正余弦定理的變式解題

淺談?wù)嘞依淼氖浇虒W(xué)山東省壽光市現(xiàn)中學(xué)孫建平（262700在新課程標(biāo)準(zhǔn)的引下，教學(xué)方法也在不斷改進(jìn)提升。數(shù)學(xué)的教學(xué)不應(yīng)局限于一個(gè)狹窄的課本識(shí)領(lǐng)域里應(yīng)該讓學(xué)生思能力的培養(yǎng)及個(gè)性品質(zhì)的形成力就需要調(diào)動(dòng)學(xué)生習(xí)的主動(dòng)性，發(fā)揮學(xué)生的主體用，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)一個(gè)的寬松環(huán)境使不同的學(xué)生都所收獲滿(mǎn)足不同學(xué)生的同需要使學(xué)生在學(xué)習(xí)學(xué)會(huì)利用課本知識(shí)的舉一反三應(yīng)用數(shù)學(xué)的“變式教學(xué)”，所“變式”即教師可不斷更換命題非本質(zhì)特征，變問(wèn)題的條件或結(jié)論，轉(zhuǎn)換問(wèn)題內(nèi)容與形式，配置實(shí)際應(yīng)用的各環(huán)境這是很多教育工作者一直在做的一工作在教學(xué)中如對(duì)課本的例題或課后習(xí)題進(jìn)行變式對(duì)教師解決以上問(wèn)題會(huì)有所幫。下面我針對(duì)正、余弦定理在解時(shí)的變式應(yīng)用，例說(shuō)明怎樣運(yùn)用“正、余弦定變式”靈活解題：一、正弦定理的見(jiàn)幾種變形：在新知識(shí)教學(xué)中精心設(shè)計(jì)鋪墊性變式題組，既現(xiàn)在知識(shí)、思維上的鋪墊，又展示知識(shí)的發(fā)生程找準(zhǔn)新知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)學(xué)生利用已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)來(lái)同化新知識(shí)，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的移。變形、

cCBBC

或

b:c::

；例、在

中，

cosA4cosa

，且

，則

，

.解析：由正弦定的變形1，

Bcos，∴，cosA∴

sinAcosB，2Asin2B

，又∵

a

，∴

A

，∴在

ABC

中，由b:a:3解得，

a

.點(diǎn)評(píng)：本例應(yīng)用弦定理的變形，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為角函數(shù)問(wèn)題，進(jìn)而求.變形2、

abcC

（其中

為三角形外接圓半徑.例2在

中sinABcos,sinsin2C

試判斷

的形狀解析：由

Asin22利用正弦定理，得2∴是角三角形，且

，1/4

B、120C、B、120C、D、3∴

B

,B

，cosC

.∴由

sinA2sinC

，可得

12sinB

，∴

sinB

22（2

舍去45則，∴

ABC

是等腰直角三角點(diǎn)評(píng)：本題中先據(jù)正弦定理的變形

ab,C

，得到

為直角三角形，而再判定三角形的形這組變式題組是繞解分式不等式教學(xué)目標(biāo)，由到難、由舊知到新知逐步過(guò)渡，還有為學(xué)有余力的學(xué)生專(zhuān)門(mén)設(shè)置的綜合提升，以解決他"吃不"問(wèn)題。讓學(xué)生從課堂中體會(huì)數(shù)學(xué)的魅力和活力有在這樣的學(xué)習(xí)氛圍中學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗(yàn)才是快樂(lè)的，幸福的，而且在這種寬松氛圍大家的參與是積極的，思維是活的，不同的人會(huì)得不同的發(fā)展。二、余弦定理的見(jiàn)幾種變形：傳統(tǒng)講課法中，師把公式、定理的結(jié)論、推導(dǎo)程、適用條件、適用題型原原本本地講給學(xué)生，激不起學(xué)生的興趣。再加上不懂，上課睡覺(jué)就成了經(jīng)常發(fā)生現(xiàn)象。變式教學(xué)要是由教師提出問(wèn)題后，其結(jié)怎樣、或如何解決都要學(xué)生做出答，對(duì)學(xué)生具有戰(zhàn)性，所以學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣大再加上題目具有一定的梯度，人都能動(dòng)手，所以習(xí)的積極性非常高。變形1：

cosA

22a2a22BCbc2ab

例、⑴在ABC中如果（）A

150

00解析：由題意，

b

∴

cosA

221bc

，∴

0

，故答案選C.⑵在ABC中求CB

的值2/4

解析：由余弦定，得

CB

22a2ab整理得：

CBa

.點(diǎn)評(píng)：本例中根余弦定理的變形1將問(wèn)題化為代數(shù)式運(yùn)算，從而求解.變形2、

sin2

C2sinA例、求

sin2800cos80

的值解析：對(duì)照余弦理的變式，可將原式化為：sin

2

0

2

0

)sin

0

0

2

0

2

0

0

0

cos150

0

2

0

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于余弦理的變形，不但在三角形是成立的而且只要是三個(gè)角滿(mǎn)足形式

，則

A

Bsin

C2sinA

是恒成立的.通過(guò)這一組變式型的訓(xùn)練有利于強(qiáng)化學(xué)的化歸轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想式教學(xué)中更明確、具體地現(xiàn)了教師的主導(dǎo)地位和學(xué)生的體作用，教師要命題，要指導(dǎo)學(xué)解題要組織學(xué)生展示解題的結(jié)果和進(jìn)行討辨析還要對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和學(xué)思想方法進(jìn)行總結(jié)。這樣課堂的進(jìn)程完全掌控在教師的中，真正地體現(xiàn)了教師是學(xué)習(xí)的織者、引導(dǎo)者和作者；在這樣的課堂上，學(xué)生學(xué)習(xí)積極性都很高，從而極大地高了課堂教學(xué)效。三、正、余弦定變形肢的綜合應(yīng)用：例5⑴在

中

A,B,C

所對(duì)的邊分別是

ab,

，

A60,

，

的面積為

S3

，則

BC

.解析：由

A,

，

S

bcsin3

，∴，由余弦定理可：

a

22

A，得a3∴

sinBsinC

.⑵已知中，A:::2，B的值解析：由題意

sinA:BsinC:2

，3/4

根據(jù)正弦定理的形，得

:::3:不妨令

tt∴由余弦定理的形，得

cosB

22t2tact

t

.點(diǎn)評(píng)：這組變式目的設(shè)置除了解決單個(gè)的數(shù)學(xué)問(wèn)題外,通過(guò)幾個(gè)題的前后聯(lián)系以及解決這問(wèn)題的方法的變化,