高階導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的微分課件

基本求導(dǎo)公式導(dǎo)數(shù)的四則運算法則復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法復(fù)習(xí)[f((x))]=f(u)(x)=f((x))(x)前面我們學(xué)習(xí)了函數(shù)的各種求導(dǎo)法。顯然y=x2的導(dǎo)數(shù)是y=2x，而y=2x這個函數(shù)仍然可導(dǎo)，(2x)=2.定義2.2對于函數(shù)y=f(x)，若其導(dǎo)數(shù)y=f

(x)可導(dǎo)，則稱y=f

(x)的導(dǎo)數(shù)[f

(x)]為函數(shù)y=f(x)的二階導(dǎo)數(shù)，記作：y或f

(x)或或y(2)。即：y=(y)，f

(x)=[f

(x)]。同樣地，若函數(shù)y=f(x)可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)y=f

(x)仍然可導(dǎo)，即[f

(x)]存在，則稱[f(x)]為函數(shù)y=f(x)的二階導(dǎo)數(shù)?！?.4高階導(dǎo)數(shù)類似地，若函數(shù)y=f(x)的二階導(dǎo)數(shù)y仍可導(dǎo)，則稱y的導(dǎo)數(shù)為y=f(x)的三階導(dǎo)數(shù)，記作：y(3)，即y(3)=(y)。依此類推，若函數(shù)y=f(x)的n1階導(dǎo)數(shù)y(n1)可導(dǎo)，則稱y(n1)的導(dǎo)數(shù)為y=f(x)的n階導(dǎo)數(shù)，記作：y(n)，即y(n)=[y(n1)]。二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)稱為高階導(dǎo)數(shù)。例3求下列函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)：（1）y=sinx;（2）y=xn.(1)解:一般地,類似可證:

（2）y=(xn)=nx

n1y=(nxn1)=n(n1)xn2y=[n(n1)xn2]=n(n1)(n2)xn3于是，可知y

(n)=n(n1)(n2)1=n！練習(xí)：1.求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)（1）y=exlnx（2）y=x2e-2x（3）y=2.求y=e2x，(nN)的n階導(dǎo)數(shù)定義設(shè)函數(shù)y=f(x)在點x可導(dǎo),自變量在點x的改變量為x，則乘積函數(shù)f(x)x稱為函數(shù)y=f(x)在點x的微分，記為dy.即dy=f(x)x這時，也稱函數(shù)y=f(x)在點x可微。對函數(shù)y=x，由于y=(x)=1，因而dy=dx=1x=x

于是，函數(shù)y=f(x)的微分，一般記為dy=f(x)dx即函數(shù)在點x的微分等于函數(shù)在點x的導(dǎo)數(shù)與自變量微分的乘積。改寫為導(dǎo)數(shù)又稱為微商。練習(xí)：函數(shù)y=f(x)可微的充分必要條件是函數(shù)y=f(x)可導(dǎo)。函數(shù)y=f(x)在點x0的微分記為dy|x=x0即dy|x=x0

=f

(x0)dx例1若y=f(x)=x2，求x=1,x=0.01時函數(shù)的改變量y與微分dy.解由上述條件，x=1,x=0.01，因此y=f(1+x)f(1)=(1+x)212=0.0201當(dāng)x=1,x=0.01時，f(1)=(x2)|x=1=2x|x=1=2，于是dy

=f(1)

x=20.01=0.02設(shè)y=x2+x，求在x=1,x=0.1，x=0.01時函數(shù)改變量y與微分dy.定理二、微分計算dy=f(x)dx例2求下列函數(shù)的微分：解（1）由于所以（2）由于所以（3）由于所以小結(jié)3.函數(shù)微分的求法1.求導(dǎo)法則及其應(yīng)用2.高階導(dǎo)數(shù)理解高階導(dǎo)數(shù)的概念，掌握二階導(dǎo)數(shù)的求法dy=f(x)

dxdy|x