第十二章 動量矩定理張秀洲分享

第十二章動量矩定理張秀洲分享第一頁，共五十三頁，2022年，8月28日§12-1質(zhì)點和質(zhì)點系的動量矩§12-2動量矩定理§12-3剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動微分方程§12-4剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量§12-5質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動量矩定理§12-6剛體的平面運動微分方程

第十二章動量矩定理本章學(xué)習(xí)內(nèi)容第二頁，共五十三頁，2022年，8月28日

理解并熟練計算動量矩；熟練掌握對固定點和對質(zhì)心的動量矩定理；能正確選擇和綜合應(yīng)用這些定理求解質(zhì)點及質(zhì)點系（主要是剛體系）的動力學(xué)問題；掌握剛體轉(zhuǎn)動慣量的計算；能應(yīng)用剛體定軸轉(zhuǎn)動和平面運動微分方程求解有關(guān)問題。本章學(xué)習(xí)要求第三頁，共五十三頁，2022年，8月28日§12-1質(zhì)點和質(zhì)點系的動量矩1．質(zhì)點的動量矩對點O的動量矩對z軸的動量矩

代數(shù)量，從z軸正向看，逆時針為正，順時針為負(fù)。第十二章動量矩定理第四頁，共五十三頁，2022年，8月28日

單位:kg·m2/s

2．質(zhì)點系的動量矩

對點的動量矩對軸的動量矩

即

第十二章動量矩定理§12-1質(zhì)點和質(zhì)點系的動量矩第五頁，共五十三頁，2022年，8月28日（1）剛體平移

可將全部質(zhì)量集中于質(zhì)心，作為一個質(zhì)點來計算。,（2）剛體繞定軸轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動慣量第十二章動量矩定理§12-1質(zhì)點和質(zhì)點系的動量矩第六頁，共五十三頁，2022年，8月28日

§12-2動量矩定理

1．質(zhì)點的動量矩定理設(shè)O為定點，有：其中:

（O為定點）第十二章動量矩定理第七頁，共五十三頁，2022年，8月28日投影式:因此

稱為質(zhì)點的動量矩定理：質(zhì)點對某定點的動量矩對時間的一階導(dǎo)數(shù)，等于作用力對同一點的矩。第十二章動量矩定理

§12-2動量矩定理第八頁，共五十三頁，2022年，8月28日得稱為質(zhì)點系的動量矩定理：質(zhì)點系對某定點O的動量矩對時間的導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點系的外力對于同一點的矩的矢量和。2.質(zhì)點系的動量矩定理由于

第十二章動量矩定理

§12-2動量矩定理第九頁，共五十三頁，2022年，8月28日投影式:內(nèi)力不能改變質(zhì)點系的動量矩。第十二章動量矩定理

§12-2動量矩定理第十頁，共五十三頁，2022年，8月28日例12-1已知：,小車不計摩擦。求:小車的加速度。解:由,，得第十二章動量矩定理

§12-2動量矩定理第十一頁，共五十三頁，2022年，8月28日例12-2：已知,,,,,,不計摩擦.求:（1）

（2）O處約束力

（3）繩索張力，第十二章動量矩定理

§12-2動量矩定理第十二頁，共五十三頁，2022年，8月28日由

,得解：(1)（2）由質(zhì)心運動定理第十二章動量矩定理

§12-2動量矩定理第十三頁，共五十三頁，2022年，8月28日

（3）

研究（4）研究第十二章動量矩定理

§12-2動量矩定理第十四頁，共五十三頁，2022年，8月28日3．動量矩守恒定律若,若,則常量。例：面積速度定理有心力：力作用線始終通過某固定點，該點稱力心。由于,有

常矢量則常矢量；第十二章動量矩定理

§12-2動量矩定理第十五頁，共五十三頁，2022年，8月28日即常量由圖,

因此,常量（1）與必在一固定平面內(nèi)，即點M的運動軌跡是平面曲線。

稱面積速度。

面積速度定理：質(zhì)點在有心力作用下其面積速度守恒。第十二章動量矩定理

§12-2動量矩定理第十六頁，共五十三頁，2022年，8月28日求：剪斷繩后,角時的.第十二章動量矩定理

§12-2動量矩定理例12-4：兩小球質(zhì)量皆為,初始角速度第十七頁，共五十三頁，2022年，8月28日時,

時,由,得解：第十二章動量矩定理

§12-2動量矩定理第十八頁，共五十三頁，2022年，8月28日

§12-3剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動微分方程主動力:約束力:即:或或轉(zhuǎn)動微分方程第十二章動量矩定理第十九頁，共五十三頁，2022年，8月28日例12-5:已知:，求.解:第十二章動量矩定理

§12-3剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動微分方程第二十頁，共五十三頁，2022年，8月28日求微小擺動的周期。例12-6：物理擺（復(fù)擺），已知，第十二章動量矩定理

§12-3剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動微分方程第二十一頁，共五十三頁，2022年，8月28日解：微小擺動時，即：通解為

稱角振幅，稱初相位，由初始條件確定。周期第十二章動量矩定理

§12-3剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動微分方程第二十二頁，共五十三頁，2022年，8月28日求：制動所需時間。例12-7：已知：，動滑動摩擦系數(shù)，第十二章動量矩定理

§12-3剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動微分方程第二十三頁，共五十三頁，2022年，8月28日解：

§12-3剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動微分方程第十二章動量矩定理第二十四頁，共五十三頁，2022年，8月28日例12-8：已知求：.解：因，，

§12-3剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動微分方程第十二章動量矩定理得：第二十五頁，共五十三頁，2022年，8月28日§12-4剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量

單位：kg·m2

1.簡單形狀物體的轉(zhuǎn)動慣量計算(1)均質(zhì)細(xì)直桿對一端的轉(zhuǎn)動慣量由，得第十二章動量矩定理第二十六頁，共五十三頁，2022年，8月28日（2）均質(zhì)薄圓環(huán)對中心軸的轉(zhuǎn)動慣量（3）均質(zhì)圓板對中心軸的轉(zhuǎn)動慣量式中：

或§12-4剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量第十二章動量矩定理第二十七頁，共五十三頁，2022年，8月28日2.回轉(zhuǎn)半徑（慣性半徑）

或3．平行軸定理

式中軸為過質(zhì)心且與軸平行的軸，為與軸之間的距離。即：剛體對于任一軸的轉(zhuǎn)動慣量，等于剛體對于通過質(zhì)心并與該軸平行的軸的轉(zhuǎn)動慣量，加上剛體的質(zhì)量與兩軸間距離平方的乘積?！?2-4剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量第十二章動量矩定理第二十八頁，共五十三頁，2022年，8月28日證明：因為：有，得§12-4剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量第十二章動量矩定理第二十九頁，共五十三頁，2022年，8月28日例12-9：均質(zhì)細(xì)直桿，已知.求：對過質(zhì)心且垂直于桿的軸的轉(zhuǎn)動慣量。要求記住三個轉(zhuǎn)動慣量：（2）均質(zhì)細(xì)直桿對一端的轉(zhuǎn)動慣量（3）均質(zhì)細(xì)直桿對中心軸的轉(zhuǎn)動慣量則

對一端的軸，有：解：§12-4剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量第十二章動量矩定理（1）均質(zhì)圓盤對盤心軸的轉(zhuǎn)動慣量第三十頁，共五十三頁，2022年，8月28日4．組合法

求：.例12-10：已知桿長為質(zhì)量為，圓盤半徑為，質(zhì)量為.§12-4剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量第十二章動量矩定理第三十一頁，共五十三頁，2022年，8月28日解：§12-4剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量第十二章動量矩定理第三十二頁，共五十三頁，2022年，8月28日

解：其中由，得：例12-11：已知：，

求.§12-4剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量第十二章動量矩定理第三十三頁，共五十三頁，2022年，8月28日5．實驗法例：求對軸的轉(zhuǎn)動慣量。將曲柄懸掛在軸O上，作微幅擺動.由其中已知,可測得，從而求得。解：§12-4剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量第十二章動量矩定理第三十四頁，共五十三頁，2022年，8月28日6.查表法均質(zhì)物體的轉(zhuǎn)動慣量薄壁圓筒細(xì)直桿慣性半徑轉(zhuǎn)動慣量簡圖物體的形狀§12-4剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量第十二章動量矩定理體積第三十五頁，共五十三頁，2022年，8月28日薄壁空心球空心圓柱圓柱§12-4剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量第十二章動量矩定理第三十六頁，共五十三頁，2022年，8月28日圓環(huán)圓錐體實心球§12-4剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量第十二章動量矩定理第三十七頁，共五十三頁，2022年，8月28日矩形薄板長方體橢圓形薄板第十二章動量矩定理§12-4剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量第三十八頁，共五十三頁，2022年，8月28日§12-5質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動量矩定理1．對質(zhì)心的動量矩有由于得其中：第十二章動量矩定理第三十九頁，共五十三頁，2022年，8月28日即：無論是以相對速度或以絕對速度計算質(zhì)點系對于質(zhì)心的動量矩其結(jié)果相同。對任一點O的動量矩：第十二章動量矩定理§12-5質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動量矩定理第四十頁，共五十三頁，2022年，8月28日2.相對質(zhì)心的動量矩定理由于即第十二章動量矩定理§12-5質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動量矩定理第四十一頁，共五十三頁，2022年，8月28日質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動量矩定理:質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動量矩對時間的導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點系的外力對質(zhì)心的主矩.得或第十二章動量矩定理§12-5質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動量矩定理第四十二頁，共五十三頁，2022年，8月28日或§12-6剛體的平面運動微分方程第十二章動量矩定理第四十三頁，共五十三頁，2022年，8月28日以上各組均稱為剛體平面運動微分方程.應(yīng)用時一般用投影式：第十二章動量矩定理第十二章動量矩定理§12-6剛體的平面運動微分方程第四十四頁，共五十三頁，2022年，8月28日

例12-12半徑為r，質(zhì)量為m的均質(zhì)圓輪沿水平直線滾動，如圖所示.設(shè)輪的慣性半徑為，作用于輪的力偶矩為M.求輪心的加速度.如果圓輪對地面的滑動摩擦因數(shù)為f,問力偶M必須符合什么條件不致使圓輪滑動?第十二章動量矩定理§12-6剛體的平面運動微分方程第四十五頁，共五十三頁，2022年，8月28日解：其中得純滾動的條件：即第十二章動量矩定理§12-6剛體的平面運動微分方程第四十六頁，共五十三頁，2022年，8月28日

例12-13均質(zhì)圓輪半徑為r質(zhì)量為m

，

受到輕微擾動后，在半徑為R的圓弧上往復(fù)滾動，如圖所示.設(shè)表面足夠粗糙，使圓輪在滾動時無滑動。求:質(zhì)心C的運動規(guī)律。第十二章動量矩定理§12-6剛體的平面運動微分方程第四十七頁，共五十三頁，2022年，8月28日由于解:第十二章動量矩定理§12-6剛體的平面運動微分方程第四十八頁，共五十三頁，2022年，8月28日其解為式中運動方程為得得由時第十二章動量矩定理§12-6剛體的平面運動微分方程第四十九頁，共五十三頁，2022年，8月28日質(zhì)點的動量對于某點（或某軸）的矩稱為質(zhì)點對于該點（或該軸）的動量矩。質(zhì)點系對于某點O的動量矩等于各質(zhì)點的動量對點O的矩的矢量和，即質(zhì)點系對于某軸z的動量矩等于各質(zhì)點的動量對軸z的矩的代數(shù)和，即本章小結(jié)第五十頁，共五十三頁，2022年，8月28日質(zhì)點動量矩定理（相對于慣性參考系）：若z軸通過點O，則質(zhì)點系對于點O的動量矩在z軸上的投影等于質(zhì)點系對于z軸的動