數(shù)學(xué)讀書報告

第第頁數(shù)學(xué)讀書報告

我對數(shù)學(xué)分析的內(nèi)容總結(jié)如下：

一、引子

大體上講，數(shù)學(xué)分析就是討論實數(shù)范圍內(nèi)微分和積分的數(shù)學(xué)分支。它是在極限理論基礎(chǔ)上，以定義在實數(shù)范圍內(nèi)的函數(shù)為爭論對象的一門數(shù)學(xué)專業(yè)基礎(chǔ)課。追溯歷史，早在17世紀(jì)，Newton和Lebniz就各自獨立地發(fā)現(xiàn)了微積分，當(dāng)時是出于解決詳細問題的需要。不過，那時的理論很不完善，諸如“無窮小”之類的概念根本沒有嚴(yán)格的定義，由此引發(fā)出很多問題和沖突。

后來，Cauchy和Weierstrass等人引入嚴(yán)格的分析語言，為分析學(xué)奠定了堅固的根基。他們的工作已經(jīng)成為經(jīng)典，成為數(shù)學(xué)系本科生的入門知識。

二、對書中部分章節(jié)的宏觀理解

1.實數(shù)集與函數(shù)

書中以無限小數(shù)來引出實數(shù)的概念，便于初學(xué)者理解。值得留意的是，我們將有限小數(shù)也表示成無限小數(shù)的形式，由此，實數(shù)與無限小數(shù)之間構(gòu)成一種對應(yīng)。換句話說，任何一個實數(shù)都可用一個確定的無限小數(shù)來表示。

第二節(jié)中重點介紹了三角形不等式。需要強調(diào)的是，這一不等式貫穿整個數(shù)學(xué)分析課程，是一個極其重要的工具。在高班級課程中，我們會學(xué)習(xí)《泛函分析》。正如三角形不等式在數(shù)學(xué)分析中的重要作用，Minkowski不等式是泛函分析中一系列爭論的出發(fā)點。

此版本的《數(shù)學(xué)分析》中的極限理論是建立在確界原理之上的。

所謂確界原理是說：任一非空有界數(shù)集假設(shè)有上界，那么必有上確界。對于下確界有類似的結(jié)論。

注：它是實數(shù)連續(xù)性的表達。

2.數(shù)列極限

定理2.8是判定數(shù)列發(fā)散的有力工具。

Cauchy收斂準(zhǔn)那么給出了數(shù)列極限存在的充要條件，它的優(yōu)點在于：無需借助數(shù)列以外的數(shù)，只要依據(jù)數(shù)列自身的特性就可以鑒別其斂散性。注：它也是實數(shù)連續(xù)性的表達。

3.關(guān)于第三章中的“等價無窮小”

在計算函數(shù)極限時，采納“等價無窮小”替換往往可以簡化計算過程，但不可濫用?？蓺w納為“乘除可用，加減慎用”。

4.關(guān)于函數(shù)的連續(xù)性與全都連續(xù)性

后者是比前者更強的性質(zhì)，主要表達在全都連續(xù)性中的N只與那個任給的小正數(shù)有關(guān)，與自變量*的位置無關(guān)。

兩者之間的聯(lián)系由所謂的全都連續(xù)性定理給出，不再贅述。

5.關(guān)于微分中值定理

我們可以從幾何圖形上對中值定理予以直觀的認(rèn)識。其實Rolle定理是Lagrange中值定理的非常情形，本質(zhì)上是一樣的。將后者的圖像旋轉(zhuǎn)肯定的角度，就能成為前者。

Tayor定理的本質(zhì)是：對于具有n階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且具有n+1階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)而言，

可以用一個系數(shù)與函數(shù)f的各階導(dǎo)數(shù)有關(guān)的多項式函數(shù)去迫近它。而多項式函數(shù)的性質(zhì)是我們熟知的，便于討論。

順便提一下，對于多元函數(shù)，也有類似的Tayor定理。筆者曾爭論過這一問題。一元函數(shù)的Tayor定理中的多項式的系數(shù)依靠于“二項式定理”,而多元函數(shù)的情形依靠于所謂的“多項式系數(shù)”。

6.關(guān)于平面點集與二元函數(shù)

與一元函數(shù)類似，我們有如下的關(guān)于二元函數(shù)的最大值與最小值定理：假設(shè)函數(shù)f(*,y)在有界閉域上連續(xù)，那么存在最大值與最小值。

事實上，這一結(jié)論對有界閉集也是成立的〔后者往往更好用〕，不過其證明用到拓撲學(xué)的知識。

順便提一下，關(guān)于二元函數(shù)的極大、微小值定理可徑直推廣至多元函數(shù)的情形，只需將相應(yīng)的Hesse矩陣作形式上的改寫，本質(zhì)并無差別。

7.關(guān)于累次極限和累次積分

二重極限和累次極限的存在性無必定聯(lián)系，我們應(yīng)能正對詳細問題嫻熟地舉出反例。

在含參量正常積分與含參量反常積分中有類似的關(guān)于積分次序交換的問題。前者的條件是連續(xù)，而后者還需要加上全都收斂的條件。

三、數(shù)學(xué)分析中各部分內(nèi)容之間的聯(lián)系

數(shù)學(xué)分析中的內(nèi)容非常豐富，且各部分內(nèi)容間有著深刻的聯(lián)系，這些聯(lián)系是有趣而重要的，它們表達了分析學(xué)內(nèi)在的統(tǒng)一性。

下面我就舉幾個例子談?wù)勛约旱目捶ê腕w會。

1、在第一章中，我們學(xué)習(xí)了確界原理，在數(shù)列極限一章中學(xué)習(xí)了單調(diào)有界定理和Cauchy準(zhǔn)那么。在第七章中，我們又接觸了區(qū)間套定理、Weierstrass聚點定理、致密性定理、Heine—Borel有限掩蓋定理?，F(xiàn)在我們知道它們之間是等價的，是統(tǒng)一的，都是實數(shù)連續(xù)性的表達。

2、在函數(shù)的連續(xù)性一章中，涌現(xiàn)了介值性定理，其實數(shù)學(xué)分析中的“介值性”是普遍存在的，它揭示了某些函數(shù)或?qū)ο蟮闹虚g狀態(tài)，微分中值定理，積分中值定理都是“介值性”的表達，它們有著共同的本質(zhì)。

3數(shù)項級數(shù)與反常積分、函數(shù)項級數(shù)與含參量反常積分之間有著緊密的聯(lián)系，因而它們的討論方法是類似的，也有著平行的定理，定理19.8就表達了這種聯(lián)系。利用此定理我們可以把含參量反常積分的問題自然地轉(zhuǎn)化為函數(shù)項級數(shù)的對應(yīng)問題。Dini定理的證明就是一個很好的例子。

4、微積分基本定理揭示了導(dǎo)數(shù)與定積分之間的深刻聯(lián)系，應(yīng)用廣泛。

5、從某種意義上講，第一型曲線積分是定積分徑直而自然的推廣。

6、Newton—Leibneiz公式不僅為連續(xù)函數(shù)〔事實上條件可以再弱一些〕的定積分提供了一種有效的計算方法，更重要的是，它將不定積分和定積分這兩部分內(nèi)容聯(lián)系了起來。

7、Green公式、Gauss公式、Stokes公式也有著類似的特點和作用。

8、再1中提及的Heine—Borel有限掩蓋定理可以將函數(shù)在局部上的性質(zhì)過渡到整體上的性質(zhì)，比如從局部有界到函數(shù)在整個閉區(qū)間上有界，從點點收斂到全都收斂等等。

四、結(jié)束語：

數(shù)學(xué)分析內(nèi)容豐富，思想深刻，我們在學(xué)習(xí)的過程中應(yīng)當(dāng)積極思索、上心體會。

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析的方法：

1、利用數(shù)學(xué)方法論進行啟發(fā)式教學(xué)。數(shù)學(xué)作為一門科學(xué)，數(shù)學(xué)有自己的進展規(guī)律、數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)學(xué)中的發(fā)覺、發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)新法那么，如歸納法、類比法、抽象分析法、模型法、公理化方法等,我們常常將數(shù)學(xué)方法論應(yīng)用于數(shù)學(xué)分析課程的教學(xué)實踐。

2、采納啟發(fā)式教學(xué)，由淺入深，調(diào)動同學(xué)的積極性，重點，難點內(nèi)容要反復(fù)強調(diào)，講深、講透，讓同學(xué)們理解和接受。

3、采納參加式教學(xué)，適當(dāng)、適時地提出問題，要求同學(xué)回答或在黑板上解答，鼓舞同學(xué)自己講，培育自學(xué)技能；如某些定理的證明，讓同學(xué)自己講，熬煉同學(xué)語言表達技能和思索問題的技能。

4、教學(xué)與實踐相結(jié)合，如用Newton切線方法求解方程的根等內(nèi)容，要求同學(xué)自己舉例，大家積極性高，效果很好。講授數(shù)學(xué)分析的概念時，強調(diào)“反璞歸真”，講清客觀世界－數(shù)學(xué)抽象－數(shù)學(xué)語言，描述三者的關(guān)系。

5、利用現(xiàn)代教育技術(shù)的手段和方法于數(shù)學(xué)分析課程的教學(xué)實踐,它在教學(xué)改革中的地位是傳統(tǒng)教學(xué)手段無法替代的。本課程的教學(xué)采納傳統(tǒng)方式〔板書為主〕與多媒體課件相結(jié)合的方法，對于需要較多規(guī)律推理的論證內(nèi)容，一般采納板書形式，以利于教學(xué)過程中的啟發(fā)與互動，也比較適合同學(xué)的思索方式和記錄習(xí)慣，即使采納多媒體形式，也將“寫字板”作為幫助工具，使之具有漸進式的推導(dǎo)過程，同時又有整齊、美觀的版面。對于教材中現(xiàn)成的內(nèi)容〔如定義、定理的表達〕以及板書中不宜描述的內(nèi)容〔如某些三維圖形〕，一般采納多媒體課件及數(shù)學(xué)繪圖軟件，使之更直觀、清楚、易于理解。這既節(jié)約了板書時間，也提高了同學(xué)學(xué)習(xí)的愛好。

6、運用教學(xué)方法與教學(xué)手段的目的,是把教學(xué)內(nèi)容的“學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)榻逃螒B(tài)”，使同學(xué)能更簡單理解和掌控，激發(fā)同學(xué)學(xué)習(xí)的愛好、學(xué)習(xí)的主動性和制造性。

7、鼓舞同學(xué)以“批判”的立場學(xué)習(xí)，超越老師，超越教材，啟發(fā)同學(xué)深入思索的積極性。

8、充分利用院、系教學(xué)機房和試驗室的計算機、網(wǎng)絡(luò)環(huán)境及校、院圖書館、資料室資源擴展同學(xué)視野，培育和提高同學(xué)的綜合技能和創(chuàng)新技能

或許許多人會認(rèn)為數(shù)學(xué)是科研的基礎(chǔ)，對于大多數(shù)人并不有用，我以前也是這樣認(rèn)為。在學(xué)微積分的時候我覺得數(shù)學(xué)似乎很空洞，好像與現(xiàn)實沒什么聯(lián)系，經(jīng)過學(xué)概率統(tǒng)計我才發(fā)覺數(shù)學(xué)在以后工作的重要作用，而惋惜的是，當(dāng)我想努力學(xué)好它時卻因微積分知識的缺乏而倍感吃力?；诖?，我想學(xué)好數(shù)學(xué)就需要先認(rèn)清它的用途，沒有用的東西是沒有人喜愛是學(xué)的，假如我們學(xué)數(shù)學(xué)僅僅是為了考試那也就太可悲了。

我最喜愛聽的、看的都是與現(xiàn)實有很大聯(lián)系的題目，在我看來，這些題目對我有用，所以花時間，花精力去學(xué)就值得。我認(rèn)為，理論需要與實踐相結(jié)合才能轉(zhuǎn)化成生產(chǎn)力。

當(dāng)高校從精英教育轉(zhuǎn)為大眾教育的同時，必定要求數(shù)學(xué)從討論型教育轉(zhuǎn)變?yōu)橛杏眯徒逃?。但不可否認(rèn)的是目前的數(shù)學(xué)教學(xué)尚未緊密聯(lián)系現(xiàn)實，這也就要求教育部門、老師、同學(xué)需要進一步的努力。

數(shù)學(xué)除了要與現(xiàn)實結(jié)合，還要與計算機緊密聯(lián)系。隨著計算機的普遍化、微型化，人們將不再需要處理煩瑣或大量的數(shù)據(jù)。可以估計，在將來的幾年，計算機將變得像計算器一樣普及。我們完全可以將那些繁復(fù)的運算交給計算機去處理。從而抽出更多的時間去理解數(shù)學(xué)知識及學(xué)會數(shù)學(xué)軟件的運用。

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不只是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識，還要熬煉自己的思維，早期的計算機人才多數(shù)也是數(shù)學(xué)人才，計算機編程與數(shù)學(xué)知識本身的聯(lián)系必不是很緊密，但數(shù)學(xué)的規(guī)律性對編程卻是至關(guān)重要的。規(guī)律性思維不止對計算機，對各行各業(yè)都有深遠的影響?；蛟S我們考完試后很快便將枯燥的數(shù)學(xué)工式忘得干干凈凈，但規(guī)律性思維卻將陪伴我們一生。因此學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不僅需要記憶，更重要的是要學(xué)會思索。

數(shù)