計(jì)算物理隨機(jī)游走

計(jì)算物理隨機(jī)游走1第一頁(yè)，共二十三頁(yè)，2022年，8月28日一

Brown運(yùn)動(dòng)

1827年植物學(xué)家Brown觀察到水中的花粉等顆粒可以不停的作無(wú)規(guī)則運(yùn)動(dòng)。由于Brown顆粒的質(zhì)量遠(yuǎn)較液體的分子大，我們將顆?？闯墒且粋€(gè)巨分子，它不停地受到周圍環(huán)境中液體分子的碰撞，這種碰撞的頻率為每秒1019次，因此我們觀察到的Brown顆粒的運(yùn)動(dòng)是大量碰撞的漲落的結(jié)果，它是一種完全無(wú)規(guī)則的隨機(jī)運(yùn)動(dòng)。2第二頁(yè)，共二十三頁(yè)，2022年，8月28日在描述Brown運(yùn)動(dòng)時(shí)，我們將影響系統(tǒng)在相空間中軌跡的隨機(jī)力應(yīng)用于決定性運(yùn)動(dòng)方程，也就是把液體分子的自由度凝縮為僅用隨機(jī)力代表。

1907年由Langevin提出的Brown運(yùn)動(dòng)方程：Fx為漲落力3第三頁(yè)，共二十三頁(yè)，2022年，8月28日對(duì)顆?？倲?shù)進(jìn)行平均：漲落力平局值為零由于指數(shù)項(xiàng)的冪系數(shù)非常大，α/m≈107秒-1，當(dāng)時(shí)間t=10-6秒時(shí)指數(shù)項(xiàng)可以忽略。將起始點(diǎn)放在原點(diǎn)，c2=0D為擴(kuò)散系數(shù)。4第四頁(yè)，共二十三頁(yè)，2022年，8月28日二醉漢行走問(wèn)題xOPerson在1905年發(fā)表于《Nature》的論文中提出的：“一個(gè)人從θ點(diǎn)出發(fā)，沿直線走了l碼，然后他轉(zhuǎn)了一個(gè)角度后由沿第二條直線走了l碼，他重復(fù)了n次這樣的過(guò)程。我想求出n次過(guò)程后此人位于離開(kāi)起始點(diǎn)r到r+dr

距離內(nèi)的概率”5第五頁(yè)，共二十三頁(yè)，2022年，8月28日x醉漢的步長(zhǎng)為1向右行走的一步的幾率為p=0.5O向左走一步的幾率為q=1-p=0.5向右走了nR步，向左走了nL總共走了n=nR+nL步6第六頁(yè)，共二十三頁(yè)，2022年，8月28日7第七頁(yè)，共二十三頁(yè)，2022年，8月28日三擴(kuò)散的物理擴(kuò)散是由于粒子濃度梯度的存在▽?duì)研纬闪Ｗ油蜐舛葏^(qū)域遷移的趨勢(shì)，單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)某一方向垂直截面的粒子數(shù)即為粒子流密度：由粒子數(shù)守恒的Liouvill連續(xù)性方程：p(x,t)dx為粒子在t時(shí)刻存在于x-x+dx之間的概率：8第八頁(yè)，共二十三頁(yè)，2022年，8月28日任意函數(shù)的平均值可以表示為：╳x，再積分。右邊分布積分再代入邊界條件：=09第九頁(yè)，共二十三頁(yè)，2022年，8月28日由于在t=0時(shí)，粒子在原點(diǎn)處，從而粒子位置的平均值是不隨時(shí)間變化的。╳x2，再積分。該結(jié)果與Brown運(yùn)動(dòng)方程完全一致，說(shuō)明Brown運(yùn)動(dòng)或RW模型的隨機(jī)行走就是描述了擴(kuò)散的物理過(guò)程。10第十頁(yè)，共二十三頁(yè)，2022年，8月28日pro=0.5doi=1,nwalkx=0.0d0doj=1,nstepcallrandomnum()if()thenx=x+1.0elsex=x-1.0endifwrite(10,'(I15,F15.6)')j,xsumx(j)=sumx(j)+xsumx2(j)=sumx2(j)+x*xenddoenddodoi=1,nstepwrite(11,'(I15,2F15.6)')$i,sumx(i)/dble(nwalk),sumx2(i)/dble(nwalk)enddo11第十一頁(yè)，共二十三頁(yè)，2022年，8月28日12第十二頁(yè)，共二十三頁(yè)，2022年，8月28日若泊松方程及其邊界條件為四蒙特卡羅方法求解泊松方程Γ為求解區(qū)域D的邊界，s為邊界Γ上的點(diǎn)。其中，q0是在區(qū)域D的正則內(nèi)點(diǎn)0上的函數(shù)q(x,y)的值。正方形格點(diǎn)劃分等步長(zhǎng)h13第十三頁(yè)，共二十三頁(yè)，2022年，8月28日其中，1/4可以解釋為概率。即有：隨機(jī)游走的判據(jù)：(0)選定一個(gè)[0,1]區(qū)間的均勻分布的隨機(jī)數(shù)ξ，(1)若滿足條件ξ≤1/4，則選定下一個(gè)游走到達(dá)點(diǎn)為第1點(diǎn)；(2)若滿足條件1/4<ξ≤

1/2，選游走到的下一個(gè)點(diǎn)為2點(diǎn)；(3)若滿足條件1/2<ξ≤

3/4，選定游走到下一個(gè)點(diǎn)為3點(diǎn)；(4)ξ在其他的情況下，我們則選游走到第4點(diǎn)。14第十四頁(yè)，共二十三頁(yè)，2022年，8月28日從m點(diǎn)上又按判據(jù)選擇周圍四個(gè)點(diǎn)中的n點(diǎn)時(shí)，m點(diǎn)函數(shù)的估計(jì)值為:如果我們按上面的判據(jù)選擇了0點(diǎn)周圍四個(gè)點(diǎn)中之一m點(diǎn)，則0點(diǎn)函數(shù)的估計(jì)值為：此時(shí)0點(diǎn)函數(shù)的估計(jì)值也可以寫為：15第十五頁(yè)，共二十三頁(yè)，2022年，8月28日若按照以上隨機(jī)游走的步驟，有：當(dāng)?shù)贘步到達(dá)邊界，邊界上的函數(shù)值記為我們就可以得到0點(diǎn)上的函數(shù)Φ0的一個(gè)估計(jì)值：

上標(biāo)(1)表示第一次從0點(diǎn)出發(fā)游走時(shí)經(jīng)歷J步到達(dá)邊界S點(diǎn)時(shí)對(duì)應(yīng)函數(shù)Φ0的一個(gè)估計(jì)值。16第十六頁(yè)，共二十三頁(yè)，2022年，8月28日其中，如此反復(fù)從0點(diǎn)開(kāi)始進(jìn)行N次上述的隨機(jī)游走，我們得到一個(gè)函數(shù)的估計(jì)值序列：則0點(diǎn)的函數(shù)Φ0的期望值為Φ0估計(jì)值序列的方差為：以上隨機(jī)游走的做法，是個(gè)人為的概率過(guò)程，是一個(gè)具有吸收壁的隨機(jī)游走。17第十七頁(yè)，共二十三頁(yè)，2022年，8月28日上述類型的隨機(jī)游走或鏈(chain)具有如下特征：馬爾可夫(Markov)過(guò)程：它在游走中任一階段的行為都不被先前游走的歷史所限制，即區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)可以被多次訪問(wèn)，這種隨機(jī)游走過(guò)程叫作馬爾可夫(Markov)過(guò)程。又因?yàn)橛巫咦罱K會(huì)終止在邊界上，故而該類隨機(jī)游走又被稱為馬爾可夫鏈。自規(guī)避隨機(jī)游走：在隨機(jī)游走的過(guò)程中，任何一個(gè)的游走概率都要考慮前面游走的歷史，因而游走有可能碰到邊界前就被強(qiáng)行終止掉。馬爾可夫鏈正是這樣生成相繼各個(gè)狀態(tài)的，使得后一個(gè)狀態(tài)是由前一個(gè)狀態(tài)和確定的分布所決定。由此可知相繼的各狀態(tài)之間的確存在著關(guān)聯(lián)。所以，馬爾可夫鏈?zhǔn)欠肿觿?dòng)力學(xué)中有運(yùn)動(dòng)方程生成的軌道在概率方面的對(duì)應(yīng)物。18第十八頁(yè)，共二十三頁(yè)，2022年，8月28日在隨機(jī)游走的蒙特卡洛方法中，有一種最常用方法稱為Metropolis方法。它是前面介紹過(guò)的重要抽樣法的一個(gè)特殊情況。采用此方法可以產(chǎn)生任意分布的隨機(jī)數(shù)，包括無(wú)法歸一化的分布密度函數(shù)。五Metropolis方法基本思想：通過(guò)某種方式的“隨機(jī)游走”來(lái)實(shí)現(xiàn)。只是該隨機(jī)游走過(guò)程按照一定規(guī)則來(lái)進(jìn)行，那么在進(jìn)行大量的游走，并達(dá)到平衡后，所產(chǎn)生點(diǎn)的分布就滿足所要求的分布。以一維Metropolis方法為例，其游走規(guī)則是選擇一個(gè)從x點(diǎn)游走到x點(diǎn)的“過(guò)渡概率”，使得它在游走中所走過(guò)的點(diǎn)x0,x1,x2,…的分布收斂到系統(tǒng)達(dá)到平衡是的分布f(x)。要達(dá)到這樣分布的重要抽樣，就需要對(duì)過(guò)渡概率w(x,x’)的選擇加上適當(dāng)?shù)南拗啤?9第十九頁(yè)，共二十三頁(yè)，2022年，8月28日可以證明：只要游走所選的“過(guò)渡幾率”滿足如下的細(xì)致平衡條件:就可以達(dá)到平衡時(shí)的分布為f(x)的目的。Metropolis方法采用一個(gè)簡(jiǎn)單的選擇過(guò)渡幾率的方法，即實(shí)際上滿足細(xì)致平衡條件只是一個(gè)充分條件，并不是一個(gè)必要條件。該條件并不能唯一地確定過(guò)渡幾率w(x→x’)。所以，過(guò)渡幾率w(x→x’)的選擇具有很大的自由度。選取不同的過(guò)渡幾率就是不同的游走方法。20第二十頁(yè)，共二十三頁(yè)，2022年，8月28日操作步驟：

(1)首先選取一個(gè)試探位置，假定該點(diǎn)位置為xtry=xn+ηn，其中ηn為在間隔[-δ,δ]內(nèi)均勻分布的隨機(jī)數(shù)。(2)計(jì)算r=f(xtry)/f(xn)的數(shù)值。(3)如果不等式r≥1滿足，那就接受這一步游走，并取xn+1=xtry。然后返回(1)開(kāi)始對(duì)游走到xn+2點(diǎn)的試探。(4)如果r<1,那么就再另產(chǎn)生一個(gè)[0,1]區(qū)間均勻分布的隨機(jī)數(shù)ξ。(5)如果ξ<r,那么也還接受這步游走，并取這步游走所到達(dá)的點(diǎn)為xn+1=xtry。然后返回到步驟(1),開(kāi)始下一步到達(dá)點(diǎn)的游走。(6)如果ξ>r,就拒絕游走到這一點(diǎn),即仍留在點(diǎn)xn的位置不變。(7)返回步驟(1),重新開(kāi)始對(duì)游走到點(diǎn)的具體位置的又一次試探。采用這樣的游走過(guò)程時(shí)，只有在產(chǎn)生了大量的點(diǎn)x0,x1,x2,…的分布后，才能得到收斂到滿足分布f(x)的點(diǎn)集。21第二十一頁(yè)，共二十三頁(yè)，2022年，8月28日(1)首先選取一個(gè)試探位置，假定該點(diǎn)位置為xtry=xn+ηn，其中ηn為在間隔[-δ,δ]內(nèi)均勻分布的隨機(jī)數(shù)。步長(zhǎng)選取原則：在游走的過(guò)程中，有1/3到1/2的試探步子被接受。(2)進(jìn)行這樣的游走，從哪一點(diǎn)出發(fā)可以比較快的達(dá)到平衡？初態(tài)選取原則：初始位置應(yīng)當(dāng)是在游走范圍內(nèi)所要求的概率分布密度f(wàn)(x)最大的區(qū)域。兩個(gè)問(wèn)題22第二十二頁(yè)，共二十三頁(yè)，2022年，8月28日

doi=1,nsamp200callrandomnum()deltax=delta*(0.5d0-rand)x=x0+deltaxif(x.lt.0.0d0.or.x.gt.lenr)goto200racc=exp(-x)/exp(-x0)callrandomnum()if(racc.ge.1.0d0.or.rand.le.racc)thenx0=xith=int(x/rstep)+1nth(ith)=nth(ith)+1