2022-2023學(xué)年山西省長(zhǎng)治市太行中學(xué)高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末達(dá)標(biāo)測(cè)試試題含解析

2022-2023學(xué)年高一下數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A． B． C． D．2．直線x﹣y+2＝0與圓x2+（y﹣1）2＝4的位置關(guān)系是（）A．相交 B．相切 C．相離 D．不確定3．直線分別與軸，軸交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，則面積的取值范圍是A． B． C． D．4．在中，“”是“”的()A．充要條件 B．必要不充分條件C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件5．如圖，在三棱柱中，側(cè)棱垂直于底面，底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，側(cè)棱長(zhǎng)為3，則與平面所成的角為（）A． B． C． D．6．在△ABC中，三個(gè)頂點(diǎn)分別為A（2，4），B（﹣1，2），C（1，0），點(diǎn)P（x，y）在△ABC的內(nèi)部及其邊界上運(yùn)動(dòng)，則y﹣x的最小值是（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．37．已知兩條平行直線和之間的距離等于，則實(shí)數(shù)的值為()A． B． C．或 D．8．某班的60名同學(xué)已編號(hào)1,2,3，…，60，為了解該班同學(xué)的作業(yè)情況，老師收取了號(hào)碼能被5整除的12名同學(xué)的作業(yè)本，這里運(yùn)用的抽樣方法是()A．簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣 B．系統(tǒng)抽樣C．分層抽樣 D．抽簽法9．設(shè)，是兩條不同的直線，，，是三個(gè)不同的平面，給出下列四個(gè)命題：①若，，則②若，，，則③若，，則④若，，則其中正確命題的序號(hào)是（）A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④10．某三棱錐的左視圖、俯視圖如圖所示，則該三棱錐的體積是()A．3 B．2 C． D．1二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．有一個(gè)底面半徑為2，高為2的圓柱，點(diǎn)，分別為這個(gè)圓柱上底面和下底面的圓心，在這個(gè)圓柱內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)或的距離不大于1的概率是________.12．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，則____________．13．已知四面體的四個(gè)頂點(diǎn)均在球的表面上，為球的直徑，，四面體的體積最大值為_(kāi)___14．設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則___________.15．已知與的夾角為求=_____．16．已知數(shù)列滿足，，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_(kāi)_______．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．如圖，在四棱錐中，平面，，，，點(diǎn)Q在棱AB上.（1）證明：平面.（2）若三棱錐的體積為，求點(diǎn)B到平面PDQ的距離.18．在中，角A,B,C，的對(duì)應(yīng)邊分別為，且.（Ⅰ）求角B的大??；（Ⅱ）若的面積為，，D為AC的中點(diǎn)，求BD的長(zhǎng)．19．設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為；數(shù)列是等比數(shù)列，公比大于0，其前項(xiàng)和為．已知，，，．（1）求數(shù)列和數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2），求正整數(shù)n的值．20．已知公差大于零的等差數(shù)列滿足：．（1）求數(shù)列通項(xiàng)公式；（2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和．21．已知數(shù)列中，，，數(shù)列滿足。（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列。（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式。

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】

通過(guò)對(duì)兩函數(shù)的表達(dá)式進(jìn)行化簡(jiǎn)，變成我們熟悉的函數(shù)模型，比如反比例、一次函數(shù)、指數(shù)、對(duì)數(shù)及三角函數(shù),看圖直接判斷【詳解】由，作圖如下：共6個(gè)交點(diǎn)，所以答案選擇D【點(diǎn)睛】函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題與函數(shù)零點(diǎn)、方程根可以作相應(yīng)等價(jià)，用函數(shù)零點(diǎn)及方程根本題不現(xiàn)實(shí)，所以我們更多去考慮分別作圖象，直接看交點(diǎn)個(gè)數(shù).2、A【解析】

求得圓心到直線的距離，然后和圓的半徑比較大小，從而判定兩者位置關(guān)系，得到答案．【詳解】由題意，可得圓心到直線的距離為，所以直線與圓相交．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系判定，其中解答中熟記直線與圓的位置關(guān)系的判定方法是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．3、A【解析】分析：先求出A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)得到再計(jì)算圓心到直線距離，得到點(diǎn)P到直線距離范圍，由面積公式計(jì)算即可詳解：直線分別與軸，軸交于，兩點(diǎn),則點(diǎn)P在圓上圓心為（2，0），則圓心到直線距離故點(diǎn)P到直線的距離的范圍為則故答案選A.點(diǎn)睛：本題主要考查直線與圓，考查了點(diǎn)到直線的距離公式，三角形的面積公式，屬于中檔題．4、A【解析】

余弦函數(shù)在上單調(diào)遞減【詳解】因?yàn)锳,B是的內(nèi)角，所以,在上余弦函數(shù)單調(diào)遞減,在中，“”“”【點(diǎn)睛】充要條件的判斷，是高考?？贾R(shí)點(diǎn)，充要條件的判斷一般有三種思路：定義法、等價(jià)關(guān)系轉(zhuǎn)化法、集合關(guān)系法。5、A【解析】

取的中點(diǎn)，連接、，作，垂足為點(diǎn)，證明平面，于是得出直線與平面所成的角為，然后利用銳角三角函數(shù)可求出．【詳解】如下圖所示，取的中點(diǎn)，連接、，作，垂足為點(diǎn)，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則，且，在三棱柱中，平面，平面，，，平面，平面，，，，平面，所以，直線與平面所成的角為，易知，在中，，，，，，即直線與平面所成的角為，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查直線與平面所成角的計(jì)算，求解時(shí)遵循“一作、二證、三計(jì)算”的原則，一作的是過(guò)點(diǎn)作面的垂線，有時(shí)也可以通過(guò)等體積法計(jì)算出點(diǎn)到平面的距離，利用該距離與線段長(zhǎng)度的比值作為直線與平面所成角的正弦值，考查計(jì)算能力與推理能力，屬于中等題．6、B【解析】

根據(jù)線性規(guī)劃的知識(shí)求解．【詳解】根據(jù)線性規(guī)劃知識(shí)，的最小值一定在的三頂點(diǎn)中的某一個(gè)處取得，分別代入的坐標(biāo)可得的最小值是．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題．7、C【解析】

利用兩條平行線之間的距離公式可求的值.【詳解】?jī)蓷l平行線之間的距離為，故或，故選C.【點(diǎn)睛】一般地，平行線和之間的距離為，應(yīng)用該公式時(shí)注意前面的系數(shù)要相等.8、B【解析】由題意，抽出的號(hào)碼是5,10,15，…，60，符合系統(tǒng)抽樣的特點(diǎn)：“等距抽樣”，故選B.9、A【解析】

根據(jù)線面平行性質(zhì)定理，結(jié)合線面垂直的定義，可得①是真命題；根據(jù)面面平行的性質(zhì)結(jié)合線面垂直的性質(zhì)，可得②是真命題；在正方體中舉出反例，可得平行于同一個(gè)平面的兩條直線不一定平行，垂直于同一個(gè)平面和兩個(gè)平面也不一定平行，可得③④不正確．由此可得本題的答案．【詳解】解：對(duì)于①，因?yàn)?，所以?jīng)過(guò)作平面，使，可得，又因?yàn)椋?，所以，結(jié)合得．由此可得①是真命題；對(duì)于②，因?yàn)榍?，所以，結(jié)合，可得，故②是真命題；對(duì)于③，設(shè)直線、是位于正方體上底面所在平面內(nèi)的相交直線，而平面是正方體下底面所在的平面，則有且成立，但不能推出，故③不正確；對(duì)于④，設(shè)平面、、是位于正方體經(jīng)過(guò)同一個(gè)頂點(diǎn)的三個(gè)面，則有且，但是，推不出，故④不正確．綜上所述，其中正確命題的序號(hào)是①和②故選：【點(diǎn)睛】本題給出關(guān)于空間線面位置關(guān)系的命題，要我們找出其中的真命題，著重考查了線面平行、面面平行的性質(zhì)和線面垂直、面面垂直的判定與性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．10、D【解析】

根據(jù)三視圖高平齊的原則得知錐體的高，結(jié)合俯視圖可計(jì)算出底面面積，再利用錐體體積公式可得出答案．【詳解】由三視圖“高平齊”的原則可知該三棱錐的高為，俯視圖的面積為錐體底面面積，則該三棱錐的底面面積為，因此，該三棱錐的體積為，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查利用三視圖求幾何體的體積，解題時(shí)充分利用三視圖“長(zhǎng)對(duì)正，高平齊，寬相等”的原則得出幾何體的某些數(shù)據(jù)，并判斷出幾何體的形狀，結(jié)合相關(guān)公式進(jìn)行計(jì)算，考查空間想象能力，屬于中等題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

本題利用幾何概型求解．先根據(jù)到點(diǎn)的距離等于1的點(diǎn)構(gòu)成圖象特征，求出其體積，最后利用體積比即可得點(diǎn)到點(diǎn)，的距離不大于1的概率；【詳解】解：由題意可知，點(diǎn)P到點(diǎn)或的距離都不大于1的點(diǎn)組成的集合分別以、為球心，1為半徑的兩個(gè)半球，其體積為，又該圓柱的體積為，則所求概率為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何概型、圓柱和球的體積等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查空間想象力、化歸與轉(zhuǎn)化思想．關(guān)鍵是明確滿足題意的測(cè)度為體積比．12、【解析】

將代入即可求解【詳解】令，可得.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查求數(shù)列的項(xiàng)，是基礎(chǔ)題13、2【解析】

為球的直徑，可知與均為直角三角形，求出點(diǎn)到直線的距離為，可知點(diǎn)在球上的運(yùn)動(dòng)軌跡為小圓.【詳解】如圖所示，四面體內(nèi)接于球，為球的直徑，，，，過(guò)作于，，點(diǎn)在以為圓心，為半徑的小圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)面面時(shí)，四面體的體積達(dá)到最大，.【點(diǎn)睛】立體幾何中求最值問(wèn)題，核心通過(guò)直觀想象，找到幾何體是如何變化的？本題求解的突破口在于找到點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯思維能力.14、1.【解析】

由已知結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)求得，代入等差數(shù)列的前項(xiàng)和得答案．【詳解】解：在等差數(shù)列中，由，得，，則，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查了等差數(shù)列前項(xiàng)和的求法，屬于基礎(chǔ)題．15、【解析】

由題意可得：，結(jié)合向量的運(yùn)算法則和向量模的計(jì)算公式可得的值.【詳解】由題意可得：，則：.【點(diǎn)睛】本題主要考查向量模的求解，向量的運(yùn)算法則等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.16、.【解析】

由題意得出，可得出數(shù)列為等比數(shù)列，確定出該數(shù)列的首項(xiàng)和公比，可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.【詳解】設(shè)，整理得，對(duì)比可得，，即，且，所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，，因此，，故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列通項(xiàng)的求解，解題時(shí)要結(jié)合遞推式的結(jié)構(gòu)選擇合適的方法來(lái)求解，同時(shí)要注意等差數(shù)列和等比數(shù)列定義的應(yīng)用，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中等題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】

（1）線面垂直只需證明PD和平面內(nèi)兩條相交直線垂直即可，易得，另外中已知三邊長(zhǎng)通過(guò)勾股定理易得,所以平面．（2）點(diǎn)B到平面PDQ的距離通過(guò)求得三棱錐的體積和面積即可，而,帶入數(shù)據(jù)求解即可．【詳解】（1）證明：在中，，，所以.所以是直角三角形，且，即.因?yàn)槠矫鍼AD，平面PAD，所以.因?yàn)?，所以平面ABCD.（2）解：設(shè).因?yàn)?，所以的面積為.因?yàn)槠矫鍭BCD，所以三棱錐的體積為，解得.因?yàn)?，所以，所以的面積為.則三棱錐的體積為.在中，，，，則.設(shè)點(diǎn)B到平面PDQ的距離為h，則，解得，即點(diǎn)B到平面PDQ的距離為.【點(diǎn)睛】此題考察立體幾何的證明，線面垂直只需證明線與平面內(nèi)的兩條相交直線分別垂直即可，第二問(wèn)考察了三棱錐等體積法，通過(guò)變化頂點(diǎn)和底面進(jìn)行轉(zhuǎn)化，屬于中檔題目．18、（I）；(II)【解析】

（I）由正弦定理得，展開(kāi)結(jié)合兩角和的正弦整理求解；（Ⅱ）由面積得，利用平方求解即可【詳解】（I），由正弦定理得整理得，則，，.(II)，，兩邊平方得【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理及兩角和的正弦，三角形內(nèi)角和定理，考查向量的數(shù)量積及模長(zhǎng)，準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵，是中檔題19、（1）；；（2）n的值為1．【解析】

(1)根據(jù)等比數(shù)列與等差數(shù)列,分別設(shè)公比與公差再用基本量法求解即可.(2)分別利用等差等比數(shù)列的求和公式求解得與,再代入整理求解二次方程即可.【詳解】解：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為q,由,,可得．∵,可得．故；設(shè)等差數(shù)列的公差為d,由,得,由,得,∴．故；（2）由是等差數(shù)列,且,得由是等比數(shù)列,且,得．可得．由,可得,整理得：,解得（舍）或．∴n的值為1．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比等差數(shù)列的基本量法以及的等差等比數(shù)列的求和計(jì)算.屬于中檔題.20、(1)(2)【解析】

（1）由題可計(jì)算得，求出公差，進(jìn)而求出通項(xiàng)公式（2）利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式計(jì)算即可?！驹斀狻拷猓海?）由公差及，解得，所以，所以通項(xiàng)（2）由（1）有，所以數(shù)列的前項(xiàng)和．【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)