第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征

第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征阜師院數(shù)科院第一頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院§1隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望§1.1離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望例：有A，B兩射手，他們的射擊技術(shù)如表所示，試問哪一個(gè)射手本領(lǐng)較好？0.30.50.20.60.10.3概率10981098擊中環(huán)數(shù)BA射手名稱第二頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院5416212817103只數(shù)Nk3210-1-2日走時(shí)誤差xk則抽查到的100只手表的平均日走時(shí)誤差為即例:某手表廠在出廠產(chǎn)品中,抽查了N=100只手表的日走時(shí)誤差,其數(shù)據(jù)如表:第三頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院如果另外再抽驗(yàn)100只手表,每作一次這樣的檢驗(yàn),就得到一組不同的頻率,也就有不同的日走時(shí)誤差的平均值.由關(guān)于頻率和概率關(guān)系的討論知,理論上應(yīng)該用概率去代替上述和式的頻率,這時(shí)得到的平均值才是理論上(也是真正)的平均值.這樣我們就引出了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的概念.第四頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院定義:設(shè)離散型隨機(jī)變量X的概率分布為如若則稱為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望,記為E(X).如果則稱隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望不存在.第五頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院所以A的射擊技術(shù)較B的好.0.30.50.20.60.10.3概率10981098擊中環(huán)數(shù)BA射手名稱例:有A，B兩射手，他們的射擊技術(shù)如表所示，試問哪一個(gè)射手本領(lǐng)較好？解A射擊平均擊中環(huán)數(shù)為B射擊平均擊中環(huán)數(shù)為第六頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院

解①分布律為：X0123P0.30.40.20.1②平均廢品數(shù)為：第七頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院例:設(shè)隨機(jī)變量X具有如下的分布，求E(X).解雖然有收斂,但發(fā)散,因此E(X)不存在.第八頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院（0-1）分布數(shù)學(xué)期望設(shè)X的分布列為：X01Pqp則

其中第九頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院§1.1.2二項(xiàng)分布數(shù)學(xué)期望

定理:設(shè)隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布,即則隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=np.證明第十頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院§1.1.3泊松分布數(shù)學(xué)期望

證明:定理:設(shè)隨機(jī)變量X服從泊松分布,即則隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=λ.第十一頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院§1.2連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望我們已知離散型隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為E(X)=自然要問連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是什么?設(shè)p(x)是連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù),取分點(diǎn)x0<x1<…<xn+1則隨機(jī)變量X落在△xi=(xi,xi+1)中的概率為與X近似的隨機(jī)變量Y的數(shù)學(xué)期望為由微積分知識(shí)自然想到X的數(shù)學(xué)期望為第十二頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院為連續(xù)型隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望,記為E(X).定義:設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為p(x),若則稱如果則稱連續(xù)型隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望不存在.第十三頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院例:設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為試求X的數(shù)學(xué)期望解第十四頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院例:若隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為問隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)是否存在.解所以E(X)不存在.但第十五頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院§1.2.1均勻分布的數(shù)學(xué)期望

定理:設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為則E(X)=(a+b)/2.證明:第十六頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院§1.2.2指數(shù)分布的數(shù)學(xué)期望

定理:設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為則隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為E(X)=1/λ.證明第十七頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院§1.2.3正態(tài)分布的數(shù)學(xué)期望

定理:設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X~N(μ,σ2),則E(X)=μ.證明第十八頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院§2隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望定理:設(shè)Y是隨機(jī)變量X的函數(shù):Y=f(X)(f是連續(xù)函數(shù)).(1)設(shè)離散型隨機(jī)變量X的概率分布為P{X=xk}=pk,k=1,2,...(2)設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為p(x),若若則則有§2.1隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望第十九頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院定理:設(shè)Z是隨機(jī)變量X,Y的函數(shù)Z=f(X,Y)(f是連續(xù)函數(shù)).(1)設(shè)二維隨機(jī)向量(X,Y)的分布律為(2)設(shè)二維隨機(jī)向量(X,Y)的分布密度為p(x,y),若若則則第二十頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院例:已知隨機(jī)變量X~N(0,1),求E(X2).解法1先求Y=X2的概率密度函數(shù):若y<0,則FY(y)=0;若y>0,則所以Y=X2的概率密度函數(shù)為解法2再求第二十一頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院例:設(shè)（X,Y）的聯(lián)合分布律如下，Z=XY，求E(Z).解

第二十二頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院例:設(shè)風(fēng)速V在(0,a)上服從均勻分布,又設(shè)飛機(jī)機(jī)翼受到的正壓力W是V的函數(shù):W=kV2(k>0,常數(shù)),求W的數(shù)學(xué)期望.解因?yàn)殡S機(jī)變量V的密度函數(shù)為所以第二十三頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院例:設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為試求XY的數(shù)學(xué)期望.解第二十四頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院例:按季節(jié)出售的某種應(yīng)時(shí)商品,每售出一公斤獲利潤(rùn)b元.如到季末尚有剩余商品,則每公斤凈虧損a元.設(shè)某商品在季節(jié)內(nèi)這種商品的銷售量X(以公斤計(jì))是一隨機(jī)變量,X在區(qū)間(s1,s2)上服從均勻分布.為使商店所獲得利潤(rùn)的數(shù)學(xué)期望最大,問商店應(yīng)進(jìn)多少貨?解以s(公斤)表示進(jìn)貨數(shù),進(jìn)貨s所得利潤(rùn)記為Ys(X),則X的概率密度為第二十五頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院由得于是第二十六頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院§2.2數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)1.若a≤X≤b,則E(X)存在,且有a≤E(X)≤b.特別,若C是常數(shù),則E(C)=C.2.設(shè)X,Y是兩個(gè)隨機(jī)變量,若E(X),E(Y)存在,則對(duì)任意的實(shí)數(shù)a、b,E(aX+bY)存在,且有E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)此性質(zhì)可推廣到有限個(gè)隨機(jī)變量的線性組合的情況.3.設(shè)X,Y是互相獨(dú)立的隨機(jī)變量,則有E(XY)=E(X)E(Y)此性質(zhì)可推廣到有限個(gè)互相獨(dú)立的隨機(jī)變量之積的情況.第二十七頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院定理：若a≤X≤b,則E(X)存在,且有a≤E(X)≤b.特別,若C是常數(shù),則E(C)=C.證明(1)設(shè)離散型隨機(jī)向量X分布列為{X=xi}=pi,i=1,2,…則(2)設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為p(x),則(3)因?yàn)镻{X=C}=1,故E(C)=E(X)=C×1=C第二十八頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院定理:設(shè)X,Y是兩個(gè)隨機(jī)變量,若E(X),E(Y)存在,則對(duì)任意的實(shí)數(shù)a、b,E(aX+bY)存在,且有E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)證明(1)設(shè)離散型隨機(jī)向量(X,Y)的聯(lián)合分布列和邊際分布列分別為P{X=xi,Y=yj}=pij,i,j=1,2,…P{X=xi}=pi.,i=1,2,…P{Y=yj}=p.j,j=1,2,…則第二十九頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院(2)設(shè)連續(xù)型隨機(jī)向量(X,Y)的聯(lián)合概率密度和邊際概率密度分別為p(x,y)和pX(x),pY(y)則第三十頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院定理:設(shè)X,Y是互相獨(dú)立的隨機(jī)變量,則有E(XY)=E(X)E(Y)證明(1)設(shè)離散型隨機(jī)向量(X,Y)的聯(lián)合分布列和邊際分布列分別為P{X=xi,Y=yj}=pij,i,j=1,2,…P{X=xi}=pi.,i=1,2,…P{Y=yj}=p.j,j=1,2,…則第三十一頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院(2)設(shè)連續(xù)型隨機(jī)向量(X,Y)的聯(lián)合概率密度和邊際概率密度分別為p(x,y)和pX(x),pY(y)則第三十二頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院例:一民航送客車載有20位旅客自機(jī)場(chǎng)開出,旅客有10個(gè)車站可以下車.如到達(dá)一個(gè)車站沒有旅客下車就不停車.以X表示停車的次數(shù),求E(X).解:引入隨機(jī)變量易知X=X1+X2+…+X10任一旅客在第i站不下車的概率為9/10.因此20位旅客都不在第i站下車的概率為(9/10)20,在第i站有人下車的概率為1-(9/10)20.即P{Xi=0}=(9/10)20,P{Xi=1}=1-(9/10)20第三十三頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院所以E(Xi)=1-(9/10)20,i=1,2,…,10進(jìn)而E(X)=E(X1+X2+…+X10)=E(X1)+E(X2)+…+E(X10)=10[1-(9/10)20]=8.784注:本題的特點(diǎn)是將X分解為數(shù)個(gè)隨機(jī)變量的和,再求數(shù)學(xué)期望.此種方法具有普遍意義.第三十四頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院解例:設(shè)一電路中電流I(安)與電阻R(歐)是兩個(gè)相互理獨(dú)立的隨機(jī)變量,其概率密度分別為求電壓V=IR的數(shù)學(xué)期望.第三十五頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院解

因此，有第三十六頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院又當(dāng)-1≤x≤1時(shí)，故得同理可得由于所以X與Y不相互獨(dú)立第三十七頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院例:拋擲6顆骰子，X表示出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和，求E(X).從而由期望的性質(zhì)可得第三十八頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院§3隨機(jī)變量的方差例：A，B兩種手表的日走時(shí)誤差分別具有如下的分布律：易知E(XA)=E(XB)=0.由數(shù)學(xué)期望無法判別兩種手表的優(yōu)劣.但直覺告訴我們A優(yōu)于B,怎么樣用數(shù)學(xué)的方法把這種直覺表達(dá)出來呢?§3.1方差的概念第三十九頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院分析原因：A手表之所以優(yōu)于B手表,是因?yàn)锳手表的日走時(shí)較B手表穩(wěn)定.其日走時(shí)與其日平均誤差的偏離程度小.研究隨機(jī)變量與其均值的偏離程度是有必要的.怎么樣去度量這個(gè)偏離程度呢?(1)xk-E(X)表示xk與E(X)之間的偏差;(2)E[X-E(X)]不能反映X與E(X)之間的整體偏差;(3)E{|X-E(X)|}可以度量X與E(X)之間的整體偏差,但運(yùn)算不方便;(4)E{[X-E(X)]2}可以度量X與E(X)之間的整體偏差,且運(yùn)算也較方便.第四十頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院定義：設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量,若E{[X-E(X)]2}存在,則稱E{[X-E(X)]2}為X的方差.記為D(X)或Var(X),即D(X)=Var(X)=E{[X-E(X)]2}稱為X的標(biāo)準(zhǔn)差或均方差.定理:證明D(X)=E{[X-E(X)]2}=E{X2-2XE(X)+[E(X)]2}=E(X2)-2E(X)E(X)+[E(X)]2=E(X2)-[E(X)]2第四十一頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院方差實(shí)際上是隨機(jī)變量X的函數(shù)f(X)=[X-E(X)]2的數(shù)學(xué)期望.于是(1)對(duì)于離散型隨機(jī)變量X,若P{X=xk}=pk,k=1,2,…則(2)對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量X,若其概率密度為p(x),則第四十二頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院例：A，B兩種手表的日走時(shí)誤差分別具有如下表的分布律.問哪種手表質(zhì)量好些?解易知E(XA)=E(XB)=0.所以由于D(XA)<D(XB),因此A手表較B手表的質(zhì)量好.第四十三頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院例:設(shè)隨機(jī)變量X概率密度為p(x),求D(X).解于是,D(X)=E(X2)-[E(X)]2=1/6第四十四頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院§3.2常見分布的方差§3.2.1（0-1）分布的方差定理：若P{X=0}=q,P{X=1}=p,則D(X)=pq.證明第四十五頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院§3.2.2二項(xiàng)分布的方差定理:若隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布X~B(n,p),則D(X)=npq.證明第四十六頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院§3.2.3泊松分布的方差定理：設(shè)隨機(jī)變量X服從泊松分布X~π(λ),則D(X)=λ.證明第四十七頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院§3.2.4均勻分布的方差定理:設(shè)隨機(jī)變量X服從均勻分布X~U(a,b),則D(X)=(b-a)2/12.證明第四十八頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院§3.2.5指數(shù)分布的方差定理:設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布,則證明第四十九頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院§3.2.6正態(tài)分布的方差定理:設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布X~N(μ,σ2),則D(X)=σ2.證明第五十頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院常見分布的期望和方差表第五十一頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院解法1

X的邊緣密度函數(shù)是故第五十二頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院

解法2

于是第五十三頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院解

由于所以第五十四頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院§3.3隨機(jī)變量方差的性質(zhì)(1)設(shè)C是常數(shù),則D(C)=0(2)設(shè)C是常數(shù),X是隨機(jī)變量,則有D(CX)=C2D(X)(3)設(shè)X,Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,則有D(X+Y)=D(X)+D(Y)(5)D(X)=0的充要條件是X以概率1取常數(shù)C,即P{X=C}=1(4)對(duì)于任意常數(shù)C≠E(X),有D(X)<E(X-C)2第五十五頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院定理:D(aX+b)=a2D(X)證明D(aX+b)=E{[(aX+b)-E(aX+b)]2}=E{[(aX+b)-E(aX)-b]2}=E{[aX-E(aX)]2}=E{[a(X-E(X))]2}=a2E{[X-E(X)]2}=a2D(X)第五十六頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院定理:設(shè)X,Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,則有D(X+Y)=D(X)+D(Y)證明D(X+Y)=E{[(X+Y)-E(X+Y)]2}=E{[(X-E(X))+(Y-E(Y))]2}=E{[X-E(X)]2}+P{[Y-E(Y)]2}+2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}由于X,Y相互獨(dú)立,知X-E(X)與Y-E(Y)也相互獨(dú)立,從而有2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}=2E{[X-E(X)]}E{[Y-E(Y)]}=0.于是得D(X+Y)=D(X)+D(Y)第五十七頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院定理:對(duì)于任意常數(shù)C≠E(X),有D(X)<E(X-C)2證明E(X-C)2=E{[X-E(X)+E(X)-C]2}=E{[X-E(X)]2}+2[E(X)-C]E{[X-E(X)]}+[E(X)-C]2=D(X)+[E(X)-C]2由于C≠E(X),所以[E(X)-C]2>0從而有D(X)<E(X-C)2第五十八頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院例:設(shè)X服從二項(xiàng)分布X~B(n,p),求E(X)和D(X).解令X1,X2,…,Xn相互獨(dú)立,且它們的分布律為P{Xi=0}=1-p,P{Xi=1}=p,i=1,2,…,n.則有X=X1+X2+...+Xn從而有E(X)=E(X1+X2+...+Xn)=E(X1)+E(X2)+...+E(Xn)=npD(X)=D(X1+X2+...+Xn)=D(X1)+D(X2)+...+D(Xn)=npq第五十九頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院

解

由期望與方差的性質(zhì)可得第六十頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院

解由題意于是第六十一頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院§4協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)對(duì)于二維隨機(jī)向量(X,Y)來說,數(shù)學(xué)期望E(X)、E(Y)只反映了X與Y各自的平均值,方差只反映了X與Y各自離開均值的偏離程度,它們對(duì)X與Y之間相互關(guān)系不提供任何信息.但二維隨機(jī)向量(X,Y)的概率密度p(x,y)或分布列pij全面地描述了(X,Y)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律,也包含有X與Y之間關(guān)系的信息.我們希望有一個(gè)數(shù)字特征能夠在一定程度上反映這種聯(lián)系.第六十二頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院定義：設(shè)二維隨機(jī)向量(X,Y)的數(shù)學(xué)期望(E(X),E(Y))存在,若E[(X-E(X))(Y-E(Y))]存在,則稱它為隨機(jī)變量X與Y的協(xié)方差,記為Cov(X,Y),即Cov(X,Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]協(xié)方差有計(jì)算公式Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)任意兩個(gè)隨機(jī)變量X與Y的和的方差為D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)§4.1協(xié)方差第六十三頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院協(xié)方差的性質(zhì)1.2.a,b是常數(shù)3.4.第六十四頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院定理:Cov(X,Y)=Cov(Y,X)證明Cov(X,Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]=E[(Y-E(Y))(X-E(X))]=Cov(Y,X)定理:

Cov(aX,bY)=abCov(X,Y),a,b是常數(shù)證明

Cov(aX,bY)=E[(aX-E(aX))(bY-E(bY))]=E{[a(X-E(X))][b(Y-E(Y))]}=abE{[X-E(X)][Y-E(Y)]}=abCov(X,Y)第六十五頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院定理:Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z)證明Cov(X+Y,Z)=E{[(X+Y)-E(X+Y)][Z-E(Z)]=E{[(X-E(X))+(Y-E(Y))][Z-E(Z)]}=E{[X-E(X)][Z-E(Z)]+[Y-E(Y)][Z-E(Z)]}=E{[X-E(X)][Z-E(Z)]}+E{[Y-E(Y)][Z-E(Z)]}=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z)第六十六頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院協(xié)方差的數(shù)值在一定程度上反映了X與Y相互間的聯(lián)系,但它受X與Y本身數(shù)值大小的影響.如令X*=kX,Y*=kY,這時(shí)X*與Y*間的相互聯(lián)系和X與Y的相互聯(lián)系應(yīng)該是一樣的,但是Cov(X*,Y*)=k2Cov(X,Y)為了克服這一缺點(diǎn),在計(jì)算X與Y的協(xié)方差之前,先對(duì)X與Y進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化:再來計(jì)算X*和Y*的協(xié)方差，這樣就引進(jìn)了相關(guān)系數(shù)的概念.第六十七頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院定義:設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的方差D(X)>0,D(Y)>0,協(xié)方差Cov(X,Y)均存在,則稱為隨機(jī)變量X與Y的相關(guān)系數(shù)或標(biāo)準(zhǔn)協(xié)方差.§4.2相關(guān)系數(shù)第六十八頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院引理:對(duì)于二維隨機(jī)向量(X,Y),若E(X2),E(Y2)存在,則有|E(XY)|2≤E(X2)E(Y2)證明:考慮實(shí)變量t的二次函數(shù)h(t)=E[(tX-Y)2]=t2E(X2)-2tE(XY)+E(Y2)因?yàn)閷?duì)一切t,有(tX-Y)2≥0,所以h(t)≥0.從而二次方程h(t)=0或者沒有實(shí)根,或者只有重根,因而，由二次方程根的判別式知識(shí)得|E(XY)|2≤E(X2)E(Y2)第六十九頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院§4.2.1相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1:隨機(jī)變量X和Y的相關(guān)系數(shù)滿足|ρXY|≤1.性質(zhì)2:

|ρXY|=1的充要條件是,存在常數(shù)a,b使得P{Y=a+bX}=1.性質(zhì)3:若X與Y相互獨(dú)立,則ρXY=0.第七十頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院性質(zhì)1:隨機(jī)變量X和Y的相關(guān)系數(shù)滿足|ρXY|≤1.證明令則從而|ρXY|≤1.第七十一頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院性質(zhì)2:|ρXY|=1的充要條件是,存在常數(shù)a,b使得

P{Y=aX+b}=1證明令由ρXY2=[E(X*Y*)]2≤E(X*)E(Y*)=1知|ρXY|=1等價(jià)于[E(X*Y*)]2-E(X*)E(Y*)=0它又等價(jià)于h(t)=E[(tX*-Y*)2]=0有重根t0.又因?yàn)镋(t0X*-Y*)=t0E(X*)-E(Y*)=0所以D(t0X*-Y*)=0,由方差的性質(zhì)知它等價(jià)于P{t0X*-Y*=0}=1,即P{Y=aX+b}=1其中a=t0σ(Y)/σ(X),b=E(Y)-t0E(X)

σ(Y)/σ(X).第七十二頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院性質(zhì)3:若X與Y相互獨(dú)立,則ρXY=0.證明若X與Y相互獨(dú)立,則E(XY)=E(X)E(Y),又Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y),所以第七十三頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院§4.2.2相關(guān)系數(shù)的含義考慮以X的線性函數(shù)a+bX來近似表示Y.以均方誤差e=E{[Y-(a+bX)]2}=E(Y2)+b2E(X2)+a2-2bE(XY)+2abE(X)-2aE(Y)來衡量以a+bX近似表達(dá)Y的好壞程度.e的值越小表示a+bX與Y的近似程度越好.為此令從而得解得第七十四頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院相關(guān)系數(shù)只是隨機(jī)變量間線性關(guān)系強(qiáng)弱的一個(gè)度量.當(dāng)|ρXY|=1時(shí),說明X與Y間存在著線性關(guān)系(除去一個(gè)零概率事件以外).當(dāng)|ρXY|<1時(shí),這種線性相關(guān)程度隨著ρXY的減小而減弱.定義:(1)當(dāng)ρXY=1時(shí),稱X與Y正線性相關(guān);(2)當(dāng)ρXY=-1時(shí),稱X與Y負(fù)線性相關(guān);(3)當(dāng)ρXY=0時(shí),稱X與Y不相關(guān).注:(1)X與Y不相關(guān),只是意味著X與Y不線性相關(guān),但可能存在著別的函數(shù)關(guān)系;(2)若ρXY存在,則當(dāng)X與Y獨(dú)立時(shí),X與Y一定不相關(guān);但X與Y不相關(guān)時(shí),X與Y不一定獨(dú)立.第七十五頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院oXYoooXXXYYY0<ρ<1-1<ρ<0ρ=1ρ=-1相關(guān)情況示意圖第七十六頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院證由協(xié)方差的定義及數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)，得定理:§4.3協(xié)方差的關(guān)系式第七十七頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院證由方差公式及協(xié)方差的定義，得定理:第七十八頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院YX-10100.070.180.1510.080.320.20解X與Y的分布律分別為X-101P0.150.50.35Y01P0.40.6第七十九頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院于是第八十頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院解

第八十一頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院則于是第八十二頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院

解

第八十三頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院所以因此第八十四頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院例:設(shè)隨機(jī)變量Θ在[-π,π]上服從均勻分布,又X=sinΘ,Y=cosΘ試求X與Y的相關(guān)系數(shù)ρ.解這時(shí)有這時(shí)有Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0,即ρ=0.從而X與Y不相關(guān),沒有線性關(guān)系;但是X與Y存在另一個(gè)函數(shù)關(guān)X2+Y2=1,從而X與Y是不獨(dú)立的.第八十五頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院性質(zhì)1:隨機(jī)變量X和Y的相關(guān)系數(shù)滿足|ρXY|≤1.證明由可知第八十六頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院性質(zhì)2:|ρXY|=1的充要條件是,存在常數(shù)a,b使得

P{Y=a+bX}=1證明:(1)若|ρXY|=1,則由(2)若存在常數(shù)a*,b*使得P{Y=a*+b*X}=1,則有P{[Y-(a*+b*X)]2=0}=1.即得E{[Y-(a*+b*X)]2}=0,又由即得|ρXY|=1第八十七頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院§5獨(dú)立性與不相關(guān)性、矩§5.1獨(dú)立性與不相關(guān)性定理:

隨機(jī)變量X與Y不相關(guān)與下列結(jié)論之一等價(jià).

1.2.3.第八十八頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院解

第八十九頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院同理可得E(Y)=0于是即X與Y相關(guān)，從而X與Y不獨(dú)立.第九十頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院Y