,得,即.因?yàn)?,所?令,得,解得.當(dāng)時(shí),由,即.于是數(shù)列是首項(xiàng)為.公比為的等比數(shù)列.因此,.所以的通項(xiàng)公式為.(2)由(1)知,.記數(shù)列的前項(xiàng)和為,于是,.,得.從而.6.(2014陜西文4)根據(jù)如圖所示框圖,對(duì)大于的整數(shù),輸出的數(shù)列的通項(xiàng)公式是().A.B.C.D.7.(2014新課標(biāo)Ⅱ文16)數(shù)列滿足,,則.8.(2014江西文17)(本小題滿分12分)已知數(shù)列的前項(xiàng)和.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)求證:對(duì)任意,都有,使得成等比數(shù)列.9.(2014大綱文17)(本小題滿分10分)數(shù)列滿足.(1)設(shè),證明是等差數(shù)列;(2)求的通項(xiàng)公式.10.(2014廣東文19)(本小題滿分14分)設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為,且滿足.求的值;求數(shù)列的通項(xiàng)公式;求證:對(duì)一切正整數(shù),有.11.(2014湖南文16)(本小題滿分12分)已知數(shù)列的前項(xiàng)和.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.12.(2015陜西文16)觀察下列等式:……據(jù)此規(guī)律,第個(gè)等式可為_(kāi)_____________________.12.解析觀察等式知,第個(gè)等式的左邊有個(gè)數(shù)相加減,奇數(shù)項(xiàng)為正,偶數(shù)項(xiàng)為負(fù),且分子為,分母是到的連續(xù)正整數(shù),等式的右邊是.故答案為.13.(2015江蘇卷11)設(shè)數(shù)列滿足,且,則數(shù)列前項(xiàng)的和為.13.解析解法一:可以考慮算出前項(xiàng),但運(yùn)算化簡(jiǎn)較繁瑣.解法二:由題意得,,…,故累加得,從而,當(dāng)時(shí),滿足通項(xiàng).故,則有.14.(2015安徽理18)已知數(shù)列是遞增的等比數(shù)列,且,.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和,,求數(shù)列的前項(xiàng)和.14.解析(1)因?yàn)槭堑缺葦?shù)列,且,所以.聯(lián)立,又為遞增的等比數(shù)列,即.解得或(舍),可得,得.所以.(2)由(1)可知,所以,所以.故.15.(2015北京文16)已知等差數(shù)列滿足,.(1)求的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)等比數(shù)列滿足,;問(wèn):與數(shù)列的第幾項(xiàng)相等?15.解析(1)依題意,設(shè)等差數(shù)列的公差為,①②得,.數(shù)列的通項(xiàng)公式為.(2)等比數(shù)列中,,設(shè)等比數(shù)列的公比為,.,得,則與數(shù)列的第項(xiàng)相等.16.(2015福建文17)在等差數(shù)列中,,.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè),求的值.16.分析(1)利用基本量法可求得,,進(jìn)而求的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列前項(xiàng)和,首先考慮其通項(xiàng)公式,根據(jù)通項(xiàng)公式的不同特點(diǎn),選擇相應(yīng)的求和方法,本題,故可采取分組求和法求其前項(xiàng)和.解析(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為.由已知得,解得.所以.(2)由(1)可得,所以.17.(2015廣東文19)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,.已知,,,且當(dāng)時(shí),.(1)求的值;(2)求證:為等比數(shù)列;(3)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.17.解析(1)當(dāng)時(shí),,即,解得.(2)因?yàn)椋ǎ裕ǎ?,即(),亦即,則.當(dāng)時(shí),,滿足上式.故數(shù)列是以為首項(xiàng),公比為的等比數(shù)列.(3)由(2)可得,即,所以數(shù)列是以為首項(xiàng),為公差的等差數(shù)列,所以,即,所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是.18.(2015湖北文19)設(shè)等差數(shù)列的公差為,前項(xiàng)和為,等比數(shù)列的公比為,已知,,,.(1)求數(shù)列,的通項(xiàng)公式;(2)當(dāng)時(shí),記,求數(shù)列的前項(xiàng)和.18.解析(1)由題意有,,即.解得,或.故或.(2)由,知,,故,于是,①.②式①式②可得.故.19.(2015山東文19)已知數(shù)列是首項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列,數(shù)列的前項(xiàng)和為.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;()設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.19.解析(1)設(shè)數(shù)列的公差為,令,得,即.令,得,即.聯(lián)立,解得,.所以.(2)由(1)知,得到,從而,得,所以.19.(2015四川文16)設(shè)數(shù)列()的前項(xiàng)和滿足,且,,成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,求.19.解析(1)由已知,可得,即.則,.又因?yàn)?,,成等差?shù)列,即.所以,解得.所以數(shù)列是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列.故.(2)由(1)可得,所以.20.(2015天津文18)已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,是等差數(shù)列,且,,.(1)求和的通項(xiàng)公式;(2)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.20.分析(1)列出關(guān)于與的方程組,通過(guò)解方程組求出,即可確定通項(xiàng);(2)用錯(cuò)位相減法求和.解析(1)設(shè)的公比為,的公差為,由題意,由已知,有,消去得,解得,所以的通項(xiàng)公式為,的通項(xiàng)公式為.(2)由(1)有,設(shè)的前項(xiàng)和為,則,,兩式相減得,所以.21.(2015浙江文17)已知數(shù)列和滿足,.(1)求與;(2)記數(shù)列的前項(xiàng)和為,求.21.解析(1)由題意知是等比數(shù)列,,,所以.當(dāng)時(shí),,所以,所以,所以,又,所以.(或采用累乘法)(2),所以,所以,所以.22.(2015重慶文16)已知等差數(shù)列滿足,前3項(xiàng)和.(1)求的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)等比數(shù)列滿足,,求前項(xiàng)和.22.解析(1)設(shè)的公差為,則由已知條件得,,化簡(jiǎn)得,,解得,,故通項(xiàng)公式,.(2)由(1)得,.設(shè)的公比為,則,從而,故的前項(xiàng)和.23.(2016浙江文17)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為.已知,,.(1)求通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.23.解析(1)由題意得,則.因?yàn)椋?,所以,?又知,所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為,.(2)對(duì)于,,,當(dāng)時(shí),有.設(shè),,,,當(dāng)時(shí),有.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,則,.當(dāng)時(shí),,時(shí)也滿足此式,所以.24.(2017全國(guó)3文17)設(shè)數(shù)列滿足.(1)求的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.24.解析(1)令,則有,即.當(dāng)時(shí),=1\*GB3①=2\*GB3②得,即,得.當(dāng)時(shí),也符合,所以.(2)令,所以.評(píng)注本題具有一定的難度,第一問(wèn)要求學(xué)生具備一定的轉(zhuǎn)化與化歸的思想,將不熟悉的表達(dá)形式轉(zhuǎn)化為常規(guī)數(shù)列求通項(xiàng)問(wèn)題才能迎刃而解.第二問(wèn)屬于常規(guī)裂項(xiàng)相消問(wèn)題,沒(méi)有難度,如果學(xué)生第一問(wèn)求解時(shí)出現(xiàn)困難的話,可以用找規(guī)律的方法求出其通項(xiàng),這樣可以拿到第二問(wèn)的分?jǐn)?shù),不失為一種靈活變通的處理方法.25.(2017山東文19)已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,且,.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)為各項(xiàng)非零的等差數(shù)列,其前項(xiàng)和,已知,求數(shù)列的前項(xiàng)和.25.解析(1)設(shè)數(shù)列的公比為,由題意知,,.又,解得,,所以.(2)由題意知,.又,,所以.令,則,因此,又,兩式相減得,所以.題型75數(shù)列的求和1.(2015湖南文5)執(zhí)行如圖所示的程序框圖,如果輸入,則輸出的().A.B.C.D.1.解析由題意,輸出的為數(shù)列的前項(xiàng)和,即.故選B.2.(2015安徽理18)已知數(shù)列是遞增的等比數(shù)列,且,.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和,,求數(shù)列的前項(xiàng)和.2.解析(1)因?yàn)槭堑缺葦?shù)列,且,所以.聯(lián)立,又為遞增的等比數(shù)列,即.解得或(舍),可得,得.所以.(2)由(1)可知,所以,所以.故.3.(2014安徽文18)(本小題滿分12分)數(shù)列滿足,,.(1)求證:數(shù)列是等差數(shù)列;(2)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.3.解析(=1\*ROMANI)由已知可得,即.所以是以為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列.(=2\*ROMANII)由(=1\*ROMANI)得,所以.從而.,①.②得.所以.評(píng)注本題考查等差數(shù)列定義的應(yīng)用,錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前項(xiàng)和,解題時(shí)利用題(=1\*ROMANI)提示對(duì)遞推關(guān)系進(jìn)行變形是關(guān)鍵.4.(2015福建文17)在等差數(shù)列中,,.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè),求的值.4.分析(1)利用基本量法可求得,,進(jìn)而求的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列前項(xiàng)和,首先考慮其通項(xiàng)公式,根據(jù)通項(xiàng)公式的不同特點(diǎn),選擇相應(yīng)的求和方法,本題,故可采取分組求和法求其前項(xiàng)和.解析(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為.由已知得,解得.所以.(2)由(1)可得,所以.5.(2015湖北文19)設(shè)等差數(shù)列的公差為,前項(xiàng)和為,等比數(shù)列的公比為,已知,,,.(1)求數(shù)列,的通項(xiàng)公式(2)當(dāng)時(shí),記,求數(shù)列的前項(xiàng)和.5.解析(1)由題意有,,即.解得,或.故或.(2)由,知,,故,于是,①.②式①式②可得.故.6.(2015湖南文19)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,已知,,且.(1)證明:;(2)求.6.解析(1)由條件,對(duì)任意,有,因而對(duì)任意,有,兩式相減,得,即,又,所以,故對(duì)一切,.(2)由(1)知,,所以,于是數(shù)列是首項(xiàng),公比為的等比數(shù)列,數(shù)列是首項(xiàng),公比為的等比數(shù)列,所以,(于是,從而,綜上所述,.7.(2015山東文19)已知數(shù)列是首項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列,數(shù)列的前項(xiàng)和為.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;()設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.7.解析(1)設(shè)數(shù)列的公差為,令,得,即令,得,即聯(lián)立,解得,.所以.(2)由(1)知,得到,從而,得,所以.8.(2015四川文16)設(shè)數(shù)列()的前項(xiàng)和滿足,且,,成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,求.8.解析(1)由已知,可得,即.則,.又因?yàn)?,,成等差?shù)列,即.所以,解得.所以數(shù)列是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列.故.(2)由(1)可得,所以.9.(2015天津文18)已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,是等差數(shù)列,且,,.(1)求和的通項(xiàng)公式;(2)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.9.分析(1)列出關(guān)于與的方程組,通過(guò)解方程組求出,即可確定通項(xiàng);(2)用錯(cuò)位相減法求和.解析(1)設(shè)的公比為,的公差為,由題意,由已知,有,消去得,解得,所以的通項(xiàng)公式為,的通項(xiàng)公式為.(2)由(1)有,設(shè)的前項(xiàng)和為,則,,兩式相減得,所以.10.(2015浙江文17)已知數(shù)列和滿足,.(1)求與;(2)記數(shù)列的前項(xiàng)和為,求.10.解析(1)由題意知是等比數(shù)列,,,所以.當(dāng)時(shí),,所以,所以,所以.又,所以(或采用累乘法).(2),所以,所以,所以.11.(2015重慶文16)已知等差數(shù)列滿足,前3項(xiàng)和.(1)求的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)等比數(shù)列滿足,,求前項(xiàng)和.11.解析(1)設(shè)的公差為,則由已知條件得,,化簡(jiǎn)得,,解得,,故通項(xiàng)公式,.(2)由(1)得,.設(shè)的公比為,則,從而,故的前項(xiàng)和.12.(2016北京文15)已知是等差數(shù)列,是等比數(shù)列,且,,,.(1)求的通項(xiàng)公式;(2)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.12.解析(1)等比數(shù)列的公比,所以,.設(shè)等差數(shù)列的公差為.因?yàn)椋?,所以,?所以.(2)由(1)知,,.因此.從而數(shù)列的前項(xiàng)和.13.(2016山東文19)已知數(shù)列的前項(xiàng)和,是等差數(shù)列,且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)令.求數(shù)列的前n項(xiàng)和.13.解析(1)由題意當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,所以.設(shè)數(shù)列的公差為,由,即,解得,所以.(2)由(1)知,又,即,所以,以上兩式兩邊相減得.所以.14.(2016浙江文17)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為.已知,,.(1)求通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.14.解析(1)由題意得:,則.因?yàn)?,,所以,?又知,所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為,.(2)對(duì)于,,,當(dāng)時(shí),有.設(shè),,,,當(dāng)時(shí),有.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,則,.當(dāng)時(shí),,時(shí)也滿足此式,所以.15.(2017全國(guó)3文17)設(shè)數(shù)列滿足.(1)求的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.15.解析(1)令,則有,即.當(dāng)時(shí),=1\*GB3①=2\*GB3②得,即,得.當(dāng)時(shí),也符合,所以.(2)令,所以.評(píng)注本題具有一定的難度,第一問(wèn)要求學(xué)生具備一定的轉(zhuǎn)化與化歸的思想,將不熟悉的表達(dá)形式轉(zhuǎn)化為常規(guī)數(shù)列求通項(xiàng)問(wèn)題才能迎刃而解.第二問(wèn)屬于常規(guī)裂項(xiàng)相消問(wèn)題,沒(méi)有難度,如果學(xué)生第一問(wèn)求解時(shí)出現(xiàn)困難的話,可以用找規(guī)律的方法求出其通項(xiàng),這樣可以拿到第二問(wèn)的分?jǐn)?shù),不失為一種靈活變通的處理方法.16.(2017山東文19)已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,且,.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)為各項(xiàng)非零的等差數(shù)列,其前項(xiàng)和,已知,求數(shù)列的前項(xiàng)和.16.解析(1)設(shè)數(shù)列的公比為,由題意知,,.又,解得,,所以.(2)由題意知,.又,,所以.令,則,因此,又,兩式相減得,所以.第十三章推理與證明第一節(jié)合情推理與演繹推理題型143歸納推理2013年1.(2013陜西文13)觀察下列等式:照此規(guī)律,第個(gè)等式可為.2014年1.(2014陜西文14)已知,,,,則的表達(dá)式為_(kāi)_________.2.(2014安徽文12)如圖所示,在等腰直角三角形中,斜邊,過(guò)點(diǎn)作的垂線,垂足為;過(guò)點(diǎn)作的垂線,垂足為;過(guò)點(diǎn)作的垂線,垂足為;…,以此類推,設(shè),,,…,,則.2015年1.(2015陜西文16)觀察下列等式:……據(jù)此規(guī)律,第個(gè)等式可為_(kāi)_________.1.解析觀察等式知,第個(gè)等式的左邊有個(gè)數(shù)相加減,奇數(shù)項(xiàng)為正,偶數(shù)項(xiàng)為負(fù),且分子為,分母是到的連續(xù)正整數(shù),等式的右邊是.故答案為.2.(2015江蘇23)已知集合,,設(shè)整除或整除,,令表示集合所含元素的個(gè)數(shù).(1)寫(xiě)出的值;(2)當(dāng)時(shí),寫(xiě)出的表達(dá)式,并用數(shù)學(xué)歸納法證明.2.分析其實(shí)解決此除了需要有良好的數(shù)學(xué)分類思維以外,還需下表輔助我們理解問(wèn)題的本質(zhì).帶標(biāo)記的表示為的倍數(shù)或約數(shù)(其實(shí)是奇葩,其余的都是的倍數(shù)),帶標(biāo)記的表示為的倍數(shù)或約數(shù),而則表示既是的倍數(shù)或約數(shù)又是的倍數(shù)或約數(shù)(即為的倍數(shù)或約數(shù),此題不作研究).這樣研究時(shí),可直接得:,當(dāng)時(shí),可直接得:.這就是本題的本質(zhì),以為周期進(jìn)行分類整合并進(jìn)行數(shù)學(xué)歸納研究.解析(1)當(dāng)時(shí),,,可取,,,,,,,,,,,,,共個(gè),故.(2)當(dāng)時(shí),,證明:當(dāng)時(shí),枚舉可得,,,,,,符合通式;假設(shè)時(shí),成立,即成立,則當(dāng)時(shí),此時(shí),此時(shí)比多出有序數(shù)對(duì)個(gè),即多出,,,,,,,,,,,從而,符合通式;另外,當(dāng),,,,,同理可證,綜上,即,即當(dāng)時(shí)也成立.例如時(shí),,則,綜上所述:.2016年1.(2016山東文12)觀察下列等式:;;;;……照此規(guī)律,_________.1.解析通過(guò)觀察這一系列等式可以發(fā)現(xiàn),等式右邊最前面的數(shù)都是,接下來(lái)是和項(xiàng)數(shù)有關(guān)的兩項(xiàng)的乘積,經(jīng)歸納推理可知是,所以第個(gè)等式右邊是.題型144類比推理——暫無(wú)題型145演繹推理——隱含在好多題目的證明過(guò)程中補(bǔ)充題型邏輯推理2014年1.(2014新課標(biāo)Ⅰ文14)甲、乙、丙三位同學(xué)被問(wèn)到是否去過(guò),,三個(gè)城市時(shí),甲說(shuō):我去過(guò)的城市比乙多,但沒(méi)去過(guò)城市;乙說(shuō):我沒(méi)去過(guò)城市;丙說(shuō):我們?nèi)巳ミ^(guò)同一城市;由此可判斷乙去過(guò)的城市為.2017年1.(2017全國(guó)2卷文9)甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去向老師詢問(wèn)成語(yǔ)競(jìng)賽的成績(jī).老師說(shuō):“你們四人中有2位優(yōu)秀,2位良好,我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績(jī),給乙看丙的成績(jī),給丁看甲的成績(jī)”.看后甲對(duì)大家說(shuō):“我還是不知道我的成績(jī)”.根據(jù)以上信息,則().A.乙可以知道四人的成績(jī)B.丁可以知道四人的成績(jī)C.乙、丁可以知道對(duì)方的成績(jī)D.乙、丁可以知道自己的成績(jī)1.解析由甲的說(shuō)法可知乙、丙一人優(yōu)秀一人良好,則甲、丁一人優(yōu)秀一人良好,乙看到丙的結(jié)果則知道自己的結(jié)果,丁看到甲的結(jié)果則知道自己的結(jié)果.故選D.第二節(jié)證明題型146綜合法與分析法證明2015年1.(2015全國(guó)II文24)選修4-5:不等式選講設(shè),,,均為正數(shù),且.證明:(1)若,則;(2)是的充要條件.1.分析(1)由,及,可證明,兩邊開(kāi)方即得;(2)由第(1)問(wèn)的結(jié)論來(lái)證明.在證明中要注意分別證明充分性和必要性.解析(1)因?yàn)椋?,由題設(shè),,得,因此.(2)(i)若,則,即.因?yàn)?,所以,由?)得.(ii)若,則,即.因?yàn)?,所以,于是,因?綜上,是的充要條件.命題意圖不等式的證明要緊抓不等式的性質(zhì),結(jié)合其正負(fù)性來(lái)證明.充要條件的證明體現(xiàn)了數(shù)學(xué)推理的嚴(yán)謹(jǐn)性,要分充分性和必要性兩個(gè)方面來(lái)證明.2016年1.(2016四川文18(1))在中,角,,所對(duì)的邊分別是,,,且證明:.1.解析根據(jù)正弦定理,可設(shè),則,,.代入中,有,可變形得在中,由,有,所以2.(2016浙江文16(1))在中,內(nèi)角,,所對(duì)的邊分別為,,.已知.證明:.2.解析(1)由正弦定理得,故,于是.又,故,所以或,因此(舍去)或,所以題型147反證法證明2014年1.(2014山東文4)用反證法證明命題:“設(shè)為實(shí)數(shù),則方程至少有一個(gè)實(shí)根”時(shí),要做的假設(shè)是().A.方程沒(méi)有實(shí)根 B.方程至多有一個(gè)實(shí)根C.方程至多有兩個(gè)實(shí)根 D.方程恰好有兩個(gè)實(shí)根2015年1.(2015湖南理16(3))設(shè),,且.(1);(2)與不可能同時(shí)成立.1.解析證明:由,,得.()由基本不等式及,有,即.()假設(shè)與同時(shí)成立,則由及得;同理,,從而,與相矛盾.故與不可能同時(shí)成立.2016年1.(2016全國(guó)甲文16)有三張卡片,分別寫(xiě)有和,和,和.甲,乙,丙三人各取走一張卡片,甲看了乙的卡片后說(shuō):“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是”,乙看了丙的卡片后說(shuō):“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是”,丙說(shuō):“我的卡片上的數(shù)字之和不是”,則甲的卡片上的數(shù)字是_______.1.解析由題意得:丙不拿,若丙,則乙,甲滿足;若丙,則乙,甲不滿足,故甲.2.(2016上海文22)對(duì)于無(wú)窮數(shù)列與,記,,若同時(shí)滿足條件:①,均單調(diào)遞增;②且,則稱與是無(wú)窮互補(bǔ)數(shù)列.(1)若,,判斷與是否為無(wú)窮互補(bǔ)數(shù)列,并說(shuō)明理由;(2)若=且與是無(wú)窮互補(bǔ)數(shù)列,求數(shù)列的前項(xiàng)的和;(3)若與是無(wú)窮互補(bǔ)數(shù)列,為等差數(shù)列且,求與的通項(xiàng)公式.2.解析(1)易知,,而,,所以,從而與不是無(wú)窮互補(bǔ)數(shù)列.(2)由題意,因?yàn)?,所?數(shù)列的前項(xiàng)的和為.(3)設(shè)的公差為,,則.由,得或.若,則,,與“與是無(wú)窮互補(bǔ)數(shù)列”矛盾,因?yàn)榇藭r(shí)不是無(wú)窮數(shù)列;若,則,,.綜上所述,,.導(dǎo)數(shù)第2節(jié)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用題型40方程解(零點(diǎn))的個(gè)數(shù)問(wèn)題1.(2014江蘇19(2))已知函數(shù).若(實(shí)數(shù)是與無(wú)關(guān)的常數(shù)),當(dāng)函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)時(shí),的取值范圍恰好是,求的值.1.解析解法一:因,故,由(1)得:當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增,不滿足題意;當(dāng)時(shí),若函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn),則恒成立,從而對(duì)恒成立,構(gòu)造,則對(duì)恒成立,故單調(diào)遞減,從而,故.當(dāng)時(shí),若函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn),則恒成立,從而對(duì)恒成立,構(gòu)造,則,令,則,故在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,則,從而,即.綜上得.解法二:因,故,由(1)得:當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增,不滿足題意;當(dāng)時(shí),若函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn),則只需保證,又實(shí)數(shù)的解集為,因此,,是方程的三個(gè)實(shí)數(shù)根,易知該方程必有一根,從而若時(shí),則,驗(yàn)證知不為其根,故舍;若時(shí),則,驗(yàn)證知,是其根,驗(yàn)證不等式,即,即,其解集為,滿足題意;若時(shí),則,驗(yàn)證知不為其根,故舍.綜上得.解法三:因,故,由(1)得:當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增,不滿足題意;當(dāng)時(shí),若函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn),則,從而,根據(jù)的取值范圍可知:是方程的根,因此.當(dāng)時(shí),若,則根據(jù)函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn),則必有,即.因此解得或或,符合題意.綜上得.評(píng)注(2)的解法一將該問(wèn)題轉(zhuǎn)化到恒成立解決;解法二將問(wèn)題統(tǒng)一歸類轉(zhuǎn)化到不等式的解集,進(jìn)而轉(zhuǎn)化到等式(方程)的根;解法三亦是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化到不等式的解集問(wèn)題進(jìn)行解決.2.(2015北京文19(2))設(shè)函數(shù).證明:若存在零點(diǎn),則在區(qū)間上僅有一個(gè)零點(diǎn).2.解析若存在零點(diǎn),則即,解得.又,,且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,所以在區(qū)間上僅有一個(gè)零點(diǎn).3.(2015廣東文21(3))設(shè)為實(shí)數(shù),函數(shù).當(dāng)時(shí),討論在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).3.解析由(2)得在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所以.(i)當(dāng)時(shí),,.令=0,即.因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減,所以.而在上單調(diào)遞增,.所以在上,故與在無(wú)交點(diǎn).當(dāng)時(shí),,即.所以,所以.因?yàn)?,所?故當(dāng)時(shí),有一個(gè)零點(diǎn).(ii)當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,,而在上單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),.下面比較與的大?。阂?yàn)?,所?結(jié)合圖像可知當(dāng)時(shí),與有兩個(gè)交點(diǎn).綜上,當(dāng)時(shí),有一個(gè)零點(diǎn);當(dāng)時(shí),與有兩個(gè)零點(diǎn).4.(2015新課標(biāo)Ⅰ卷文21(1))設(shè)函數(shù).討論的導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù);4.解析由題意可得,.顯然當(dāng)時(shí),恒成立,無(wú)零點(diǎn);當(dāng)時(shí),取,則,即單調(diào)遞增.令,即.畫(huà)出與的圖像,如圖所示.由圖可知,必有零點(diǎn),所以導(dǎo)函數(shù)存在唯一零點(diǎn).5.(2015山東文20())設(shè)函數(shù),.已知曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行.是否存在自然數(shù),使得方程在內(nèi)存在唯一的根?如果存在,求出;如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;5.解析時(shí),方程在內(nèi)存在唯一的根.設(shè),當(dāng)時(shí),.又,所以存在,使.因?yàn)?,所以?dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,所以當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增.所以時(shí),方程在內(nèi)存在唯一的根.6.(2015陜西文21(2))設(shè)證明:在內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)(記為),且.6.解析因?yàn)?,,所以在?nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn),又,所以在內(nèi)單調(diào)遞增,因此,在內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn),由于,所以,由此可得,故,所以.7.(2015四川文21(2))已知函數(shù),其中.求證:存在,使得恒成立,并且在區(qū)間內(nèi)有唯一解.7.解析由,解得,令.則,,所以存在,使得.令,其中.由,可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.故,即.當(dāng)時(shí),有,,再由(1)可知,在區(qū)間上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí),,所以;當(dāng)時(shí),,所以.又當(dāng)時(shí),,故時(shí),.綜上所述,存在,使得恒成立,且在區(qū)間內(nèi)有唯一解.8.(2016北京文20)設(shè)函數(shù).(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程;(2)設(shè),若函數(shù)有三個(gè)不同零點(diǎn),求的取值范圍;(3)求證:是有三個(gè)不同零點(diǎn)的必要而不充分條件.8.解析(1)由,得.因?yàn)椋?,所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.(2)當(dāng)時(shí),,所以.令,得,解得或.與在區(qū)間上的變化情況如下表所示.所以當(dāng)且時(shí),存在,,,使得.由的單調(diào)性,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),函數(shù)有三個(gè)不同零點(diǎn).(3)證法一:分兩步證明.必要性:若函數(shù)有三個(gè)不同零點(diǎn),那么的單調(diào)性必然變化次,因此其導(dǎo)函數(shù)必然有2個(gè)不同的零點(diǎn),從而的判別式,即.非充分性:取,則函數(shù),其導(dǎo)函數(shù).所以其極大值為,其極小值為,因此函數(shù)只有1個(gè)零點(diǎn).綜上所述,是有三個(gè)不同零點(diǎn)的必要而不充分條件.證法二:分兩步證明.必要性(反證法)若,則恒成立,所以單調(diào)遞增,于是最多只有1個(gè)零點(diǎn),與條件不符,所以.以下證明同證法一.9.(2016山東文15)已知函數(shù),其中,若存在實(shí)數(shù),使得關(guān)于的方程有三個(gè)不同的根,則的取值范圍是________________.9.解析因?yàn)榈膶?duì)稱軸為,所以時(shí)單調(diào)遞增,只要大于的最小值時(shí),關(guān)于的方程在時(shí)有一根;又在,時(shí),存在實(shí)數(shù),使方程在時(shí)有兩個(gè)根,只需;故只需即可,又,所以解得,即的取值范圍是.10.(2016江蘇19)已知函數(shù).(1)設(shè),.①求方程的根;②若對(duì)于任意,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的最大值;(2)若,,函數(shù)有且只有個(gè)零點(diǎn),求的值.10.解析(1)①,由可得,則,即,則,解得;②由題意得恒成立,即恒成立.令,則由,可得,此時(shí)恒成立,即恒成立,因?yàn)闀r(shí),當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,因此實(shí)數(shù)的最大值為.(2),,由,可得,令,則單調(diào)遞增,而,因此時(shí).因此時(shí),,,則;時(shí),,,則.則在遞減,遞增.解法一:下證.=1\*GB3①若,則,于是,又且,因此連續(xù)函數(shù)在以與為端點(diǎn)的區(qū)間上存在零點(diǎn),不妨記為.由且可知,這與“是函數(shù)的唯一零點(diǎn)”相矛盾.=2\*GB3②若,仿照=1\*GB3①可得到,連續(xù)函數(shù)在以與為端點(diǎn)的區(qū)間上存在大于的零點(diǎn),也相矛盾.=3\*GB3③綜合=1\*GB3①=2\*GB3②可知,即,即,即,因此,則.評(píng)注解法二:(也可以作為研究對(duì)象)因此最小值為.①若,時(shí),,,則;時(shí),,,則;因此且時(shí),,因此在有零點(diǎn),且時(shí),,因此在有零點(diǎn),則至少有兩個(gè)零點(diǎn),與條件矛盾;②若,由函數(shù)有且只有個(gè)零點(diǎn),最小值為,可得,由,因此,所以,即,亦即,因此,則.11.(2016全國(guó)乙文21)已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性;(2)若有兩個(gè)零點(diǎn),求的取值范圍.11.解析(1)由題意.=1\*GB3①當(dāng),即時(shí),恒成立.令,則,所以的單調(diào)增區(qū)間為.同理可得的單調(diào)減區(qū)間為.=2\*GB3②當(dāng),即時(shí),令,則或.(?。┊?dāng),即時(shí),令,則或,所以的單調(diào)增區(qū)間為和.同理的單調(diào)減區(qū)間為;(ⅱ)當(dāng),即時(shí),當(dāng)時(shí),,,所以.同理時(shí),.故的單調(diào)增區(qū)間為;(ⅲ)當(dāng),即時(shí).令,則或,所以的單調(diào)增區(qū)間為和,同理的單調(diào)減區(qū)間為.綜上所述,當(dāng)時(shí),的單調(diào)增區(qū)間為和,單調(diào)減區(qū)間為;當(dāng)時(shí),的單調(diào)增區(qū)間為;當(dāng)時(shí),的單調(diào)增區(qū)間為和,單調(diào)減區(qū)間為;當(dāng)時(shí),的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為.(2)解法一(直接討論法):易見(jiàn),如(1)中討論,下面先研究(?。áⅲá#┤N情況.①當(dāng)時(shí),由單調(diào)性可知,,故不滿足題意;②當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增,顯然不滿足題意;③當(dāng)時(shí),由的單調(diào)性,可知,且,故不滿足題意;下面研究,當(dāng)時(shí),,令,則,因此只有個(gè)零點(diǎn),故舍去;當(dāng)時(shí),,,所以在上有個(gè)零點(diǎn);(i)當(dāng)時(shí),由,而,所以在上有個(gè)零點(diǎn);(ii)當(dāng)時(shí),由,而,所以在上有個(gè)零點(diǎn);可見(jiàn)當(dāng)時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn).所以所求的取值范圍為.解法二(分離參數(shù)法):顯然不是的零點(diǎn),當(dāng)時(shí),由,得.設(shè),則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線與圖像有兩個(gè)交點(diǎn),對(duì)求導(dǎo)得,所以在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.=1\*GB3①當(dāng)時(shí),若,,直線與圖像沒(méi)有交點(diǎn),若,單調(diào)遞減,直線與圖像不可能有兩個(gè)交點(diǎn),故不滿足條件;=2\*GB3②若時(shí),取,則,而,結(jié)合在單調(diào)遞減,可知在區(qū)間上直線與圖像有一個(gè)交點(diǎn),取,,則,,結(jié)合在單調(diào)遞增,可知在區(qū)間上直線與圖像有一個(gè)交點(diǎn),綜上所述,時(shí)直線與圖像有兩個(gè)交點(diǎn),函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).評(píng)注此題與2015年文科卷第(1)問(wèn)基本一致,都是對(duì)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的研究,基本形成分離與不分離兩種解答方案,但不管是否分離,都涉及到零點(diǎn)的取值問(wèn)題.【1】=2\*GB3②=4\*GB3④可放一起研究,當(dāng)或,由題意,,故不滿足題意.【2】用分離參數(shù)的方法很多時(shí)候只能初步感知結(jié)論,不能替代論證.很多資料上在論證完的單調(diào)性后直接書(shū)寫(xiě)如下過(guò)程,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),令,則,所以時(shí),;時(shí),.綜上所述:時(shí)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).這里論述時(shí)是不完備的,這里涉及到極限的知識(shí),僅僅用是不夠的,可能會(huì)有值的趨向性,因此這種解析不完備是會(huì)扣除步驟分.【3】考試院提供的參考答案與去年提供的參考相仿:(i)設(shè),則由(1)可知,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,又,,取滿足且,則,所以函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).(ii)設(shè),則,令,則,因此只有個(gè)零點(diǎn),故舍去;(iii)設(shè),若,則由(1)知,在上單調(diào)遞增,又當(dāng)時(shí),,故不存在兩個(gè)零點(diǎn);當(dāng)時(shí),則由(1)知,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,又當(dāng)時(shí),,故不存在兩個(gè)零點(diǎn).綜上,的取值范圍為.12.(2017全國(guó)3文12)已知函數(shù)有唯一零點(diǎn),則().A. B. C. D.112.解析(對(duì)稱性解法)因?yàn)殛P(guān)于直線對(duì)稱,所以要有唯一零點(diǎn),只有,由此解得.故選C.評(píng)注難度中偏上,主要考查函數(shù)的性質(zhì)與函數(shù)的零點(diǎn)結(jié)論,本題的難點(diǎn)在于對(duì)函數(shù)的對(duì)稱性不夠了解,一般學(xué)生很難看出后面函數(shù)的對(duì)稱性,導(dǎo)致做題缺乏思路.本題與2016年的高考全國(guó)卷2文科數(shù)學(xué)的選擇壓軸題(第12題)類似,都是圍繞函數(shù)的性質(zhì)來(lái)考查,需要學(xué)生有較強(qiáng)的基本功底并具有較強(qiáng)的運(yùn)用能力.13.(2017江蘇14)設(shè)是定義在且周期為的函數(shù),在區(qū)間上,.其中集合,則方程的解的個(gè)數(shù)是.13.解析由題意,所以只需要研究?jī)?nèi)的根的情況.在此范圍內(nèi),且時(shí),設(shè),且互質(zhì),若,則由,可設(shè),且互質(zhì).從而,則,此時(shí)左邊為整數(shù),右邊為非整數(shù),矛盾,因此,于是不可能與內(nèi)的部分對(duì)應(yīng)相等,所以只需要考慮與每個(gè)周期內(nèi)部分的交點(diǎn).如圖所示,通過(guò)函數(shù)的草圖分析,圖中交點(diǎn)除外,其它交點(diǎn)均為的部分.且當(dāng)時(shí),,所以在附近只有一個(gè)交點(diǎn),因而方程解的個(gè)數(shù)為個(gè).故填.題型41利用導(dǎo)數(shù)證明不等式1.(2015福建文22(2))已知函數(shù).求證:當(dāng)時(shí),;1.分析構(gòu)造函數(shù),.欲證明,只需證明的最大值小于等于即可.解析令,.則有,當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞減,故當(dāng)時(shí),,即當(dāng)時(shí),.2.(2015湖北文21)設(shè)函數(shù),的定義域均為,且是奇函數(shù),是偶函數(shù),,其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1)求,的解析式,并證明:當(dāng)時(shí),,;(2)設(shè),,證明:當(dāng)時(shí),.2.解析(1)由,的奇偶性及條件①得②聯(lián)立式①式②解得,.當(dāng)時(shí),,,故.③又由基本不等式,有,即.④(2)由(1)得,⑤,⑥當(dāng)時(shí),等價(jià)于,=7\*GB3⑦等價(jià)于=8\*GB3⑧設(shè)函數(shù),由式⑤式⑥,有當(dāng)時(shí),(a)若,由式③式④,得,故在上為增函數(shù),從而,即,故式=7\*GB3⑦成立.(b)若,由③④,得,故在上為減函數(shù),從而,即,故式=8\*GB3⑧成立.綜合式=7\*GB3⑦式=8\*GB3⑧,得.3.(2015新課標(biāo)Ⅰ卷文21(2))設(shè)函數(shù).求證:當(dāng)時(shí),.3.解析由(1)可知有唯一零點(diǎn),設(shè)零點(diǎn)為,由圖可知,則當(dāng)時(shí),,即單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,即單調(diào)遞增.所以在處取得極小值,即.又,解得.①①兩邊分別取自然對(duì)數(shù),得,即.所以(當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào)).4.(2015天津文20)已知函數(shù)其中,且.(2)設(shè)曲線與軸正半軸的交點(diǎn)為,曲線在點(diǎn)處的切線方程為,求證:對(duì)于任意的正實(shí)數(shù),都有;(3)若方程(為實(shí)數(shù))有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根,,且,求證:.4.分析(2),,證明在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所以對(duì)任意的實(shí)數(shù),,對(duì)于任意的正實(shí)數(shù),都有;(3)設(shè)方程的根為,可得,由在上單調(diào)遞減,得,所以.設(shè)曲線在原點(diǎn)處的切線為,方程的根為,可得,由在上單調(diào)遞增,且,可得,所以.解析(2)設(shè),則,且,得,曲線在點(diǎn)處的切線方程為,即,令,即.則.由于在單調(diào)遞減,故在單調(diào)遞減,又因?yàn)?,所以?dāng)時(shí),,所以當(dāng)時(shí),.所以在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,所以對(duì)任意的實(shí)數(shù),,對(duì)于任意的正實(shí)數(shù),都有.(3)由(2)知,設(shè)方程的根為,可得,因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減,又由(2)知,所以.設(shè)曲線在原點(diǎn)處的切線為,可得,對(duì)任意的,有,即.設(shè)方程的根為,可得,因?yàn)樵趩握{(diào)遞增,且,因此,所以.5.(2017全國(guó)3文21)已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性;(2)當(dāng)時(shí),證明.5.解析(1),當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,,單調(diào)遞增,,,單調(diào)遞減.(2)當(dāng)時(shí),,要證,即證.令,,.當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,所以,即.評(píng)注本題難度中偏上,第(1)問(wèn)考查導(dǎo)函數(shù)含參的函數(shù)單調(diào)性的討論,第(2)問(wèn)屬于構(gòu)造函數(shù)證明不等式類問(wèn)題,有一定難度.題型42導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用(2013重慶文20)某村莊擬修建一個(gè)無(wú)蓋的圓柱形儲(chǔ)水池(不計(jì)厚度).設(shè)該儲(chǔ)水池的底面半徑為米,高為米,體積為立方米.假設(shè)建造成本僅與表面積有關(guān),側(cè)面的建造成本為元/平方米.底面的建造成本為元/平方米,該儲(chǔ)水池的總建造成本為元(為圓周率)(1)將表示成的函數(shù),并求該函數(shù)的定義域;(2)討論函數(shù)的單調(diào)性,并確定和為何值時(shí)該儲(chǔ)水池的體積最大.1.分析根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出函數(shù)關(guān)系式,并利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值.解析(1)因?yàn)樾钏貍?cè)面的總成本為(元),底面的總成本為元,所以蓄水池的總成本為元.又根據(jù)題意,所以,從而.因?yàn)?,又由可得,故函?shù)的定義域?yàn)?(2)因?yàn)?,所?令,解得(因?yàn)椴辉诙x域內(nèi),舍去).當(dāng)時(shí),,故在上為增函數(shù);當(dāng)時(shí),,故在上為減函數(shù);由此可知,在處取得最大值,此時(shí).即當(dāng),時(shí),該蓄水池的體積最大.第十三章推理與證明第一節(jié)合情推理與演繹推理題型143歸納推理2013年1.(2013陜西文13)觀察下列等式:照此規(guī)律,第個(gè)等式可為.2014年1.(2014陜西文14)已知,,,,則的表達(dá)式為_(kāi)_________.2.(2014安徽文12)如圖所示,在等腰直角三角形中,斜邊,過(guò)點(diǎn)作的垂線,垂足為;過(guò)點(diǎn)作的垂線,垂足為;過(guò)點(diǎn)作的垂線,垂足為;…,以此類推,設(shè),,,…,,則.2015年1.(2015陜西文16)觀察下列等式:……據(jù)此規(guī)律,第個(gè)等式可為_(kāi)_________.1.解析觀察等式知,第個(gè)等式的左邊有個(gè)數(shù)相加減,奇數(shù)項(xiàng)為正,偶數(shù)項(xiàng)為負(fù),且分子為,分母是到的連續(xù)正整數(shù),等式的右邊是.故答案為.2.(2015江蘇23)已知集合,,設(shè)整除或整除,,令表示集合所含元素的個(gè)數(shù).(1)寫(xiě)出的值;(2)當(dāng)時(shí),寫(xiě)出的表達(dá)式,并用數(shù)學(xué)歸納法證明.2.分析其實(shí)解決此除了需要有良好的數(shù)學(xué)分類思維以外,還需下表輔助我們理解問(wèn)題的本質(zhì).帶標(biāo)記的表示為的倍數(shù)或約數(shù)(其實(shí)是奇葩,其余的都是的倍數(shù)),帶標(biāo)記的表示為的倍數(shù)或約數(shù),而則表示既是的倍數(shù)或約數(shù)又是的倍數(shù)或約數(shù)(即為的倍數(shù)或約數(shù),此題不作研究).這樣研究時(shí),可直接得:,當(dāng)時(shí),可直接得:.這就是本題的本質(zhì),以為周期進(jìn)行分類整合并進(jìn)行數(shù)學(xué)歸納研究.解析(1)當(dāng)時(shí),,,可取,,,,,,,,,,,,,共個(gè),故.(2)當(dāng)時(shí),,證明:當(dāng)時(shí),枚舉可得,,,,,,符合通式;假設(shè)時(shí),成立,即成立,則當(dāng)時(shí),此時(shí),此時(shí)比多出有序數(shù)對(duì)個(gè),即多出,,,,,,,,,,,從而,符合通式;另外,當(dāng),,,,,同理可證,綜上,

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