導(dǎo)數(shù)型不等式雙參及多參問題的解決

不等式雙參問題的解決————缺2012年新課標(biāo)卷例3：（2009遼寧卷理）已知函數(shù)f(x)=x－ax+(a－1)，。（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）證明：若，則對任意x，x，xx，有。Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialuse(21)解：(1)的定義域?yàn)椤?分（i）若即,則故在單調(diào)增加。Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialuse(ii)若,而,故,則當(dāng)時(shí)，;當(dāng)及時(shí)，故在單調(diào)減少，在單調(diào)增加。(iii)若,即,同理可得在單調(diào)減少，在單調(diào)增加.(II)考慮函數(shù)則由于1<a<5,故，即g(x)在(0,+∞)單調(diào)增加，從而當(dāng)時(shí)有，即，故，當(dāng)時(shí)，有·········12分補(bǔ)充：（2010遼寧理數(shù)）（21）（本小題滿分12分）已知函數(shù)（I）討論函數(shù)的單調(diào)性；（II）設(shè).如果對任意，，求的取值范圍。解：（Ⅰ）的定義域?yàn)椋?，+∞）..當(dāng)時(shí)，＞0，故在（0，+∞）單調(diào)增加；當(dāng)時(shí)，＜0，故在（0，+∞）單調(diào)減少；當(dāng)-1＜＜0時(shí)，令=0，解得.則當(dāng)時(shí)，＞0；時(shí)，＜0.故在單調(diào)增加，在單調(diào)減少.（Ⅱ）不妨假設(shè)，而＜-1，由（Ⅰ）知在（0，+∞）單調(diào)減少，從而，等價(jià)于，①令，則①等價(jià)于在（0，+∞）單調(diào)減少，即.從而故a的取值范圍為（-∞，-2].……12分2012年陜西21．（本小題滿分14分）設(shè)函數(shù)（1）設(shè)，，證明：在區(qū)間內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)；（2）設(shè)，若對任意，有，求的取值范圍；（3）在（1）的條件下，設(shè)是在內(nèi)的零點(diǎn)，判斷數(shù)列的增減性．【解析】（1）。又當(dāng)（2）當(dāng)n=2時(shí)，對任意上的最大值與最小值之差,據(jù)此分類討論如下：(Ⅰ)。(Ⅱ)。(Ⅲ)。綜上可知，。注：(Ⅱ)(Ⅲ)也可合并并證明如下：用當(dāng)（3）證法一：設(shè)，于是有，又由（1）知，所以，數(shù)列證法二：設(shè)，，則所以，數(shù)列補(bǔ)充：已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)－x，g(x)=xlnx．（I）求函數(shù)f(x)的最大值；（II）設(shè)0<a<b,證明0<g(a)+g(b)-2g()<(b-a)ln2設(shè)，，又，則，設(shè)，則，已知，函數(shù)（的圖像連續(xù)不斷）（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，證明：存在，使；（Ⅲ）若存在均屬于區(qū)間的，且，使，證明．【解析】本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、解不等式、函數(shù)的零點(diǎn)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算能力和運(yùn)用函數(shù)思想分析解決問題的能力及分類討論的思想方法.（Ⅰ）解:,令,解得.當(dāng)變化時(shí),的變化情況如下表:+0-極大值所以的單調(diào)遞增區(qū)間是;的單調(diào)遞減區(qū)間是.（Ⅱ）證明:當(dāng)時(shí)，.由（Ⅰ）知在(0,2)內(nèi)單調(diào)遞增,在內(nèi)單調(diào)遞減.令,由在(0,2)內(nèi)單調(diào)遞增,故,即,取,則,所以存在，使.（Ⅲ）證明:由及（Ⅰ）的結(jié)論知,從而在上的最小值為.又由,,知.故,即,從而.補(bǔ)充：得：，則又由,,知，設(shè)則，則因?yàn)?，所以，即函?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減則，此時(shí)，此時(shí)又，則方法二：多和一2011年遼寧21．（本小題滿分12分）已知函數(shù)．（I）討論的單調(diào)性；（II）設(shè)，證明：當(dāng)時(shí)，；（III）若函數(shù)的圖像與x軸交于A，B兩點(diǎn)，線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0，證明：（x0）＜0．21．解：（I）（i）若單調(diào)增加.（ii）若且當(dāng)所以單調(diào)增加，在單調(diào)減少.………………4分（II）設(shè)函數(shù)則當(dāng).故當(dāng)，………………8分補(bǔ)充：設(shè)，則，求函數(shù)值域即可（III）由（I）可得，當(dāng)?shù)膱D像與x軸至多有一個(gè)交點(diǎn)，故，從而的最大值為不妨設(shè)由（II）得從而由（I）知，………………12分補(bǔ)充：(2011年高考天津卷理科19)（本小題滿分14分）21．（本小題滿分分）已知函數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；（Ⅱ）已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱．證明當(dāng)時(shí)，．（Ⅲ）如果，且，證明．【解】（Ⅰ）．令，則．當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：增極大值減所以在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)．函數(shù)在處取得極大值．且．（Ⅱ）因?yàn)楹瘮?shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以，于是．記，則，，當(dāng)時(shí)，，從而，又，所以，于是函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)．因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，．因此．（Ⅲ）(1)若，由（Ⅰ）及,得,與矛盾；(2)若，由由（Ⅰ）及,得,與矛盾；根據(jù)(1)，(2)可得．不妨設(shè)．由（Ⅱ）可知，所以．因?yàn)?，所以，又，由（Ⅰ），在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，所以，即．這兩種實(shí)際都是合二為一式的消元，使用于兩個(gè)獨(dú)立性的元處理補(bǔ)充：是否存在常數(shù)，使得不等式對任意正數(shù)恒成立？試證明你的結(jié)論法一：法二：補(bǔ)充：，求2010年湖南理科20．（本小題滿分13分）已知函數(shù)（Ⅰ）證明：當(dāng)（Ⅱ）若對滿足題設(shè)條件的任意b,c，不等式恒成立，求M的最小值。補(bǔ)充：（2012年江蘇省5分）已知正數(shù)滿足：則的取值范圍是▲．【答案】?！究键c(diǎn)】可行域?！窘馕觥靠苫癁椋?。設(shè)，則題目轉(zhuǎn)化為：已知滿足，求的取值范圍。作出（）所在平面區(qū)域（如圖）。求出的切線的斜率，設(shè)過切點(diǎn)的切線為，則，要使它最小，須?！嗟淖钚≈翟谔?，為。此時(shí)，點(diǎn)在上之間。當(dāng)（）對應(yīng)點(diǎn)時(shí)，，∴的最大值在處，為7?！嗟娜≈捣秶鸀?，即的取值范圍是。方法三：反看——注意元的把握補(bǔ)充：設(shè)，對任意實(shí)數(shù)，記．（=1\*ROMANI）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（=2\*ROMANII）求證：（i）當(dāng)時(shí)，對任意正實(shí)數(shù)成立；（ii）有且僅有一個(gè)正實(shí)數(shù)，使得對任意正實(shí)數(shù)成立．⑴解：；⑵（Ⅰ）證明：設(shè)，則，則，即方法二：設(shè)，則即在上單減，在上單增，即所以（Ⅱ）設(shè)，則，則，即，又對任意正實(shí)數(shù)成立所以又，則有且僅有一個(gè)正實(shí)數(shù)，使得對任意正實(shí)數(shù)成立補(bǔ)充2：已知函數(shù)Ⅰ若函數(shù)有三個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍Ⅱ若存在實(shí)數(shù)，使得對任意的，不等式恒成立，求正整數(shù)的最大值解Ⅰ：因?yàn)楹瘮?shù)有三個(gè)極值點(diǎn)，所以有三個(gè)根即：有三個(gè)根，令，則在區(qū)間上遞增，在上遞減因?yàn)橛腥齻€(gè)零點(diǎn)，則，所以Ⅱ：首先看成關(guān)于的函數(shù)設(shè)，，所以單調(diào)遞增存在實(shí)數(shù)，使得成立即成立，即對任意的恒成立對任意的恒成立設(shè)，，即在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，則，所以雙參問題的另一種方式（四川延考理22）設(shè)函數(shù)。（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間和極值；（Ⅱ）若對一切，，求的最大值。（Ⅰ），當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；故在單調(diào)增加，在單調(diào)減少。的極小值，極大值（Ⅱ）由知即由此及（Ⅰ）知的最小值為，最大值為因此對一切，的充要條件是，即，滿足約束條件，由線性規(guī)劃得，的最大值為5．4、多變量消元的問題——韋達(dá)定理（2009全國卷Ⅰ理）設(shè)函數(shù)在兩個(gè)極值點(diǎn)，且（I）求滿足的約束條件，并在下面的坐標(biāo)平面內(nèi)，畫出滿足這些條件的點(diǎn)的區(qū)域；(II)證明：解：由題意知方程有兩個(gè)根則有故有右圖中陰影部分即是滿足這些條件的點(diǎn)的區(qū)域。(II)這一問考生不易得分，有一定的區(qū)分度。主要原因是含字母較多，不易找到突破口。此題主要利用消元的手段，消去目標(biāo)中的，（如果消會較繁瑣）再利用的范圍，并借助（I）中的約束條件得進(jìn)而求解，有較強(qiáng)的技巧性。解：由題意有．．．．．．．．．．．．①又．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．②消去可得．又，且解法二：，則是方程的兩個(gè)根,,,則（09年全國理科卷）函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)且，證明：解：，因有兩個(gè)極值點(diǎn)即的兩個(gè)根為，，，則，即，(09海南寧夏理21)（本小題滿分12分）已知函數(shù)⑴如，求的單調(diào)區(qū)間；⑵若在單調(diào)增加，在單調(diào)減少，證明：6.（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)當(dāng)從而單調(diào)減少.(Ⅱ)由條件得：從而因?yàn)樗詫⒂疫呎归_，與左邊比較系數(shù)得，故又由此可得于是方法二：三次方程的韋達(dá)定理：則，則三次方程的韋達(dá)定理：若的三個(gè)根為則，對比原方程可得即，，利用方程2012年新課標(biāo)（21）（本小題滿分12分）已知函數(shù)滿足滿足；（1）求的解析式及單調(diào)區(qū)間；（2）若，求的最大值。【解析】（1）令得：得：在上單調(diào)遞增得：的解析式為且單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為（2）得①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增時(shí)，與矛盾②當(dāng)時(shí)，③當(dāng)時(shí)，得：當(dāng)時(shí)，令；則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，的最大值為(2011年高考浙江卷理科22)（本題滿分14分）設(shè)函數(shù)（Ⅰ）若為的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)（Ⅱ）求實(shí)數(shù)的取值范圍，使得對任意恒有成立注：為自然對數(shù)的底數(shù)【解析】（Ⅰ）因?yàn)樗砸驗(yàn)闉榈臉O值點(diǎn)所以解得或經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意，所以或（Ⅱ）①當(dāng)時(shí)，對于任意實(shí)數(shù)，恒有成立②當(dāng)時(shí)，由題意，首先有解得由（Ⅰ）知令則，且又在內(nèi)單調(diào)遞增，所以函數(shù)在內(nèi)有唯一零點(diǎn)，記此零點(diǎn)為，則，從而，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)即在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增。所以要使對恒成立，只要成立，由，知將（3）代入（1）得又。注意到函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，故再由（3）以及函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，可得，由（2）解得，所以綜上，的取值范圍為.2012年湖南卷22.（本小題滿分13分）已知函數(shù)=，其中a≠0.若對一切x∈R，≥1恒成立，求a的取值集合.（2）在函數(shù)的圖像上取定兩點(diǎn)，，記直線AB的斜率為K，問：是否存在x0∈（x1，x2），使成立？若存在，求的取值范圍；若不存在，請說明理由.【解析】（Ⅰ）若，則對一切，，這與題設(shè)矛盾，又，故.而令當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，取最小值于是對一切恒成立，當(dāng)且僅當(dāng).①令則當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.故當(dāng)時(shí)，取最大值.因此，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，①式成立.綜上所述，的取值集合為.（Ⅱ）由題意知，令則令，則.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.故當(dāng)，即從而，又所以因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，所以存在使單調(diào)遞增，故這樣的是唯一的，且.故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，.綜上所述，存在使成立.且的取值范圍為.【點(diǎn)評】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、最值、不等式恒成立問題等，考查運(yùn)算能力，考查分類討論思想、函數(shù)與方程思想，轉(zhuǎn)化與劃歸思想等數(shù)學(xué)思想方法.第一問利用導(dǎo)函數(shù)法求出取最小值對一切x∈R，f(x)1恒成立轉(zhuǎn)化為，從而得出a的取值集合；第二問在假設(shè)存在的情況下進(jìn)行推理，通過構(gòu)造函數(shù)，研究這個(gè)函數(shù)的單調(diào)性及最值來進(jìn)行分析判斷.多變量消元——整體代換05湖南21．（本小題滿分14分）已知函數(shù)f(x)＝lnx，g(x)＝ax2＋bx，a≠0.（Ⅰ）若b＝2，且h(x)＝f(x)－g(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍；（Ⅱ）設(shè)函數(shù)f(x)的圖象C1與函數(shù)g(x)圖象C2交于點(diǎn)P、Q，過線段PQ的中點(diǎn)作x軸的垂線分別交C1，C2于點(diǎn)M、N，證明C1在點(diǎn)M處的切線與C2在點(diǎn)N處的切線不平行.解：（I），則因?yàn)楹瘮?shù)h(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間，所以<0有解.又因?yàn)閤>0時(shí)，則ax2+2x－1>0有x>0的解.①當(dāng)a>0時(shí)，y=ax2+2x－1為開口向上的拋物線，ax2+2x－1>0總有x>0的解；②當(dāng)a<0時(shí)，y=ax2+2x－1為開口向下的拋物線，而ax2+2x－1>0總有x>0的解；則△=4+4a>0,且方程ax2+2x－1=0至少有一正根.此時(shí)，－1<a綜上所述，a的取值范圍為（－1，0）∪（0，+∞）.（II）證法一設(shè)點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)分別是（x1,y1），（x2,y2），0<x1<x2.則點(diǎn)M、N的橫坐標(biāo)為C1在點(diǎn)M處的切線斜率為C2在點(diǎn)N處的切線斜率為假設(shè)C1在點(diǎn)M處的切線與C2在點(diǎn)N處的切線平行，則k1=k2.即，則= 所以設(shè)則① 令則 因?yàn)闀r(shí)，，所以在）上單調(diào)遞增.故 則.這與①矛盾，假設(shè)不成立. 故C1在點(diǎn)M處的切線與C2在點(diǎn)N處的切線不平行.證法二：同證法一得 因?yàn)?，所?令，得② 令 因?yàn)?，所以時(shí)， 故在[1，+上單調(diào)遞增.從而，即 于是在[1，+上單調(diào)遞增. 故即這與②矛盾，假設(shè)不成立. 故C1在點(diǎn)M處的切線與C2在點(diǎn)N處的切線不平行.證法三：接法一=即：無解設(shè)；則在上單調(diào)遞減，即即：無解補(bǔ)充：已知函數(shù)⑴試討論在區(qū)間上的單調(diào)性⑵當(dāng)時(shí)，曲線上總存在相異的兩點(diǎn)，使得曲線在點(diǎn)處切線互相平行，求證：解析：⑴由已知，由，得，又因?yàn)?，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增⑵由題意可得，當(dāng)時(shí)，（且）即，所以因?yàn)椋院愠闪⑺约此詢H供個(gè)人用于學(xué)習(xí)、研究；不得用于商業(yè)用途。Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialuse.Nurfürdenpers?nlichenfürStudien,Forschung,zukommerziellenZweckenverwendetwerden.Pourl'é