第十一章壓桿穩(wěn)定

第十一章壓桿穩(wěn)定第一頁，共六十四頁，2022年，8月28日§11-1引言§11-2兩端鉸支細長壓桿的臨界載荷§11-3兩端非鉸支細長壓桿的臨界載荷§11-4中、小柔度桿的臨界應力§11-5壓桿的穩(wěn)定條件與合理設計§11-6提高壓桿穩(wěn)定的措施第二頁，共六十四頁，2022年，8月28日§11-1引言構件的承載能力：①強度②剛度③穩(wěn)定性工程中有些構件具有足夠的強度、剛度，卻不一定能安全可靠地工作。第三頁，共六十四頁，2022年，8月28日壓桿的穩(wěn)定性試驗一根長2m的柳條木，直徑d=20mm,[σ]=10MPa,承壓時其Fmax=?解：若按強度計算（實測Fmax=160N，與計算值相差近20倍）造成計算結果與實測值不符的原因是較長的壓桿存在穩(wěn)定問題，因而強度計算方法對這類桿件的設計不適用。第四頁，共六十四頁，2022年，8月28日不穩(wěn)定平衡穩(wěn)定平衡微小擾動就使小球遠離原來的平衡位置微小擾動使小球離開原來的平衡位置，但擾動撤銷后小球回復到平衡位置。一、穩(wěn)定平衡與不穩(wěn)定平衡

第五頁，共六十四頁，2022年，8月28日二、中心受壓直桿穩(wěn)定性分析

舉例：一端固定，一端自由的鋼板尺受軸向壓力作用。F<FcrFF>Fcr干擾力去除，恢復直線干擾力去除，繼續(xù)彎曲穩(wěn)定平衡不穩(wěn)定平衡直線平衡狀態(tài)第六頁，共六十四頁，2022年，8月28日三、穩(wěn)定與失穩(wěn)1.壓桿穩(wěn)定性：壓桿維持其原直線平衡狀態(tài)的能力。

2.壓桿失穩(wěn)（屈曲）：壓桿喪失其原直線平衡狀態(tài)，不能穩(wěn)定地工作。3.臨界狀態(tài)：由穩(wěn)定平衡向不穩(wěn)定平衡過渡的狀態(tài)。

4.臨界載荷Fcr：使壓桿直線形式的平衡開始由穩(wěn)定轉變?yōu)椴环€(wěn)定的軸向壓力值，或使壓桿在微彎狀態(tài)保持平衡的最小軸向壓力，稱為壓桿的臨界載荷，用Fcr表示。即壓桿的壓力逐漸上升,使壓桿的平衡由穩(wěn)定平衡狀態(tài)向不穩(wěn)定狀態(tài)的質變的轉折點。壓桿保持直線狀態(tài)平衡的最大力；使壓桿失穩(wěn)（不能保持直線形式的穩(wěn)定平衡）的最小力。第七頁，共六十四頁，2022年，8月28日實際壓桿所能承受的最大壓力必小于理想中心壓桿的臨界力Fcr。理想中心壓桿——材料均勻、桿軸為直線、壓力沿軸線的彈性壓桿

在臨界載荷作用下，壓桿既可在直線狀態(tài)下保持平衡，也可在微彎狀態(tài)下保持平衡。所以，當軸向壓力達到或超過壓桿的臨界載荷時，壓桿將失穩(wěn)。5.壓桿失穩(wěn)原因：①桿軸線本身不直(初曲率)；②加載偏心；③壓桿材質不均勻；④外界干擾力。第八頁，共六十四頁，2022年，8月28日一、臨界載荷的歐拉公式

1、分析思路：Fcr→臨界狀態(tài)(微彎)→彎曲變形→撓曲線微分方程。

2、推導：

FcrM(x)=-Fcrw失穩(wěn)模式如圖xxwLxwFcr§11-2兩端鉸支細長壓桿的臨界載荷第九頁，共六十四頁，2022年，8月28日

兩端鉸支細長壓桿的臨界載荷與截面抗彎剛度EI成正比，與桿件長度平方成反比。在推導過程中，運用了邊界條件，說明臨界力與兩端支座條件有關，慣性矩I應為壓桿橫截面的最小慣性矩Imin。兩端鉸支細長壓桿臨界狀態(tài)時的撓曲線為一正弦曲線，最大撓度或幅值A則取決于壓桿微彎的程度。由此可見，壓桿在臨界狀態(tài)時的平衡，是一種有條件的隨遇平衡，微彎程度雖然可以任意，但撓曲軸形狀一定。適用條件：兩端鉸支的理想壓桿;線彈性，小變形第十頁，共六十四頁，2022年，8月28日問題：壓桿為空間實體，在軸向力作用下如果失穩(wěn)，它朝哪個方向彎？y=f(x)yzxxy平面內彎z=f(x)yxxz平面內彎z繞z軸轉動截面繞y軸轉動第十一頁，共六十四頁，2022年，8月28日壓桿總是在抗彎能力最小的縱向平面內彎曲矩形截面壓桿首先在哪個平面內失穩(wěn)彎曲（繞哪個軸轉動）？

思考：zyhbFFh>bI如何確定？第十二頁，共六十四頁，2022年，8月28日xyzhb所以矩形截面壓桿首先在xz平面內失穩(wěn)彎曲，（即繞y軸轉動）FFFF第十三頁，共六十四頁，2022年，8月28日例圖示結構，①、②兩桿截面和材料相同，為細長壓桿。確定使載荷F為最大值時的θ角（設

0<θ<π/2）。②①Fl第十四頁，共六十四頁，2022年，8月28日②①Fl將式(2)除以式（1）便得：第十五頁，共六十四頁，2022年，8月28日二、小繞度理論與理想壓桿模型的實際意義P322圖11-6直線AG與曲線AB的交點稱為臨界點，相應之載荷即為臨界載荷。臨界點也稱分支點，從該點開始，出現(xiàn)兩種平衡形態(tài)。按大撓度理論，當壓桿處于臨界狀態(tài)時，其唯一的平衡形態(tài)是直線，而非微彎。在A點附近的很小一段范圍內，可以近似地用水平線代替曲線。從力學上，當F=Fcr時，壓桿既可在直線位置保持平衡，也可在任何微彎位置保持平衡。由此可見，以“微彎平衡”作為臨界狀態(tài)的特征，并根據(jù)撓曲軸近似微分方程確定臨界載荷的方法，是利用小變形對大撓度理論的一種合理簡化，它不僅正確，而且，由于求解簡單，更為實用。曲線AB在A點附近極為平坦，因此，當軸向壓力F略高于臨界值Fcr時，撓度即急劇增長。由此可見，大撓度理論更鮮明地說明了失穩(wěn)的危險性。第十六頁，共六十四頁，2022年，8月28日一、一端固定、一端自由的壓桿固定端θ=0，與兩端鉸支壓桿的中點情況一致，對稱延長-------相當長度為（2l）lF§11-3兩端非鉸支細長壓桿的臨界載荷方法：1、采用與上述同樣的方法，邊界條件不同2、類比法第十七頁，共六十四頁，2022年，8月28日二、兩端固定的壓桿撓曲線：分成三段，兩拐點與兩端相距均為l/4中間段與兩端鉸支時一樣，相當長度為l/2Fl/4l/4l/2第十八頁，共六十四頁，2022年，8月28日3、一端固定，一端鉸支的壓桿0.3l0.7l撓曲線：分成二段，拐點與一端距離為0.7l較長的段與兩端鉸支時一樣，相當長度為0.7l統(tǒng)一表達式：

---相當長度系數(shù)，代表支持方式對臨界載荷的影響。μl稱壓桿的相當長度或有效長度，即相當?shù)膬啥算q支壓桿的長度，或壓桿撓曲軸拐點間的距離。F第十九頁，共六十四頁，2022年，8月28日Fl/4l/4l/2F0.3l0.7lFllF歐拉臨界壓力公式的統(tǒng)一表達式：第二十頁，共六十四頁，2022年，8月28日Fcr為維持微彎平衡狀態(tài)最小的壓力各方向約束情況相同時：乘積l稱為壓桿的相當長度或有效長度。為常數(shù)，稱長度因素，代表支持方式對臨界載荷的影響。I＝Imin–––

最小形心主慣性矩各方向約束情況不同時：使Fcr最小的方向為實際彎曲方向，I為撓曲時橫截面對其中性軸的慣性矩。如銷孔類鉸鏈，即所謂的柱狀鉸。約束特點為：在垂直于軸銷的平面內，軸銷對桿的約束相當于鉸支；而在軸銷平面內，軸銷對桿的約束則接近于固定端。第二十一頁，共六十四頁，2022年，8月28日例：圖示各細長壓桿材料和截面均相同，試問哪一根桿能承受的壓力最大，哪一根的最??？aP(1)P1.3a(2)P(3)1.6a因為又可知桿（1）能承受的壓力最小，最先失穩(wěn)；桿（3）能承受的壓力最大，最穩(wěn)定。第二十二頁，共六十四頁，2022年，8月28日FaABa\2c解：故取練習：已知圖示壓桿EI,且桿在B支承處不能轉動求：臨界壓力第二十三頁，共六十四頁，2022年，8月28日③壓桿的臨界力練習:求下列細長壓桿的臨界力。=1.0，解：①繞y軸，兩端鉸支：=0.7，②繞z

軸，左端固定，右端鉸支：yzhbyzL1L2x第二十四頁，共六十四頁，2022年，8月28日討論：1、Fcr與E、I、l、μ有關，即與材料及結構的形式均有關；2、Fcr與EI成正比，不同的方向EI不一樣，壓桿要求EI在各方向上盡可能相差不大。3、Fcr與EI、l、μ有關，同一構件，不同的方向，I不同，μ不同，視綜合情況而定。4、端約束越強，F(xiàn)cr越大，越不易失穩(wěn)。5、為了保證不同的方向μ盡可能相同，端約束用球鉸，這樣，各方向有較一致的約束。6、Fcr非外力也非內力，是反映構件承載能力的力學量。第二十五頁，共六十四頁，2022年，8月28日一、臨界應力與柔度

壓桿處于臨界狀態(tài)時橫截面上的平均應力，稱為壓桿的臨界應力，并用cr表示

。壓桿受臨界力Fcr作用而仍在直線平衡形態(tài)下維持不穩(wěn)定的平衡時，橫截面上的臨界應力可按cr=Fcr/A計算?！?1-4中、小柔度桿的臨界應力

按各種支承情況下壓桿臨界力的歐拉公式算出壓桿橫截面上的應力為(稱為歐拉臨界應力公式)稱為壓桿橫截面對中性軸的慣性半徑第二十六頁，共六十四頁，2022年，8月28日稱為壓桿的柔度（細長比）。綜合地反映了壓桿的長度l，支持方式與截面幾何性質i對臨界應力的影響。細長壓桿的臨界應力，與柔度的平方成反比，越大，相應的cr越小，壓桿越容易失穩(wěn)。

若壓桿在不同平面內失穩(wěn)時的支承約束條件不同，應分別計算在各平面內失穩(wěn)時的柔度，并按較大者計算壓桿的臨界應力cr。第二十七頁，共六十四頁，2022年，8月28日二、歐拉公式的適用范圍歐拉公式是根據(jù)撓曲軸近似微分方程建立的，只有在桿內應力crP的范圍內，才可以用歐拉公式計算壓桿的臨界力Fcr（或臨界應力cr）?；騊值僅與彈性模量E及比例極限P

有關，P僅隨材料性質而異。柔度≥P的壓桿稱大柔度桿。當≥P（大柔度壓桿或細長壓桿）時，才能應用歐拉公式。當＜P時（中、小柔度壓桿），不能應用歐拉公式。第二十八頁，共六十四頁，2022年，8月28日右圖稱為歐拉臨界應力曲線。實線部分是歐拉公式適用范圍的曲線，虛線部分無意義。P的大小僅取決于壓桿材料的力學性能。例如，對于Q235鋼，E=206GPa，P=200MPa，得

右圖稱為歐拉臨界應力曲線。實線部分是歐拉公式適用范圍的曲線。P第二十九頁，共六十四頁，2022年，8月28日對于塑性材料：三、臨界應力的經驗公式

工程實際中，常見的壓桿的柔度往往小于P即為非細長壓桿，其臨界應力超過材料的比例極限，屬于非彈性穩(wěn)定問題。當σp≤σ≤σs時，構件內有明顯的較大的變形，而歐拉公式不能適用，在這一部分，工程上通常采用經驗公式，常見的經驗公式有兩種：直線型和拋物線型。1、直線型經驗公式：

當應力達到壓縮極限時，壓桿強度失效，因此，在使用直線公式時，柔度存在一最低界限值l0：對于脆性材料：

a、b為與材料有關的常數(shù)，單位為MPa，故求出的scr單位為MPa。對于由合金鋼、鋁合金、灰口鑄鐵與松木等材料制作的非細長壓桿適用。第三十頁，共六十四頁，2022年，8月28日2、臨界應力總圖λ0λP1）隨著λ的增大，桿件越易發(fā)生失穩(wěn)，λ是衡量桿件失穩(wěn)的重要因素；2）隨著λ的增大，構件失效的性質發(fā)生質的變化；3）不同的λ值，臨界應力的計算公式不一樣；大柔度桿中柔度桿小柔度桿第三十一頁，共六十四頁，2022年，8月28日4）歐拉公式僅適用于大柔度壓桿（細長桿）；5）σcr非內力，F(xiàn)cr也非外力，只是反映材料性質的量----壓桿的極限承載能力（抗失穩(wěn)的能力）6）同一壓桿，各個方向上約束不同，λ不一樣，以λ大的方向為基準，在這個方向上最易失去穩(wěn)定性綜上所述，≥P的壓桿屬于細長桿或大柔度桿，用歐拉公式計算臨界應力。0

≤＜P的壓桿屬于中柔度桿，按經驗公式計算臨界應力。＜0的壓桿屬短粗桿，稱小柔度桿，按強度問題處理。λ0λP大柔度桿中柔度桿小柔度桿第三十二頁，共六十四頁，2022年，8月28日3、拋物線型經驗公式：對于由結構鋼與低合金結構鋼等材料制作的非細長壓桿，可用拋物線型經驗公式計算臨界應力。o第三十三頁，共六十四頁，2022年，8月28日例10-4：圖11-17所示連桿，用鉻鉬鋼制成，連桿的橫截面面積A=720mm2，慣性矩IZ=6.5x104mm4，Iy=3.8x104mm4，。試確定臨界荷載。解：1、失穩(wěn)形式判斷：在x-y平面內，m=1在x-z平面內，可取m=0.7在x-y平面內失穩(wěn)，第三十四頁，共六十四頁，2022年，8月28日例10-4：圖11-17所示連桿，用鉻鉬鋼制成，連桿的橫截面面積A=720mm2，慣性矩IZ=6.5x104mm4，Iy=3.8x104mm4，。試確定臨界荷載。2、臨界載荷計算：查表10-2得：屬中柔度桿，按直線公式計算第三十五頁，共六十四頁，2022年，8月28日解：圓形截面桿：練習：截面為圓形，直徑為d兩端固定的細長壓桿和截面為正方形，邊長為d兩端鉸支的細長壓桿，材料及柔度都相同，求兩桿的長度之比及臨界力之比。圓形截面桿：第三十六頁，共六十四頁，2022年，8月28日所以正方形截面桿：由1=2得練習：截面為圓形，直徑為d兩端固定的細長壓桿和截面為正方形，邊長為d兩端鉸支的細長壓桿，材料及柔度都相同，求兩桿的長度之比及臨界力之比。第三十七頁，共六十四頁，2022年，8月28日練習：截面為圓形，直徑為d兩端固定的細長壓桿和截面為正方形，邊長為d兩端鉸支的細長壓桿，材料及柔度都相同，求兩桿的長度之比及臨界力之比。第三十八頁，共六十四頁，2022年，8月28日一、壓桿穩(wěn)定條件為保證壓桿在軸向壓力作用下不致失穩(wěn)，必須滿足：式中，F(xiàn)是壓桿的工作荷載，上式表明，為使壓桿能正常工作，必須使壓桿的工作應力小于或等于穩(wěn)定許用應力。式中，為穩(wěn)定安全系數(shù)。在選擇安全因素時，除應遵循確定強度安全因素的一般原則外，還應考慮加載偏心與壓桿初曲等不利因素?！睩st〕為穩(wěn)定許用壓力。則由上式可得：（11－16）§11-5壓桿穩(wěn)定條件與合理設計第三十九頁，共六十四頁，2022年，8月28日

是一個小于1的系數(shù)，稱為穩(wěn)定系數(shù)或折減系數(shù)，其值與壓桿的柔度及所用的材料有關。則（11－16）可表示為：（11－18）用強度條件中的許用應力來表示穩(wěn)定許用應力或表示為：二、折減系數(shù)法第四十頁，共六十四頁，2022年，8月28日受壓桿件穩(wěn)定計算中的系數(shù)由于壓桿的穩(wěn)定性取決于整個桿件的彎曲剛度，因此，在確定壓桿的臨界荷載或臨界應力時，可不考慮桿件局部削弱(如鉚釘孔或油孔等)的影響，而按未削弱截面計算橫截面的慣性矩與截面面積。

但是，對于受局部削弱的截面，需進行強度校核：第四十一頁，共六十四頁，2022年，8月28日解：1）計算連桿的柔度例10-5圖10-21所示圓截面連桿，承受軸向壓力F作用，試校核桿的穩(wěn)定性。已知F=20.0kN，連桿外徑D=38mm，內徑d=34mm，長l=600mm，材料為硬鋁，穩(wěn)定安全因數(shù)nst=2.5。查表10-2得：由：判定連桿為中柔度桿許用壓力滿足穩(wěn)定性要求第四十二頁，共六十四頁，2022年，8月28日三、壓桿穩(wěn)定計算的一般步驟1、計算壓桿的柔度λ4、計算構件此時的工作應力σ5、校核壓桿的穩(wěn)定性2、計算壓桿所使用的材料的λP、λ03、依λ選擇臨界應力σcr的計算公式，確定臨界應力由穩(wěn)定條件可進行三方面的計算：1、穩(wěn)定校核2、確定許可載荷3、設計截面第四十三頁，共六十四頁，2022年，8月28日例：托架，AB桿是圓管，外徑D=50mm，內徑d=40mm,兩端為球鉸，材料為A3鋼，E=206GPa,sp=200MPa。若規(guī)定nst=3,試確定許可荷載F。解：1）分析受力取CBD橫梁研究FNABCBBAC1500FD50030o2）計算并求臨界荷載第四十四頁，共六十四頁，2022年，8月28日判別柔度：所以λ＞λp，用歐拉公式例：托架，AB桿是圓管，外徑D=50mm，內徑d=40mm,兩端為球鉸，材料為A3鋼，E=206GPa,sp=200MPa。若規(guī)定nst=3,試確定許可荷載F。BAC1500FD50030o第四十五頁，共六十四頁，2022年，8月28日3）根據(jù)穩(wěn)定條件求許可荷載由：從而求得：已求得：BAC1500FD50030o例：托架，AB桿是圓管，外徑D=50mm，內徑d=40mm,兩端為球鉸，材料為A3鋼，E=206GPa,sp=200MPa。若規(guī)定nst=3,試確定許可荷載F。第四十六頁，共六十四頁，2022年，8月28日四、壓桿的合理設計2）減小壓桿長度1、合理選擇材料3）加強約束的緊固程度1）合理選擇截面形狀2、合理選擇截面，適當降低壓桿的柔度第四十七頁，共六十四頁，2022年，8月28日1、合理選擇材料細長桿：與E成正比。

選擇彈性模量較高的材料，顯然可提高細長壓桿的穩(wěn)定性。普通鋼與高強度鋼的E大致相同，但比銅、鋁合金的高，所以要多用鋼壓桿。中長桿：隨的提高而提高。所以采用高強度合金鋼可降低自重，同樣有利于提高穩(wěn)定性。第四十八頁，共六十四頁，2022年，8月28日2、適當降低壓桿的柔度1）選用合理的截面形狀當壓桿在兩個主慣性平面內的約束條件（）相同，應選擇（即使）的截面。在截面面積一定的情況下，應使截面的主慣性矩盡可能大。例如空心圓截面比實心圓截面穩(wěn)定性好。當壓桿在兩個主慣性平面內的約束條件（）不同，應選擇的截面，而使，如矩形、工字形等，使壓桿在兩個方向上的抗失穩(wěn)能力相等。例如第四十九頁，共六十四頁，2022年，8月28日降低壓桿的柔度合理的截面形狀xyzx第五十頁，共六十四頁，2022年，8月28日3）改善桿端支承情況

桿端約束越強，長度系數(shù)值越小，因此，可以用增強桿端約束的辦法減小值，以達到降低柔度提高壓桿穩(wěn)定性的目的。2）減小壓桿長度

在結構允許的情況下，盡量減小壓桿長度，或在壓桿上增設中間支撐，都可以降低柔度。第五十一頁，共六十四頁，2022年，8月28日一、影響壓桿承載能力的因素

影響壓桿穩(wěn)定承載能力的因素不同于影響強度的因素

一般情形下，控制構件強度的因素主要是個別危險截面上的內力、危險面的幾何形狀和尺寸。

而壓桿喪失穩(wěn)定，由直線平衡構形轉變?yōu)閺澢胶鈽嬓危@一過程不是某個截面或某幾個截面的行為，而是壓桿的一種整體行為。

與梁的位移形成過程相似，壓桿的屈曲過程是壓桿所有橫截面彎曲變形的累加結果。所以，個別截面的削弱對于壓桿臨界載荷的數(shù)值影響不大。結論與討論第五十二頁，共六十四頁，2022年，8月28日

1、對于細長壓桿，其臨界載荷為

所以，影響承載能力的因素較多。臨界載荷不僅與材料的彈性模量E有關，而且與長細比有關。長細比包含了截面形狀、幾何尺寸以及約束條件等多種因素。2、對于中長壓桿，臨界載荷為

因而影響其承載能力的主要是材料常數(shù)a和b，以及壓桿的長細比，當然還有壓桿的橫截面積。一、影響壓桿承載能力的因素

結論與討論第五十三頁，共六十四頁，2022年，8月28日3、對于粗短桿,因為不發(fā)生屈曲，而只發(fā)生屈服或破壞，故有

因而臨界載荷主要取決于材料的屈服強度和桿件的橫截面積。

首先，只有細長桿才能應用歐拉公式計算其臨界載荷。所謂細長桿，不能只看壓桿的長度，而要綜合考慮長度、約束性質以及截面的慣性矩。也就是要根據(jù)長細比和材料的性能判斷是不是細長桿。

二、要正確應用歐拉公式一、影響壓桿承載能力的因素

結論與討論第五十四頁，共六十四頁，2022年，8月28日I如何確定

？1、當壓桿兩端在各個方向上都具有相同的約束條件時，壓桿將在剛度最小的主軸平面內屈曲。2、當壓桿兩端在各個方向上都具有不相同的約束條件時，壓桿將在長細比最大的主軸平面內屈曲。

其次，要正確確定橫截面的慣性矩。為此，必須判斷屈曲時,壓桿的橫截面將繞哪一根慣性主軸轉動。結論與討論第五十五頁，共六十四頁，2022年，8月28日

首先，要正確進行受力分析，判斷哪些構件受壓；對于受壓桿，特別是細長壓桿，必然存在穩(wěn)定性問題。

其次，要根據(jù)約束性質，以及截面的幾何形狀和尺寸，確定壓桿的長細比。

然后，要根據(jù)長細比的大小，正確區(qū)分三類不同壓桿，分別采用相應的公式計算其臨界載荷。

需要特別指出的是：屈曲失效與強度和剛度失效有著本質上的差異，前者失效時的載荷遠低于后者，而且往往是突發(fā)性的，因而常常造成災難性后果。三、穩(wěn)定設計中需注意的幾個問題結論與討論第五十六頁，共六十四頁，2022年，8月28日1、在下列有關壓桿臨界應力σcr的結論中，（）是正確的。A.細長桿的σcr值與桿的材料無關；B.中長桿的σcr值與桿的柔度無關；C.中長桿的σcr值與桿的材料無關；D.短粗桿的σcr值與桿的柔度無關。D2、關于鋼制細長壓桿承受軸向壓力達到臨界荷載之后，還能不能繼續(xù)承載，有如下四種答案，判斷哪一種是正確的。（）（A）不能。因為載荷達到臨界值時屈曲位移無限制的增加；（B）能。因為壓桿直到折斷時為止都有承載能力；（C）能。只要荷載面上的最大正應力不超過比例極限；（D）不能。因為超過臨界載荷后，變形不再是彈性的。A討論題第五十七頁，共六十四頁，2022年，8月28日3、圖示各桿橫截面面積相等，在其