做幾何證明題方法歸納

.做幾何證明題方法歸納知識歸納：幾何證明是平面幾何中的一個重要問題，它對培養(yǎng)學(xué)生邏輯思想能力有著很大作用。幾何證明有兩種基本種類：一是平面圖形的數(shù)量關(guān)系；二是有關(guān)平面圖形的地址關(guān)系。這兩類問題經(jīng)常可以相互轉(zhuǎn)變，如證明平行關(guān)系可轉(zhuǎn)變成證明角等或角互補(bǔ)的問題。掌握解析、證明幾何問題的常用方法：1）綜合法（由因?qū)Ч瑥囊阎獥l件出發(fā)，經(jīng)過有關(guān)定義、定理、公義的應(yīng)用，漸漸向前推進(jìn)，直到問題的解決；2）解析法（執(zhí)果索因）從命題的結(jié)論考慮，商酌使其成立需要具備的條件，爾后再把所需的條件看作要證的結(jié)論連續(xù)商酌，這樣漸漸往上逆求，直到已知事實(shí)為止；3）兩頭湊法：將解析與綜合法合并使用，比較起來，解析法利于思慮，綜合法易于表達(dá)，因此，在實(shí)質(zhì)思慮問題時，可合并使用，靈便辦理，以利于縮短題設(shè)與結(jié)論的距離，最后達(dá)到證明目的。掌握構(gòu)造基本圖形的方法：復(fù)雜的圖形都是由基本圖形組成的，因此要善于將復(fù)雜圖形分解成基本圖形。在更多時候需要構(gòu)造基本圖形，在構(gòu)造基本圖形時經(jīng)常需要增加輔助線，以達(dá)到集中條件、轉(zhuǎn)變問題的目的。.證明線段相等或角相等兩條線段或兩個角相等是平面幾何證明中最基本也是最重要的一種相等關(guān)系。很多其余問題最后都可化歸為此類問題來證。證明兩條線段或兩角相等最常用的方法是利用全等三角形的性質(zhì)，其余如線段中垂線的性質(zhì)、角均分線的性質(zhì)、等腰三角形的判斷與性質(zhì)等也經(jīng)常用到。例1.已知：如圖1所示，ABC中，C90，ACBC，ADDB，AECF。求證：DE＝DFAEDCFB圖1解析：由ABC是等腰直角三角形可知，AB45，由D是AB中點(diǎn)，可考慮連結(jié)CD，易得CDAD，DCF45。從而不難發(fā)現(xiàn)DCFDAE證明：連結(jié)CDWord資料.ACBCABACB90，ADDBCDBDAD，DCBBAAECF，ADCB，ADCDADECDFDEDF說明：在直角三角形中，作斜邊上的中線是常用的輔助線；在等腰三角形中，作頂角的均分線或底邊上的中線或高是常用的輔助線。顯然，在等腰直角三角形中，更應(yīng)該連結(jié)CD，因?yàn)镃D既是斜邊上的中線，又是底邊上的中線。此題亦可延長ED到G，使DG＝DE，連結(jié)BG，證EFG是等腰直角三角形。有興趣的同學(xué)不如一試。例2.已知：如圖2所示，AB＝CD，AD＝BC，AE＝CF。求證：∠E＝∠FEADBCF圖2證明：連結(jié)AC在ABC和CDA中，ABCD，BCAD，ACCAABCCDA(SSS)BDABCD，AECFBEDF在BCE和DAF中，BEDFDBCDABCEDAF(SAS)EF說明：利用三角形全等證明線段求角相等。常須添輔助線，制造全等三角形，這時應(yīng)注意：Word資料.1）制造的全等三角形應(yīng)分別包括求證中一量；2）添輔助線可以直接獲取的兩個全等三角形。.證明直線平行或垂直在兩條直線的地址關(guān)系中，平行與垂直是兩種特其余地址。證兩直線平行，可用同位角、錯角或同旁角的關(guān)系來證，也可經(jīng)過邊對應(yīng)成比率、三角形中位線定理證明。證兩條直線垂直，可轉(zhuǎn)變成證一個角等于90°，或利用兩個銳角互余，或等腰三角形“三線合一”來證。例3.如圖3所示，設(shè)BP、CQ是ABC的角均分線，AH、AK分別為A到BP、CQ的垂線。求證：KH∥BCAQPKHBMNC圖3解析：由已知，BH均分∠ABC，又BH⊥AH，延長AH交BC于N，則BA＝BN，AH＝HN。同理，延長AK交BC于M，則CA＝CM，AK＝KM。從而由三角形的中位線定理，知KH∥BC。證明：延長AH交BC于N，延長AK交BC于MBH均分∠ABCABH∠NBH又BH⊥AHAHB∠NHB90BH＝BHABHNBH(ASA)BABN，AHHN同理，CA＝CM，AK＝KMKH是AMN的中位線KH//MN即KH//BC說明：當(dāng)一個三角形中出現(xiàn)角均分線、中線或高線重合時，則此三角形必為等腰三角形。我們也可以理解成把一個直角三角形沿一條直角邊翻折（軸對稱）而成一個等腰三角形。例4.已知：如圖4所示，AB＝AC，∠A90，AEBF，BDDC。求證：FD⊥EDWord資料.AEF231BDC圖4證明一：連結(jié)ADABAC，BDDC∠1∠290，∠DAE∠DAB∠BAC90，BDDCBDAD∠B∠DAB∠DAE在ADE和BDF中，AEBF，∠B∠DAE，ADBDADEBDF313290FDED說明：有等腰三角形條件時，作底邊上的高，或作底邊上中線，或作頂角均分線是常用輔助線。證明二：如圖5所示，延長ED到M，使DM＝ED，連結(jié)FE，F(xiàn)M，BMAFEBDCM圖5Word資料.BDDCBDMCDE，DMDEBDMCDECEBM，CCBMBM//ACA90ABM90AABAC，BFAEAFCEBMAEFBFMFEFMDMDEFDED說明：證明兩直線垂直的方法以下：（1）第一解析條件，觀察能否用供應(yīng)垂直的定理獲取，包括添常用輔助線，見此題證二。2）找到待證三直線所組成的三角形，證明其中兩個銳角互余。3）證明二直線的夾角等于90°。.證明一線段和的問題（一）在較長線段上截取一線段等一較短線段，證明其余部分等于另一較短線段。（截長法）例5.已知：如圖6所示在ABC中，B60，∠BAC、∠BCA的角均分線AD、CE訂交于O。求證：AC＝AE＋CDBEOD14235AF6C圖6解析：在AC上截取AF＝AE。易知AEOAFO，12。由B60，知5660，160，23120。123460，得：Word資料.FOCDOC，F(xiàn)CDC證明：在AC上截取AF＝AEBADCAD，AOAOAEOAFOSAS2又B60660603120123460FOCDOC(AAS)FCDC即ACAECD（二）延長一較短線段，使延長部分等于另一較短線段，則兩較短線段成為一條線段，證明該線段等于較長線段。（補(bǔ)短法）例6.已知：如圖7所示，形ABCD中，F(xiàn)在DC上，E在BC上，EAF45。求證：EF＝BE＋DFAD312FGBEC圖7解析：此題若模擬例1，將會遇到困難，不易利用形這一條件。不如延長CB至G，使BG＝DF。證明：延長CB至G，使BG＝DF在形ABCD中，ABGD90，ABADABGADF(SAS)AGAF，13又EAF4523452145即∠GAE＝∠FAEWord資料.GEEFEFBEDF中考題：如圖8所示，已知ABC為等邊三角形，延長BC到D，延長BA到E，并且使AE＝BD，連結(jié)CE、DE。求證：EC＝EDEFABCD圖8證明：作DF//AC交BE于FABC是正三角形BFD是正三角形又AE＝BDAEFDBFBAAFEF即EF＝ACAC//FDEACEFDEACDFE(SAS)ECED題型顯現(xiàn)：證明幾何不等式：例題：已知：如圖9所示，12，ABAC。求證：BDDCWord資料.A12CBDE圖9證明一：延長AC到E，使AE＝AB，連結(jié)DE在ADE和ADB中，AEAB，21，ADADADEADBBDDE，EBDCEBDCEEDEDC，BDDC證明二：如圖10所示，在AB上截取AF＝AC，連結(jié)DFA12F34BDC圖10則易證ADFADCWord資料.34，DFDCBFD3，4BBFDBBDDFBDDC說明：在有角均分線條件時，常以角均分線為軸翻折構(gòu)造全等三角形，這是常用輔助線。實(shí)戰(zhàn)模擬：1.已知：如圖11所示，ABC中，C90，D是AB上一點(diǎn)，DE⊥CD于D，交BC于E，且有ACADCE。求證：DE1CD2CEADB圖112.已知：如圖12所示，在ABC中，A2B，CD是∠C的均分線。求證：BC＝AC＋ADADBC圖123.已知：如圖13所示，過ABC的極點(diǎn)A，在∠A任引一射線，過B、C作此射線的垂Word資料.線BP和CQ。設(shè)M為BC的中點(diǎn)。求證：MP＝MQAQBCMP圖1314.ABC中，BAC90，ADBC于D，求證：ADABACBC4Word資料.【試題答案】證明：取CD的中點(diǎn)F，連結(jié)AFC41FEADBACADAFCDAFCCDE90又1490，13903ACCEACFCED(ASA)CFED1DECD2解析：此題從已知和圖形上看好象比較簡單，但一時又不知如何下手，那么在證明一條線段等于兩條線段之和時，我們經(jīng)常采用“截長補(bǔ)短”的手法?！敖亻L”立刻長的線段截成兩部分，證明這兩部分分別和兩條短線段相等；“補(bǔ)短”立刻一條短線段延長出另一條短線段之長，證明其和等于長的線段。Word資料.EADBC證明：延長CA至E，使CE＝CB，連結(jié)ED在CBD和CED中，CBCEBCDECDCDCDCBDCEDEBAC2BBAC2E又BACADEEADEE，ADA