空間向量與空間角課件

【課標(biāo)要求】第3課時(shí)空間向量與空間角【核心掃描】理解直線與平面所成角的概念．能夠利用向量方法解決線線、線面、面面的夾角問(wèn)題．體會(huì)用空間向量解決立體幾何問(wèn)題的三步曲．向量法求解線線、線面、面面的夾角．(重點(diǎn))線線、線面、面面的夾角與向量的應(yīng)用．(難點(diǎn))

1．2．3．1．2．想一想：當(dāng)一條直線l與一個(gè)平面α的夾角為0時(shí)，這條直線一定在平面內(nèi)嗎？提示不一定，這條直線還可能與平面平行．自學(xué)導(dǎo)引投影夾角0空間中的角角的分類向量求法范圍異面直線所成的角設(shè)兩異面直線所成的角為θ，它們的方向向量分別為a，b，則cosθ＝_____________＝______直線與平面所成的角設(shè)直線l與平面α所成的角為θ，l的方向向量為a，平面α的法向量為n，則sinθ＝_____________＝_____二面角設(shè)二面角α-l-β的平面角為θ，平面α、β的法向量為n1，n2，則|cosθ|＝_______________＝_______[0，π]|cos〈a，b〉|2．|cos〈a，n〉||cos〈n1，n2〉|兩異面直線所成角的求法(1)平移法：即通過(guò)平移其中一條(也可兩條同時(shí)平移)，使它們轉(zhuǎn)化為兩條相交直線，然后通過(guò)解三角形獲解．名師點(diǎn)睛1．直線與平面所成角的求法(1)幾何法：找出斜線在平面上的射影，則斜線與射影所成角就是線面角，可通過(guò)解由斜線段、垂線段和射影線段構(gòu)成的直角三角形獲解．2．二面角的求法(1)幾何法：作出二面角的平面角，然后通過(guò)解三角形獲解．(2)向量法：設(shè)二面角α-l-β的兩個(gè)半平面的法向量分別為n1，n2.①當(dāng)平面α、β的法向量與α、β的關(guān)系如圖所示時(shí)，二面角α-l-β的平面角即為兩法向量n1，n2的夾角〈n1，n2〉．3．②當(dāng)平面α、β的法向量與α、β的關(guān)系如圖所示時(shí)，二面角α

-l-β的平面角與兩法向量n1，n2的夾角〈n1，n2〉互補(bǔ)．規(guī)律方法在解決立體幾何中兩異面直線所成角問(wèn)題時(shí)，若能構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，則建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解．但應(yīng)用向量法時(shí)一定要注意向量所成的角與異面直線所成角的區(qū)別．

四棱錐P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，PA與平面ABCD所成的角為60°，在四邊形ABCD中，∠ADC＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，AD＝2.(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并寫出點(diǎn)B、P的坐標(biāo)；(2)求異面直線PA與BC所成的角的余弦值．【變式1】解

(1)如圖，建立空間直角坐標(biāo)系．∵∠ADC＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，AD＝2.∴A(2，0，0)，C(0，1，0)，B(2，4，0)．由PD⊥平面ABCD，得【變式2】[規(guī)范解答]如圖所示，取BC中點(diǎn)O，連結(jié)AO.因?yàn)椤鰽BC是正三角形，所以AO⊥BC，因?yàn)樵谡庵鵄BC—A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，所以AO⊥平面BCC1B1.【題后反思】幾何法求二面角，往往需要作出其平面角，這是該方法的一大難點(diǎn)．而用向量法求解二面角，無(wú)需作出二面角的平面角，只需求出平面的法向量，轉(zhuǎn)化為兩直線(或兩向量)所成的角，通過(guò)向量的數(shù)量積運(yùn)算即可獲解，體現(xiàn)了空間向量的巨大優(yōu)越性．空間向量的具體應(yīng)用主要體現(xiàn)為兩種方法——向量法和坐標(biāo)法．這兩種方法的思想都是利用空間向量表示立體圖形中的點(diǎn)、線、面等元素，建立立體圖形和空間向量之間的聯(lián)系，然后進(jìn)行空間向量