《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課后習(xí)題解答

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課后習(xí)題解答習(xí)題一3.設(shè)A,B,C表示三個(gè)事件，用A,8,C的運(yùn)算關(guān)系表示下列各事件:A發(fā)生,B與C不發(fā)生；A與8都發(fā)生，而C不發(fā)生；A,B,C都發(fā)生；A,B,C都不發(fā)生；A,8,C中至少有一個(gè)發(fā)生；A,B,C中恰有一個(gè)發(fā)生；A,B,C中至少有兩個(gè)發(fā)生；A,B,C中最多有一個(gè)發(fā)生.解：(1)ABC；(2)ABC；(3)ABCi(4)ABC；(5)AUBUC：(6)ABC+ABC+ABC； (7)ABUACU^C；(8)A8LMCU8C或ABUACUBC.在房間里有10個(gè)人，分別佩戴從1號(hào)到10號(hào)的紀(jì)念章，任選3人記錄其紀(jì)念章的號(hào)碼.求最小的號(hào)碼為5的概率；求最大的號(hào)碼為5的概率.解：設(shè)事件A表示“最小的號(hào)碼為5”，事件B表示“最大的號(hào)碼為5”，由概率的古典定義得(1)P(A)=⑵P(8)=~*批產(chǎn)品共有200件，其中有6件廢品，求：任取3件產(chǎn)品恰有1件是廢品的概率；任取3件產(chǎn)品沒(méi)有廢品的概率；任取3件產(chǎn)品中廢品不少于2件的概率.解：設(shè)事件凡表示“取出的3件產(chǎn)品中恰有i件廢品”。=0丄2,3),由概率的古典定義得

(1)P(4)=R0.0855；(2)(1)P(4)=R0.0855；(2)P(&)=*FW,9122；(3)P(A2+A)=C*yC：?0.0023.(3)。200從0,1,2,...,9這十個(gè)數(shù)字中任意取出三個(gè)不同的數(shù)字，求下列事件的概率:A表示“這三個(gè)數(shù)字中不含0和5”；8表示“這三個(gè)數(shù)字中包含0或5”；C表示“這三個(gè)數(shù)字中含0但不含5”.解：由概率的古典定義得心)=混;「㈤=1-"鬲心"己知P(A)=0.5,P(8)=0.6,P(44)=0.8,求P(AB)和P(AB).解：P(AB)=P(A)P(BIA)=0.5x0-8=04P(AB)=P(A\jB)=1-P(AU8)=1-[P(A)+P(B)一P(AB)]=1一(0?5+0.6-0.4)=0.3己知P(B)=0.4,P(AUB)=0.6,求P(4萬(wàn)).解：的価二些=箜些旦隊(duì)四里L(fēng)IP(B) 1-P(B) 1-0.4 3某種品牌電冰箱能正常使用10年的概率為0.9,能正常使用15年的概率為0.3,現(xiàn)某人購(gòu)買的該品牌電冰箱己經(jīng)正常使用了10年，問(wèn)還能正常用到15年的概率是多少？解：設(shè)事件AB分別表示“該品牌電冰箱能正常使用10,15年”，依題可知P(A)=0.9,P(AB)=P(B)=0.3,則所求的概率為P(B|P(B|A)=P(AB)P(A)0.316^9_312-某人忘記了電話號(hào)碼的最后一個(gè)數(shù)字，因而他隨意地?fù)茏詈笠粋€(gè)號(hào)碼.(1)求他撥號(hào)不超過(guò)三次而接通的概率；件件A,A構(gòu)成一個(gè)完備事件組，且墜毀七顯然，事件構(gòu)成一個(gè)完備事件組，由二項(xiàng)概率公式計(jì)算得墜毀七顯然，事件構(gòu)成一個(gè)完備事件組，由二項(xiàng)概率公式計(jì)算得（2）若已知最后一個(gè)數(shù)字是奇數(shù)，那么他撥號(hào)不超過(guò)三次而接通的概率又是多少？解：設(shè)事件A分別表示“他撥號(hào)不超過(guò)三次而接通七事件B分別表示“最191(1)191(1)"=苛苛6813—X—X—=—9810141431(2)P(A|^)=-+-x-+-x-x-13-一盒里有10個(gè)電子元件,其中有7個(gè)正品,3個(gè)次品.從中每次抽取一個(gè)，不放回地連續(xù)抽取四次，求第一、第二次取得次品且第三、第四次取得正品的概率.解：設(shè)事件&表示“第，次取得次品”3=1,234）,則所求的概率為p（A4=p（A）p（4丨4）?（&IA盅）P（AIAAA）3276 1= X—X—X—= 1098720一倉(cāng)庫(kù)中有10箱同種規(guī)格的產(chǎn)品，其中由甲、乙、丙三廠生產(chǎn)的分別有5箱、3箱、2箱，三廠產(chǎn)品的次品率依次為0.1,0.2,。.3,從這10箱中任取一箱，再?gòu)倪@箱中任取一件產(chǎn)品，求取得正品的概率.解：設(shè)事件A^2^3分別表示“產(chǎn)品是甲，乙，丙廠生產(chǎn)的”，事件B表示“產(chǎn)品是正品”，顯然，事件片,&，4構(gòu)成一個(gè)完備事件組，且5 3 2P（a）=尚=0.5,P（A2）=-=0.3,P（4）=-=0.2P（8|A】）=1-0.1=0.9,P（BI&）=1-0.2=0.8,P（BIA）=1-0.3=0.7由全概率公式得3p（R）=ZP（Aj）P（B14）=0.5X0.9+03x0.8+0,2x07=0,83甲、乙、丙三門高炮同時(shí)獨(dú)立地各向敵機(jī)發(fā)射一枚炮彈，它們命中敵機(jī)的概率都是0.2.飛機(jī)被擊中1彈而墜毀的概率為0.1,被擊中2彈而墜毀的概率為0.5,被擊中3彈必定墜毀.（1） 求飛機(jī)墜毀的概率；（2） 已知飛機(jī)已經(jīng)墜毀，試求它在墜毀前只被命中1彈的概率.解：設(shè)事件表示“飛機(jī)被擊中，彈而墜毀”（￡=123）,事件8表示“飛機(jī)P(4)=C；(0.2)1(0.8)2=0.384,P(A2)=Cj(0.2)2(0.8)1=0.096,P(A.)= (0.2)3=0.008P(BIA】)=0.l,P(8|&)=0.5,P(BI&)=1由全概率公式得3P(B)=ZP(A)P(8IA,)=0.384x0.1+0.096x0.5+0.008x1=0.0944i=l由貝葉斯公式得°,聞Z=1設(shè)甲袋中裝有5個(gè)紅球,4個(gè)白球;乙袋中裝有4個(gè)紅球,5個(gè)白球.先從甲袋中任取2個(gè)球放入乙袋中，然后從乙袋中任取一個(gè)球，求取到是白球的概率.解：設(shè)事件&表示“從甲袋取出的2個(gè)球中有，個(gè)白球”任=0丄2),事件8表示“從乙袋中取出的一個(gè)球是白球。顯然.事件凡,冬,&構(gòu)成一個(gè)完備事件組,尸(8|片)=書，(i=0,1,2),由全概率公式得組,P(8)= 淚(8IA)= ?詈=H=05354i=0 t=0 1丄V已知男子有5%是色盲患者,女子有0.25%是色盲患者.現(xiàn)在從男女人數(shù)相等的人群中隨機(jī)地挑選一人，恰好是色盲患者，問(wèn)此人是男性的概率是多少？解：設(shè)事件A表示“此人是男性”，事件B表示“此人是色盲患者”，顯然，事件A久構(gòu)成一個(gè)完備事件組，且P(A)=P(A)=0.5,P(BIA)=5%,P(B|A)=0.25%由貝葉斯公式得P(A\B)= P(A)P(81。) = °。x5% 二竺a0.9524P(A)P(B|A)+P(A)P(8|4)0.5x5%+0.5x0.25%21設(shè)機(jī)器正常時(shí)生產(chǎn)合格品的概率為98%,當(dāng)機(jī)器發(fā)生故障時(shí)生產(chǎn)合格品的概率為30%,而機(jī)器正常(即不發(fā)生故障)的概率為95%.某天,工人使用該機(jī)器生產(chǎn)的第一件產(chǎn)品是合格品，求機(jī)器是正常的概率.解：設(shè)事件A表示“該機(jī)器正常”，事件8表示“產(chǎn)品是合格品”，顯然，事P(A)=95%,P(A)=1一P(A)=5%,P(B\A)=98%,P(B\A)=30%由貝葉斯公式得P(AIB)= P(A)P(8|4) __ 95%x98% °984P(A)P(B|A)+P(A)P{B|A)95%x98%+5%x30%三人獨(dú)立地去破譯一個(gè)密碼，他們能夠譯出的概率分別是丄丄丄問(wèn)能將密碼534譯出的概率是多少？解：設(shè)事件分別表示“第一人，第二人，第三人破譯出密碼”，顯然事件A,B,C相互獨(dú)立，且P(A)=Lp(B)=；P(C)=L,則所求的概率為*5 <3 4*-—— 1113p(AUBUc)=i-p(A)p(s)p(c)=i-(i--)a--)a--)=-加工某一零件共需經(jīng)過(guò)四道工序，設(shè)第一、二、三、四道工序的次品率分別是0.02,0.03,0.05和0.03.假設(shè)各道工序是互不影響的，求加工出來(lái)的零件的次品率.解：設(shè)事件&表示“第，道工序加工出次品”0=1,2,3,4),顯然事件A,&,&,a相互獨(dú)立，且P(A)=0.02,P(&)=0.03,P(&)=0.05,P(A4)=0.03,則所求的概率為-P(石)P(瓦)尸(為)P(瓦)=1-(1-0.02)(1-0.03)0-0.05)(1-0.03)=0.124設(shè)第一個(gè)盒子里裝有3個(gè)藍(lán)球,2個(gè)綠球,2個(gè)白球;第二個(gè)盒子里裝有2個(gè)藍(lán)球,3個(gè)綠球,4個(gè)白球.現(xiàn)在獨(dú)立地分別從兩個(gè)盒子里各取一個(gè)球.求至少有一個(gè)藍(lán)球的概率；求有一個(gè)藍(lán)球一個(gè)白球的概率；已知至少有一個(gè)藍(lán)球，求有一個(gè)藍(lán)球一個(gè)白球的概率.解：設(shè)事件A.4表示“從第一個(gè)盒子里取出的球是籃球，白球”，事件眞,&表示“從第二個(gè)盒子里取出的球是籃球，白球”，顯然事件&與與相互獨(dú)立3 7 9 4(Z=1,2;"1,2),且P(A})=-,P(A2)=-,P(B})=-yP(B2)=~,則所求的概率為— — 3 2 5用)=1p(a)p(E)=i(17)d；)=mP(B2+B,)= )P(B2)+P(A2)P(B{)=|x^+|x^=i|；/9/yo3地片坊+厶捐)1(凡十用)]=旦絲澹響地#(A+0)P(AB2+A2g,)%=16"P(A+3)一％一35設(shè)一系統(tǒng)由三個(gè)元件聯(lián)結(jié)而成(如圖1-5)，各個(gè)元件獨(dú)立地工作，且每個(gè)元件能正常工作的概率均為p(O<p<l).求系統(tǒng)能正常工作的概率.解：設(shè)事件片表示“第i個(gè)元件正常工作”(Z=123),事件8表示“該系統(tǒng)正常工作”，顯然，事件相互獨(dú)立，且P(4)=P，則所求的概率為P(B)=FKAUA2M3]=^M1^UA2A3)=P(A1A3)+P(A2A3)-P(A1A2A3)=P(H)p(&)+p(&)p(a3)-P(A)p(&)p(A)=2p2_p324.一批產(chǎn)品中有20%的次品，進(jìn)行放回抽樣檢査，共取5件樣品.計(jì)算：這5件樣品中恰有2件次品的概率；這5件樣品中最多有2件次品的概率.解：設(shè)事件A表示“該樣品是次品”，顯然，這是一個(gè)伯努利概型，其中h=5,P(A)=20%,P(A)=80%,由二項(xiàng)概率公式有^(2)=C/(20%)2(80%)3=0.2M8￡片(幻=￡c；(20%)*(8O%)S-*=0.942k=0Jt=o習(xí)題二離散型隨機(jī)變量X的概率函數(shù)為：P(X=Z)=Q2',i=LZ,10。；P(X=i)=2d」=L2,,分別求(1)、(2)中G的值。TOC\o"1-5"\h\z100 10。 Ozt/I_^100X 1解：(1)￡p(x“=￡T=(一-)=1，解得a=--00-；；=1 f=i l—L —1)100 a> 1(2)￡P(guān)(X=i)=￡2al= =1f解得fl=—?打 打l-? 3對(duì)某一目標(biāo)進(jìn)行射擊，直到擊中為止，若每次射擊命中率為p,求射擊次數(shù)的概率分布。解：設(shè)隨機(jī)變量X表示“直接擊中目標(biāo)時(shí)的射擊次數(shù)”，顯然，X可取1,2,…，故X的概率分布為：P(X=k)=p(l-pV「',k=1,2,…一大樓裝有5個(gè)同類型的供水設(shè)備。調(diào)查表明在任一時(shí)刻*,每個(gè)設(shè)備被使用的概率為0.1,且各個(gè)設(shè)備的使用是相互獨(dú)立的。求在同一時(shí)刻被使用的設(shè)備數(shù)的概率分布，并求在同一時(shí)刻：恰有2個(gè)設(shè)備被使用的概率；至少有3個(gè)設(shè)備被使用的概率；最多有3個(gè)設(shè)備被使用的概率；至少有1個(gè)設(shè)備被使用的概率。解：設(shè)隨機(jī)變量X表示“在同一時(shí)刻被使用的設(shè)備數(shù)”，顯然，X?B(n,p),其中以=5,p=0.1,故X的概率分布為月(幻=P(X=A)=C；(0.1)*(0.9)i,k=0,1,2,…,5恰有2個(gè)設(shè)備被使用的概率為尺(2)二?(0.1)2(0"=0.0729至少有3個(gè)設(shè)備被使用的概率為5 5Z與(*)=ZC：(。1)*(。，9)5"=0.0086k=3 k=3最多有3個(gè)設(shè)備被使用的概率為￡呂㈤=丈C：(。.D*(。,9)J=0.9995A=O A=Q至少有1個(gè)設(shè)備被使用的概率為5￡只(上)=1-R(0)=1-(0.9)5=0.4095*=17,設(shè)隨機(jī)變量X 當(dāng)x為何值時(shí)，概率P(X=x)取得最大值?解，因概率P(X=x)取得最大值，則P(X=x)>P(X=x+l)p(x=x)>p(x=x-r)P(X=x)>P(X=x+l)p(x=x)>p(x=x-r)9 'c；p*(l-p)iNC尸pZ(l-p)”Fi艮卩叩+p-l〈尤〈叩+p,故工=叩+p-l及叩+p,當(dāng)〃p+p是整數(shù)；[np4-p] ，當(dāng)np+p不是整數(shù).8,設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為0x<-5丄50x<-5丄53Io21-5《無(wú)＜一20<x<2x>2求：(1)X的概率分布。(2)概率P(X>一3),P(|X|<3)。解；(1)依題可知，隨機(jī)變量X可取-5-2,0,2,則X的概率分布為X-5一202PxW)51To￡5丄24(2)P(X〉-3)=P(X=—2)+P(X=0)+P(X=2)=gP(|X|<3)=P(X=-2)+P(X=0)+P(X=2)=—5

9,設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為-exx<02—0v<240x>2求X的分布函數(shù)。解：隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為-ex2 ,x<0;-+—,0<x<2;-ex2 ,x<0;-+—,0<x<2;241,2<x?J-“2 ,x<0;尸⑴=rfwt尸⑴=rfwt=<」一如己冰2<X.j-co2 Jo410,設(shè)X的分布函數(shù)為0x<0F(x)=Ax S丄arctaul字丄 S丄arctaul字丄arctax丄a21x>l求，(1)系數(shù)(2)X的概率密度；(3)概率P(0.5<X<0.8)o解：(1)由于F⑴是連續(xù)函數(shù)，有l(wèi)imF(x)=F01=1,而X—>1F(l-0)=limAx2=A,F(1+0)=lim1=1,故A=l;11-(2)X-f(x)=F\x}=2x,0<x<l;0,其它.12,己知X的概率密度為12,己知X的概率密度為f(x)=cAe^x0Z>0，求常數(shù)c及(3)P(0.5<X<0.8)=P(0.5<X<0.8)=F(0.8)一尸(0.5)=039?411.隨機(jī)變量X的概率密度為/(x)=宀，求系數(shù)A及X的分布函數(shù)。1+x2解：由于f{x)dx=1,有廣一心=Aarctan尤|*=泓=1,解得A=—；」一°°1+尤 兀隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為

P{a1<X<a\V).解：由于jf(x)dx=1,有［cXe~^dx=-ce~^\^'=ce~Ac=1,解得c=e":P(q-1vX<。+1)= =「'人凌(心拓=_/(d|；i=1-產(chǎn)七13.隨機(jī)變量13.隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)=＜當(dāng)0Cv5求F(3<X<6)。3^=3^=1625"25P(3<X<6)=P(3<X<6)=F(6)-F(3)=1某種電子元件的使用壽命X(單位：h)的概率密度為/a)=x/a)=x20100 x>100x<100求在150h內(nèi):3個(gè)電子元件中沒(méi)有1個(gè)損壞的概率;3個(gè)電子元件中只有1個(gè)損壞的概率;3個(gè)電子元件全損壞的概率。解：設(shè)隨機(jī)變量F表示“在150h內(nèi)，3個(gè)電子元件中損壞的元件數(shù)”，顯然,r-B(n9p),卄亠 r-B(n9p),卄亠 rl50 fl50100其中n=3,p=P(X<150)=|f{x)dx=|普dx=J* J1OOv2100xhoo-3(1)3個(gè)電子元件中沒(méi)有1個(gè)損壞的概率為：當(dāng)(0)=見(!)?！?3=島；⑵3個(gè)電子元件中只有1個(gè)損壞的概率為：少1)=。；(!)'(：產(chǎn)=；；(3)3個(gè)電子元件全損壞的概率為:(3)3個(gè)電子元件全損壞的概率為:件爲(wèi)(再。=宀一個(gè)袋內(nèi)裝有5個(gè)白球，3個(gè)紅球。第一次從袋內(nèi)任意取一個(gè)球，不放回，第二次又從袋內(nèi)任意取兩個(gè)球，X,表示第j次取到的白球數(shù)3=1,2)。求(1)(XPX2)的聯(lián)合概率分布及邊緣概率分布；(2)戶(孤=0,乂2。0)，P(Xi=X2)。

解:(1)依題可知，隨機(jī)變量％可取0,1,隨機(jī)變量X2可取0,1,2,而cyc2~y以工*)=峑丄?5-**(x=0J；y=0X2)8Cr則(X.X2)的聯(lián)合概率分布，X］與況2的邊緣概率分布分別為01iPx\(為)015535628288155551561428iPxQ?32815285141(2)P(Y=0,X?。0)=p(0,l)+p(0,2)=§3P(X|=X2)=p(0,0)+p(l,l)=so設(shè)X與丫相互獨(dú)立，證明W對(duì)任意實(shí)數(shù)不,易5，力5<巧涵<>2)，事件(xt<X<x2)與事件(yt<Y<y2)相互獨(dú)立。解：因X與，相互獨(dú)立,則F(x,y)=Fx(x)Fy(y),(x,yeR),而P(X|<X<x2,y)<y<^2)=F(x2，力)一F(X|況)一F{x2必)+F(xi,y{)=玲(工2)呂(力)-旦3而(，2)-旦(尤2海(，1)+萬(wàn)*(尤1)耳(、1)=[旦(工2)-Fx3)][E(%)-耳(弟]=P0 VW力)故事件(玉＜X＜冬)與事件(乂＜Y匕力)相互獨(dú)立。設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為2^(6-x-y)0<x<2,2<y<4-0 其它求:(1)常數(shù)切(2)P(Xvl,Pv3)；(3)P(Xvl.5)；(4)P(X+F<4)。解：(1)由于匚匚兀3)如V=l，有￡(6-x-y)dy=f2k[6y—xy~—yP(X<1,7<3)=|J/(x,y)dxdy=,"￡(6-x-y)dy]^dx=f4^(3-x)dx=4k(3x-—x2)|^=16^=1P(X<1,7<3)=|J/(x,y)dxdy=,"￡(6-x-y)dy=1f[6yxy1'2]；心=1「(7x)dx=(JxI/)緝=38Jo 2 2 8」。2 82 2 °8(3)P(XvL5)=ITf3,灑dy=!『虹(6-尤-泌

=§員6，_1-護(hù)払=覆。-”=扌(3(3)P(XvL5)(4)p(x+y<4)=|￡^￡，6-4-'縛4￡[6了-打-。2]；-.弦二土￡(妒-8工+12)必=土(?疽-4x2+12x)|J=：?1&設(shè)二維隨機(jī)變量(X,V)的聯(lián)合概率密度為擊宀50x2+y2>R2則稱(X,Y)在圓域{(x,y)|x2+/</?2}±服從均勻分布。試判斷X與卜是否相互獨(dú)立。解：X~f解：X~fx(x)=^f(x.y)dy=<x<R9其它.義』R—R〈x<R,狀0，其它同理，Y^f同理，Y^fY(y)=二』中—寸，-R<y<R,威° ，其它顯然，f(x.y)^fx(x)fY(y),故X與丫不獨(dú)立。習(xí)題三1.甲乙兩臺(tái)機(jī)器一天中出現(xiàn)次品的概率函數(shù)分別為解：依題有，1.甲乙兩臺(tái)機(jī)器一天中出現(xiàn)次品的概率函數(shù)分別為解：依題有，E(X)=0x04+1x03+2x02+3x04=1頊*)=0x0.3+1x0.5+2x0.2+3x0=0.9顯然，E(X)>E(Y),即甲機(jī)器的平均次品數(shù)比乙機(jī)器的平均次品數(shù)大，故乙機(jī)器較好Q某種電子元件的壽命X(單位：h)的概率密度為—、(c^xe^yx>0;y(x)=(0, x<0;其中a>0為常數(shù).求這種電子元件的平均壽命.解：E(X)=^xf(x)dx=卩尤，Q2xe^dx=「”ax'd^e^)=-邳々-以廣一『(-2axe~llx)dx=pIxd^-e^)=一2炬一以I廣—廣(—2e*)載=—纟彳以ir=-a a設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為0<x<1;

其它；已知E(X)=0.75,求L及。的值.解：依題可知,「f{x}dx=1J-co#3)「f{x}dx=1J-co#3)辦=0.75J-00kxaJjc=1Iox^kx^dx=0.75o丄廣財(cái)-^-=1a+1 。+1財(cái)―^=0.75a+2 °a+2k_3a=2設(shè)1。只同種電器元件中有兩只廢品，裝配儀器時(shí)，從這批元件中任取一只，若是廢品，則扔掉重新任取一只，若仍是廢品，則再扔掉重新任取一只?試求在取到正品之前已取出的廢品數(shù)X的概率分布與數(shù)學(xué)期望.解：依題可知，隨機(jī)變量X可取0丄2,而oa 2SRp(x=o)=p(o)=-=-,p(x=i)=xi)=-x-=-,P(X=2)=p(2)=109 45P(X=2)=p(2)=109 45故隨機(jī)變量X的概率分布為X012p(w)458451454 8 1 2E(X)=0x-+1x_+2x-=-5.設(shè)隨機(jī)變量X~e(l),試求E(X+e'2Xy5.解：依題可知，X?須⑴= 且￡0)=：原=1,而?E(e~2X)=^e~2xf(x)dx=^e'2x?e~xdx=『疽、農(nóng)=-|e_3x|廣=：故E(X+e~2X)=E(X)+E(e-2X)=l+-=~,設(shè)隨機(jī)變量X~F以)，且有印X-1)(X-2)]=1,求/L解：依題可知，E(X)=4,D(X)=L,則E(X2)=D(X)+[E(X)]2=2+而E[(X-1)(X-2)]=E(X2-3X+2)=￡(X2)-3E(X)+2=Z+A2-32+2=1艮卩人2一24+1=(九一I)?=0,解得4=1.擲&顆骰子，求點(diǎn)數(shù)之和的數(shù)學(xué)期望.解：設(shè)隨機(jī)變量X表示“〃顆骰子的點(diǎn)數(shù)之和。X,表示“第,?顆骰子的點(diǎn)

數(shù)”。=1,2,…顯然，x*…乂相互獨(dú)立，且x=￡x,?，而X,的概率分布為X123456P國(guó)）丄6丄6丄6丄6丄6丄6顯然，頊％)=丈&!=；,故E(X)=E(^Xj)=￡e(X‘)=：n.k=\b2 2=i /=i 2設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為1+払1-尤,0,-1+払1-尤,0,其它；求D(X).解：因E(X)=Jxf{x)dx=x(l+x)dx+￡x(l-x)dx= +?了3)巴+(1X2一!]3)|[j=°E(X2)=廠冷六尤)辦=『產(chǎn)2(]+x)亦+f]2([一X)火

二(：尤3+^-X4)|^ ~~^4)Io=7j4 3 4o故D(X)=E(X2)-[E(X)]2=io設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為e)=2(1e)=2(10<x<l;0,其它；6分,6分,ii求E(X),D(X)解：E(X)^^2x(l-x)dx=-° 38*)二￡2而-])&=!“D(X)=N(X2)_[E(X)]2=46

II.設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為0,x<-1;G+barcsin無(wú)-1<x<l;Lx>V9試確定常數(shù)冬8,并求E(X)及D(X).解：因F(x)為連續(xù)函數(shù)，則limF(x)=F(-l)=0,x->-llimF(x)=F(1)=1,limF(x)=F(1)=1,即XTl1a=—2b=-冗0 ,x<-l;1a=—2b=-冗0 ,x<-l;11

—+—2 711arcsinx,—1<x<1;,X~f(x)=F'(x)=勿J]_尤x>l1=,-1<x<1;02,其它.E(X)=xf(x)dx=「一dx=0

JJt^41-x2= 衣=_23_膈+2「J.辦21l22 "1= 江]H——arcsinxL=—7T4勿o2所以，Q(X)=E(X2)_[￡(X)]2=—習(xí)題四1.設(shè)X?0(5,22),求下列概率(l)P(2<X<5);(2)P(|x|<2);(3)P(X>3);(4)P(—3<X<9).TOC\o"1-5"\h\zJ—Ay_c5—5 v_c解：(1)P(2<X<5)=P(^—= ^<0)2 2 2 2=0(0)一①(一1.5)=0(0)+6(1.5)-1=0.5+0.9332-1=04332(2)P(\X\<2)=P(-2<X<2)=2 2 2X_5=P(-3.5< <-1.5)=①(一1.5)-0>(-35)=0>(3.5)一中(1.5)=0.99977—0.9332=0.0666X—53—SX_5P(X〉3)=P(—^> =P(—^>-1)=1-0(-1)=①⑴=0,8413TOC\o"1-5"\h\z2 2 2_3_5X-59一5 X_5P(-3<X<9)=P(—)=P(-l<^-^<2)2 2 2 2=①(2)-<D(Y)=<D(2)+0(4)-1=0.9772+0.999968—1=0,9772已知某次測(cè)試的成績(jī)X~N(73q2),95分以上的同學(xué)占2.28%.求(1)介于80分與90分之間的同學(xué)的比例;(2)小于60分的同學(xué)的比例.TOC\o"1-5"\h\zY-7305-73 9S_73解：因P(X>95)= > )=1-0(^—^)=128%=0.0228aa a即0)(—)=0.9772,查表得—=2,則<7=11,故X-4(73,112).I)P(8O<X<9。)二県<改蘭〈哄)=P(2<4史)]] 11 ]] L1 ]] ]]=<D(L55)一①(0.64)=0.9394-0.7389=0.2005⑵P(X<6。)=尸(、<砰)=尸(、<-苔)2T18)=1-①(1?18)=1-0.881=0.119己知隨機(jī)變量X~N(2,t/),且P(|X—3|V1)=O.44,求P(|X-2|>2).解：因P(\X-3|<1)=P(2<X<4)=aaa2=0)(-)-0(0)=0.44<y2即(D(-)=044+<D(0)=0.94,則aP(|X-2>2)=P(>-)=2-20(-)=2-2x0.94=042I(TICT CT4?已知隨機(jī)變量X~N("2),且P{X<-1)=P(X>3)=0(-1)求解：依題有P(X<-1)= <丄廿)=0)(丄義)=0(-1)cr的X"=P(X一氣3-與=1中(3-與=小(3-")=小(])CT(T (7 a1+//由此可得，[b3-"-b=1=1解得尹=如=2.6.設(shè)隨機(jī)變量X?N(O,1),求E(X，.解：因E(X)=O,Z)(X)=1,則E(X2)=D(X)+[E(X)]2=L11.一加法器同時(shí)收到48個(gè)噪聲電壓Xj(i=l,2,,48),設(shè)它們是相互獨(dú)立的隨48機(jī)變量，且都在區(qū)間[0,10]上服從均勻分布，記X=￡Xj,求P(X>180).;=]解：依題可知，卩=叫)==5,宀D(X,)=(1?！芭c,由獨(dú)立同分布中心極限定理得48P(X>18O)=P(￡x.i=l48>18O)=P(￥">端型)y/ncryjncr=1-①(1802皆)=1一①(_3)=中(3)=0§986512,一部件包括100個(gè)部分，每部分的長(zhǎng)度是一個(gè)隨機(jī)變量，它們相互獨(dú)立，且服從同一分布，其數(shù)學(xué)期望為2mm,均方差為0.05mm.規(guī)定總長(zhǎng)度200mm誤差在1mm內(nèi)算合格品，試求產(chǎn)品合格的概率.解：設(shè)隨機(jī)變量％表示“第z?個(gè)部分的長(zhǎng)度。i=l,2,,100.100則X[,X?,Xi。。相互獨(dú)立,卩=E(X*)=2,cr=』D(Xj)=0.05且X=￡X,表示“該部件的總長(zhǎng)度”，由獨(dú)立同分布中心極限定理得職一奸°」)=汽|竅"矗)=2中(；^)一】=20(2)-1=2x0.9772-1=0.955413,擲硬幣900次，試求:至少出現(xiàn)TE面480次的概率；出現(xiàn)正面在420次到480次之間的概率.解：設(shè)隨機(jī)變量X表示“擲900次硬幣中出現(xiàn)正面的次數(shù)”，則X~8(900,：),叩=450,J叩(1—時(shí)=15,由棣莫弗一拉普拉斯中心極限定理得X-450480—450(1)P{X>480)=P(—>I)知一①(2)=1-0.9772=0.0228(2)P(420<X<480)=P(X—45015(2)P(420<X<480)=P(X—45015302①(2)-l=2x0.9772-1=0.954414,一船舶在某海區(qū)航行，己知每遭受一次波浪的沖擊，縱搖角大于3。的概率p=~.若船舶遭受了90000次波浪沖擊，問(wèn)其中有29500-30500次縱搖角度大3于3。的概率是多少？解：設(shè)隨機(jī)變量X表示“在90000次波浪沖擊中縱搖角大于3。的次數(shù)二則X~B(9000oJ),np=30000,J@(l-p)=100V2,由棣莫弗一拉普拉斯中心極限定理得P(29500<X<30500)=P(P(29500<X<30500)=P(10CK/2 10(X/2

=2x0.9998-1=0.999616.設(shè)有30個(gè)電子器件0,%?.。30,它們的使用情況如下：4損壞，Z)2接著使用；損壞，接著使用等等,設(shè)器件以的使用壽命服從參數(shù)人=0.1(單位:疽)的指數(shù)分布,令T為30個(gè)器件使用的總時(shí)數(shù)，問(wèn)T超過(guò)350h的概率是多少?解：設(shè)隨機(jī)變量7；?表示“第「?jìng)€(gè)電子器件的使用壽命。，=1,2,…,30.依題可知，7],&,???,弓0相互獨(dú)立,￥?^(0.1),//=￡(?；.)=1=10,0-2=知，7],&,???,弓0相互獨(dú)立,303。7=1y/n(r3。7=1y/n(r>拜當(dāng)52嚴(yán)*°)10j3030P(T>350)= >350)=P(i=\00=1—0(0.91)=1-0.8186=0.1814習(xí)題六1.設(shè)總體X的概率密度為1.設(shè)總體X的概率密度為了（展）=(9+1)?0<x<10其它，其中0>-1,,X〃為來(lái)自總體X的樣本，求參數(shù)8的矩估計(jì)量。解:總體的一階原點(diǎn)矩為玉=顏*）=匸磯工；。）治；=￡（。+1）/+芯 0+1解:1?而樣本的一階原點(diǎn)矩為A]=4￡x,.=V,用樣本的一階原點(diǎn)矩估計(jì)總體的一階原點(diǎn)矩，即有M衣，由此得。的矩估計(jì)量為0=告1.3.設(shè)總體X?UQ8），現(xiàn)從該總體中抽取容量為10的樣本，樣本觀測(cè)值為:0.5,1.3,0.6,1.7,2.2,1.2,0.&1,5,20,1,6試求參數(shù)。的矩估計(jì)值。解：總體的一階原點(diǎn)矩為v】=E（X）=%,而樣本的一階原點(diǎn)矩為1“ _n A^-tx^X,用樣本的一階原點(diǎn)矩估計(jì)總體的一階原點(diǎn)矩，即有嘰又,七 2由此得。的矩估計(jì)量為0=2更，其矩估計(jì)值為&=2元=2x土（0.5+1.3+0.6十1.7+2.2+1.2+0￡+1.5+2.0+1.6）=2.686.設(shè)也，劉，弘為來(lái)自總體X的一組樣本觀測(cè)值，求下列總體概率密度中0(1)的最大似然估計(jì)值。(1)0其它(2)y，>°（°已知）;0其它(3)了(x；8)=V歹丄令x>0x<0解：（1）似然函數(shù)為丄（。）=卩/（玉渺）=，=[日阪尸,0〈改＜丄（。）=卩/（玉渺）=，=[0,其它因?yàn)?不是丄⑹的最大值，考慮￡（0）=丘阪尸,0＜毛＜10=12…/）頑兩邊取對(duì)數(shù)，WlnL=^[ln^+(^-l)lnxJfl解方程爲(wèi)^鄉(xiāng)土一+岫）"，即蕓+名心藥fl解方程爲(wèi)^鄉(xiāng)土一+岫）"，即蕓+名心藥解得少=一7_^,即為0的最大似然估計(jì)值。i=l（2）似然函數(shù)為朋渺)」n°‘!=1朋渺)」n°‘!=1i=t「時(shí)七一好5＞0。_1,2廠，力）0'其它因?yàn)?不是丄（。）的最大值，考慮0。）=口伽皓是-氣改＞0任=12…M）!=1兩邊取對(duì)數(shù)，得lnL=￡[inC+lna+(a-l)lnXj-阪；]f=i解方程器=我-/。'艮嶗-字=。解方程器=我-/。'艮嶗-字=。解得少=亠，即為0的最大似然估計(jì)值。?=1（3）似然函數(shù)為? riXiI由泓＞0。=1,2,…,M）而）=卩了（新）=句歹e，亀它

2ew\Xi>0。=1,2,…g):=1u兩邊取對(duì)數(shù),得lnL=Z兩邊取對(duì)數(shù),得lnL=Z(m也X=1-2砧驀）解方程帶=2號(hào)蕓）=。'即-弁隸宀。解得。=寸『，即為。的最大似然估計(jì)值。t2n8.若總體X服從參數(shù)為；I的泊松分布，即P(X=x)=—e~A9x=l,2,；2>0

xl知此，興為樣本觀測(cè)值，求參數(shù)2的矩估計(jì)值和最大似然估計(jì)值。解：（1）總體的一階原點(diǎn)矩為v,=￡（%）=/而樣本的-階原點(diǎn)矩為小忐XL私用樣本的一階原點(diǎn)矩估計(jì)總體的一階原點(diǎn)矩，即有。+1=刀，由此得。的矩估計(jì)量為0=刀-1?? 2Xi（2）似然函數(shù)為丄3）=[jl-;=|xi1取對(duì)數(shù)lnL（4）=￡（wln；i_；l_lnw!）住I解方程罵