直線和圓的方程知識及典型例題

00011120001112直線和圓的方程知識關(guān)系一、直線的斜角斜率1.線的傾斜角：一條直線向上的方向與軸正方向所成的最小正角叫做這條直線的傾斜角其中直線與軸平行或重合時,其傾斜角0,故直線傾斜的范圍是

02.直線斜率:斜角不是的直線其傾斜角的正切叫這條直線的斜率,即直線的方程

.k注：①每一條直線都有傾斜角，但不一定有斜率②時，直l垂直于軸，它的斜率不存在.③過兩點y)x,y(xx的直線斜率公ktan1221二、直線程的五形式及適用件

212名稱斜截式點斜式兩點式截距式一般式

方程ykx+yy=(-x)yx=yx2121x+=1abAx(A、不為)

說明k—斜率—截距(x，y)—線上已知點，k─斜率(x，y)，(x，)是直線上兩個已知點—線的橫截距—線的縱截距

適用條件傾斜角為90°的直線不能用此式傾斜角為90°的直線不能用此式與兩坐標(biāo)軸平行的直線不能用此式過00）及與兩坐標(biāo)軸平行的直線不能用此式AB不同時為零

(A)26256,111222(A)26256,11122212122121122121211122221211)121時,直線的方程

注⑴確定直線方程需要有兩個互相獨立的條,常用待定系數(shù);⑵確定直線方程的形式很多，但必須注意各種形式的直線方程的適用范.⑶直線是平面幾何的基本圖形，它與方程中的二元一次方程Ax（A+B≠0）是一一對應(yīng)的.例1.過

M()和(,4)

的直線的斜率等于1,則a的為)(A)

(B)

或直線的方

例2.若

,則線2(B)

x

3＋1=0的斜角的取值圍（）(C)(0,)(D)程

例4.連(4,1)和B(兩的直線斜率為與軸交點P的坐標(biāo)為例5.以

和

為端點的線段的中垂線的方程是

.一、兩直線的位置關(guān)系兩線平:⑴斜存且重的兩條直線lyk，l=+b，l∥k=⑵兩條不合線l,l的傾斜角為,則l∥l

例將直線x繞著它與y的交點逆時針旋轉(zhuǎn)角后，在軸的截距是)4255(A)(B)(D)55

45

的兩直線的位置關(guān)系

兩直線:⑴斜率存在的兩條直線ly=+l=k+,則l⊥lk·=-⑵兩直線lAx+B，lA+B=0，則l⊥lAA+BB=“角”與“夾角:⑴直線l到l的（方向角12直線l到l的角，是指直線l繞交點依逆時針方向旋轉(zhuǎn)1到與l重時所轉(zhuǎn)動的角，的范圍是.注:①當(dāng)兩直線的斜率都存在且·k≠-1;②當(dāng)直線的斜率不存在時可結(jié)合圖形判斷.k

例將張畫了直角坐標(biāo)系且兩軸的長度單位相同的紙折疊一次，使點，與(重，若點（，3）點（,n）重合，則+n的值為()(A)4(B)－(D)－例與直線:平行且過點的直線的方程是。例已知二直線l:mx0和1lx，l，l在221軸上的截距，則m=_____

00112200000001100112200000001111222121200000000⑵條交線l與l的夾角：12兩條相交直線l與l的角，是指由l與l相交所成的四122個角中最小的正角，又稱為l和l所的，它的取值范圍1是當(dāng)兩直線的斜率，k都在且k1·2≠-1，2

例10.經(jīng)過兩直線11－3y－9＝0與12＋－190的交點過點(3,-2)的方_______.則有

1k

例11.已知△ABC中2，-1（4，3兩直線的位置關(guān)系

4.距公。⑴已知一點，y)及一條直線lA+By+C=0則點P到線|Axl的離=；A2⑵兩平行直線l:Ax+C=0，l:Axy之的距離||=2。A2當(dāng)直線置不確定時，直線對應(yīng)的方程中含有參含參數(shù)方程中有兩種特殊情形，它們的對應(yīng)的直線是有規(guī)律的，即旋轉(zhuǎn)直線系和平行直線⑴在點斜式方程y-=(xx中，①當(dāng)（x，）確定k變時，該方程表示定點y）旋轉(zhuǎn)直線系，②當(dāng)k確(x，)變化時，該方程表示平直線.⑵已知直線l：Ax+C=0則①方程Ax+By=0（為參數(shù)）表示與l行的直線系；②方程By+（n為數(shù)）表示與l垂直的直線系。⑶已知直線l：Ax+B，直線l：+By+C=0則方程A+B+C+λ(Ay+C表示過l與l交的直線系（不含l）掌握含參數(shù)方程的幾何意義是某種直線系可以優(yōu)化解題思路.

C（32：邊上的高所在直線方程⑵AB中垂線方程⑶∠A平分線所在直線方程例12.已知定點（64與定直線l=4，過點的直線l與l交于第一象限Q點，與軸正半軸交于點M求使△OM面積最小的直線l方程.簡單的線性規(guī)劃

線性規(guī)劃⑴當(dāng)點x，)在直線Axy+C=0上，其坐標(biāo)滿足方Ax；⑵當(dāng)P不直線Ax+B上時，A≠，Ax或Ax+By+C<0。這就是二元一次不等式的幾何意義二元次不等式Ay+C>0或<0表直線Ax+B上或下方區(qū)域，其具體位置的確定常用原點，0代入檢驗。利用此幾何意義，可以解決一類二元函數(shù)的最值問題。這就是線性規(guī)劃的內(nèi)容。

例13.若點（3，1）和（）在直線

x

的兩側(cè)，則實a的取值范圍是()24()24(C)（D）以上都不對例14.ABC的三個頂點的坐標(biāo)為(24)(C(1,，點(xy)ABC內(nèi)部及邊界上運動，則

的最大值為，最小值為。例15.不等式組：

xxy表示的平面區(qū)域的面積是；y0簡單的線性規(guī)劃

例個勞動力種50畝地，這些地可種蔬菜、棉花或水稻，如果種這些農(nóng)作物每畝地所需的勞動力和預(yù)計產(chǎn)值如下表。問怎樣安排才能使每畝都種上農(nóng)作物，所有的勞動力都有工作且農(nóng)作物的預(yù)計產(chǎn)值最高？例某集團(tuán)準(zhǔn)備興辦一所中學(xué)，投資1200萬用于硬件建設(shè).為了考慮社會效益和經(jīng)濟(jì)利益，對該地區(qū)教育市場進(jìn)行調(diào)查，得出一組數(shù)據(jù)列表（以班為單位）如下：根據(jù)有關(guān)規(guī)定，除書本費、辦公費外，初中生每年可收取學(xué)600，高中生每年可收取學(xué)費1500元因生源和環(huán)境等條件限制，辦學(xué)規(guī)模以20至30個班為宜根據(jù)以上情況，請你合理規(guī)劃辦學(xué)規(guī)模使年利潤最大，最大利潤多少萬元？（利潤=學(xué)費收入－年薪支出）

000000000曲線和方程

曲線與方程在直角坐標(biāo)系中,當(dāng)曲線C和方程F(x，y滿足如下關(guān)系時：①曲線C上點的坐標(biāo)都方程F(x，y)=0解；②②以方程x，y)=0的解為坐標(biāo)的點都在曲線上，則稱曲線C為方程F(x，y表示的曲線；方程F(x，y)=0曲線C表示的方注:⑴如果曲線的方程是F(xy)=0那么點P(y)在曲線C上的充要條件是F(x,y)=0⑵解析幾何研究的內(nèi)容就是給定曲線，如何求出它所對應(yīng)的方程，并根據(jù)方程的理論研究曲線的幾何性質(zhì)。其特征是以數(shù)解形,坐標(biāo)法是幾何問題代數(shù)化的重要方法。⑶求曲線方程的步驟:建、設(shè)、現(xiàn)（限、化.例18.點M(tt)

適合方程y3是點在曲線yx3

上的()(A)充分條件(B)必要條件(C)充要條件(D)什么條件也不是例19.線：2與C：y交點數(shù)是（）2(A)1(B)2個(C)3個曲線和

例20.已知定點A(點M的軌跡方程是

(1,0)

，點M與AB兩點所在直線的斜率之積，則方程例22.如圖圓PMPN（

O與的半徑都是，OO21分別為切點使得PMPN

.過動點

分別作圓

O

的切線試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并求動點的軌跡方程.

112122111212112確定圓的方程需要有三個互相獨立的條件。一、圓的方程形式:⑴圓的準(zhǔn)方程：(-a

+(y-b

=r

2

,中（a,b）是圓心坐標(biāo)r是圓的半徑；⑵圓的般方程2

++D（2

+E

-）D圓心坐標(biāo)為（-，-徑為r=2

D

2

2

F

.圓的方程

⑶圓的參數(shù)方程：a)2yb=r（r）的參數(shù)方程:為參數(shù),表示ysin旋轉(zhuǎn)角數(shù)式常用來表示圓周上的點。注:①確定圓的方程需要有三個互相獨立的條件,通常也用待定系數(shù)法;②圓的方程有三種形式，注意各種形式中各量的幾何意,用時常數(shù)形結(jié)合充分運用圓的平面幾何知識.③圓的直徑式方程：x)(yy其中A(,,,y是圓的11一條直徑的兩個端點.（用向量可推導(dǎo)）.二、直線與的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系有三種：相離、相切、相交，判定方法有兩種：⑴代數(shù)法：直線：A+By+C=0圓：x2++Dxy+F=0，聯(lián)立方程組

AxByx22EyF

△ac

eq\o\ac(△,)相交eq\o\ac(△,)相切eq\o\ac(△,)相離（2）幾何法：直線:A+By+C=0圓：-a+(y-b)2=r2，圓心a，b）到直線的距離為d=

|A2

相，r相d相三、圓和圓的位置關(guān)系：設(shè)兩圓圓心分別為O、O，半徑分別為r，r，|O為圓心距，則兩圓位置關(guān)系如下：①|(zhì)>r+r圓外離；②|=r+r圓外切；③r-r|<|OO|<+r圓相交；④r-r|兩圓內(nèi)切；⑤OO|<|r-r圓內(nèi)含。注：直線和圓位置關(guān)系及圓和圓位置關(guān)系常借助于平面幾何知識，而一般不采用方程組理論（△法）.

圓的方程

四、圓的切線:1.求過圓上的一點(x的切線方程:先求切點與圓心連線的斜率則由垂直關(guān)01系,切線斜率,由點斜式方程可求得切線方程k2.求過圓外一點(,y圓的切線方:⑴(幾方)設(shè)切線方程為y00x-yxy0,后由圓心到直線的距離等于半徑,求得,切線方程即可求.0⑵(代數(shù)方法)設(shè)切線方程為yx)yxy代入圓方程得一個關(guān)0于的一元二次方程,,求,切線方程即可求出注：①以上方法只能求存在斜率的切線,斜率不存在的切線,可結(jié)合圖形求.②過圓xy2r上一點,y)的切線方程為yyr2.00例1x與圓xy2x相切，a的值為()()1或()2或)1(例24.兩圓x2

-4x+2y+1=0與(+2)2

+(y

=9的位置關(guān)系是（）(A)內(nèi)切(B)相交外切(D)相離圓

例25.已知圓C與圓x-

+

=1關(guān)于直線=-x對稱，則圓C的方程為()的

(A)(2

+

=1(B)

=1x2

+(+1)2

=1(D)x2

+(y-1)2

=1方程例26.若直線-3-2＝0與圓x

2

y

2

2

兩個不同的公共點，則實數(shù)a取值范圍是（）(A)3＜a＜7(B)-6＜a＜4-7＜a＜3-21＜a例27.把參數(shù)方為參數(shù)）化為普通方程，結(jié)果是.y例28.過(

的直線被圓2y2

截得的弦長為2

，則此直線的方程為

例29.圓的方程為x2

+y

2

－6x－8y＝0坐標(biāo)原點作長為的弦弦所在的直線方程。x2y2-2(m+3)x+2(1-4m)ym4示一個圓，⑴求實數(shù)取值范圍；⑵求圓的半徑r取值范圍；⑶求圓心軌跡方程

ABACAB0000OMQ0000ABACAB0000OMQ0000例1.A

數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識與典型例題(第七章直線和圓的方程)答案例2.B例3.C例()例0例

例7.C例8.x＋3＋10＝0

例9.0,8,

例10.13xy例11.解:⑴∵k

BC

=5,∴BC邊上的高AD所在直線斜率k=

15∴AD所直線方程y(-2)即x⑵∵AB點為（3，1=2,∴AB垂線方程為+2y-5=0⑶設(shè)∠A平分線為AE，斜率為k，則直線AC到AE的角等于AE到AB角。k2∵k=-1，∴1∴k2k-1=0,∴

10

（舍

10∴AE所在直線方程為

-y

+5=0評注：在求角A平分線時，必須結(jié)合圖形對斜率k進(jìn)行取舍。一般地涉及到角平分線這類問題時，都要對兩解進(jìn)行取舍。也可用軌跡思想求AE所在直線方程，設(shè)P(，)為直線AE上任一點則AB距離相等

|xxy5

化簡即可。還可注意到，ABAC關(guān)于AE對。例12.解題思路分析：直線l是過點P的旋轉(zhuǎn)直線，因此是選其斜率k作參數(shù)，還是選擇點Q（還是M）作為參數(shù)是本題關(guān)鍵通過比較可以發(fā)現(xiàn)選為參數(shù)運量稍大因此選用點參數(shù)。解:設(shè)Q（，4x（，0）∵Q，M共線kPPMxx∴解之得0x0∵x>0，m>0∴x-1>010x2∴SOMxmx00令xt，則tS

10(t1t≥tt當(dāng)且僅當(dāng)t，x時，等號成立此時Q（11，44線l：x+評注：例13.B例14.

1例15.例16.種蔬菜20畝,花畝水稻不種,產(chǎn)值最高萬元.4例解：設(shè)初中個班，高中個班，則設(shè)年利潤為s，

≤(1)xy1200則

yx1.61.2

作出（1表示的平面區(qū)域，如圖，過點A時，S有最大值，y30由解得A（，）y易知當(dāng)直線x即學(xué)?？梢?guī)劃初中18班，高中個班,1.245.6

（萬元）.可獲最大年利潤為萬元.評線性規(guī)劃是直線方程的簡單應(yīng)用是新增添的教學(xué)內(nèi)容是新大綱重視知識應(yīng)用的體現(xiàn)根據(jù)考綱要求了解線性不等式表示的平面區(qū)域了解線性規(guī)劃的意義并會簡單應(yīng)用，解決此類問題，關(guān)鍵是讀懂內(nèi)容，根據(jù)要求，求出線性約束條件和目標(biāo)函數(shù)，直線性約束條件下作出可行域后求線性目標(biāo)函數(shù)在可行域中的最優(yōu)解納如下步驟：①根據(jù)實際問題的約束條件列出不等式②作出可行域?qū)懗瞿繕?biāo)函數(shù)③確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)位置，從而獲得最優(yōu)解．但在解答時，格式要規(guī)范，作圖要精確，特別是最優(yōu)解的求法，作時還是比較困難的．是函數(shù)方程思想的應(yīng)用例18.A例例+

4

4例21.(x)y3例22.解OO的中O為原點O，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則O(由已知PM2PN得PM因為兩圓半徑均為1，所以22(x)，12(2)2x2)2y2，

所

在直線為x軸，即

2y.(或x2y

)例

例24.C

例25.C

例26.B例27.x2

+(y-1)

=1例28.xy=0或+7-例29.解：x2

+

－6x－8=0即(x－3)2

+(－4)

2

，設(shè)所求直線為y＝kx?！邎A半徑為5圓心M（3，4）到該直線距離為3，∴d

|

，792kk，k。247∴所求直線為xx。24例⑴m滿足[+[2(1-4m)]24，即7-6m-1<0,m⑵半徑r=2m)2

7∵∴時r,77∴≤7⑶設(shè)圓心，則

xy2消去m得：y=4(x-3)2∴x

-1,

m∴所求軌跡方程為(-3)

2

(y+1)（x7直線、射線線段練習(xí)1一、填空1．我們在用玩具槍瞄準(zhǔn)時，總是用一只眼對準(zhǔn)準(zhǔn)星和目標(biāo)，用數(shù)學(xué)知識解釋為__________________．2．三條直線兩兩相交，則交點有_______________．3．如圖1，AC=DB，寫出圖中另外兩條相等的線段．4．如圖示，線段AB長為，點線段AB上任意一點，若線段AC的中點，N為線段CB的中點，則線段MN長是_______________．圖25．已知線段AB及一點P，若AP+PB>AB,則點在.6．已知線段直線上有一點C,且是線段AC中點,則長為.

①一條直線上只有兩個點；②射線沒有端點；③如圖，點是直a的中點；④射OA與射線是同一條射線⑤延長線段C使ABBC⑥延長直CD到，．8.如圖給出的分別有射線，直線，線段，其中能相交的圖形有

個．

A

D

D

A

C

D①

②

③

④二、選擇1．下列說法中錯誤的是（A．A兩點之間的距離為B．A、B兩點之間的距離為線段AB的長度C．線AB的中點C到A兩點的距離相等D、B兩點之間的距離是線段AB2．下列說法中，正確的個數(shù)有（（1）射線AB和射線BA是同一條射線（2）延長射線MN到C（3）延長線段MN到A使NA==2MN（4）連結(jié)兩點的線段叫做兩點間的距離A．1B．2C．3D．43.同一平面內(nèi)有四點，過每兩點畫一條直線，則直線的條數(shù)是（）(A)1條(B)4條(C)6條(D)1條或4條或6條4．如圖4,C是線段AB的中點，D是CB上一點，下列說法中錯誤的是（A．CD=AC-BDB．CD=

12

BCC．CD=

AB-BDD．CD=AD-BC

圖45.如果線段AB=13cm,MA+MB=17cm,那么下面說法中正確的是().A．M點在線段上B．M點在直線AB上C．M點在直線外D．M點可能在直線AB上,也可能在直線外6．如圖5,小華的家在A處，書店在B處，星期日小明到書店去買書，他想盡快的趕到書店，請你幫助他選擇一條最近的路線（)A．A→C→D→BB．A→C→F→BC．A→C→E→F→BD．A→C→M→B

圖57.某公司員工分別住在A，，C三個住宅區(qū)A區(qū)有30人，區(qū)有人，C區(qū)有10人，三個區(qū)在同一條直線上，如圖所示，該公司的接送車打算在此間只設(shè)一個?？奎c為使所有員工步行到?？奎c的路程之和最小那么?？奎c的位置應(yīng)設(shè)在（）

100200米

C

圖圖Ａ．區(qū)ＢBＣC區(qū)Ｄ．，B兩區(qū)之間8．已知點A、B都是直線l上的點，AB=5cm，那么點A與點之間的距離是（）.A．8cmB．2cmC．8cm或2cmD．4cm三、想一想1．如圖6，四點A、B、C、D，按照下列語句畫出圖形：（1）連結(jié)A，D，并以cm為單位，度量其長度；（2）線段AC和線段DB相交于點O；

圖6（3）反向延長線段BC至E，使BE=BC．2．動手操作題：點和線段在生活中有著廣泛的應(yīng)用．如圖7,用7根火柴棒可以擺成圖中的“8你能去掉其中的若干根火柴棒，擺出其他的9個數(shù)字嗎？請畫出其中的4個來．3分）如8，C為線段的中點，N為線段CB的中點，CN=1cm.求圖中所有線段的長度的和．圖84本題12分）在同一條公路旁，住著五個人，他們在同一家公司上班，如圖9,不妨設(shè)這五個人的家分別住在點ABDEF位置司在C點AB=4kmBC=2km，CD=3km，DE=3km，EF=1km，他們?nèi)砍顺鲎廛嚿习?，車費單位報銷．出租車收費標(biāo)準(zhǔn)是：起步價3元3km以內(nèi)，包括3km后每千米1.5元（不1km，以1km計算輛車能容納3人．（1）若他們分別乘出租車去上班，公司在支付車費多少元？（2）如果你是公司經(jīng)理，你對他們有沒有什么建議？圖96.如圖，在正方形兩個相距最遠(yuǎn)的頂點處逗留著一只蒼蠅和一只蜘蛛．①蜘蛛可以從哪條最短的路徑爬到蒼蠅處？請你畫圖并說明你的理由？②如果蜘蛛要沿著棱爬到蒼蠅處，最短的路線有幾條？

蒼蜘7．圖10為中國象棋棋盤的一半，棋子“馬”走的規(guī)則是沿“日”形的對角線走，例如：圖中“馬”所在的位置可以直接走到點．B等處．若“馬”的位置在C，為了到達(dá)D點，請按“馬”走的規(guī)則，在圖的棋盤上用虛線畫出一種你認(rèn)為合理的行走路線．直線、線線段練習(xí)2

圖10一．選擇題：1．下列說法中，錯誤的是（A．經(jīng)過一點的直線可以有無數(shù)條B．經(jīng)過兩點的直線只有一條C．一條直線只能用一個字母表示D．線段CD和線段DC是同一條線段2.已知線段段長度是（）Ａ．5Ｂ．1Ｃ．5或1Ｄ．非以上答案3．下列圖形中，能夠相交的是()．4.下列敘述正確的是（）①線段AB表示為線段BA；②射線AB可示為射線；③直線AB可表示為直線BA．Ａ．①②Ｂ．①③Ｃ．②③Ｄ．①②③5.平面上有三點A，C，如果，，，則（）

Ａ．C線段Ｂ．C線段延長線上Ｃ．C直線Ｄ．C能在直線上，也可在直線外6.如圖，AC，BD，與AB之比為（）4CB11Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．612167.下列四個生活產(chǎn)現(xiàn)象用兩個釘子就可以把木條固定在墻上②植樹時，只要定出兩棵樹的位置就能確定同一行樹所在的直線③從地B地架設(shè)電線，總是盡可能沿著線段架設(shè)；④把彎曲的公路改直，就能縮短路程，其中可用公理“兩點之間，線段最短”來解釋的現(xiàn)象有Ａ．①②Ｂ．①③Ｃ．②④Ｄ．③④二．填空題：8.直線有個端點，射線有個端點，線段有個端點．9.經(jīng)過兩點可以作

條線段，

條射線，

條直線．10根據(jù)圖，填空：⑴段AD交線BC于E；線．

線段至F反向延長射⑵延長線段DC交的

于點F，線CF是線的

線．D

CA

11三點，B在同一條直線上，且，則AC．12.在一直線上有ABC點M為AB中點N的中點ABm，BCn，則用的代數(shù)式可表示線MN．13.在連結(jié)兩點的所有線中，最短的是．三．解答題：14.讀句子，畫圖形：⑴直線l與兩條射，OB分別交于，點D．⑵作射線OA，上截取點D，E，使OD15.如圖：ABcmcm，如O線段的中點．求線長度．(括號內(nèi)注理由)

OB

解：∵

AC=+=7

（cm

又∵

O為AC的中點）∴OC=AC=(㎝)）OBOCBC（cm16.圖中B是四個居民小區(qū)，現(xiàn)在為了使居民生活方便，想在四個小區(qū)之間建一個超市，最好能使超市距四個小區(qū)的距離之和最?。埬銇碓O(shè)計，能找到這樣的位置P點嗎？如果能，請畫出點．

D17.往返于甲、乙兩地的客車，中途?？咳齻€站，問：（1）有多少種不同的票價？（2）要準(zhǔn)備多少種車票？18.如圖，BC::34，的中點MCD中點N距離是，則____．

MBCN

D19.已知線cm，試探討下列題．⑴是否在一點C，它到B兩點的距離和等于8cm？并述理由⑵是