正余弦定理解三角形教案

--個性化案教師XX學(xué)科

數(shù)學(xué)

學(xué)生XX年級

填寫時上課時課題名

正余弦理解三角形1．正、余弦定理解三角形．

課時方教學(xué)目

2．正、余弦定理判斷三角形的形狀以及計算三角形的面積．3.正余弦定理的實際應(yīng)用〔靈活運(yùn)用〕教學(xué)重1．掌握利用正、余弦定理解任意三角形的方法．難

點

2．正、余弦定理判斷三角形的形狀以及計算三角形的面積．【知識梳理】1．正弦定理：

abc＝＝＝2，其中R是三角形外接圓的半徑．由正弦定理可以變sinAsinBsinC形為：(1)∶∶＝sin

∶sin

；(2)＝2sin_，＝2sin_，＝2sin_

；abc(3)sin＝，sin＝，sin＝等形式，以解決不同的三角形問題．2R2R2R2．余弦定理＝＋cos_

＝－2cos_＝－2cos_

．余弦定理3．

＋－2＋－2＋2－2＝，cos＝，cos＝.可以變形為：cos2bc2ac2ab111abc1＝sin＝sin＝sin＝＝(＋＋)·(三角形外接圓半徑eq\o\ac(△,S)2224R2形內(nèi)切圓的半徑)，并可由此計算，.

是三角4.角形內(nèi)角和為π，故有>0sin)，cos＝－cos(5.角形大邊對大角，或者說大角對大邊。即：假設(shè)>,

,sin

A>sin

B知一推二-word.zl-

--6.弦值(不是的情況下，對應(yīng)角度有兩個，而余弦值與角度一一對應(yīng)。【?？伎键c】1．考察利用正、余弦定理解任意三角形的方法．2．考察利用正、余弦定理判斷三角形的形狀以及計算三角形的面積．3.余弦定理的實際應(yīng)用〔靈活運(yùn)用〕【解題關(guān)鍵】1．三角函數(shù)及三角恒等變換的根底．2．正弦定理、余弦定理實現(xiàn)邊角互化理變形技巧實現(xiàn)三角形中的邊角轉(zhuǎn)換，解題過程中做到正余弦定理的正確選擇3.利用三角形的判定方法準(zhǔn)確判斷解三角形的情況。4.角形的邊角關(guān)系〔大邊對大角內(nèi)角和180度。5．兩邊和其中一邊的對角，解三角形時，注意解的情況．如，，，那么A銳角

A鈍角或直角圖形關(guān)系

＜sin

A

＝sin

Asin

＜＜b≥b＞b

≤b式解的無解

一解

兩解

一解

一解

無解個數(shù)【一條律】在三角形中，大角對大邊，大邊對大角；大角的正弦值也較大，正弦值較大的角也較大，即在△ABC中＞＞sin

＞sin

.-word.zl-

--【兩類題】在解三角形時，正弦定理可解決兩類問題：(1)角及任一邊，求其它邊或角；(2)兩邊及一邊的對角，求其它邊或角．情(2)結(jié)果可能有一解、兩解、無解，應(yīng)注意區(qū)分．余弦定理可解決兩類問題：(1)兩邊及夾角求第三邊和其他兩角；(2)三邊，求各角．【兩種徑】根據(jù)所給條件確定三角形的形狀，主要有兩種途徑：(1)化邊為角；角為邊，并常用正弦(余弦定理實施邊、角轉(zhuǎn)換．雙基自1．(人教A版教材習(xí)題改編)在△ABC中，＝60°＝75°，，那么c于(A．102106C.D．563

)．解析

由＋＋＝180°，知＝45°，由正弦定理得：

asin

c＝，AsinC即

103

＝

c2

.∴＝

1063

.22答案Csin2．在△ABC中，假設(shè)a

AcosB＝，那么B值為()．bAB．45°C．60°D．90°解析

由正弦定理知：sinsin

Acos＝Asin

B，∴sinB

＝cos，＝45°.答案B3．(2011·XX聯(lián)考)在△＝3，＝1，＝2，那么A于()．-word.zl-

--ABC．60°D．75°解析

＋－21＋4－31由余弦定理得：cos＝＝＝，2bc2×1×22∵0＜π，∴＝60°.答案C14．在△ABC中＝32，＝23，cos＝，那么△ABC的面積為(．3A．23C3D.31解析∵cos＝，0＜＜π，3∴sin

22＝，3∴S

1＝sinABC2122＝×32×23×＝43.23答案C5．△ABC三邊滿足2＋＝－3，那么此三角形的最大內(nèi)角為________．解析∵＋2－＝－3

，2＋－23∴cos＝＝－，2ab2故＝150°為三角形的最大內(nèi)角．答案150°考點一

利用正弦定理解三角形【例1】?在△ABC中＝3，＝2，＝45°.求角，C邊.[審題視點]兩邊及一邊對角或兩角及一邊，可利用正弦定理解這個三角形，但要注意解的判-word.zl-

斷．解

--ab32由正弦定理得＝，＝，sinAsinBsinAsin45°∴sin

＝

32

.∵＞，∴＝60°或＝120°.當(dāng)＝60°時，＝180°－45°－60°＝75°，＝

sinsin

C6＋2＝；B2當(dāng)＝120°時，＝180°－45°－120°＝15°，＝

sinC6－2＝.sinB2(1)角一邊可求第三角，解這樣的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．(2)兩邊和一邊對角，解三角形時，利用正弦定理求另一邊的對角時要注意討論該角，這是解題的難點，應(yīng)引起注意．π【訓(xùn)練1】(2011·)在△ABC中，假設(shè)，∠＝，tan＝2，那么sin4＝________.

＝________a解析

因為△ABCtan

＝2，所以A銳角，且

sincos

A＝2，sin2＋cos2，A25聯(lián)立解得sin＝，5再由正弦定理得

ab＝，sinAsinB代入數(shù)據(jù)解得＝210.答案

255

210-word.zl-

2-2-考點二

利用余弦定理解三角形cosBb【例2】?在△ABC中、、c別是角、、C的對邊，且＝－.cosC2＋c(1)求角B大??；(2)假設(shè)＝13，＋＝4，求△ABC的面積．[審題視點]由

coscos

Bb＝－，利用余弦定理轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系求解．C2＋c解(1)余弦定理知：cos

＋－2＝，2accos

＋－2＝.2ab將上式代入

cosBb＝－得：cosC2＋c2＋－22ab·＝－2ac＋－22

b，＋c整理得：＋2－＝－.2＋－2－ac1∴cos＝＝＝－.2ac2ac22∵B為三角形的內(nèi)角，∴＝π.3(2)將＝13，＋＝4，2＝π代入＝＋cos3

，得＝(＋)－2－2cos

，∴13－2-word.zl-

∴

--133＝sin＝.eq\o\ac(△,S)24(1)據(jù)所給等式的構(gòu)造特點利用余弦定理將角化邊進(jìn)展變形是迅速解答此題的關(guān)鍵．(2)熟練運(yùn)用余弦定理及其推論，同時還要注意整體思想、方程思想在解題過程中的運(yùn)用．【訓(xùn)練2】，，CABC的三個內(nèi)角，其所對的邊分別為，，，A且2cos＋cos＝0.2(1)求角A值；(2)假設(shè)＝23，＋，求△ABC的面積．A解(1)2cos＋cos，2得1＋cos＋cos，即cos

1＝－，22π∵0＜π，∴＝.3(2)由余弦定理得，＝2＋－2cos

2π，＝，3那么＋)－，又＝23，＋＝4，有12＝42－，那么，故

1＝sineq\o\ac(△,S)2

＝3.考點三

利用正、余弦定理判斷三角形形狀【例3】?在△ABC中，假(＋)sin(－)－)sin，試判斷△ABC的形狀．[審題視點]首先邊化角或角化邊，再整理化簡即可判斷．解

由(2＋)sin(

－)＝(－2)sin

，-word.zl-

--得[sin(

－)＋sin

]＝2[sin

－，即sin

cos

＝cos

sin

，即sin2sincos＝sincossin，所以sin＝sin2，由于，B三角形的內(nèi)角．故0＜2＜2π＜2π.故只可能2

＝2B2

＝π，π即＝B＝.2故△ABC為等腰三角形或直角三角形．判斷三角形的形狀的根本思想是；利用正、余弦定理進(jìn)展邊角的統(tǒng)一．即將條件化為只含角的三角函數(shù)關(guān)系式，然后利用三角恒等變換得出內(nèi)角之間的關(guān)系式；或?qū)l件化為只含有邊的關(guān)系式，然后利用常見的化簡變形得出三邊的關(guān)系．【訓(xùn)練3】在△ABC中，假設(shè)

abc＝＝；那么△ABC是()．cosAcosBcosCA直角三角形B等邊三角形C鈍角三角形D．等腰直角三角形解析

由正弦定理得＝2sin

，sin

，＝2sin

(RABC外接圓半徑)．sinAsinBsinC∴＝＝.cosAcosBcosC即tan＝tan＝tan，∴＝＝.答案B-word.zl-

--考點四

正、余弦定理的綜合應(yīng)用π【例3】?在△ABC中，內(nèi)角，，C邊的邊長分別是，，，＝2，＝.3(1)假設(shè)△面積等于3，求，；(2)假設(shè)sin

＋sin(－)＝2sin2

，求△ABC面積．[審題視點]第(問根據(jù)三角形的面積公式和余弦定理列出關(guān)于的方程組求解；第(2)問根據(jù)sin

＋sin(－)＝2sinA進(jìn)展三角恒等變換角的關(guān)系轉(zhuǎn)換為邊的關(guān)系出邊，b的值即可解決問題．解(1)余弦定理及條件，得＋－＝4.1又因為△ABC的面積等于3sin2

＝3＝4方程組＝4，

解＝2，得＝2.(2)由題意，得sin(

＋)＋sin(

－)＝4sin

cos

，即sin

cos

＝2sin

cos

.當(dāng)cos

ππ＝0，即＝時，＝，26＝

4323，＝33

；當(dāng)cos

≠0時，得sin

＝2sin

，由正弦定理，得＝2.聯(lián)立方程組＝2，-word.zl-

3433-3433-解得

23＝，.123所以△ABC的面積＝sin＝.23正弦定理、余弦定理、三角形面積公式對任意三角形都成立，通過這些等式就可以把有限的條件納入到方程中過解方程組獲得更多的元素通過這些新的條件解決問題．【訓(xùn)練3】(2011·西城一模)設(shè)△ABC的內(nèi)角C對的邊長分別為，且4＝，＝2.5(1)當(dāng)＝30°時，求a值；(2)當(dāng)△ABC面積為3時，求＋c值．

B解(1)為cos

43＝，所以sin＝.55aba10由正弦定理＝，可得＝，sinAsinBsin30°35所以＝.313(2)因為△面積＝·sin，sin＝，253所以＝3，10由余弦定理得2＝2＋－2cos

，8得4＝＋－＝＋－16即2＋＝20.5所以(＋)－2＝20＋)＝40.所以＋＝210.-word.zl-

--——無視【問題診斷】考察解三角形的題在高考中一般難度不大，但稍不注意，會出現(xiàn)“會而不對，對而不全〞的情況，其主要原因就是無視三角形中的邊角條件,【防范措施】解三角函數(shù)的求值問題時，估算是一個重要步驟，估算時應(yīng)考慮三角形中的邊角條件.【例如】?(2011·)在ABC中c

分別為內(nèi)角C對的邊長＝3＝，1

)＝0，求邊BC的高．錯因

無視三角形中“大邊對大角〞的定理，產(chǎn)生了增根．實錄

由1＋2cos(

)＝0，1π知cos＝，∴＝，23根據(jù)正弦定理

asin

b＝Asin

得：Bsin

sin＝a

A＝

2π3π，∴＝或.244以下解答過程略．正解∵在△ABCcos(＝－cos，∴1

π)＝1－2cos＝0，∴＝.3ab在△ABC中，根據(jù)正弦定理＝，sinAsinBsinA∴sin＝＝a

22

.π5∵＞，∴＝，∴＝π＋)＝π.412∴sin

＋)

cos

＋cossin

A-word.zl-

--21236＋2＝×＋×＝.22224∴BC上的高為sin

＝2×

6＋23＋1＝.42【試一試】ABC的三個內(nèi)角C對的邊分別為sinb(1)求；a(2)假設(shè)2＝＋32，求.[嘗試解答](1)正弦定理得，sinsin＋sincos2＝2sin，即

sin

＋cos＝.sin

(sin2)＝2sin

.故sin

＝2sin

b，所以＝2.a(2)由余弦定理和2＝2＋3

，得cos

＝

1＋32c

a.由(1)知2＝2，故＋3).12可得cos＝，又cos＞0，故cos＝，所以＝45°.22【固習(xí)1,B,ba

b,則角等

2

,

,

bcosBa

3A,B

,

asinBBcos

12

b,a則-word.zl-

--25364ABC,