高等數(shù)學(xué)二重積分的概念與性質(zhì)

高等數(shù)學(xué)二重積分的概念與性質(zhì)1第一頁，共三十八頁，2022年，8月28日解法:類似定積分解決問題的思想:一、引例曲頂柱體的體積給定曲頂柱體:底：xoy面上的閉區(qū)域D頂:連續(xù)曲面?zhèn)让妫阂訢的邊界為準線,母線平行于z軸的柱面求其體積.“分割,近似,求和,取極限”2第二頁，共三十八頁，2022年，8月28日1)“分割”用任意曲線網(wǎng)把D分為n個小區(qū)域以它們?yōu)榈装亚斨w分為n個2)“近似”---以平代曲在每個3)“求和”則中任取一點小曲頂柱體3第三頁，共三十八頁，2022年，8月28日4)“取極限”令4第四頁，共三十八頁，2022年，8月28日用若干個小平頂柱體體積之和近似表示曲頂柱體的體積，先分割曲頂柱體的底，并任取一小區(qū)域，曲頂柱體的體積5第五頁，共三十八頁，2022年，8月28日6第六頁，共三十八頁，2022年，8月28日二、二重積分的定義及可積性定義:將區(qū)域D任意分成n個小區(qū)域任取一點若存在一個常數(shù)I,使可積,在D上的二重積分.記作是定義在有界區(qū)域D上的有界函數(shù),7第七頁，共三十八頁，2022年，8月28日積分和積分域被積函數(shù)積分表達式面積元素8第八頁，共三十八頁，2022年，8月28日對二重積分定義的說明：二重積分的幾何意義當被積函數(shù)大于零時，二重積分是柱體的體積．當被積函數(shù)小于零時，二重積分是柱體的體積的負值(3)積分值和積分和的關(guān)系當被積函數(shù)既有小于零又有大于零時，二重積分是各部分柱體體積的代數(shù)和．9第九頁，共三十八頁，2022年，8月28日引例中曲頂柱體體積:如果在D上可積,也常二重積分記作這時分區(qū)域D,因此面積元素可用平行坐標軸的直線來劃記作D10第十頁，共三十八頁，2022年，8月28日二重積分存在定理:若函數(shù)定理2.(證明略)定理1.在D上可積.限個點或有限個光滑曲線外都連續(xù),積.在有界閉區(qū)域

D上連續(xù),則若有界函數(shù)在有界閉區(qū)域

D上除去有11第十一頁，共三十八頁，2022年，8月28日例如,在D:上二重積分存在;在D上二重積分不存在.12第十二頁，共三十八頁，2022年，8月28日三、二重積分的性質(zhì)(k為常數(shù))（二重積分與定積分有類似的性質(zhì)）對區(qū)域具有可加性13第十三頁，共三十八頁，2022年，8月28日為D的面積,則特別,由于則5.若在D上14第十四頁，共三十八頁，2022年，8月28日６.（二重積分估值不等式）15第十五頁，共三十八頁，2022年，8月28日7.(二重積分的中值定理)證:由性質(zhì)6可知,由連續(xù)函數(shù)介值定理,至少有一點在閉區(qū)域D上為D的面積,則至少存在一點使使連續(xù),因此16第十六頁，共三十八頁，2022年，8月28日解17第十七頁，共三十八頁，2022年，8月28日例2.估計

的值,其中D為解:被積函數(shù)D的面積的最大值的最小值18第十八頁，共三十八頁，2022年，8月28日例3.比較下列積分的大小:其中解:積分域D的邊界為圓周它與x軸交于點(1,0),而域D位從而于直線的上方,故在D上19第十九頁，共三十八頁，2022年，8月28日解D夾在兩直線間20第二十頁，共三十八頁，2022年，8月28日例5.估計下列積分之值解:

D的面積為由于積分性質(zhì)5即:1.96I2D21第二十一頁，共三十八頁，2022年，8月28日8.設(shè)函數(shù)D位于x軸上方的部分為D1,當區(qū)域關(guān)于y軸對稱,函數(shù)關(guān)于變量x有奇偶性時,仍在D上在閉區(qū)域上連續(xù),域D關(guān)于x軸對稱,則則有類似結(jié)果.22第二十二頁，共三十八頁，2022年，8月28日在第一象限部分,則有23第二十三頁，共三十八頁，2022年，8月28日四、特殊區(qū)域下曲頂柱體體積的計算設(shè)曲頂柱體的底可表示為:［X－型］積分區(qū)域其中函數(shù)、在區(qū)間上連續(xù).24第二十四頁，共三十八頁，2022年，8月28日應(yīng)用計算“平行截面面積為已知的立體求體積”的方法25第二十五頁，共三十八頁，2022年，8月28日任取平面故曲頂柱體體積為截面積為截柱體的26第二十六頁，共三十八頁，2022年，8月28日同樣,曲頂柱體的底可表示為［Y－型］27第二十七頁，共三十八頁，2022年，8月28日則其體積可按如下兩次積分計算這樣我們就把二重積分轉(zhuǎn)化成為了二次積分或累次積分.28第二十八頁，共三十八頁，2022年，8月28日內(nèi)容小結(jié)1.二重積分的定義2.二重積分的性質(zhì)(與定積分性質(zhì)相似)3.曲頂柱體體積的計算二次積分法29第二十九頁，共三十八頁，2022年，8月28日被積函數(shù)相同,且非負,思考與練習(xí)解:

由它們的積分域范圍可知1.比較下列積分值的大小關(guān)系:30第三十頁，共三十八頁，2022年，8月28日2.設(shè)D

是第二象限的一個有界閉域,且0<y<1,則的大小順序為()提示:因0<y<1,故故在D上有31第三十一頁，共三十八頁，2022年，8月28日3.計算解:32第三十二頁，共三十八頁，2022年，8月28日P782，4(1)(4),5(2)(4)P951(1),8作業(yè)33第三十三頁，共三十八頁，2022年，8月28日4.證明:其中D為解:利用題中x,y位置的對稱性,有又D的面積為1,故結(jié)論成立.34第三