中國傳媒大學(xué)信號與系統(tǒng)05第五章

中國傳媒大學(xué)信號與系統(tǒng)05第五章第五章離散時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析5.1系統(tǒng)差分方程及其經(jīng)典解

35.2零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)

225.3

315.4卷積和

49本章重點(diǎn)及要求67No.2復(fù)習(xí)由零、極點(diǎn)圖畫出系統(tǒng)的頻率特性（幅頻、相頻）0(b)0(a)0(c)由H(s)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性羅斯穩(wěn)定準(zhǔn)則判斷是那種系統(tǒng)(低通、高通、帶通、帶阻、全通)離散系統(tǒng)的優(yōu)點(diǎn)：精度高、可靠性好、便于實(shí)現(xiàn)大規(guī)模集成、設(shè)備體積小、重量輕等離散系統(tǒng)的時(shí)域分析與連續(xù)系統(tǒng)時(shí)域分析有對應(yīng)關(guān)系連續(xù)系統(tǒng)微分方程連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)運(yùn)算含微分（或積分）、數(shù)乘、相加離散系統(tǒng)差分方程離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)運(yùn)算含移位（或延時(shí)）、數(shù)乘、相加5.1系統(tǒng)差分方程及其經(jīng)典解差分方程f(k)為離散信號,則f(k+1),f(k-1)…為f(k)的移位序列a)一階前向差分(注：和稱差分算子）b)一階后向差分（本書采用后向差分）c)前向差分與后向差分的關(guān)系1)差分的概念:差分是離散信號的一種數(shù)學(xué)運(yùn)算e)二階(后向)差分序列最高序號與最低序號之差為2，稱為二階差分d)差分運(yùn)算具有線性性質(zhì)2)離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型:差分方程左加法器的x(k)換成y(k)右加法器的x(k)換成e(k)左加法器：右加法器：3)離散系統(tǒng)差分方程的一般形式離散系統(tǒng)單輸入—單輸出的LTI離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型一般形式為常系數(shù)線性差分方程差分方程的階數(shù)：輸出序列y(k)的最高序號與最低序號之差差分方程的解求解差分方程的方法：①迭代法②經(jīng)典法③變換域法建立系統(tǒng)的差分方程求特征根i,

確定齊次解yh(k)的形式(查表5–1)由e(k)

,

確定特解yp(k)的形式(查表5–2)由初始條件確定系數(shù)系統(tǒng)響應(yīng)y(k)2.時(shí)域經(jīng)典法含待定系數(shù)(1)齊次解yh(k)其中C是待定系數(shù)，由初始條件確定一階差分方程的齊次解齊次解也稱作自由響應(yīng)，是齊次方程的解意味著yh(k)是一個(gè)公比為(-a)的級數(shù)(即等比序列)齊次差分方程n階差分方程的齊次解齊次解由形式為Ck

的組合齊次解的形式完全由特征根i確定(查P218表5-1)齊次方程特征方程單根r重根共軛根例1：求下列方程的齊次解yh(k)特征方程特征方程解：解：特征方程解：(2)特解yp(k)根據(jù)e(k)的形式查P218表5–2，先確定yp(k)的形式，然后代入差分方程確定系數(shù)。特解也稱為強(qiáng)迫響應(yīng)，其形式與激勵(lì)的形式有關(guān)例求時(shí)，激勵(lì)為常數(shù)2解：例求特征方程解：(3)全解y(k)注意：待定系數(shù)在全解中用初始條件確定特征方程解：例求特征方程解：例求自由響應(yīng)強(qiáng)迫響應(yīng)暫態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)返回在激勵(lì)為零時(shí)，僅由初始狀態(tài)引起的響應(yīng)在系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零時(shí)，僅由激勵(lì)引起的響應(yīng)5.2零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)均為單實(shí)根時(shí)Cxi由初始狀態(tài)確定對應(yīng)齊次方程，由特征根決定零狀態(tài)響應(yīng)yzs(k)對應(yīng)非齊次方程，由yh(k)和yp(k)組成

為單實(shí)根時(shí)Csi由零狀態(tài)時(shí)的初始條件確定初始狀態(tài)、初始條件的概念因果系統(tǒng)，e(k)在k=0時(shí)接入y(–1),y(–2),y(–3)…y(–k)初始狀態(tài)y(0),y(1),y(2)…y(k-1)初始條件解：代入初始狀態(tài)特征方程：a)求零輸入響應(yīng)例：求根據(jù)初始狀態(tài)（零狀態(tài)），遞推出初始條件：代入初始條件，確定系數(shù)b)求零狀態(tài)響應(yīng)c)全響應(yīng)解全響應(yīng)的第二種方法根據(jù)初始狀態(tài)，遞推出初始條件：返回例：求解：5.3單位序列響應(yīng)和單位階躍響應(yīng)1)單位序列(k)[又稱單位樣值(或單位取樣)序列]k01k01i的取樣性質(zhì)2)單位階躍序列(k)3)

(k)與(k)的關(guān)系注意：(k)在k=0處有定義k01…123ik01…繼續(xù)復(fù)習(xí)經(jīng)典法求解差分方程由特征根,確定齊次解yh(k)的形式由e(k),確定特解yp(k)的形式單根重根共軛根常數(shù)求:3.初始條件根據(jù)初始狀態(tài)，利用非齊次方程迭代得出1.h(k)對應(yīng)齊次解的形式；由差分方程求解h(k)時(shí)注意：5.3.1單位序列響應(yīng)h(k)[又稱單位樣值響應(yīng)]2.初始狀態(tài)特征方程：求單位序列響應(yīng)例1.滿足方程解：零初始狀態(tài)h(-1)=h(-2)=0初始條件求單位序列響應(yīng)例2.滿足方程解：僅有作用于系統(tǒng)時(shí)，設(shè)響應(yīng)為h1(k)僅有作用于系統(tǒng)時(shí)，設(shè)響應(yīng)為h2(k)則特征方程：方法二特征方程：求單位序列響應(yīng)例3.解：求初始條件單位序列響應(yīng)h(k)表示離散系統(tǒng)自身的特性離散LTI系統(tǒng)是因果系統(tǒng)的充分必要條件：離散LTI系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)的充分必要條件：或5.3.2單位階躍響應(yīng)g(k)k01…123由差分方程求g(k)注意：3.初始條件根據(jù)初始狀態(tài)，利用非齊次方程迭代得出1.g(k)對應(yīng)非齊次方程2.初始狀態(tài)特征方程例：求滿足方程解：求初始條件由線性性質(zhì)和時(shí)(移)不變性可得5.3.3h(k)與g(k)的關(guān)系例：已知求解：返回例：已知某系統(tǒng)的求解：5.4卷積和卷積和的定義及求解1.卷積和的定義卷積和卷積積分卷積和上、下限的確定：由f1(k)和f2(k)的定義域確定幾種特殊情況f1(k)是因果信號時(shí)：f2(k)是因果信號時(shí)：f1(k)和f2(k)都是因果信號時(shí)：例：求解：求卷積和的過程1)變量置換

kn2)反折

f2(n)

f2(-n)3)f2(-n)沿n軸平移k個(gè)單位

f2(k-n)4)將f2(kn)與f1(n)的對應(yīng)樣值相乘、相加，得到

k時(shí)的卷積值f

(k)。5)將k在(∞，∞)范圍內(nèi)變化，重復(fù)第3、4步，最終得到f

(k)=f1(k)*f2(k)。2.卷積和的圖解法(卷積和的幾何意義)132k012k01123例：求1)變量置換

kn2)反折f2(n)

f2(-n)10–1132n123–2–3k=03)將

f2(-n)平移k得f2(k–n)

1k=10–1132n123–2–3k=20–1132n123–2–3k=30–1132n123–2–3114)對應(yīng)樣值相乘、求和1k=40–1132n12341k=505132n123413k01234566653有限長序列卷積和的特點(diǎn)：若f1(k)的長度為N1,f2(k)的長度為N2則的長度為:3.對位相乘求和法(又稱不進(jìn)位乘法)123k=0f1(k)1111k=0f2(k)123123123123136653k=0注意：僅適用于兩個(gè)有限長序列求卷積和3142k=-1f1(k)215f2(k)1552010314262846524132210k=-1k=0例：求解：任意離散信號f(k)可表示為借助單位序列響應(yīng)與卷積和求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)1.離散信號的分解任意離散信號e(k)可表示為離散系統(tǒng)的yzs(k)為e(k)與h(k)的卷積和2.利用卷積和求解離散系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)卷積和常用性質(zhì)1.交換律兩函數(shù)的位置可以互換說明反折函數(shù)可以任選1132i0123–1–2–31i0132123–1–2–3132k0123k011232.分配律物理意義3.結(jié)合律物理意義1)n個(gè)子系統(tǒng)并聯(lián)的等效單位序列響應(yīng)為n個(gè)子系統(tǒng)單位序列響應(yīng)之和結(jié)論：2)n個(gè)子系統(tǒng)級聯(lián)的等效單位序列響應(yīng)為n個(gè)子系統(tǒng)單位序列響應(yīng)之卷積和例：求下圖所示復(fù)合系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)h(k)4.移位特性若則例求解:5.任意序列與單位序列的卷積a)b)c)例：如圖所示系統(tǒng)求解返回1)會建立系統(tǒng)的差分方程2)熟練掌握用經(jīng)典法求解差分方程：即由特征根確定齊次解yh(k)、由激勵(lì)e(k)的形式確定特解yp(k)3)掌握初始狀態(tài)、初始條件的概念，會用迭代法確定初始條件4)掌握零輸入、零狀態(tài)、全響應(yīng)的物理意義并會求解5)深刻理解系統(tǒng)單位序列響應(yīng)h(k)與階躍響應(yīng)g(k)的物理意義，并會求解。本章重點(diǎn)及要求6)深刻理解卷積和的物理意義并掌握其數(shù)學(xué)表示式8)熟練掌握求卷積和常用的方法a)解析法(配合