習(xí)題最大值與最小值問題

最大值與最小值問題.已知八%)=2%3—6%2+機(jī)(根為常數(shù))在［—2,2］上有最大值3,那么此函數(shù)在［—2,2］上的最小值為()A.-37 B.-29 C.-5 D.-11.函數(shù)於)=%(1—?dú)W)在上的最大值為().將一段長(zhǎng)為100的鐵絲截成兩段，一段折成正方形，一段彎成圓，當(dāng)正方形與圓的面積之和最小時(shí)，圓的周長(zhǎng)為()TOC\o"1-5"\h\zA.50 D.25.把函數(shù)八%)=%3—3%的圖像j向右平移比個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移。個(gè)單位長(zhǎng)度后得到圖像?若對(duì)任意比>。，曲線J與。2至多有一個(gè)交點(diǎn)，則。的最小值為()A.2 B.4 C.6 D.8.定義在(0,+8)上的函數(shù)八%)=(以2+法)(4%-2+笈-1)(如>0),則“￥)( )A.有最大值(。+32,沒有最小值B.有最小值(。+32,沒有最大值C.有最大值3+32,有最小值(4—>)2D.沒有最值.某公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每年固定成本為20000元，每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品，成本增加100元，已知總收益H與年產(chǎn)量％的關(guān)系是尺=}00%—1%2,0W%<400,80000,%>400,則總利潤(rùn)最大時(shí)，每年生產(chǎn)產(chǎn)品的產(chǎn)量是()A.100 B.150 C.200 D.300.函數(shù)f%尸a%4—4a%3+b(a>0),%￡［1,4］,f%)的最大值為3,最小值為-6,則a+b.內(nèi)接于半徑為R的球且體積最大的圓柱體的高為..用總長(zhǎng)m的鋼條制作一個(gè)長(zhǎng)方體容器的框架，如果所制作容器的底面一邊比另一邊長(zhǎng)m,那么高為多少時(shí)容器的容積最大？并求出它的最大容積..已知函數(shù)f%)=a%3—12%,f%)的導(dǎo)函數(shù)為f(%).(1)求函數(shù)f%)的單調(diào)區(qū)間；(2)若f(1)=—6,求函數(shù)f%)在［—1,3］上的最大值和最小值..設(shè)函數(shù)f%)=%4+a%3+2%2+b(%￡R),其中a,b￡R.(1)當(dāng)a=—130時(shí)，討論函數(shù)f%)的單調(diào)性；(2)若對(duì)于任意的a￡［—2,2］,不等式f%)<1在［—1,1］上恒成立，求b的取值范圍.

參考答案.解析：f(x)=6x2-12x,x￡［—2,2］,令f'(x)=0,得x=0或x=2.可得f(x)在［一2,0］上遞增，在［0,2］上遞減，故f(x)max=f(0)=m=3,所以f(一2)=-37,f(2)=-5.故f(x)的最小值為一37.答案：A.解析：f(x)=x—x3,f'(x)=1-3x2,令f'(x)=0,得x=±^33.X^)=乎，［-坐)=一等,10)=0，川尸0,所以f(x)在［0,1］上的最大值為d*5=293.答案：A.解析：設(shè)圓的周長(zhǎng)為x，則正方形的周長(zhǎng)為100-x，且0Vx<100,所以圓的半徑廠x x 1 x 4+n 25=加，正方形的邊長(zhǎng)為25-4.所以面積和s(x尸1x2+(25-4)=后-x2-3x+625(0Vxv100).令100).令S'(x)=0,得100nx=4+n.答案：B.解析：f'(x)=3x2-3.令f'(x)>0,得x>1或xV-1.x(一8,一1)—1(—1,1)1(1,+8)f'(x)十00十f(x)/2\—2/答案：B.解析：fx)=ab(x+：)+(a2+b2),f'(x)=ab(1-《)=ab-x2^x x2 x2???x￡(0,+8),.?.當(dāng)x￡(0,1)時(shí)，f'(x)V0,當(dāng)x￡(1,+8)時(shí)，f'(%)>0.f(x)在(0,1)上是減少的，在(1,+8)上是增加的,f(x)有最小值f(1)=(a+b)2,無最大值.答案：B6.解析：由題意知總成本為。=20000+100%,所以總利潤(rùn)為％2一一—一一一一一一一一一一 —P=H—300%—不一20000,0W%W400, 60000—100%,%>400.P'={300—%,0W%<400, —100,%>400.令P'=0,當(dāng)0<%<400時(shí)，得%=300;當(dāng)%>400時(shí)，P'<0恒成立，易知當(dāng)%=300時(shí)，總利潤(rùn)最大.答案：D.解析：f(%)=4a%3—12a%2.令f(%)=0,得%=0(舍去)或%=3.由f%)的單調(diào)性可知f%)的最小值為f(3)=b—27a.又f(1)=b—3a,f(4)=b,所以八4)為最大值，j一一一一.」 1 10即{b=3, b—27a=—6,解得卜=3, b=3.所以a+b=-y.答案：130.解析：設(shè)圓柱體的高為2瓦則底面半徑為一..R22—h2，所以圓柱體的體積V=n(R2—3一, 2\,'3 、一h2)^2h=2nR2h—2nh3,則V=2nR2—6nh2.令V=0,得h=3-R，即當(dāng)2h=3R時(shí)，圓柱體的體積最大.小士卓答案：U-R.解：設(shè)容器底面短邊長(zhǎng)為%m,則另一■邊長(zhǎng)為(%+m,高為錯(cuò)誤！=—2%)m.由一2%>0和%>0,得0V%<.設(shè)容器的容積為ym3,則有y=%+%)?—2%)=—2%3++(0<%<.所以y'=-6%2++.令y'=0,有一6%2++=0,解得%1=1,%2=一2(不合題意，舍去).1 2 15由函數(shù)的單調(diào)性可知，當(dāng)%=1時(shí)，y取最大值，y=—2++=(m3),這時(shí)高為一2X1最大=(m).所以當(dāng)高為m時(shí)容器的容積最大，最大容積為m3..解：(1f‘(%)=3a%2—12=3(a%2—4).當(dāng)a<0時(shí)，f(%)<0,f(%)在(一8,+8)上遞減.

當(dāng)a>0時(shí)，％變化時(shí)，f(x),f(x)的變化情況如下表:xj-}_2_aja(^[前國(guó))2\[a(三—8)f(x)十00十f(x)/極大值極小值此時(shí)，f(x述(-8，—京n3，+8)上遞增,在卜三,左)上遞減.(2)由f(1)=3a—12=—6,得a=2.由(1)知，f(x)在(一1,也)上遞減，在(\：23)上遞增.因?yàn)閒(—1)=10,f('⑵=—8\；5,f(3)=18,所以f(x)在［—1,3］上的最大值為18,最小值為一8\逐.解：(1f'(x)=4x3+3ax2+4x=x(4x2+3ax+4).? 10…當(dāng)a=一不時(shí)，f'(x)=x(4x2—10x+4)=2x(2x—1)(x—2).令f'(x)=0,解得x1=0,x2=2，x3=2.當(dāng)x變化時(shí)，f(x),f(x)的變化情況如下表:x(—8,0)0(0,2)12(2,2)2(2,+8)f(x)0十00十fx)X極小值/極大值X極小值/所以f(x)在(0,2),(2,+8)內(nèi)是增加的，在(一8,0),(：,2)內(nèi)是減少的.(2)由條件a￡［—2,2］可知A=9a2—64V0,從而4x2+3ax+4>0恒成立.當(dāng)xV0時(shí)，f(x)V0;當(dāng)x>0時(shí)，f(