甘肅省蘭州市第五十八中學(xué)2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期第二次模擬考試數(shù)學(xué)（理科）試卷及答案解析

蘭州五十八中學(xué)2022-2023學(xué)年度下學(xué)期第二次模擬考試數(shù)學(xué)試卷（理科）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用像皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第I卷（選擇題）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知集合，，則（

）A．B．C． D．2．已知復(fù)數(shù)，則的虛部為（

）A． B． C． D．3．已知向量滿(mǎn)足，則（

）A．8 B． C． D．44．在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，則的最大值是（

）A．4 B．8 C．16 D．325．執(zhí)行如圖的程序框圖，如果輸入的，則輸出的（

）A． B． C． D．6．要得到函數(shù)圖象，只需把函數(shù)的圖象（

）A．向右平移個(gè)單位 B．向左平移個(gè)單位C．向右平移個(gè)單位 D．向左平移個(gè)單位7．設(shè)，是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面（

）A．若，，則B．若，，則C．若，，，則D．若，，，則8．為慶祝黨的二十大的勝利召開(kāi)，某高校黨委從所有的學(xué)生黨員中隨機(jī)抽取100名，舉行“二十大”相關(guān)知識(shí)的競(jìng)賽活動(dòng)，根據(jù)競(jìng)賽成績(jī)，得到如下2×2列聯(lián)表.則下列說(shuō)法正確的是（

）優(yōu)秀非優(yōu)秀合計(jì)男203050女351550合計(jì)5545100參考公式及數(shù)據(jù)：，其中.A．有的把握認(rèn)為“競(jìng)賽成績(jī)是否優(yōu)秀與性別有關(guān)”B．有的把握認(rèn)為“競(jìng)賽成績(jī)是否優(yōu)秀與性別無(wú)關(guān)”C．在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下，認(rèn)為“競(jìng)賽成績(jī)是否優(yōu)秀與性別無(wú)關(guān)”D．在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下，認(rèn)為“競(jìng)賽成績(jī)是否優(yōu)秀與性別有關(guān)”9．若直線與曲線恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則a的取值范圍是（

）A．B．C． D．10．中國(guó)古代某數(shù)學(xué)名著中有這樣一個(gè)類(lèi)似問(wèn)題：“四百四十一里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見(jiàn)末日行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還.”其意思為：有一個(gè)人一共走了441里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛，每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地，請(qǐng)問(wèn)最后一天走的路程是（

）A．7里 B．8里 C．9里 D．10里11．已知函數(shù)恒有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（

）A． B． C． D．12．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線與C的左、右兩支分別交于A，B兩點(diǎn)，若四邊形為矩形，則C的離心率為（

）A． B．3 C． D．第II卷（非選擇題）填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在的展開(kāi)式中，的系數(shù)為60，則實(shí)數(shù)______.14．在一個(gè)數(shù)列中，如果每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的和為同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列稱(chēng)為等和數(shù)列，這個(gè)常數(shù)稱(chēng)為該數(shù)列的公和．已知數(shù)列是等和數(shù)列，且，，則這個(gè)數(shù)列的前2022項(xiàng)的和為_(kāi)_______．15．盲盒常指裝有不同公仔手辦，但消費(fèi)者不能提前得知款式的盒裝玩具，一般按系列販?zhǔn)郏碾S機(jī)性和一些隱藏款吸引著很多年輕人重復(fù)購(gòu)買(mǎi)．小明購(gòu)買(mǎi)了5個(gè)冰墩墩單只盲盒，拆開(kāi)后發(fā)現(xiàn)有2個(gè)相同的“竹林春熙”以及“冰雪派對(duì)”、“青云出岫”、“如意東方”各1個(gè)．小明想將這5個(gè)擺件排成一排，要求相同的擺件不相鄰．若相同擺件視為相同元素，則一共有____________種擺放方法．16．天干地支紀(jì)年法，源于中國(guó)，中國(guó)自古便有十天干與十二地支.十天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸.十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支紀(jì)年法是按順序以一個(gè)天干和一個(gè)地支相配，排列起來(lái)，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年為“甲子”，第二年為“乙丑”，第三年為“丙寅”，…，以此類(lèi)推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新開(kāi)始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新開(kāi)始，即“丙子”，…，以此類(lèi)推，已知2099年為己未年，那么3035年為_(kāi)_______年.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。17(12分)．若△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，滿(mǎn)足.(1)求角A；(2)若，求△ABC周長(zhǎng)的取值范圍.18．(12分)隨著社會(huì)的進(jìn)步，科技的發(fā)展，越來(lái)越多的大學(xué)本科生希望通過(guò)保研或者考研進(jìn)入更理想的大學(xué)進(jìn)行研究生階段的學(xué)習(xí)．某大學(xué)為了解準(zhǔn)備保研或者考研的本科生每天課余學(xué)習(xí)時(shí)間，隨機(jī)抽取了400名大學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，將收集到的學(xué)習(xí)時(shí)間（單位：小時(shí)）數(shù)據(jù)分成5組：，，，，（學(xué)習(xí)時(shí)間均在內(nèi)），得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求m的值，并估計(jì)這400名大學(xué)生每天課余學(xué)習(xí)時(shí)間的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；(2)按分層抽樣的方法從學(xué)習(xí)時(shí)間在和組中抽出8人，再?gòu)倪@8人中隨機(jī)抽取3人，記X表示抽到的3人中學(xué)習(xí)時(shí)間在組中的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．19．(12分)如圖，在四棱錐中，底面，底面是矩形，為的中點(diǎn).(1)證明：.(2)求二面角的平面角的余弦值.20(12分)．已知函數(shù).(1)若是的極值點(diǎn)，求的值；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(3)若函數(shù)在上有且僅有個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.21．(12分)已知橢圓的短軸長(zhǎng)為，離心率為．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線l與圓相切，與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，求的面積的最大值．（二）選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中選定一題作答，并用2B鉛筆在答題卡上將所選題目對(duì)應(yīng)的題號(hào)方框涂黑。按所涂題號(hào)進(jìn)行評(píng)分，不涂、多涂均按所答第一題評(píng)分；多答按所答第一題評(píng)分。22.（本小題滿(mǎn)分10分）選修4-5：不等式選講設(shè)均不為零，且．(1)證明：；(2)求的最小值．23.（本小題滿(mǎn)分10分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為（其中為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為．(1)求直線l的直角坐標(biāo)方程和曲線C的普通方程；(2)設(shè)直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是曲線C上的一動(dòng)點(diǎn)，求面積的最大值.答案解析1．B【分析】根據(jù)交集的定義計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)椋?，所?故選：B.2．B【分析】直接根據(jù)虛部的概念求解即可.【詳解】復(fù)數(shù),故的虛部為.故選：B.3．D【分析】根據(jù)模長(zhǎng)平方可得.【詳解】因?yàn)?，所以，又因?yàn)樗?，所?故選：D.4．B【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)得，再結(jié)合基本不等式即可求解．【詳解】各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，由，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故的最大值為8．故選：B．5．D【分析】根據(jù)框圖結(jié)構(gòu)利用循環(huán)語(yǔ)句求解.【詳解】當(dāng)輸入的時(shí)，；；輸出,故選:D.6．A【分析】利用二倍角的正弦公式化簡(jiǎn)目標(biāo)函數(shù)解析式，利用三角函數(shù)圖象變換可得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)?，為了得到函?shù)圖象，只需把函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，故選：A.7．C【分析】根據(jù)條件思考題中平面和直線所可能的各種情況，運(yùn)用有關(guān)的定理逐項(xiàng)分析.【詳解】當(dāng)，時(shí)，可能有，但也有可能或，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)，時(shí)，可能有，但也有可能或，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；當(dāng)，，時(shí)，必有，從而，故選項(xiàng)C正確；在如圖所示的正方體中，取為，為，為平面，為平面，這時(shí)滿(mǎn)足，，，但不成立，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：C.8．A【分析】求得的觀測(cè)值，再與臨界值表對(duì)照下結(jié)論.【詳解】解：因?yàn)榈挠^測(cè)值，由臨界值表知，有的把握認(rèn)為“競(jìng)賽成績(jī)是否優(yōu)秀與性別有關(guān)”.故選：.9．B【分析】曲線方程變形得曲線為半圓，由直線與半圓相切得的一個(gè)值，由直線過(guò)直徑的一個(gè)端點(diǎn)又得一個(gè)值，結(jié)合圖象可得的范圍．【詳解】可化為且，即曲線是以為圓心，1為半徑的圓的下半圓，作出曲線，如圖，作直線，而直線與直線平行，當(dāng)直線過(guò)時(shí)，，當(dāng)直線與半圓相切時(shí)，由得舍去），由圖象可知的取值范圍是．故選：B．10．A【分析】由“每天走的路程為前一天的一半”可知這個(gè)人每天走的路程是等比數(shù)列，再根據(jù)等比數(shù)列求和公式得出答案.【詳解】設(shè)第六天走的路程為，第五天走的路程為……第一天走的路程記為，根據(jù)題意每天走的路程為前一天的一半，所以公比，且，，所以，從而解得，故選：A.11．B【分析】根據(jù)給定條件，利用導(dǎo)數(shù)求出的最大值即可求解作答.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得：，令，，則，即在上單調(diào)遞增，，因此，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，于是得當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的值域是，而函數(shù)恒有零點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)，解得，所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是.故選：B【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，可以通過(guò)轉(zhuǎn)化，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等，借助數(shù)形結(jié)合求解.12．C【分析】聯(lián)立直線與C的方程，求出弦AB長(zhǎng)，由求解即得.【詳解】顯然直線與交于原點(diǎn)O，由雙曲線對(duì)稱(chēng)性知，若四邊形是矩形，則，設(shè)點(diǎn)，而由得，解得，則，則，化簡(jiǎn)得，即，，解得，則.故選：C.13．【分析】求出二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，令的指數(shù)等于2，求得，再根據(jù)展開(kāi)式中的系數(shù)為60，即可得出答案.【詳解】的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，則，則在展開(kāi)式中，的系數(shù)為，所以.故答案為：.14．6066【分析】寫(xiě)成的通項(xiàng)公式，求出公和，再分組求和.【詳解】設(shè)等和數(shù)列的公和為m．因?yàn)?，所以，，，，…，所以，又，所以，所以．故答案為?06615．36【分析】利用插空法計(jì)算即可.【詳解】記2個(gè)相同的“竹林春熙”為A，A，“冰雪派對(duì)”為B，“青云出岫”為C，“如意東方”為D，先擺放B，C，D，一共有種擺放方式，再將2個(gè)A插空放入，有種擺放方式，所以，一共有種擺放方式．故答案為：36.16．乙未【分析】分析天干與地支的相配原則可知天干地支紀(jì)年法以60為周期，依次將十天干、十二地支標(biāo)序號(hào)，2099年可記為（6，8），而3035-2099=36，由天干與地支的循環(huán)可算出對(duì)應(yīng)第36年的天干與地支.【詳解】解：將天干按順序依次排列，十個(gè)一組；將地支也一樣排列十二個(gè)一組，由此可知天干地支紀(jì)年法以60年（10，12的最小公倍數(shù)）為周期循環(huán)。不妨給十天干與十二地支依次標(biāo)號(hào)：1，2……10；1，2……11，12，將甲子年記為（1，1），乙丑年（2，2）……，則2099年可記為（6，8）而3035-2099=36，故36÷10=3……6，即6+6-10=2，對(duì)應(yīng)天干第二號(hào)2，即乙；36÷12=3……0，即地支仍是8號(hào)，即未.故答案為：乙未17．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊角互化，可得，由余弦定理即可求解，（2）根據(jù)正弦定理得，由內(nèi)角和關(guān)系以及和差角公式可得，進(jìn)而由三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】（1）由正弦定理可得：，，，（2）因?yàn)?，，所以，故由正弦定理得：所以，所以周長(zhǎng)因?yàn)?，則，所以故求周長(zhǎng)的取值范圍為.18．(1)；8.12小時(shí)；(2)分布列見(jiàn)解析，.【分析】（1）根據(jù)各組數(shù)據(jù)頻率之和為1即可求出圖中的值，利用平均數(shù)計(jì)算公式即可求出結(jié)果；（2）根據(jù)題意分析的可能取值為0，1，2，3，進(jìn)而列出分布列求出結(jié)果.【詳解】（1）由于各組數(shù)據(jù)頻率之和為1，即，則，這400名大學(xué)生每天課余學(xué)習(xí)時(shí)間的平均值為：(小時(shí))；（2）由題可知學(xué)習(xí)時(shí)間在和組的頻率分別為0.3,0.18，按分層抽樣的方法從學(xué)習(xí)時(shí)間在和組中抽出8人，有5名在內(nèi)，3名在內(nèi)，則的可能取值為0，1，2，3，則，，，，即的分布列為0123所以．19．(1)證明見(jiàn)解析(2).【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行證明即可；（2）利用空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，.因?yàn)椋?；?）設(shè)平面的法向量為，則取，可得.設(shè)平面的法向量為，則取，可得..故二面角的平面角的余弦值為.20．(1)1(2)答案見(jiàn)解析(3).【分析】（1）由題意，求導(dǎo)得，然后根據(jù)，即可得到結(jié)果；（2）由題意，求導(dǎo)得，然后分與兩種情況討論，即可得到結(jié)果；（3）由題意，構(gòu)造函數(shù)，將函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)圖像交點(diǎn)問(wèn)題，結(jié)合圖像即可得到結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)閯t，即，所以，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意（2），則.當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由，得，若，則；若，則.當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為.（3）當(dāng)時(shí)，由可得，令，其中，則直線與函數(shù)在上的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減.所以，函數(shù)的極大值為，且，，如下圖所示：由圖可知，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)在上的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.21．(1)(2)【分析】（1）由題意可得，解方程即可得出答案；（2）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，可得，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，聯(lián)立橢圓方程根據(jù)韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式可表示出，結(jié)合條件即得.【詳解】（1）由題意可得：，解得：.故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；（2）圓的方程為，圓心為，半徑為，①當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，的方程為或，直線與橢圓交點(diǎn)為，的面積為，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，直線時(shí)，的面積為；②當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，由得，由，得，則，得.因?yàn)?，所以，所以恒成立，設(shè)，則，所以，所以，令，則的面積為，令，令，,所以因?yàn)椋瑥亩拿娣e的最大值為為,綜上，的面積的最大值為.22．(1)證明見(jiàn)解析；(2)3.【分析