回歸的函數(shù)形式

回歸的函數(shù)形式第1頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四一、可化為線性模型的非線性回歸模型二、不可化為線性模型的非線性回歸模型三、案例：非線性模型的應(yīng)用本章要點(diǎn)：第2頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四第一節(jié)可化為線性模型的非線性回歸模型對(duì)于變量之間是非線性的，但參數(shù)之間是線性的模型，可以利用變量代換的方法將模型線性化。下面列舉在討論經(jīng)濟(jì)問題時(shí)常遇到的幾種非線性函數(shù)模型，進(jìn)行變量的代換化為線性模型。

當(dāng)解釋變量是非線性的，但參數(shù)之間是線性的時(shí)，可以利用變量直接代換的方法將模型線性化。下面列舉在討論經(jīng)濟(jì)問題時(shí)，經(jīng)常遇到的幾種非線性函數(shù)模型，進(jìn)行變量的直接代換化為線性模型。一、非線性回歸模型的直接代換第3頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四彈性度量:雙對(duì)數(shù)模型第4頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四第5頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四雙對(duì)數(shù)線性模型模型表達(dá)式：圖形形式：線性化方法：同時(shí)取自然對(duì)數(shù)

,則 lnyt=ln(0)+1lnxt

+ut

經(jīng)濟(jì)含義：E(lnyt|x)=0+1Lnxt

,dE(y|x)/y＝β1dx/x

即：x每變化1%，y相應(yīng)變化β1%；模型表達(dá)式：圖形形式：線性化方法：xt*=Lnxt,則 lnyt=ln(0)+1xt

+ut經(jīng)濟(jì)含義：E(lnyt|x)=0+1xt

,dE(y|x)/y＝β1dx

即：x每變化1個(gè)單位，y的變化率為β1，即變化100β1%第6頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四第7頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四第8頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四

著名的柯布—道格拉斯（Cobb—Douglas）生產(chǎn)函數(shù)模型就是這類模型的一個(gè)典型，我們用下面的舉例說明。下表列出了1955-1974年間墨西哥的產(chǎn)出y（用國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值GDP度量，以1960年不變價(jià)格計(jì)算，單位為百萬比索）、勞動(dòng)投入x2（用總就業(yè)人數(shù)度量，單位為千人）以及資本投入x3（用固定資本度量，以1960年不變價(jià)格計(jì)算，單位業(yè)百萬比索）的數(shù)據(jù)，試用回歸分析法解釋在墨西哥國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值產(chǎn)出中，各要素的貢獻(xiàn)及其產(chǎn)出特點(diǎn)。多元指數(shù)化模型第9頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四表墨西哥的實(shí)際GDP、就業(yè)人數(shù)和實(shí)際固定資本第10頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四解：根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，運(yùn)用Eviews3.1回歸,操作步驟為：quickemptygroupprocsmakeequation,輸出結(jié)果如下：輸出結(jié)果4.1.5：第11頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四回歸方程為：t=(-2.73)(1.83)(9.06)p=(0.0144*)(0.085)(0.000**)R2=0.995對(duì)回歸方程解釋如下：斜率系數(shù)0.3397表示產(chǎn)出對(duì)勞動(dòng)報(bào)酬的彈性，即表明在資本投入保持不變的條件下，勞動(dòng)投入每增加一個(gè)百分點(diǎn)，平均產(chǎn)出將增加0.3397個(gè)百分點(diǎn)。同樣地，在勞動(dòng)投入保持不變的條件下，資本投入每增加一個(gè)百分點(diǎn)，產(chǎn)出將平均增加0.8640個(gè)百分點(diǎn)。兩個(gè)彈性系數(shù)相對(duì)為規(guī)模報(bào)酬參數(shù)，其數(shù)值等于1.1857，表明墨西哥經(jīng)濟(jì)的特征是規(guī)模報(bào)酬遞增的（如果數(shù)值等于1，屬于規(guī)模報(bào)酬不變；小于1，則屬于規(guī)模報(bào)酬遞減）。第12頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四雖然資本對(duì)產(chǎn)出的影響看似大于勞動(dòng)力對(duì)產(chǎn)出的影響，但根據(jù)單邊檢驗(yàn)的結(jié)果，這兩個(gè)系數(shù)各自均是統(tǒng)計(jì)顯著的（這是用單邊檢驗(yàn)，因?yàn)槲覀冾A(yù)期勞動(dòng)力和資本對(duì)產(chǎn)出影響都是正向的）估計(jì)的F值也是高度相關(guān)的（因?yàn)閜值幾乎為零），因此能夠拒絕零假設(shè)：勞動(dòng)力與資本對(duì)產(chǎn)出無影響。R2值為0.995，表明勞動(dòng)力和資本（對(duì)數(shù)）解釋了大約99.5%的產(chǎn)出（對(duì)數(shù)）的變動(dòng)，說明了模型很好地?cái)M合了樣本數(shù)據(jù)。第13頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四對(duì)增長(zhǎng)率的測(cè)度:半對(duì)數(shù)模型模型表達(dá)式：yt=0+1Lnxt

+ut

圖形形式：線性化方法：xt*=Lnxt,則

yt=0+1Lnxt

+ut經(jīng)濟(jì)含義：E(yt|x)=0+1Lnxt

,dE(y|x)＝β1dx/x

即：x每變化1%，y相應(yīng)變化β1/100個(gè)單位

第14頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四第15頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四第16頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四第17頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四線性-對(duì)數(shù)模型:解釋變量是對(duì)數(shù)形式模型表達(dá)式：yt=0+1Lnxt

+ut

圖形形式：線性化方法：xt*=Lnxt,則

yt=0+1Lnxt

+ut經(jīng)濟(jì)含義：E(yt|x)=0+1Lnxt

,dE(y|x)＝β1dx/x

即：x每變化1%，y相應(yīng)變化β1/100個(gè)單位

第18頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四第19頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四第20頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四倒數(shù)模型或雙曲線模型(ReciprocalModel)

則第21頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四第22頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四即可利用一元線性回歸分析的方法處理了。例4.1.2表4.1.2給出了美國(guó)1958-1969年間小時(shí)收入指數(shù)（Y）與城市失業(yè)率（X）的數(shù)據(jù)，試用回歸分析法解釋二者之間的關(guān)系。第23頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四解：根據(jù)經(jīng)濟(jì)理論，二者之間的關(guān)系可以用倒數(shù)模型來表示令則運(yùn)用Eviews進(jìn)行回歸,操作步驟為：quickemptygroupprocsmakeequation,輸出結(jié)果如下：輸出結(jié)果如下4.1.2第24頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四第25頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四所以回歸方程為即第26頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四多項(xiàng)式回歸模型對(duì)于形如的模型為多項(xiàng)式模型。令原模型可化為線性形式即可利用多元線性回歸分析的方法處理了。第27頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四多項(xiàng)式函數(shù)模型如果模型中的解釋變量含有某個(gè)變量的多項(xiàng)式函數(shù)，則稱之為多項(xiàng)式函數(shù)模型。三次多項(xiàng)式方程的表達(dá)形式是

yt

=b0+b1

xt+b2

xt2+b3

xt

3+ut二次多項(xiàng)式方程的表達(dá)形式是

yt

=b0+b1

xt+b2

xt2+ut

第28頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四例如，描述稅收與稅率關(guān)系的拉弗曲線：拋物線s=a+br+cr2c<0s：稅收；r：稅率設(shè)=r，=r2，則原方程變換為s=a+b+cc<0例4.1.1某生產(chǎn)企業(yè)在1981-1995年間每年的產(chǎn)量和總成本如下表（表4.1.1），試用回歸分析法確定其成本函數(shù)。表4.1.1第29頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四根據(jù)成本理論，成本函數(shù)可用產(chǎn)量的三次多項(xiàng)式近似表示第30頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四第31頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四運(yùn)用Eviews進(jìn)行回歸,操作步驟為：quickemptygroupprocsmakeequation.結(jié)果如下：輸出結(jié)果4.1.1第32頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四第33頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四第34頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四可線性化的非線性模型

——取對(duì)數(shù)的基本原則以時(shí)間為測(cè)度單位的一般不取對(duì)數(shù)。比如，受教育的年數(shù)、年齡、工齡等。比率變量，一般傾向于不取對(duì)數(shù)。比如失業(yè)率、犯罪率、入學(xué)率等。如果對(duì)其取對(duì)數(shù)形式，那么一定要注意其經(jīng)濟(jì)解釋。比如，設(shè)解釋變量為失業(yè)率，最初的失業(yè)率為8%。如果解釋變量為失業(yè)率umem，那么其回歸系數(shù)β解釋為當(dāng)失業(yè)率增加一個(gè)百分點(diǎn)（percentagepointchange）的時(shí)候，….。即：當(dāng)失業(yè)率由8%增加至9%的時(shí)候，…。如果解釋變量為失業(yè)率的對(duì)數(shù)形式ln(unem